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期末重难点真题特训之易错必刷题型（90题30个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
易错必刷题一、实数的概念
1．（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）在实数，，，，……，，中无理数个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24七年级下·内蒙古通辽·阶段练习）比较大小： ； ； ．
3．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）将下列各数的序号填在相应的集合里．
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．
整数集合：；
分数集合：；
负数集合：；
有理数集合：；
无理数集合：．
易错必刷题二、利用算术平方根的非负性解题
1．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）已知，则的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
2．（23-24七年级下·四川广安·期中）已知，m、n是有理数，且，则的算术平方根是 ．
3．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与．
(1)求这个正数；
(2)若和满足，求的平方根．
易错必刷题三、已知一个数的平方根求这个数
1．（23-24七年级下·陕西安康·期中）若与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A． B．3 C．1 D．
2．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如果一个数的平方根是和，则的值为 ，这个数为 ．
3．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和．
(1)求这个正数；
(2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间．
易错必刷题四、利用平方根解方程
1．（23-24七年级下·福建莆田·期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）已知，则 ．
3．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）已知：，求x的值．
易错必刷题五、求一个数的立方根
1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的立方根是（ ）
A．2 B． C． D．3
2．（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知，，，则 ．
3．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．
(1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：
①由，，请你确定是 位数；
②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是 ；
③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是 ．
(2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根；
(3)请直接写出 ．
易错必刷题六、算术平方根和立方根的综合应用
1．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则（ ）
A．25 B．23 C．21 D．19
2．（23-24七年级下·广西玉林·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是4，则的平方根是 ．
3．（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是4，求：
(1)a、b的值；
(2)的平方根．
易错必刷题七、实数的概念与分类
1．（23-24七年级下·广东东莞·期中）下列说法中正确的个数是（ ）
①无限小数都是无理数；②带根号的数都是无理数；③数轴上的点表示的数都是实数；④有理数都是有限小数；⑤实数分为正实数，0，负实数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（23-24七年级下·北京·期中）在，，，，这五个实数中，无理数是 ．
3．（23-24七年级下·湖北恩施·期中） 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图，
(1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0
(2)化简：
易错必刷题八、实数的运算
1．（2023·江苏淮安·模拟预测）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，现对进行如下操作：，这样对只需进行次操作后变为，类似地，对只需进行几次操作后变为．（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·湖北荆门·期中）对于任意不相等的两个数a，b．定义一种运算※如下： ，如，那么 ．
3．（23-24七年级下·福建厦门·期中）计算：
(1)；
(2)．
易错必刷题九、分数指数幂
1．（23-24七年级下·上海·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）将方根写成幂的形式： ．
3．（23-24七年级下·上海金山·期中）利用幂的运算性质计算：．
易错必刷题十、邻补角、对顶角
1．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）如图，直线，交于点，把分为两部分，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·吉林松原·期中）如图，直线相交于点O，若，则的度数为 ．
3．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线相交于点O，平分，．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数
易错必刷题十一、垂线
1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，直线，相交于点O，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，直线，相交于点，，平分，，则的度数为 ．
3．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）如图1，直线，相交于点O，过点O作．
(1)若，求的度数．
(2)如图2，作射线使，是的平分线吗？请说明理由．
(3)在图1上作，直接写出与的等量关系为_______．
易错必刷题十二、同位角、内错角、同旁内角
1．（23-24七年级下·河南郑州·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．与是同位角 B．与是同旁内角
C．与是内错角 D．与是同位角
2．（23-24七年级下·甘肃武威·阶段练习）在如图所示的6个角中，同位角有 对，它们是 ；内错角有 对，它们是 ；同旁内角有 对，它们是 ．
3．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）如图，相交于点A，交于点B，交于点C．
(1)指出被所截形成的同位角、内错角、同旁内角；
(2)指出被所截形成的内错角；
(3)指出被所截形成的同旁内角．
易错必刷题十三、平行线的判定
1．（23-24七年级下·天津滨海新·期中）如图，点E在的延长线上，下列条件不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24七年级下·河北保定·期中）学行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小敏画平行线的依据可以是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行；②同位角相等，两直线平行；③两直线平行，内错角相等；④同旁内角互补，两直线平行．
3．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，直线、交于点，，且．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
易错必刷题十四、平行线的性质
1．（23-24七年级下·甘肃庆阳·期中）为了增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图，这是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图所示的数学问题：已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）如图，，若，，则 °；
3．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，如图是共享单车车架的示意图，线段，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉，已知， , ，，求的度数．
易错必刷题十五、求平行线间的距离
1．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知直线a，b，c在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为3cm，则与之间的距离是（ ）
A．2cm B．8cm C．2cm或9cm D．以上都不对
2．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点，若，，则平行线，之间的距离是
