课件21张PPT。4.1 一元二次方程数与代数图形与几何统计与概率综合与实践数学数 学数与代数图形与几何统计与概率综合与实践数与式方程与不等式 函 数方程与方程组不等式与不等式组一元一次方程
一元一次方程组
二元一次方程组
分式方程一元二次方程学习目标：1、记住一元二次方程的概念、一般形式
2、能运用所学知识解决问题
3、激情投入，阳光展示，享受学习的快乐.
1、有关方程
含有 ，并且 的
叫一元一次方程，一般形式 。
2、你能区分下列方程哪些是一元一次方程，哪些是二元一次方程，哪些是分式方程吗？课前延伸一个未知数未知数的最高次数是1整式方程ax+b=0方程建模思想自主学习只列方程，不求解。
（把方程整理成左边按未知数降幂排列，右边是0 的形式。）探究1.某教室的面积为54平方米，周长为30米，求教室的 长和 宽。
设教室的长为x米，由周长为30米，可表示宽为 米。 由面积为54平方米，可列方程为 ，
整理得 。2.如图，一个直角三角形的三边都是整数，它的斜边长是11cm，两条直角边的差为7cm，求两直角边的长
设较短直角边的长为xcm，由两条直角边的差为7cm可知，
较长直角边的长是 ，
可列方程为 ，整理得 。X＋7x2＋(x＋7)2＝112x2 +7x -36＝0 x2 - 15x +54 = 0 X（15-X)= 54 15-x3、如图 点C把线段AB分成两条线段AC和BC,且
求 的值
设AB=1 ，AC=x ，则BC= ，
根据问题中的等量关系
即AC2=AB·BC，可列方程为: 。
整理得： 。
1-xx2=1-xx2 ＋x -1 ＝0合作交流 类比一元一次方程的概念，给出一元二次方程的概念。你能说出这些方程与一元一次方程的相同点
和不同点吗？ x2 - 15x +54 = 0 x2 +7x -36＝0 x2 ＋x -1 ＝0探究（1）只含有一个未知数
（2） 未知数的最高次数是2
（3）整式方程—— 一元二次方程整理后归纳概括练习一：下列方程是一元二次方程吗，若不是，为什么？
辨一辨（6）（y+5）(y+1)=y2-8 是是不是不是不是不是 a x 2 + b x + c = 0一元二次方程的一般形式（a,b,c为常数且a≠0）（1）只含有一个未知数
（2）整理后未知数的最高次数是2
（3）整式方程
（4）二次项系数a不等于0—— 一元二次方程归纳概括 a x 2 + b x + c = 0二次项一次项常数项一元二次方程的一般形式（a,b,c为常数且a≠0）称：ax2叫做二次项，
a为二次项系数
bx叫做一次项，
b为一次项系数
c为常数项为什么
a≠0呢?趁热打铁快速口答：练习二： 小游戏:
下面给出了某个方程的几个特点，你能写出符合要求的方程吗？ ：
（1）它的一般形式为
a x 2 + b x + c = 0 (a,b,c为常数且a≠0 )
（2）它的二次项系数为5；
（3）常数项是一次项系数的倒数。将下列一元二次方程化成一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项。（1）3x(x+1)=4(x-2) （2）2t=(t+1)2练习三： 要使关于x的方程
是一元二次方程，求k的值。 练习四：分类讨论思想深化提升回顾总结：学习了本节课，你有什么收获？
请说出来与大家分享。
收获一元二次方程知识方面回顾总结：思想方法当堂测验k≠31、下列方程是一元二次方程吗，若不是，为什么？
① 7x2+6=3x ② 5x2=7
③ 4s(s-1)=4s2+2 ④ 2x2-5y=0
2．若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围_________．
3、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2； （2）(2x－1)－3x(x－2)=0
是是不是不是3x2-x-2=0-3x2+8x-1=0课后作业A组：习题3.1A组1,2题
B组：习题3.1B组2,3题
C组：方程
（1）当m= 时是一元二次方程；
（2）当m= 时是一元一次方程课外拓展
已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
变形: 若a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
推广: 若a-b+c=0, 你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
若4a+2b+c=0呢？祝同学们学习进步！
九年级上册 一元二次方程的课堂教学设计
一、教学背景
1、面向学生：九年级学生
2、学科：九年数学
3、课时：1课时
二、教学任务分析
知识技能：1、?理解一元二次方程的概念。
?2、掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项。
教学思考：1、通过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，归纳、分析问题及解决问题的能力。2、通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性。3、由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想，从而进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。
解决问题：在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
情感态度：1、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。
教学重点：一元二次方程的概念及一般形式
教学难点：1、由实际问题向数学问题的转化过程。
2、正确识别一般式中的“项”及“系数”。
教法学法：情境创设、观察、思考、自主探究、合作交流
三、教学流程安排
?活动流程图
活动内容和目的
活动1 知识图示 回顾旧知
活动2?? 创设情境 引入新课
?
