《一元二次方程复习》教学设计
临朐外国语学校 马风云
【课标分析】
1、数学课程标准对<<一元二次方程>>教学的要求：
?? ??能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程；理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。能利用方程解决实际问题。
2、为了体现数学课程的这一核心内容，在4.1节中，教科书从熟悉的生活现实和数学现实出发，通过具体的问题情境引出一元二次方程的概念，这是一个数学建模的过程。后面几节又研究了一元二次方程的解法，这是求解模型的过程。在4.7节通过列方程解应用题，使学生经历数学建模的全过程。
【教材分析】
方程是初中数学的核心内容之一。就方程的解法来说，它是一种重要的数学技能；就方程的作用来说，它是初中数学最重要的基础知识之一，属于“建模思想”的一个分支，足以突现它的作用之大和意义之深。正是由于方程的以上特征，决定了方程内容在中考试题中处于重要的地位。《一元二次方程》是“数与代数”领域的重要内容，从本套教材的知识体系来看，本章的内容是继已经学过的一元一次方程、二元一次方程组和可以化为一元一次方程的分式方程之后，对方程研究的继续深入和必然发展，也是九年级下册学习二次函数以及高中学习指数对数运算、圆和圆锥曲线的方程等知识的基础，本章内容在中学数学体系中具有承上启下的重要地位。本章的主要内容是一元二次方程的概念、解法和一元二次方程的应用。为了体现数学的模型思想，教材突出了“问题情境-建立模型-求解验证”的过程。教材先从学生熟悉的生活现实和数学现实出发，通过具体的问题情境引出了一元二次方程的概念，这是一个建立数学模型的过程，然后又研究了一元二次方程的解法，这是模型求解的过程，最后通过列一元二次方程解应用题，以及强调检验的步骤，使学生经历了数学建模的全过程。
【学情分析】
1、 初三学生已经掌握了代数式、一元一次方程的定义、解法、二元一次方程组、因式分解等知识，所以这节课是在此基础上进一步巩固知识、提高分析问题、解决问题的能力；
2、初三学生也具备了一定的自主探究、合作交流的能力，所以在知识的整合、综合应用方面有所提高，但是初三学生两极分化严重，复习中要因材施教，及时查漏补缺。
复习目标：
1.通过观察方程的特征，类比一元一次方程的定义，理解一元二次方程的概念及一般形式；
2.通过学习总结一元二次方程的各种解法，并能灵活运用；
3.通过学习理解并能运用一元二次方程根的判别式解决相关问题；
4.通过学习一元二次方程的定义及解法，体会“转化”“整体”及”类比”等数学思想方法。
重点：能灵活解一元二次方程。
难点：会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
本章知识结构：
复习流程
知识要点说一说：
1.一元二次方程定义具有三个显著特点，它们是 ①_______ ；②_______ ；③_______。
2.一元二次方程的一般形式是___________。
3.一元二次方程的解法有___ 、___ 、____ 、 _________ 。
4.一元二次方程的根的判别式为△ = 。
①当△＞0时,方程有__________；
②当△=0时,方程有____________；
③当△＜0时,方程____________；
④当△≥0时,方程有___________。
反之①当方程有两个不相等的实数根时，则△__________；
②当方程有两个相等的实数根时，则△_____________；
③当方程有两个实数根时，则△_____________；
④当方程无实数根时，则△_____________；
基础题目轮一轮
知识点1：定义
实战练习一：判断下列方程是不是一元二次方程
（1）2x2＋y＝5 （2）
（3）5m2＝0； （4）
（5）x3－4x＋1＝0 （6）32x+5x-1=0
（7）y（y+5）＝y2－2y （8）
2. 已知关于x的方程（m2-1）x2+（m-1）x-2m+1=0，
（1）当 m ____时是一元二次方程；
（2）当m= ___时是一元一次方程。
3.若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。
知识点2：解法
(1)直接开平方法
(2)因式分解法
(3) 配方法
(4) 公式法 当时，x=
例题1、你能用几种方法解方程
（直接开平方法、因式分解法）
解：
由平方根的定义
2x+5=±（1-x）
∴ 2x+5=1-x或2x+5=-（1-x）
∴x1=-4/3,x2=-6
总结：因式分解法解一元二次方程的步骤:
(1)化方程为等号右边等于0的形式;
(2)将方程左边因式分解;
(3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程.