3．（18-19七年级上·湖南永州·期末）如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C．
（1）若∠1＝60°，求∠2的度数；
（2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离．
易错必刷题十六、三角形的三边关系
1．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）在中，若、，且的长度为整数，则的周长可能是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
2．（23-24七年级下·内蒙古包头·期中）一个三角形的两边长分别为5和7，若x为最长边且为整数，则此三角形的周长为 ．
3．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）已知的三边分别为a、b、c，且．
(1)求a，c的值；
(2)若b为奇数，求的周长．
易错必刷题十七、根据三角形中线求长度、面积
1．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为（ ）
A．15 B．16 C．20 D．19
2．（18-19八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，是的中线，点E、F分别为的中点，若的面积为，则的面积是 ．
3．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，是的中线，是的高，，，，．
(1)求高的长；
(2)求的面积．
易错必刷题十八、三角形的内角和
1．（2024·海南·一模）如图，含角的三角板的直角顶点C在直尺的边上，斜边与直尺的两边分别交于点D，E，直角边与直尺的边交于点F，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）在中，和分别是和的角平分线，且和相交于点F，的度数为，的度数为；连接，则的度数为 ．
3．（22-23七年级下·四川泸州·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，上的点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求证：．
易错必刷题十九、三角形折叠中的角度问题
1．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，把沿折叠，折叠后的图形如图所示，点、点的对应点分别为点、点，连接、，平分，平分，若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，点D在B边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则度数为 ．
3．（23-24七年级上·吉林白山·期末）如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．
(1)若，求的度数；
(2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
易错必刷题二十、三角形的外角问题
1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）如图是由线段组成的平面图形，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·山东烟台·期中）如图，平面上六个点构成一个封闭折线图形．则 ．
3．（23-24七年级下·天津滨海新·期中）已知，点P是平面内一点，过点P作射线、，与相交于点B．
(1)如图1，若点P为直线上一点，，，求的度数；
(2)如图2，若点P为直线、之间区域的一点，射线交于点E，和的角平分线交于点F．请说明：．
易错必刷题二十一、全等三角形的性质
1．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，，，若，则 °．
3．（21-22七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知，点E在上，与交于点F．
(1)若，，求的长；
(2)若，，求的度数．
易错必刷题二十二、全等三角形的判定1
1．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·甘肃武威·二模）如图，在中，，点D为上一点，连接，过点B作于点E，过点C作交AD的延长线于点F，若，则的长度为 ．
3（2024·甘肃武威·三模）如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点．求证：．
易错必刷题二十三、全等三角形的判定2
1．（2024·天津西青·二模）如图，已知，点B为上一点，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，E，以点B为圆心，以长为半径作弧，交线段于点F，以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接并延长交于点C，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23七年级下·四川成都·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明 （写出全等的简写）．
3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图， 在中， 点在的延长线上，且 过点 作 与的垂线交于点．
(1)求证：
(2)若 求的长．
易错必刷题二十四、全等三角形的综合问题
1．（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（ ）
A． B． C． D．4
2．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点在P线段上以3厘米/秒的速度由B点C向点运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等．
3．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知：如图，，，．
(1)当，时，求的度数；
(2)求证：．
易错必刷题二十五、等腰三角形的性质
1．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，将纸片绕点C顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·甘肃武威·三模）如图，在中，平分于点于点，则 ．
3．（2024·四川宜宾·一模）如图，点E在边上，，，．
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数．
易错必刷题二十六、等腰三角形的判定
1．（23-24八年级下·四川眉山·期中）如图，D为内一点，平分，，，若，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，与的平分线交于点D，经过点D，分别交于点E，F，，，若的面积为24，则点D到的距离为 ．
3．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，．过点A作，交的平分线于点D，连接．
(1)求证：为等腰三角形．
(2)若，求的度数．
易错必刷题二十七、等边三角形
1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于（ ）
A． B． C．2 D．1
2．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在等边中，、分别为边、上的点，与相交于点，若，则 ．
3．（23-24八年级下·四川眉山·期中）如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点．
求证：
(1)；
(2)．
易错必刷题二十八、平面直角坐标系
1．（23-24七年级下·吉林白城·期中）某中学参加运动会开幕式表演，为了使表演方队整齐有序，需要在操场上标记若干个关键点，如图所示的是几个关键点的位置，若建立平面直角坐标系，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点P的坐标为 ．
3．（23-24七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，，，其中，满足关系式，．
(1)求A，B，C三点的坐标，并在坐标系中描出各点．
(2)在坐标轴上是否存在点Q，使三角形的面积与三角形的面积相等 若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如果在第四象限内有一点，请用含 m的代数式表示四边形的面积．
易错必刷题二十九、点坐标规律特殊
1．（2024·河北石家庄·二模）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点…按这样的规律，经过第2024次运动后，蚂蚁的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·广东潮州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，．点P从点A出发，并按的规律在四边形的边上运动，当点P运动的路程为2024个单位长度时，则点P所在位置的点的坐标是 ．
3．（22-23八年级上·安徽六安·阶段练习）在直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，…如此继续运动下去，设，，，，……．
(1)分别计算和的值；
(2)计算的值．
易错必刷题三十、平面坐标平面内点的运动
1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点B的对应点为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ．
3．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，在边长为的正方形网格中，将的三个顶点，，分别关于轴对称得到，，，的对应点分别为，，．
(1)请在图中画出，并直接写出，的坐标，： ，： ；
