福建省泉州市德化第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（PDF版无答案）

德化二中 2024高一下期中考试数学试卷
考试时间：120 分钟
第 I卷（选择题）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2021
1.已知复数 = 1 ，则 的虚部是 ( )1+
A. 1 B. C. 1 D.
2.已知向量 ， 满足| | = 6，| | = 2，( ) = 1，则向量 ， 夹角的大小等于 ( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°
3.已知一个圆锥的底面半径为 2，高为 3，其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是 ( )
A. 4 3 B. 8 33 C. 4 D.
4
3
4.已知向量 = (1,3)， = (2, 4)，则下列结论不正确的是 ( )
A. + ⊥
B.向量 3 与向量 的夹角为 4
C. 2 + = 10
D.向量 在向量 上的投影向量是
5.已知 , 为两条不同的直线， , 为两个不同的平面，对于下列四个命题：
① , , // , // // ；
② // , // ；
③ // , , // ；
④ // , // ．
其中正确命题的个数有 ( )
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
6.已知向量 = (1,2)， = (4, 2)，那么△ 的面积为 ( )
A. 5 B. 10 C. 25 D. 50
7.已知△ 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 3， = 30 ， = 3，则△
的外接圆的直径为 ( )
A. 3 B. 2 3 C. 2 7 D. 7
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8.如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为 4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 出发，绕圆锥爬行
一周后回到点 处，若该小虫爬行的最短路程为 4 3，则这个圆锥的体积为( )
A. 15 32 35 128 2 8 33 B. 27 C. 81 D. 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6分，
部分选对的得 3分，有选错的得 0分。
9.下列关于平面向量的说法中不．正．确．的是 ( )
A.已知 ， 均为非零向量，则 // 存在唯一的实数 ，使得 =
B.若向量 ， 共线，则点 ， ， ， 必在同一直线上
C.若点 为△ 的重心，则 + + = 0
D.若 = 且 ≠ 0，则 =
10 = (1+ )( 3+ )
2
.已知复数 (1 3 )( 1)，则 ( )
A. | | = 2 B.复数 对应的点在第二象限
C. = 4 D.复数 的虚部是
11.“阿基米德多面体”也称为半正多面体( )，是由边数不全相同的正多边形为面围成
的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共
可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体，已知 AB = 2，则关于
如图半正多面体的下列说法中，正确的有 ( )
A. 20该半正多面体的体积为 3
B.该半正多面体过 ， ， 三点的截面面积为 3 3
C.该半正多面体外接球的表面积为 12
D.该半正多面体的顶点数 、面数 、棱数 满足关系式 + = 2
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第 II卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.设 为△ 的边 的中点， = + ，则 + =______．
13 △ = .在 中， 3，3sin = 4sin ，且△ 的面积为 3 3，则边长 为 ．
14.如图，半径为 4 的半圆剪去一个以直径为底的等腰直角三角形，将剩余部分以半圆的直径为轴旋转一
周，所得几何体的体积是 3．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
△ 2 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且∠ = 3， = 6．
(1)若 = 14，求 sin 的值；
(2)若△ 的面积为 3 3，求 的值．
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16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，已知底面 为平行四边形，点 为棱 的中点，
(Ⅰ)求证： / /平面 ；
(Ⅱ)设平面 ∩平面 = ，点 在 上，求证： 为 的中点．
17.(本小题 15 分)
已知复数 = ( ∈ )，且 (1 + 3 )为纯虚数( 是 的共轭复数)．
(1)设复数 1 =
+2
1 ，求| 1|；
(2)
2021
复数 2 = 在复平面对应的点在第一象限，求实数 的取值范围．
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18.(本小题 17 分)
如图，在直四棱柱 1 1 1 1中，底面 为正方形， 1 = 2 = 4， ， ， 分别是 ， 1，
1的中点．
(1)证明：平面 //平面 1 ．
(2)求三棱锥 1 的体积．
19.(本小题 17 分)
如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉(图 1)穿在一起，在没有帽的一端锤打出
一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图 2. (单位：
mm). (加工中不计损失)．
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(1)若钉身长度是钉帽高度的 2 倍，求铆钉的表面积;
(2)若每块钢板的厚度为 12mm，求钉身的长度(结果精确到 1mm).
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