余姚中学 2023 学年第二学期期中检测高一数学试卷
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1 i
1. 已知复数 z = ，则 z z =（ ▲ ）．
2+ 2i
A. i B. i C. 0 D. 1
2. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O A B C ，且
O A / /B C ，O A = 2B C = 4，A B = 2，则该平面图形的高为（ ▲ ）．
A．2 2 B．2 C．4 2 D． 2
3. 在平行四边形 ABCD 中， AC, BD 相交于点O，点E 在线段 BD上，且 BE = 3ED ，则 AE =（ ▲ ）．
1 1 1 1 3 1 1 3
A． AD + AC B． AD + AC C． AD + AC D． AD + AC
4 2 2 4 4 4 4 4
4．某小组有 2名男生和 3名女生，从中任选 2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件
的是（ ▲ ）．
A.恰有 1 名女生和恰有 2名女生 B.至少有 1名男生和至少有 1名女生
C.至少有 1名女生和全是女生 D.至少有 1名女生和至多有 1名男生
5. 已知点 A(1,1)， B (0,2)，C ( 1, 1)．则 AB 在BC 上的投影向量为（ ▲ ）．
10 3 10 10 3 10 1 3 1 3
A. , B. , C. , D. ,
5 5 5 5 5 5 5 5
6. 秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形
面积的一种方法“三斜求积术”，即在 ABC 中，a,b,c分别为内角 A, B,C所对应的边，其公式为：
2 2
1 a2 +b2
2
2 c
2 1 2 b
2 + c2 a2 1 2 2 22 a + c b 2 2sinC
S ABC = (ab) = (bc) = (ac) 若c = ，
2 2 2 2 2 2 sin A
3
cos B = ， a b c ，则利用“三斜求积术”求 ABC 的面积为（ ▲ ）．
5
5 3 3 4
A． B． C． D．
4 4 5 5
7. 已知某样本的容量为 50，平均数为 36，方差为 48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有
误，一个错将 24记录为 34，另一个错将 48记录为 38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均
数为 x ，方差为 s2 ，则（ ▲ ）．
A． x = 36, s2 48 B． x = 36, s2 48
C． x 36, s2 48 D． x 36, s2 48
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π π
8. 在 ABC中， A = ， B = ， BC =1，D 为 AC 中点，若将△BCD沿着直线 BD翻折至△BC D ，使得
6 2
四面体C ABD 的外接球半径为1，则直线 BC 与平面 ABD所成角的正弦值是（ ▲ ）．
3 2 5 6
A. B. C. D.
3 3 3 3
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 下列说法正确的是（ ▲ ）．
A. 数据 1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同
B. 数据 6，5，4，3，3，3，2，2，1 的众数为 3
C. 有甲、乙、丙三种个体按 3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为 9，则样本容量为 30
D. 甲组数据的方差为 4，乙组数据为 5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组
10. 在 ABC中，内角 A, B,C 所对的边分别 a,b,c ， a2 = 2bcsin A ，下列说法正确的是（ ▲ ）．
1 bc
A. 若a =1，则 S△ABC = B. ABC外接圆的半径为
4 a
c b π π c b
C. + 取得最小值时， A = D. A = 时， + 值为2 2
b c 3 4 b c
11. 如图，在棱长为 4的正方体 ABCD A1B1C1D1中， E, F ,G 分别为棱 AD ， AB ，BC的中点，点 P 为线
段D1F 上的动点，则（ ▲ ）．
A．两条异面直线D1C和BC1所成的角为45
B．存在点 P ，使得C1G// 平面 BEP
C．对任意点 P ，平面FCC1 ⊥平面 BEP
D．点B1到直线D1F 的距离为 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12.为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类
三个读书社团．甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三
人恰好参加同一个社团的概率为 ▲ ．
π
13. 如图，在 ABC 中， BAC = ， AD = 2DB ， P 为CD 上一点，且
3
1
满足 AP = mAC + AB (m R )，若 AC = 2， AB = 4 ，则 AP CD 的值为
2
▲ ．
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14. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 3，动点 P 在 AB1C 内，满足 D1P = 14 ，则点 P 的轨迹长度为
▲ ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 z 为复数， z + 2i 为实数，且 z(1 2i) 为纯虚数，其中 i 是虚数单位．
(1)求 z ；
2
(2)若复数 ( z +mi) 在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
16. 为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学组织学生参加了《二十大知识竞赛》,共有 1000 名学
生参加了此次竞赛活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取 100名学生的得分（得分均为整数，满分为 100
分）进行统计．所有学生的得分都不低于 60 分，将这 100 名学生的得分进行分组，第一组 60,70)，第二
组 70,80)，第三组 80,90)，第四组 90,100 （单位：分），得到如下的频率分布直方图．
（1）求图中m 的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；
（2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得
分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获
奖．（以每组中点作为该组数据的代表）
2b a cos A
17. 在① (a + c)(sin A sinC) = b(sin A sin B)；② = 0；③向量m = (c, 3b) 与 n = (cosC,sin B)平
c cosC
行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题．
已知 ABC 内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，且满足__________．
(1)求角C ；
(2)若 ABC为锐角三角形，且c = 2，求 ABC 周长的取值范围；
(3)在(2)条件下，若 AB边中点为D ,求中线CD 的取值范围.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
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18. 三棱台 ABC A1B1C1 中，若 A1A⊥面 ABC, AB ⊥ AC, AB = AC = AA1 = 2, A1C1 =1，M , N 分别是BC,BA
中点.