(2) 的面积为： ；
(3)在轴上有一点，使得的面积为，求点的坐标．中小学教育资源及组卷应用平台
期末重难点真题特训之易错必刷题型（90题30个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
易错必刷题一、实数的概念
1．（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）在实数，，，，……，，中无理数个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查了无理数的定义．无限不循环小数叫做无理数．根据定义进行判断即可求解．
【详解】解： 为整数，，，分别为小数和分数，不属于无理数，
而，……，，都为无限不循环小数，属于无理数，
有4个无理数．
故选：D．
2．（23-24七年级下·内蒙古通辽·阶段练习）比较大小： ； ； ．
【答案】
【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握实数大小的比较，即可．
【详解】∵，，
∴；
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；；．
3．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）将下列各数的序号填在相应的集合里．
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．
整数集合：；
分数集合：；
负数集合：；
有理数集合：；
无理数集合：．
【答案】故答案为：，，，，
【分析】根据实数的分类解答即可．
【详解】解：整数集合：；
分数集合：；
负数集合：；
有理数集合：；
无理数集合：．
故答案为：，，，，．
【点睛】此题考查实数，关键是根据实数的分类解答．
易错必刷题二、利用算术平方根的非负性解题
1．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）已知，则的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，负整数指数幂；根据算术平方根的非负性可得，得出，，进而根据负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：A．
2．（23-24七年级下·四川广安·期中）已知，m、n是有理数，且，则的算术平方根是 ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，根据几个非负数的和为0，那么这几个数的值都为0得到，则，再求出的值即可根据算术平方根的定义求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵0的算术平方根是0，
∴的算术平方根是0，
故答案为：0．
3．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与．
(1)求这个正数；
(2)若和满足，求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是平方根和立方根，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．
（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；
（2）根据绝对值的非负性可得b，根据平方的非负性可得c，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：一个正数的两个不相等的平方根是与．
，
，
．
（2），
；，
，，
，
的平方根是．
易错必刷题三、已知一个数的平方根求这个数
1．（23-24七年级下·陕西安康·期中）若与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A． B．3 C．1 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键．
根据平方根的性质列方程求解即可．
【详解】∵与是同一个正数的两个平方根，
∴，
∴，
故选：B．
2．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如果一个数的平方根是和，则的值为 ，这个数为 ．
【答案】 49
【分析】本题考查了平方根的定义，根据一个正数的平方根互为相反数，可得出的值，再代入即可得出这个数．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
【详解】解：∵一个数的平方根是和，
∴，
解得，
把代入，故这个数为49，
故答案为：，49．
3．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和．
(1)求这个正数；
(2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间．
【答案】(1)81
(2)的算术平方根在之间
【分析】本题考查了平方根及算术平方根：
（1）根据题意得，进而可解得，则可得，再根据平方根的定义即可求解；
（2）由（1）得，进而可得，再利用算术平方根的估算方法即可求解；
熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，
解得：，
∴，
这个正数是81．
（2）由（1）得：，
，
∵，
∴，
的算术平方根在之间．
易错必刷题四、利用平方根解方程
1．（23-24七年级下·福建莆田·期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据平方根的定义解方程，先移项，然后根据平方根的定义，解方程，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴，
解得：，
故选：D．
2．（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）已知，则 ．
【答案】或/或
【分析】本题考查平方根，根据可得出的值，再代入计算即可．掌握平方根的意义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
当时，；
当时，；
综上所述，或．
故答案为：或．
3．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）已知：，求x的值．
【答案】或
【分析】本题考查运用平方根的定义解方程．根据平方根的定义解方程即可求解．
【详解】解：，
∴，
由平方根定义得，
，解得，
或解得，
∴或．
易错必刷题五、求一个数的立方根
1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的立方根是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了平方根、立方根、方程求解、代数式求值，根据平方根的定义，正数有两个平方根，它们互为相反数，则相加为0，列方程求出的值，再得出的值，最后求出立方根即可，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
解得：，
∴，
∴的立方根，
故选：A．
2．（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知，，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据结合已知条件即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
3．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．
(1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：
①由，，请你确定是 位数；
②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是 ；
③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是 ．
(2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根；
(3)请直接写出 ．
【答案】(1)①两；②9；③3
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根：
（1）根据已给推理过程，按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可；
（2）仿照（1）求解即可；
（3）根据一个数的小数点向左（右）每移动三位其立方根的小数点就向左（右）移动一位进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴ 是两位数，
∵的个位上的数是9，而只有个数是9的数的立方个位才是9，
∴的个位上的数字是 9
∵划去59319后面的三位 319 得到数 59 ，，，
∴ 的十位上的数字是 3，
故答案是：两，9，3 ；
（2）解：∵，
∴
∴是两位数，
∵的个位上的数是7，而只有个数是7的数的立方个位才是7，
∴的个位上的数字是 7，
∵划去19683后面的三位 683得到数 19 ，，，
∴的十位上的数字是2，
∴；，
（3）解：∵
∴，
故答案为：．
易错必刷题六、算术平方根和立方根的综合应用
1．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则（ ）
A．25 B．23 C．21 D．19
【答案】B
【分析】本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值，正确求出、的值是解题关键．根据立方根和算术平方根的定义，求出，，再代入计算求值即可．
【详解】解：的立方根是3，的算术平方根是4，
，，
，，
,
故选：B．
2．（23-24七年级下·广西玉林·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是4，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，先根据题意得出，，求出a、b的值，再计算的值，最后求其平方根即可．
【详解】∵的立方根是2，的算术平方根是4，
∴，，
解得，
∴，