(4)两个一元一次方程的根就是原方程的根
例题2、解方程：3x2+22x=-24
配方法
总结：用配方法解一元二次方程的步骤：
1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
4.变形:方程左边完全平方公式,右边合并同类项;
5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解
公式法
总结：用公式法解一元二次方程的一般步骤
实战练习二：
请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程
（1）3x2-5x=0 （2）（x-3）2 -1=0
（3）2x2-3x-1=0 （4） (x-2)2+2(x-2)=-1
（5）x2 - 3 x +2=0 （6） (3x-3)2=4(x-2)2
（7）x2+4x=3 （8） x（2x +3）=5（2x +3）
（渗透整体思想）
知识点3. 根的判别式
一元二次方程 根的判别式是: △
实战练习三:
1. 方程x 2-4x+5=0根的情况是（ ）
A .有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C .只有一个实数根 D . 没有实数根
2.若关于x的一元二次方程kx2+4x+4=0有两个实数根，则k的取值是 。
3．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A． B．
C. D．
拓展提升：
1、配方法——最值问题
2、（整体思想的应用）
已知（x2+y2）（x2+y2-1）-6=0，求x2+y2的值
（设计意图：本环节的设计是把配方法推广，扩大学生的视野，提高学生能力。第二题渗透整体思想，把x2+y2看成一个整体）
课堂小结：1、对同学说，本节课你的收获（学生总结，老师点拨、补充）
2、对老师说，你还有什么困惑？
当堂检测：
1.等腰三角形的底和腰是方程 的两个根，则这个三角形的周长是（ ）
A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 不能确定
2.已知关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是 。
3. 解方程
（1） （2）
（3）
（设计意图：本环节意在检查学生对所学知识的理解和掌握情况，以利于及时反馈纠正和作出评价）
体验中考：
（2013年10题）已知关于的方程，下列说法正确的是（ ）.
A．当时，方程无解
B．当时，方程有一个实数解
C．当时，方程有两个相等的实数解
D．当时，方程总有两个不相等的实数解
（2011年7题） 关于的方程的根的情况描述正确的是（ ）.
A．为任何实数，方程都没有实数根
B．为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C．为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
（2010年6题）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
课外作业：必做：练习册总复习1——11填空、选择题。
选做：练习册15题
效果分析
1、老师能明确教学内容在整个教材系统中的地位和作用，授课内容具有科学性、思想性、系统性；能围绕目标、反映目标，能分清主次，准确地确定重点、难点、关键点，处理好新旧知识的结合点，抓住知识的生长点，讲授具有启发性、层次详略得当；
?2、注重思维训练与思维能力的培养，训练题目容量大、难易适中。能充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，能最大限度地提高课堂的教学效率。在教授过程中注重学生主动学习能力的培养，充分发挥小组合作的优势，培养学生的合作交流能力。
观评记录
曾宪领老师：这节课马老师下了很大功夫，注重学生知识的串联，抓住重点，突破难点，让学生通过自主学习，合作探究来巩固知识，是一节完整的课。
在教学目标的方面：教学目标全面﹑具体﹑明确﹑符合大纲﹑教材和学生实际。重点和难点的提出与处理得当，抓住了关键，能以简驾繁，所教知识准确。教学目标达成意识强，贯穿教学过程始终。
在教学过程中，每个环节过渡自然，注重自主合作交流的能力，培养小组合作的精神。授课过程中，渗透了数学思想。最后的小结让学生自己学习总结思考的方式更好。
张乐军老师：马老师对本课的学习目标设计明确具体，符合学生的实际。课堂导入简洁，整节课设计流畅，切合学生实际。本节课的内容训练强度大，重难点时间分配合理，符合初三复习教学。在教学方法上运用了自助、互助、合作探究的方式，让学生小组合作，学生在活动中很好的培养了团队精神。马老师教师教态从容，亲切自然，与学生互动融洽。语调抑扬顿挫，有感染力。
建议：课堂中，对学生的评价不到位，不具体，鼓励性评语少，在一定程度上影响了学生的情绪。应该多用鼓励性语言，对学生的回答及时评价。提高学生的积极性。
课后反思
??本教学案例我已组织教学,课堂气氛活跃,参与面广,让我倍感欣慰,下面我从几个方面分析一下这节课的得失：
一、授课思路上
1、授课内容上
一元二次方程的复习我分为两部分：第一部分为基础复习，第二部分为一元二次方程的应用。我授课的是第一部分。这堂课的复习思路还是比较传统：概念的梳理（方法的回忆）——实践（方法的选择）——应用（方法的融合）”在习题的选择上我注意了广度与前后知识的联系，但深度和综合性还不够。
上完这堂课我首先感受到了集体备课的好处，可以取长补短，整堂课也具有连贯性，而不是以前的讲到哪儿算哪儿。课前的精心备课也让我整个课堂比较流畅、紧凑容量大。总的来说要上好一堂复习课应该注意以下几点：1、课前精心备课，加强备课组的联系。2、重视课本，夯实基础。3、复习不要只讲究快，而要注意前后的联系.