(1)求 A1N 与CC1 所成角的余弦值；
(2)求平面C1MA与平面 ACC1A1所成夹角的余弦值；
(3)求CC 与平面C1 1MA所成角的正弦值．
19．如图①，在矩形 ABCD中， AB = 2AD = 4 2 ，E 为CD的中点，如图②，将△AED 沿 AE 折起，点M
在线段CD上．
(1)若DM = 2MC ，求证 AD∥平面MEB ；
(2)若平面 AED ⊥平面BCEA，是否存在点M ，使得平面DEB 与平面MEB 垂直？若存在，求此时三棱锥
B DEM 的体积，若不存在，说明理由．
命题:徐鹏科 审题:谷巨平
第 4 页 共 4 页余姚中学2023学年第二学期高一数学期中数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B A C D B D
【第8题解析】，，，，又为中点，
，则，即为等边三角形，
设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，取中点，连接，
，，，即外接圆半径为，
又四面体的外接球半径为，
为四面体外接球的球心，
由球的性质可知：平面，又平面，，
，，；
设点到平面的距离为，
由得：，
又与均为边长为的等边三角形，，
直线与平面所成角的正弦值为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 AB ABD BCD
【第12题解析】对于A，由正方体的性质可知，两条异面直线和所成的角即为，所以A错误；
对于B，当点P与点重合时，由题可知，
所以，四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，则平面，所以B正确；
对于C，连结，由于平面，平面，故，
又，故，故，即，故，
又相交，平面，故平面，又平面，故对任意点，平面平面，所以C正确；
对于D，由正方体的性质可得，，
所以，
所以，所以点到直线的距离，所以D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13．3
14.
【第14题解析】在正方体中，如图，
平面，平面，则，而，
，，平面，于是平面，又平面，
则，同理，而，，平面，
因此平面，令交平面于点，
由，得，
即，解得，
而，于是，
因点在内，满足，则，
因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆在内的圆弧，
而为正三角形，则三棱锥必为正三棱锥，为正的中心，
于是正的内切圆半径，
则，即，，
所以圆在内的圆弧为圆周长的，
即点的轨迹长度为
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（1）解：因为为实数，
所以设，所以，
所以，
又因为为纯虚数， 所以即，所以，
所以．
(2)所对应的点在第一象限
16.(1)由频率分布直方图知：，解得，
设此次竞赛活动学生得分的中位数为，
因数据落在内的频率为0.4，落在内的频率为0.8，从而可得，
由，得，
所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5．
(2)由频率分布直方图及（1）知：
数据落在，，，的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，
，
此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为，
则，
所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖
17. (1)选①
选②
选③向量与平行
(2)
为锐角三角形
周长的取值范围为
(3) 又由中线公式可得
为锐角三角形
18.（1） 连接.由分别是的中点，根据中位线性质，
//，且，
由棱台性质，//，于是//，由可知，
四边形是平行四边形，则//，
为与所成角
在中,
（2）过作，垂足为，过作，垂足为,连接.
由面，面，故，又，，平面，则平面.
由平面，故，又，，平面，于是平面，
由平面，故.于是平面与平面所成角即.
又，，则，故，在中，，则，
于是
（3）[方法一：几何法]
过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为.
由题干数据可得，，，根据勾股定理，，
由平面，平面，则，又，，平面，于是平面.
又平面，则，又，，平面，
故平面.
在中，，
又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，
即点到平面的距离是.
设所求角为,则
[方法二：等体积法]
辅助线同方法一.
设点到平面的距离为.
，
.
由，即.
设所求角为,则
19.（1）如图，连，交于，在矩形中，为中点，
，且，，
又，，又平面，平面，
平面．
（2）存在点，使得平面与平面垂直.
在矩形中，，，，即，
已知平面平面，又平面平面，
平面，平面，．①
取中点，则，
平面平面，平面平面，平面，
由（1）知当时，，
，．②
而，平面，平面，又平面，平面平面．
即当时，平面与平面垂直．
依题意有，，，
．