∴的平方根是，
故答案为：．
3．（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是4，求：
(1)a、b的值；
(2)的平方根．
【答案】(1)，
(2)的平方根是
【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义，准确计算．
（1）根据的算术平方根是，的立方根是，得出，，求出结果即可；
（2）把，代入求出，然后求出的平方根即可．
【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是，
∴，，
解得：，；
（2）解：∵，，
∴，
∴的平方根是．
易错必刷题七、实数的概念与分类
1．（23-24七年级下·广东东莞·期中）下列说法中正确的个数是（ ）
①无限小数都是无理数；②带根号的数都是无理数；③数轴上的点表示的数都是实数；④有理数都是有限小数；⑤实数分为正实数，0，负实数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】此题主要考查了实数的有关定义，正确把握相关概念是解题关键．
分别利用有理数、无理数和实数的定义分析得出即可．
【详解】解：①无限不循环小数是无理数，故此选项错误；
②带根号的数不一定是无理数，故此选项错误；
③数轴上的点表示的数都是实数，正确；
④有理数都是有限小数，错误；
⑤实数分为正实数，0，负实数，正确．
故选：B．
2．（23-24七年级下·北京·期中）在，，，，这五个实数中，无理数是 ．
【答案】，π
【分析】本题考查了无理数：无限不循环小数，有限小数与分数是有理数，含π的一类数、开方开不尽的数是无理数；根据无理数的概念判断即可．
【详解】解：∵，
∴有理数有，，，无理数为，π；
故答案为：，π；
3．（23-24七年级下·湖北恩施·期中） 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图，
(1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0
(2)化简：
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质：
（1）根据数轴可得，据此可得答案；
（2）根据（1）所求先计算算术平方根，立方根和绝对值，再合并同类项即可得到答案．
【详解】（1）解：由数轴可知，，
∴，；
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴
．
易错必刷题八、实数的运算
1．（2023·江苏淮安·模拟预测）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，现对进行如下操作：，这样对只需进行次操作后变为，类似地，对只需进行几次操作后变为．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题是一道关于无理数的题目，需要结合定义的新运算和无理数的估算进行求解．表 示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可．
【详解】．
∴对只需进行4次操作后变为1．
故选：C．
2．（23-24七年级下·湖北荆门·期中）对于任意不相等的两个数a，b．定义一种运算※如下： ，如，那么 ．
【答案】1
【分析】直接利用已知运算公式，进而计算得出答案．此题主要考查了实数的运算，正确利用运算公式是解题关键．
【详解】解：由题意可得：6※．
故答案为：1
3．（23-24七年级下·福建厦门·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数的运算，掌握算术平方根、立方根以及实数的运算方法是正确解答的前提．
（1）先计算乘方，立方根、算术平方根，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）根据算术平方根，绝对值的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
易错必刷题九、分数指数幂
1．（23-24七年级下·上海·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题主要考查了分数指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据运算法则，逐项判定即可．
【详解】解：A．，故A错误；
B．，故B错误；
C．，故C正确；
D．当时，，故D错误．
故选：C．
2．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）将方根写成幂的形式： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分数指数幂，先把原式变形为，进一步根据负整数指数幂的定义可得答案．
【详解】解：，
故答案为：．
3．（23-24七年级下·上海金山·期中）利用幂的运算性质计算：．
【答案】
【分析】本题考查的是分数指数幂的混合运算，掌握分数指数幂的含义以及幂的运算法则是解本题的关键，先把运算式化为分数指数幂的形式，再按照从左至右的顺序计算即可．
【详解】解：
；
易错必刷题十、邻补角、对顶角
1．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）如图，直线，交于点，把分为两部分，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，先由平角的定义得到，进而得到，则由对顶角线段可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
2．（23-24七年级下·吉林松原·期中）如图，直线相交于点O，若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，由对顶角相等得到，则．
【详解】解；∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
3．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线相交于点O，平分，．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了邻补角的定义，有关角平分线的计算：
（1）根据题意可得，再由邻补角的定义可得，然后根据角平分线的定义，即可求解；
（2）根据题意可设，从而得到，再由邻补角的定义可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：∵，
∴可设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴．
易错必刷题十一、垂线
1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，直线，相交于点O，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，对顶角相等的性质，先根据对顶相等求出，再根据角平分线的定义求出，再根据垂线的定义求出，即可求解，根据已知条件结合图形分析是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
2．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，直线，相交于点，，平分，，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查角平分线的定义、垂线的定义及几何图形中的角度计算，熟练掌握角平分线的定义，正确找出图中各角的和差关系是解题关键．根据及角平分线的定义可得出，根据，结合角的和差关系即可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
3．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）如图1，直线，相交于点O，过点O作．
(1)若，求的度数．
(2)如图2，作射线使，是的平分线吗？请说明理由．
(3)在图1上作，直接写出与的等量关系为_______．
【答案】(1)；
(2)是，理由见解析；
(3)或．
【分析】（1）由垂线的定义得出即，由对顶角相等得出，即可求出；
（2）由垂线的定义得出即．由已知条件得出，由对顶角相等得出，进而得出，问题得解．
（3）分两种情况，当在的上方时和在的下方时，分别画出图形解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
即是的平分线．
（3）或，
理由如下：
①如下图，
∵，，
∴，
即
∴
则
②如下图，，
∵，，
∴，
即，
∴，
即，
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等以及同角的余角相等等知识．解题的关键是根据题意画出图形．
易错必刷题十二、同位角、内错角、同旁内角
1．（23-24七年级下·河南郑州·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．与是同位角 B．与是同旁内角
C．与是内错角 D．与是同位角
【答案】D
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．根据同位角、内错角、同旁内角的定义分别分析即可．
【详解】解：A、与是同位角，故本选项不符合题意；
B、与是同旁内角，故本选项不符合题意；
C、与是内错角，故本选项不符合题意；
D、与不是同位角，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（23-24七年级下·甘肃武威·阶段练习）在如图所示的6个角中，同位角有 对，它们是 ；内错角有 对，它们是 ；同旁内角有 对，它们是 ．
【答案】 2 与，与 2 与，与 4 与，与，与，与
【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角，根据同位角，内错角，同旁内角的定义解题即可．同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角
【详解】解：在如图所示的6个角中，同位角有2对，它们是与，与,内错角有2对，它们是与,与；同旁内角有4对，它们是与，与，与，与．
故答案为：2；与，与；2； 与，与；4；与，与，与，与.
