吉林省长春市第八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（PDF版无答案）

长春八中 2023—2024 学年（下）期中考试
高二数学试题
考试时间：120 分钟 分 值：150 分
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 A x | 1 x 2 , B x | 2 x 1 ，则集合 A B (A B) =（ ）
A． ( 1,1) B．( 2,2) C．( 2, 1] [1,2) D．( 2,1) (1,2)
2．已知a b 0则（ ）
A．2a b c B． a(b c) b(a c)
1 1
C． D． (a c)3 (b c)3
a c b c
1
f (x) x ex3．函数 的图象在点 (1, f (1))处的切线斜率为（ ）
x
A．1 B． e C．－1 D．2
4．一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则
公比 q （ ）
5 1 3 3 5 5 1
A． B． C． D．
2 2 2 2
5．设函数 f (x) ln | 2x 1| ln | 2x 1|，则 f(x)（ ）
1
A．是偶函数，且在 ( , )单调递增
2
1 1
B．是奇函数，且在 ( , ) 单调递减
2 2
1
C．是偶函数，且在 ( , )单调递增
2
1
D．是奇函数，且在 ( , )单调递减
2
6.若关于 x 的不等式|x－1|＜a 成立的充分条件是 0＜x＜4，则实数 a 的取值范围
是( )
A. (－∞，1] B. (－∞，1)
C. (3，＋∞) D. [3，＋∞)
x(x a)
7．设函数 f (x) 2 在区间 (0,1)上单调递减，则 a 的取值范围是（ ）
试卷第 1 页，共 4 页
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A． ( , 2] B．[ 2,0) C．[2, ) D． (0,2]
8．公比为 q 的等比数列 an ，其前 n 项和为 Sn ，前 n 项积为Tn ，满足a1 1，
a2021 1
a 02021 a2022 1， ．则下列结论正确的是（ ） a2022 1
A．Tn 的最大值为T2021 B． a2021 a2023 1
C． Sn 的最大值为 S2023 D．q 0
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分.
9．设 f (x)是函数 f (x)的导函数，将 y f (x)和 y f (x)的图象画在同一直角坐
标系中，可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
x2 f (x1) x1 f (x2 )
10.已知定义在 (0, )上的函数 f (x)满足：当 x x 时，恒有 01 2 x1 x2
则（ ）
A. 3 f (4) 4 f (3)
f (x)
B. 函数 y 在区间 (0, )上为增函数
x
C. 函数 y xf (x)在区间 (0, )上为增函数
D. f (3x1 x2) f (x1 3x2) 4 f (x1 x2)
sin x
11．已知 x [ π,π]，函数 f (x) 2 ，则（ ） x 1
A． f (x)的图像关于 y 轴对称 B． f (x)恰有 2 个极值点
π π
C． f (x)在 , 上单调递增 D． f (x)
2
的最小值小于
4 4 4
三、填空题
1 1 8
12．已知a 0,b 0，且ab 1，则 的最小值为 ．
2a 2b a b
试卷第 2 页，共 4 页
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13．已知 Sn 是数列 an 的前 n项和，a1 11,Sn 1 Sn an 2n 1 n *N ，若存在
m *N ，使得 S m m Sm 1 66，则 .
14． x R，记[x]为不大于 x 的最大整数， x x [x]，若 x [0,2) ，则关于 x
的不等式3[x] x 1 x x 的解集为 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
15．（13 分）
1
若数列 是等差数列，则称数列 an 为调和数列.若实数 a、b 、 c依次成调和
an
数列，则称b 是 a和 c的调和中项.
1
(1)求 和 4 的调和中项；
2
1
(2)已知调和数列 a ，a1 1， a ，求数列 a an 3 n n 1 的前 n项和Tn .
5
16．（15 分）
某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过 35 万件，每万件电子芯片
的计划售价为 16 万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本
两个部分，其中固定成本为 30 万元/年，每生产 万件电子芯片需要投入的流动
2 2
成本为 ( )（单位：万元），当年产量不超过 14 万件时， f (x) x 4x ；当年
3
400
产量超过 14 万件时， f (x) 17x 80 ．假设该公司每年生产的芯片都能够
x
被销售完．
(1)写出年利润 g(x) (万元)关于年产量 x (万件)的函数解析式；（注：年利润＝年
销售收入－固定成本－流动成本）
(2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万
件该芯片
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17．（15 分）
已知等比数列 an 的公比 q 2，记其前 n 项和为 Sn ，且a2 ,a3 3,a4成等差数列.
(1)求 an 的通项公式；
(2)设数列bn nan，求 bn 的前 n 项和Tn .
18．（17 分）
x2 x3 xn
英国数学家泰勒发现了如下公式： ex 1 x 其中
2! 3! n!
n! 1 2 3 4 n，e 为自然对数的底数，e =2.71828…….以上公式称为泰勒
ex e x ex e x
公式.设 f (x) , g(x) ，根据以上信息，并结合高中所学的数学知
2 2
识，解决如下问题.
(1)证明： ex 1 x ；
f (x)
(2)设 x (0, )，证明： g(x) ；
x
19．（17 分）
已知函数 f (x) ex x2 a， 2x R ， (x) f (x) x x .
(1)若 x 的最小值为 0，求 a的值；
(2)当 a 0.25时，证明：方程 f x 2x在 0, 上有解.
试卷第 4 页，共 4 页
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