活动3?? 启发探究 获得新知
?
活动4?? 运用新知 深化提升
?
活动5?? 归纳小结 当堂检测
?
活动6?? 布置作业 分层落实
出示知识树状图，让学生明白本节课的知识在
整个知识网络体系中的位置，联系已有知识，为新课做好铺垫
复习一元一次方程有关概念；通过实际问题引入新知。
?
通过类比一元一次方程的概念和一般形式，让学生获得一元二次方程的有关概念。
?
巩固训练，加深对一元二次方程有关概念的理解。
?
回顾梳理本节内容，拓展提高学生对知识的理解。
?
分层次布置作业，提高学生学习数学的兴趣。
五、教学过程设计
第一环节：知识图示，回顾旧知
活动内容：1、【知识梳理】出示知识树状图，让学生明白本节课的知识在整个初中知识网络体系中的位置
2、课前延伸
（1）、有关方程
有 ，并且 的 叫一元一次方程。般形式 。
（2）、你能区分下列方程哪些是一元一次方程，哪些是二元一次方程，哪些是分式方程吗？
设计意图：通过创设情境，引导学生复习一元一次方程的概念和一般形式，为后面学习一元二次方程的有关内容做好铺垫。让学生通过数形结合的方法，转化实际问题，从而得到方程，为引入一元二次方程的概念做好准备
第二环节：创设情境，引入新课
活动内容：【合作探究】
只列方程，不求解。（把方程整理成左边按未知数降幂排列，右边是0 的形式。）
某教室的面积为54平方米，周长为30米，求教室的 长和 宽。
设教室的长为x米，由周长为30米，可表示宽为 米。 由面积为54平方米，可列方程为 整理得
2.如图，一个直角三角形的三边都是整数，它的斜边长是11cm，两条直角边的差为7cm，求两直角边的长
设较短直角边的长为xcm，由两条直角边的差为7cm可知，较长直角边的长
是 ，列方程为 ， 整理得
3、如图 点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 , 求 的值。
设AB=1 AC=x ，则BC= ，
根据 也可写成AC2=AB·BC， A C B
可列方程为 ，整理得
设计意图：通过解决实际问题引入一元二次方程的概念，同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力。活动中教师应重点关注:学生对题目的理解，可举例，由特殊到一般，帮助学生理解题意，从而引导学会列出满足条件的方程
第三环节：启发探究 获得新知
活动内容：
新知一：1、【交流归纳】
你能说出这些方程与一元一次方程的相同点和不同点吗？
类比一元一次方程的概念，给出一元二次方程的概念。
师生活动：教师提出问题，引导学生思考。?由学生观察归纳这3个方程的特征，给出名称并类比一元一次方程的定义，得出一元二次方程的定义。
活动中教师应重点关注:(1)?引导学生观察所列出的3个方程的特点；(2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义；(3)强调定义中体现的3个特征：?①整式；②一元；③2次。
设计意图：让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的。
2、练习一：
下列方程是一元二次方程吗，若不是，为什么？（多媒体出示）
设计意图：这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中3个特征的理解。此活动中，教师应注意对学生给出的答案作出点评和归纳。
新知二：1、一元二次方程的一般式：?? ? ?