3．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）如图，相交于点A，交于点B，交于点C．
(1)指出被所截形成的同位角、内错角、同旁内角；
(2)指出被所截形成的内错角；
(3)指出被所截形成的同旁内角．
【答案】(1)同位角：和；内错角：和；同旁内角：和；
(2)和，和；
(3)和，和．
【分析】
此题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义：
（1）两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解即可；
（2）根据内错角的定义求解即可；
（3）根据同旁内角的定义求解即可．
【详解】（1）
解：同位角：和；内错角：和；同旁内角：和；
（2）解：和，和都是内错角；
（3）解：和，和都是同旁内角．
易错必刷题十三、平行线的判定
1．（23-24七年级下·天津滨海新·期中）如图，点E在的延长线上，下列条件不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是平行线的判定．根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、，根据内错角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
B、，根据同位角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
C、，根据内错角相等，两直线平行可判定，无法判定，故此选项符合题意；
D、根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（23-24七年级下·河北保定·期中）学行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小敏画平行线的依据可以是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行；②同位角相等，两直线平行；③两直线平行，内错角相等；④同旁内角互补，两直线平行．
【答案】②④/④②
【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行线的判定，理解折叠过程，根据平行线的判定方法即可解答．
【详解】解：由图可知，虚线与其他折痕垂直，根据折后角的关系可得同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，所以选②④．
故答案为②④
3．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，直线、交于点，，且．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
（1）首先根据题意可得，进而可知，结合可证明，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论；
（2）根据平分线的定义可得，设，则，结合可得关于的一元一次方程，解得的值，可求得，然后由求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
设，，
则，
即，解得，
∴，
又∵，
∴，
∴．
易错必刷题十四、平行线的性质
1．（23-24七年级下·甘肃庆阳·期中）为了增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图，这是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图所示的数学问题：已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】延长交于点，再平行线的性质可得，再利用邻补角性质得出，即可求．本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
【详解】解：延长交于点，如图，
，
∵，
∴
．
故选：D．
2．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）如图，，若，，则 °；
【答案】15
【分析】本题考查平行线的性质，注意此类题要常作的辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系．
过点P作一条直线平行于，根据两直线平行内错角相等得：，，然后根据角的和差解题即可．
【详解】解：过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：
3．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，如图是共享单车车架的示意图，线段，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉，已知， , ，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查根据平行线的性质求角的度数，根据可得，根据可得，由此即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
易错必刷题十五、求平行线间的距离
1．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知直线a，b，c在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为3cm，则与之间的距离是（ ）
A．2cm B．8cm C．2cm或9cm D．以上都不对
【答案】D
【分析】本题考查了平行线之间的距离，分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解．
【详解】解：如图1，直线c在a、b外时，
∵a与b的距离为，b与c的距离为，
∴a与c的距离为，
如图2，直线c在直线a、b之间时，
∵a与b的距离为，b与c的距离为，
∴a与c的距离为，
综上所述，a与c的距离为或，
故选：D．
2．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点，若，，则平行线，之间的距离是
【答案】3
【分析】本题主要考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．依据直线，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，即可得到长为直线a和c之间的距离，长为直线b和c之间的距离，长为直线a和b之间的距离，再根据，，即可得出直线a与直线b之间的距离．
【详解】解：∵，直线与它们分别垂直且相交于，，三点，
∴长为直线a和c之间的距离，长为直线b和c之间的距离，长为直线a和b之间的距离，
∵，
∴，
即直线a与直线b之间的距离为3．
故答案为：3
3．（18-19七年级上·湖南永州·期末）如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C．
（1）若∠1＝60°，求∠2的度数；
（2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）如图（见解析），先根据平行线的性质可求出的度数，再根据垂直的性质即可得；
（2）先画出a与b之间的距离，再利用三角形的面积公式即可得．
【详解】（1）如图，∵直线，
又
；
（2）如图，过A作于D，则AD的长即为a与b之间的距离
解得
故直线a与b的距离为．
【点睛】本题考查了平行线的性质、垂直的性质等知识点，属于基础题，熟记各性质是解题关键．
易错必刷题十六、三角形的三边关系
1．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）在中，若、，且的长度为整数，则的周长可能是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】A
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得出，由此即可得出答案．
【详解】解：在中，、，
，即，
，
∵的长度为整数，
∴的长度可以为3，4，5，6，7
的周长可能是11，12，13，14，15．
故选：A．
2．（23-24七年级下·内蒙古包头·期中）一个三角形的两边长分别为5和7，若x为最长边且为整数，则此三角形的周长为 ．
【答案】19或20或21或22或23
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长．
【详解】解：由三角形三边关系定理得：，
∴，
∵x为最长边且为整数，
∴，
∴x的值是7或8或9或10或11，
∵，，，，，
∴此三角形的周长为19或20或21或22或23．
故答案为：19或20或21或22或23．
3．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）已知的三边分别为a、b、c，且．
(1)求a，c的值；