2、改变传统的教学方法，让学生成为课堂的主人
教学有法，教无定法，贵在得法。在本课教学中力求以“学生”为本。古人说：“授人之鱼，只供一餐所需，而给人以渔，终身受用不尽”。在本课中的教学采用多种方法，让学生动口、动手、动脑参与学习，采用讨论、探究、练习等形式，活跃课堂气氛。
3、立足课堂教学，指导学生学习
要求学生不但要认真听教师讲课，还要认真听同学发言，充分利用小组合作。指导学生去学习、总结、反思。鼓励学生大胆想象，大胆提问，大胆发言。同学之间，师生之间都可以质疑、争论，形成一个开放的学习系统，达到知行的统一。
二、本课的成功与不足之处：
成功之处： 将知识系统化复习，做到融会贯通。将学生潜能得到极大挖掘。
不足之处：课堂评价不到位，教学环节之间过渡处理不太自然。
三、今后努力的方向
1、强与学生间的沟通与交流，提倡交流形式多样化，把建立良好的师生关系作为课堂教学的重要内容，真正做到师生关系和谐，人人乐学、爱学。
2、要学会适当调整教材的内容，用正确的心态对待自己的教学设计。继续研究好教材，学习对教材内容的整合。认真分析，做好教学设计。并加强教与学的合作、创设激发兴趣的学习环境，在对教材的处理中，从学生出发，尊重学生的心理需要，因材施教。
3、加强学习方法的指导、优化教学过程与组织方式。尤其要加强对教学方式的研究，充分调动学生学习的积极性，培养学生语言表达能力，养成良好的学习习惯。
【评测练习】一元二次方程复习
实战练习一：判断下列方程是不是一元二次方程
（1）2x2＋y＝5 （2）
（3）5m2＝0； （4）
（5）x3－4x＋1＝0 （6）32x+5x-1=0
（7）y（y+5）＝y2－2y （8）
2. 已知关于x的方程（m2-1）x2+（m-1）x-2m+1=0，
（1）当 m ____时是一元二次方程；
（2）当m= ___时是一元一次方程。
3.若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。
实战练习二：
请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程
（1）3x2-5x=0 （2）（x-3）2 -1=0
（3）2x2-3x-1=0 （4） (x-2)2+2(x-2)=-1
（5）x2 - 3 x +2=0 （6） (3x-3)2=4(x-2)2
（7）x2+4x=3 （8） x（2x +3）=5（2x +3）
（渗透整体思想）
实战练习三:
1. 方程x 2-4x+5=0根的情况是（ ）
A .有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C .只有一个实数根 D . 没有实数根
2.若关于x的一元二次方程kx2+4x+4=0有两个实数根，则k的取值是 。
3．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A． B．
C. D．
当堂检测：
1.等腰三角形的底和腰是方程 的两个根，则这个三角形的周长是（ ）
A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 不能确定
2.已知关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是 。
3. 解方程
（1） （2）
（3）
（设计意图：本环节意在检查学生对所学知识的理解和掌握情况，以利于及时反馈纠正和作出评价）
课件27张PPT。 第四章 一元二次方程复习一元二次方程一元二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的应用ax2+bx+c=0（a?0）本章知识结构复习目标
1.掌握一元二次方程的概念及一般形式；
2.掌握一元二次方程的各种解法，并能灵活运用；
3.掌握并能运用一元二次方程根的判别式解决相关问题；
4.体会“转化”、“整体”数学思想方法。第一关知识要点说一说1.一元二次方程定义具有三个显著特点，它们是
①_______；②_______；③_______。
2.一元二次方程的一般形式是___________。
3.一元二次方程的解法有___、___、____、___。
4.一元二次方程的根的判别式为△ = 。
①当△＞0时,方程有__________；
②当△=0时,方程有____________；
③当△＜0时,方程____________；
④当△≥0时,方程有___________。
反之①当方程有两个不相等的实数根时，则△_；
②当方程有两个相等的实数根时，则△____；
③当方程有两个实数根时，则△____；