师生活动：?引导学生类比一元一次方程的一般形式，总结归纳一元二次方程的一般形式及项、系数的概念。特别指出为什么a不能等于0呢？b,c等于0行不行呢？
?设计意图：此环节让学生通过自主探究，类比一元一次方程一般形式，得出一元二次方程一般形式和项、系数的概念，从而达到真正理解并掌握的目的。
2、练习二：一元二次方程的一般形式：（快速口答）（多媒体出示）
关于x的一元二次方程
a x 2 + b x + c = 0 (a≠0)
二次项系数 a
一次项系数b
常数项
c
设计意图：由学生以抢答的形式来完成此题，并让学生找出错误理由。其中(1) (2)题较为简单，学生可非常容易给出答案；而(5)(6)两题有一定难度，可以进行分类讨论。
第四环节：运用新知 深化提升
1、将下列一元二次方程化成一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项。
（1）3x(x+1)=4(x-2) （2）2t=(t+1)2
设计意图：此题设置的目的在于加深学生对一般形式的理解。先由教师在大屏幕上显示问题,由学生经过思考,给出符合条件的答案,全体学生进行判断是否正确.
2、小游戏:下面给出了某个方程的几个特点，你能写出符合要求的方程吗？
（1）它的一般形式为 a x 2 + b x + c = 0 (a,b,c为常数且a≠0 )
（2）它的二次项系数为5；
（3）常数项是一次项系数的倒数。
设计意图：采取游戏的形式以提高学生对数学学习的兴趣，参与课堂活动的积极性，还可鼓励学生课下继续以合作的形式进行学习。也可让答对学生给出类似条件,找其他同学回答给出的新问题，让大家进行判断给出的方程是否正确。此环节中，教师应注意板书学生给出的方程并且及时引导学生注意类似的情况。
3、【深化提升】
要使关于x的方程 是一元二次方程，求k的值。
设计意图：此题让学生进行思考，讨论，让学生进行讲解，教师作适当归纳，可留疑，让学生课下思考。?在前两个练习题的基础上，通过本题进一步提高学生分析问题解决问题的能力，帮助学生灵活掌握一元二次方程的概念和一般形式，开拓学生思维，体现数学的严谨性，也为后续学习做好铺垫。
第五环节： 归纳小结 当堂检测
活动内容：1、【回顾总结】：学习了本节课，你有什么收获？请说出来与大家分享。
设计意图：小结时，教师应重点关注：（1）学生是否能抓住本节课的重点；（2）学生是否掌握一些基本方法。小结反思中，不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，.为每个学生都创造了数学活动中获得活动经验的机会。
2、【当堂测验】
1、下列方程是一元二次方程吗，若不是，为什么？
7x2+6=3x ② 5x2=7
③4s(s-1)=4s2+2 ④ 2x2-5y=0
2．若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围_________．
3、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2； （2）(2x－1)－3x(x－2)=0
第六环节：作业布置 分层落实
活动内容：
1、【课后作业】
A组：习题3.1A组1,2题
B组：习题3.1B组2,3题
C组：方程 （1）当m= 时是一元二次方程；（2）当m= 时是一元一次方程
2、【学后反思】
3、【课外拓展】
已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
变形: 若a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
推广: 若a-b+c=0, 你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
若4a+2b+c=0呢？
设计意图：分层次布置作业，尊重学生的个体差异，激发学生学习积极性。（A）（B）组题目为巩固型作业，即必做题。（C）组题目为思维拓展型作业，即为学有余力的学生设置。
课外拓展让学生优中更优。学后反思让学生在反思中提升自己。
六、教学设计说明
? 本节课是一元二次方程的第一课时，通过对本节课的学习，学生将掌握一元二次方程的定义、一般形式、及有关概念，并学会利用方程解决实际问题。在教学过程中，注重重难点的体现。
九年级上册 一元二次方程 评测练习
1、将下列一元二次方程化成一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项。
（1）3x(x+1)=4(x-2) （2）2t=(t+1)2
2、小游戏:下面给出了某个方程的几个特点，你能写出符合要求的方程吗？
（1）它的一般形式为 a x 2 + b x + c = 0 (a,b,c为常数且a≠0 )
（2）它的二次项系数为5；
（3）常数项是一次项系数的倒数。
3、【深化提升】
要使关于x的方程 是一元二次方程，求k的值。
4、【当堂测验】
1、下列方程是一元二次方程吗，若不是，为什么？
7x2+6=3x ② 5x2=7
③4s(s-1)=4s2+2 ④ 2x2-5y=0
2．若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围_________．
3、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2； （2）(2x－1)－3x(x－2)=0