(2)若b为奇数，求的周长．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定边长b的取值范围．
（1）根据非负数的性质列式求出a、c的值；
（2）再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出b的取值范围，再根据b是奇数求出b的值计算解题．
【详解】（1）解：∵，
∴
解得：；
（2）解：由题可知：，
解得：，
又∵为奇数，
∴或或，
当时，的周长为；
当时，的周长为；
当时，的周长为；
综上所述，的周长为，或．
易错必刷题十七、根据三角形中线求长度、面积
1．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为（ ）
A．15 B．16 C．20 D．19
【答案】D
【分析】本题考查三角形的中线，根据中线的定义得到，根据的周长为18，求出的长，再利用周长公式进行计算即可．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵的周长为18，
∴，
∴，
∴的周长为；
故选D．
2．（18-19八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，是的中线，点E、F分别为的中点，若的面积为，则的面积是 ．
【答案】12
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
【详解】是的中点，，
，
是的中点，
，，
，
∴的面积．
故答案为：12．
3．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，是的中线，是的高，，，，．
(1)求高的长；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形的高，中线：
（1）根据，即可求解；
（2）根据三角形中线的定义可得，再由三角形的面积公式计算，即可．
【详解】（1）解：∵是的高， ．
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
（2）解：∵是的中线，，
∴，
∴的面积．
易错必刷题十八、三角形的内角和
1．（2024·海南·一模）如图，含角的三角板的直角顶点C在直尺的边上，斜边与直尺的两边分别交于点D，E，直角边与直尺的边交于点F，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是平行线的性质，外角的性质．
根据题目可以得到，然后推出角，再利用外角,通过计算得出答案．
【详解】∵，
∴．
又∵，
∴．
故选C．
2．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）在中，和分别是和的角平分线，且和相交于点F，的度数为，的度数为；连接，则的度数为 ．
【答案】/128度
【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的概念，
首先得到，然后证明出是的角平分线，求出，，进而求解即可．
【详解】∵，
∴
∵和分别是和的角平分线，
∴是的角平分线
∴，
∴．
故答案为：．
3．（22-23七年级下·四川泸州·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，上的点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行线的性质和三角形内角和，关键是根据平行线的性质和三角形的内角和定理进行解答．
（1）由平行线的性质进行证明即可；
（2）由三角形内角和定理证明即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
即，
解得：，
，
．
易错必刷题十九、三角形折叠中的角度问题
1．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，把沿折叠，折叠后的图形如图所示，点、点的对应点分别为点、点，连接、，平分，平分，若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠前后对应角相等是解题的关键．根据三角形内角和定理和角平分线的概念得到，然后由折叠得到，求出，得，再由折叠的性质得，从而得出答案．
【详解】∵
∴
∵平分，平分
∴，
∴
由折叠可得，
∴
，
，
把沿对折，
，
．
故选：D．
2．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，点D在B边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则度数为 ．
【答案】/67度
【分析】根据折叠的性质和直角三角形的有关知识求解即可．本题考查的是直角三角形和折叠的性质，解题的关键是根据折叠的性质找到对应相等的角．
【详解】解：将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，，
，，
∵，
，
，
，
故答案为：．
3．（23-24七年级上·吉林白山·期末）如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．
(1)若，求的度数；
(2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不变，
【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，数形结合．
（1）根据折叠得出，，根据，求出，即可求出结果；
（2）根据，，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵将对折，得到折痕，
∴，
∵将对折，得到折痕，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：不变．理由如下：
∵，，，
∴，
即．
∴的大小不随点的运动而变化．
易错必刷题二十、三角形的外角问题
1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）如图是由线段组成的平面图形，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案．
【详解】解：如下图标记，
，，
，
又，
，
，
，
故选C．
2．（23-24七年级下·山东烟台·期中）如图，平面上六个点构成一个封闭折线图形．则 ．
【答案】/180度
【分析】此题考查三角形外角的性质以及三角形的内角和定理，由三角形外角的性质得出：，，再进一步利用三角形的内角和得出答案即可．
【详解】解：如图，
，，
，
故答案为：．
3．（23-24七年级下·天津滨海新·期中）已知，点P是平面内一点，过点P作射线、，与相交于点B．
(1)如图1，若点P为直线上一点，，，求的度数；
(2)如图2，若点P为直线、之间区域的一点，射线交于点E，和的角平分线交于点F．请说明：．
【答案】(1)；
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义，三角形外角性质，熟练掌握平行线的性质，三角形外角性质是解题的关键．
（1）根据两直线平行，同位角相等证明即可；
（2）延长交于点Q，根据平行线的性质，三角形外角性质，平角的定义计算即可．
【详解】（1）解：如图，∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图2，延长交于点Q，
∵，
∴，，
∵和的角平分线交于点F．
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
易错必刷题二十一、全等三角形的性质
1．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理可得，再由全等三角形对应角相等即可得到．
【详解】解；∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
2．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，，，若，则 °．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．由可得，推出，最后根据直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：，
，
，
即，
，
，
，
故答案为：．
3．（21-22七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知，点E在上，与交于点F．
(1)若，，求的长；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和的定理．
（1）利用全等的性质即可求出，然后根据线段的和差即可求出．
（2）利用全等的性质求出，然后根据三角形的内角和定理即可求出，然后利用角的和差即可求出．
【详解】（1）（1）∵，，
∴，
∴．
（2）∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴.