④当方程无实数根时，则△____；复习回顾第二关基础题目轮一轮1.请你判断下列方程是不是一元二次方程
（1）2x2＋y＝5 （2）
（3）5m2＝0； （4） （5）x3－4x＋1＝0 （6）32x+5x-1=0
（7）y（y+5）＝y2－2y（8）
知识点1.定义 练习一×√×××××√
2.关于y的一元二次方程y(y-3)= -4的一般形式是___________,它的二次项系数是_____,一次项是_____,常数项是_____。
3.当m 时，关于x的方程
mx 2-3x=2x 2-mx+2 是一元二次方程。
4.关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一解为0，则m的值是 。 y2-3y+4=01-3y4≠2- 2提示：各项要带符号提示：先化成一般式提示：二次项系数不为零(1)直接开平方法ax2=b(a≠0)(2)因式分解法1、提公因式法，平方差公式、完全平方公式
2、十字相乘法；(3) 配方法(4)公式法知识点2.解法例题1、你能用几种方法求解方程
直接开平方法
解：由平方根的定义
2x+5=±（1-x）
∴ 2x+5=1-x或2x+5=-（1-x）
∴x1=-4/3,x2=-6知识点2. 解法直接开平方法步骤：将方程化为(x+b)2=a(a≥0)的
形式，再利用开平方
因式分解法因式分解法解一元二次方程的步骤:
(1)化方程为等号右边等于0的形式;
(2)将方程左边因式分解;
(3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程.
(4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
例题2、配方法知识点2. 解法用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
4.变形:方程左边完全平方公式,右边合并同类项;
5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.
公式法用公式法解一元二次方程的一般步骤：3、代入求根公式 :2、求出 的值，1、把方程化成一般形式，并写出 的值。4、写出方程的解：特别注意:当 时无实数根实战练习二1、请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程
（1）3x2-5x=0 （2）（x-3）2 -1=0
（3）2x2-3x-1=0 （4） (x-2)2+2(x-2)=-1
（5）x2 - 3 x +2=0 （6） (3x-3)2=4(x-2)2
（7）x2+4x=3 （8） x（2x +3）=5（2x +3）渗透思想：整体思想两不相等实根两相等实根无实根一元二次方程一元二次方程 根的判别式是: 判别式的情况根的情况定理与逆定理两个不相等实根 两个相等实根 无实根知识点3. 根的判别式1. 方程x 2-4x+5=0根的情况是（ ）
A .有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C .只有一个实数根
D . 没有实数根
2.若关于x的一元二次方程kx2+4x+4=0有两个实数根，则k的取值是 。Dk≤1且k≠0实战练习三3．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A． B．
C. D．D配方法--最值问题拓展提升 2、 已知（x2+y2）（x2+y2-1）-6=0，求x2+y2的值。拓展提升整体思想的应用谈谈本节课自己的收获1.等腰三角形的底和腰是方程 的两个根，则这个三角形的周长是（ ）
A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 不能确定
2.已知关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是 。
3. 解方程
（1） （2）
（3）当堂检测（2013年10题）已知关于 的方程 下列说法正确的是（ ）.
A．当 时，方程无解
B．当 时，方程有一个实数解
C．当 时，方程有两个相等的实数解
D．当 时，方程总有两个不相等的实数解 体验中考（2010年潍坊中考）6.关于 的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）.
A. B. C. D. 体验中考（2014年9题）等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于 的一元二次方程 的两个根，则k的值是( )
A:27 B:36 C:27或36 D:18 体验中考
