湖南省2024年普通高中学业水平合格性考试数学考前押题卷（三）（含解析）

湖南省2024年普通高中学业水平合格性考试考前押题卷（三）
数学
时量：90分钟，满分：100分
本试题卷包括选择题 填空题和解答题三部分，共4页.
注意事项：
1.答题前，请考生先将自己的姓名 准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名 准考证号 考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸 试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保证字体工整 笔迹清晰 卡面清洁.
一 单选题：本大题共18小题，每小题3分，共54分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.设：四棱柱是正方体，：四棱柱是长方体，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则的值为（ ）
A. B.2 C.8 D.15
6.下列图象中，最有可能是的图象是（ ）
A.B.
C.D.
7.复数为虚数单位的模是（ ）
A.1 B. C. D.2
8.已知扇形的半径为1，圆心角为，则这个扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.60
9.如图，在平行四边形中，，则可以表示为（ ）
A. B. C. D.
10.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则值为（ ）
A. B. C. D.
11.为了调查某地三所高中未成年人思想道德建设情况，省文明办采用分层抽样的方法从该地的三所中学抽取80名学生进行调查，已知三所学校中分别有名学生，则从学校中应抽取的人数为（ ）
A.10 B.20 C.30 D.40
12.已知为非零向量，则（ ）
A. B. C. D.
13.下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
14.已知，则的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
15.从5张分别写有数字的卡片中随机抽取1张，则所取卡片上的数字是奇数的概率是（ ）
A. B. C. D.
16.已知，则上的所有点全部向右平移个单位长度的函数解析式是（ ）
A. B.
C. D.
17.已知圆锥的底面半径是1，高是2，则这个圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
18.已知四棱锥底面为正方形，平面，则（ ）
A. B.
C.平面 D.平面
二 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
19.函数，则__________.
20.函数的最小正周期__________.
21.函数的零点个数为__________.
22.在中，，则__________.
三 解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
23.已知向量，且.
（1）求向量与的坐标；
（2）若，求向量与的夹角的大小.
24.从某高校随机抽样1000名学生，获得了它们一周课外阅读时间（单位：）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：.
（1）求这1000名学生中该周课外阅读时间在范围内的学生人数；
（2）估计该校学生每周课外阅读时间超过的概率.
25.如图，四棱锥的底面是正方形，平面分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
湖南省2024年普通高中学业水平合格性考试考前押题卷（三）
数学答案解析
1.B 【解析】根据交集的定义求解即可.
集合，则等于.故选：B.
2.C 【解析】根据特称命题的否定形式的相关知识直接判断.
命题“”的否定为“，”.故选：C.
3.A 【解析】结合正方体和长方体的定义，根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
正方体是特殊的长方体，而长方体不一定是正方体，所以是的充分不必要条件.故选：A.
4.D 【解析】根据真数大于0，即可求解.
由题意可得，解得，所以函数的定义域是，.故选：D.
5.D 【解析】根据指数的运算求解即可.
.故选：D.
6.C 【解析】利用对数函数的定义域，确定图象位置即可判断作答.
函数的定义域为，因此函数的图象总在轴右侧，选项不满足，C满足.故选：C.
7.C 【解析】由复数模计算公式可得答案.
由题可得.故选：C.
8.B 【解析】根据扇形的弧长公式计算即可.
易知，由扇形弧长公式可得.故选：B.
9.B 【解析】根据向量减法运算法则直接计算.
由题意得，，
因为，所以.故选：B.
10.D 【解析】由三角函数的定义可得出的值.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，由三角函数的定义可得.故选：D.
11.B 【解析】根据分层抽样原理求出从学校抽取的人数作答.
依题意，从三所中学抽取80名学生，应从学校抽取的人数为.故选：B.
12.A 【解析】根据数乘运算的运算性质计算即可..故选：A.
13.C 【解析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.
对于A，取特殊值，，满足条件，但不满足结论，故A错误；
对于，由，若，则，故B错误；对于C，由同向不等式的性质知，可推出，故C正确；
对于D，取，满足条件，但，故D错误.故选：C.
14.D 【解析】由基本不等式求解即可.
，当且仅当“”时取等.故的最小值为4.故选：D.
15.C 【解析】由古典概型计算公式可得答案.
设随机抽取一张卡片为事件，抽取卡片数字为奇数为事件，
则，则相应概率为.故选：C.
16.B 【解析】根据给定条件，利用函数图象变换求出函数解析式作答.
把上的所有点全部向右移动个单位的函数解析式是.故选：B.
17.A 【解析】根据圆锥体积公式直接计算.
由题意知，圆锥底面积为，圆锥的高，则圆锥的体积为.故选：A.
18.B 【解析】推导出，可判断选项；利用线面垂直的性质可判断B选项；利用反证法可判断C，D选项.
对于A选项，因为平面平面，则，
因为四边形为正方形，则，
因为平面，所以，
平面，
因为平面，则，故为锐角，A错；
对于B选项，因为平面平面，则B对；
对于C选项，若平面，且平面，则平行或重合，
矛盾，假设不成立，C错；
对于D选项，若平面，则与平面无公共点，
这与平面矛盾，假设不成立，D错.故选：.
19.3 【解析】根据给定的分段函数，代入计算作答.
函数，所以.
故答案为：3
【解析】根据正余弦函数的周期公式
即可求解.
根据正余弦函数的周期公式可知：
函数的最小正周期，故答案为：.
21.2 【解析】函数的零点个数就是对应方程的实数根的个数，直接解方程求解.
令，解得：或，函数的零点个数就是方程的实数根的个数，
所以函数的零点有2个.故答案为：2
【点睛】本题考查函数零点个数，属于基础题型.
【解析】根据给定条件，利用正弦定理计算作答.
在中，，
由正弦定理，得.故答案为：
23.（1）
（2）
【解析】（1）根据向量垂直和平行列方程，化简求得，进而求得与.
（2）先求得与，然后根据夹角公式求得正确答案.
（1）由于，
所以解得，
所以.
（2），
所以，
由于，所以.
24.（1）200人（2）0.700
【解析】（1）根据频数和为1，求出的频率，即可求解；
（2）根据频率分布直方图，求出，频率和，即可得出结论.
（1）该周课外阅读时间在的频率为：
该周课外阅读时间在范围内的学生人数人；
（2）阅读时间超过6小时的概率为：
，
所以估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率为0.700.
【点睛】本题考查补全频率分布直方图以及应用，属于基础题.
25.（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）根据中位线
的性质证明
即可；
（2）根据线面垂直的判
定与性质，证明即可
（1）因为分别是
的中点，故.
又平面平面，故平面.
（2）因为平面，且平面，故.
又因为四棱锥的底面是正方形，则.
又平面，故平面.