易错必刷题二十二、全等三角形的判定1
1．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质：根据题意可得，再证明，可得，进而即可求解
【详解】解：∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
2．（2024·甘肃武威·二模）如图，在中，，点D为上一点，连接，过点B作于点E，过点C作交AD的延长线于点F，若，则的长度为 ．
【答案】3
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据同角的余角相等，得到，利用证明，得到，，进一步求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
，
∴；
故答案为：3．
3（2024·甘肃武威·三模）如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点．求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据平行线的性质得出，，根据中点的定义得出，即可利用判定．
【详解】证明：∵，
，，
点是的中点，
，
在与中，
，
．
易错必刷题二十三、全等三角形的判定2
1．（2024·天津西青·二模）如图，已知，点B为上一点，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，E，以点B为圆心，以长为半径作弧，交线段于点F，以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接并延长交于点C，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查基本作图、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是掌握基本作图，熟练掌握三角形外角的性质，属于中考常考题型．根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．
【详解】解：由题意可知，
∴．
故选：D．
2．（22-23七年级下·四川成都·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明 （写出全等的简写）．
【答案】
【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，根据作出可知：，，，从而得出三角形全等的判定方法．
【详解】解：根据作图可知：，，，从而可以利用判定其全等．
故答案为：．
3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图， 在中， 点在的延长线上，且 过点 作 与的垂线交于点．
(1)求证：
(2)若 求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，
（1）根据等角的余角相等，证明，再根据即可证明；
（2）根据全等三角形的性质即可得出，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
理由：由（）证得，，
，，
，
．
，
．
易错必刷题二十四、全等三角形的综合问题
1．（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，在上截取，连接，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
周长为20，
，
，
，
．
故选：B．
2．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点在P线段上以3厘米/秒的速度由B点C向点运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等．
【答案】3或
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练的建立方程求解，清晰的分类讨论思想解决问题是本题的关键．分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动度；
【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，，
∵，
∵点E为线段的中点．
∴，
∴当时，与全等．
此时，，
解得
∴，
此时，点Q的运动速度为（厘米/秒）
当，时，与全等．
此时
解得
∴点Q的运动速度为（厘米/秒）．
故答案为3或．
3．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知：如图，，，．
(1)当，时，求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)详见解析
【分析】
本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和，即可．
（1）根据三角形内角和为，，求出的角度，再根据三角形的内角和，求出，根据全等三角形的判定，则，则，最后根据是三角形的外角和，即可；
（2）由（1）得，根据全等三角形的判定，即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵．
（2）由（1）得，，
在和中，
，
∴．
易错必刷题二十五、等腰三角形的性质
1．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，将纸片绕点C顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等边对等角．设与交于点，根据旋转的性质可得，，根据等边对等角以及三角形的内角和定理求得，根据直角三角形的两个锐角互余即可求得的度数．
【详解】解：设与交于点，如图，
∵将△ABC纸片绕点C顺时针旋转得到，
∴，，
，
AC⊥，
，
，
故选：A．
2．（2024·甘肃武威·三模）如图，在中，平分于点于点，则 ．
【答案】2.6
【分析】本题考查等腰三角形中求线段长，涉及等腰三角形性质、三角形面积等知识，由等腰三角形三线合一得到，根据三角形面积公式代值列方程求解即可得到答案，熟记等腰三角形性质是解决问题的关键．
【详解】解：在中，平分，
是的中线，则，
，即，
，
，
故答案为：2.6．
3．（2024·四川宜宾·一模）如图，点E在边上，，，．
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，可得．进而可证．
（2）由（1）知，则，，，根据，求解作答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
在和中，
∵，
∴．
（2）解：由（1）知，
∴，，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键．
易错必刷题二十六、等腰三角形的判定
1．（23-24八年级下·四川眉山·期中）如图，D为内一点，平分，，，若，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．延长与交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出，，根据，即可推出的长度．
【详解】解：延长与交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，与的平分线交于点D，经过点D，分别交于点E，F，，，若的面积为24，则点D到的距离为 ．
【答案】8
【分析】由等腰三角形的性质及角平分线的定义可得可得，再利用三角形的面积计算可求解．本题主要考查平行线的判定，角平分线的定义，三角形的面积，证明是解题的关键．
【详解】解：∵
∴
∵平分
∴
∴，
∴
∵的面积为24，
设点D到的距离为h，
∴
解得：，
故答案为：8．
3．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，．过点A作，交的平分线于点D，连接．
(1)求证：为等腰三角形．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟记等角对等边是解本题的关键；
（1）证明可得，结合可得结论；
（2）设， 可得，，再利用平行线的性质可得结论．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴为等腰三角形．
（2）解：设，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
易错必刷题二十七、等边三角形
1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【分析】本题考查轴对称求最短距离．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、，此时周长最小为，由对称性可求是等边三角形，则可求的长为1．
【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、，
由对称性可知，，，
周长，
此时周长最小，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：D．
2．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在等边中，、分别为边、上的点，与相交于点，若，则 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，三角形的外角的性质；证明得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3．（23-24八年级下·四川眉山·期中）如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出．
（1）根据等边三角形的性质得出，，，求出，根据推出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，求出，代入求出即可．
【详解】（1）证明∵和均是等边三角形，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（2）∵
∴
∵是的外角
∴
∵，，
∴．
易错必刷题二十八、平面直角坐标系
1．（23-24七年级下·吉林白城·期中）某中学参加运动会开幕式表演，为了使表演方队整齐有序，需要在操场上标记若干个关键点，如图所示的是几个关键点的位置，若建立平面直角坐标系，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了用坐标表示位置，正确建立平面直角坐标系是解答本题的关键．
先根据点A和点B的坐标建立平面直角坐标系，然后写出点C的坐标．
【详解】如图，
∴点C的坐标为．
故选：B．
2．（23-24七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了各个象限内点的坐标特征，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握第四象限内点的点横坐标为正，纵坐标为负，平面直角坐标系中的点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的距离．设点P的坐标为，则，再根据到两坐标轴的距离，得出，即可解答．
【详解】解：设点P的坐标为，
∵点P在第四象限，
∴，
∵P到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，
∴，
∴，
∴点P的坐标为，
故答案为：．
3．（23-24七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，，，其中，满足关系式，．
(1)求A，B，C三点的坐标，并在坐标系中描出各点．
(2)在坐标轴上是否存在点Q，使三角形的面积与三角形的面积相等 若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如果在第四象限内有一点，请用含 m的代数式表示四边形的面积．
【答案】(1)点，，；，作图见解析
(2)存在，点Q的坐标为或或或；
(3)
【分析】（1）根据非负数的性质列式求出、，再求出，然后在平面直角坐标系中找出点、、的位置即可；
（2）先求出的面积，再分点在轴上和点在轴上两种情况求出的长，然后分情况写出点的坐标即可；
（3）根据列式计算即可得解．
本题考查了坐标与图形性质，非负数的性质，以及三角形的面积，（2）难点在于要分情况讨论，（3）把四边形的面积分成两个三角形的面积是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得，，，
解得，，
，
点，，；
如图所示：
（2）解：存在，
，
点在轴上时，，
解得，
点的坐标为或，
点在轴时，，
解得，
点的坐标为或，
综上所述，点的坐标为或或或；
（3）解：依题意，
．
易错必刷题二十九、点坐标规律特殊
1．（2024·河北石家庄·二模）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点…按这样的规律，经过第2024次运动后，蚂蚁的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据前几次运动的坐标特点可得规律横坐标是从1开始的连续的正整数，每个正整数出现2次，纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，据此求解即可．
【详解】解：第1次：，
第2次：，
第3次：，
第4次：，
第5次：，
…，
以此类推可知，横坐标是从1开始的连续的正整数，每个正整数出现2次，
纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，
∵，
∴第2024次运动后，蚂蚁的横坐标为，纵坐标为
∴第2024次的坐标是，
故选D．
2．（23-24七年级下·广东潮州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，．点P从点A出发，并按的规律在四边形的边上运动，当点P运动的路程为2024个单位长度时，则点P所在位置的点的坐标是 ．
【答案】
【分析】由点的坐标得出四边形的周长即可求解．本题考查了轨迹与点的坐标规律型，正确得出四边形的周长是解题的关键．
【详解】解：，，，，
，，
，
点从点出发，并按的规律在四边形的边上运动，
当点运动的路程为2024时，
经历次循环，且走4个单位长度
点所在位置的点的坐标为
故答案为：．
3．（22-23八年级上·安徽六安·阶段练习）在直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，…如此继续运动下去，设，，，，……．
(1)分别计算和的值；
(2)计算的值．
【答案】(1)2，2
(2)1010
【分析】（1）根据题意，写出，再进行求解即可；
（2）经过观察分析可得每4个数的和为2，把2020个数分为505组，即可得到相应结果．
【详解】（1）解：由题意，得：的值分别为：，
∴，；
（2）由（1）可知：，
，
同法可得：，，
∴每4个点的横坐标的和为2，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中找规律，先写出前面几个点的坐标，发现规律是解题的关键．
易错必刷题三十、平面坐标平面内点的运动
1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点B的对应点为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．求原来点的坐标正好相反．
直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【详解】解：点横坐标从到3，说明是向右移动了，纵坐标从1到，说明是向下移动了，
故线段是由线段经过向右移动5个单位，向下移动2个单位得到的，
求原来点的坐标，则让新坐标的横坐标减5，纵坐标加2．
则点的坐标为．
故选：B．
2．（23-24七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据点到确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点的坐标．本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．
【详解】解：线段平移后，点的对应点的坐标为，
将线段向左平移2个单位，向下平移4个单位得到线段，
则
点的对应点的坐标为，
故答案为：
3．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，在边长为的正方形网格中，将的三个顶点，，分别关于轴对称得到，，，的对应点分别为，，．
(1)请在图中画出，并直接写出，的坐标，： ，： ；
(2) 的面积为： ；
(3)在轴上有一点，使得的面积为，求点的坐标．
【答案】(1)图形见解析，，
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查平面直角坐标系：
（1）分别找出点，，关于轴的对应点，，，依次连接点，，，即可求得；
（2）；
（3）根据题意可得，进而可得．
【详解】（1）分别找出点，，关于轴的对应点，，，依次连接点，，，即可求得．
，．
（2）如图所示．
故答案为：
（3）根据题意可得
．
化简，得．
可得点的坐标为或．
