2024中考数学考前20天终极冲刺专题之二次函数
一、选择题
1．（2023·自贡）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线（为自变量）与轴有交点，
∴，
∴b=2，
∵抛物线的对称轴为，
又∵，
∴，
∴c=b-1=1，
∴A（-4，m），B（8，m），
∴AB=12，
故答案为：B
【分析】先根据抛物线与x轴有交点结合判别式即可求出b的值，再根据二次函数的对称轴和二次函数的对称性即可求出c的值，进而得到点A和点B的坐标，进而即可求解。
2．（2024·东兴会考）如图是小颖家门口的路灯示意图，为垂直于地面的竖直灯杆(点在地面上)，灯杆顶端与灯泡之间用一根曲杆连接，曲杆的形状可看成是一条抛物线的一部分，以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知该拋物线的顶点，竖直灯杆的高度为，灯泡到轴的水平距离为，则灯泡到地面的高度为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设抛物线解析式为y=ax2＋bx，
∵M（2，2）是抛物线上的点，
∴2=4a+2b，即2a+b=1，
又∵，
∴b=-4a，
∴2a+b=2a-4a=-2a=1，
∴，b=2，
∴抛物线解析式为，
则将x=3代入，可得，
∴P到地面的高度为1.5＋10＝11.5（m），
故答案为：D.
【分析】图像经过原点，设抛物线解析式为y=ax2＋bx，将M的坐标代入求出a、b的关系式，结合对称轴为x=2求出a、b的值，再由P点横坐标为3求出p的纵坐标，再加10m即可.
3．（2023·乐山）如图，抛物线经过点，且，有下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，则．其中，正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得a＞0，c＜0，
∵，
∴对称轴为，
∴，①正确；
∵对称轴，
∴-b＜a，
∴，②正确；
当x=1时，a+b+c＜0，
∴a+b＜-c，
∴，③正确；
∵对称轴，
∴，
∴，④错误；
故答案为：B
【分析】先根据题意得到a＞0，c＜0，再根据二次函数对称轴的性质即可判断①，结合二次函数的图象即可得到，进而即可判断②，将x=1代入，进而即可判断③，再运用结合二次函数图象上的点的特征即可求解。
4．（2024·宁波模拟）已知ac≠0，若二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），二次函数y2＝cx2+bx+a的图象与x轴交于两个不同的点C（x3，0），D（x4，0），则（ ）
A．x1+x2+x3+x4＝1 B．x1x2x3x4＝1
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ac≠0，二次函数y1=ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的根分别是：x1、x2，
∴，；
∵ac≠0，二次函数y2=cx2+bx+a的图象与x轴交于两个不同的点C（x3，0），D（x4，0），
∴关于x的方程cx2+bx+a=0的根分别是：x3、x4，
∴，；
，A不符合题意；
，B符合题意；
，C不符合题意；
，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程与二次函数的关系可得关于x的方程ax2+bx+c=0的根分别是：x1、x2，关于x的方程cx2+bx+a=0的根分别是：x3、x4，结合根与系数的关系可得，，，，逐项计算即可求解.
5．（2023·牡丹江）如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴x=-在y轴右侧，与y轴的交点在正半轴，
∴a<0，b>0，c>0，
∴<0，故①错误；
∵抛物线过点（-2，0）、（3，0），
∴对称轴为直线x=，
∴b=-a.
∵4a-2b+c=0，
∴-4b-2b+c=0，
∴c=6b，故②错误；
∵|--|<|-|<|-3-|，
∴y3>y1>y2，故③正确；
∵抛物线过点（-2，0）、（3，0），
∴ax2+bx+c=0的两根分别为-2、3，
∴=-6，
∴cx2+bx+a=0的两根满足x1·x2==-，但不能求出x1、x2，故④错误.
故答案为：D.
【分析】由图象可得：抛物线开口向下，对称轴x=-在y轴右侧，与y轴的交点在正半轴，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；由题意可得对称轴为直线x=，则b=-a，根据图象过点（-2，0）可得4a-2b+c=0，将b=-a代入即可判断②；根据距离对称轴越近的点对应的函数值越大可判断③；由题意可得ax2+bx+c=0的两根分别为-2、3，则=-6，cx2+bx+a=0的两根满足x1·x2==-，据此判断④.
6．（2024九下·麻城期中） 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线 的对称轴为 与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若、为方程 的两个根，则
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：依题意作图如下：
∵对称轴，，
∴，A错误；
∵抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为，
∴另一个交点在，之间，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴时，， 时，，
∴ ，B错误；
∴，得，C错误；
由，，知，
∵，为方程的两个根，
∴
∴，D正确；
故答案为：D.
【分析】由对称轴得，，；抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称性知另一个交点在，之间，得 ，，于是，进一步推知，由根与系数关系知的取值范围.
7．（2024·孝感模拟）函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④图象向上平移2个单位后与直线有3个交点．
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①③
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由图可知，二次函数与x轴的交点为（1，0）和（3，0），与y轴的交点为（0，-3）；
∴函数的对称轴为直线x=1
∴-=1
∴2a+b=0，①正确；
将点C代入函数，可得c=-3，②错误；
∵a＞0
∴b=-2a＜0
∴abc＞0，③正确；
将函数图象向上平移2个单位后，翻折后抛物线的顶点的y值＞5；
∴直线y=5与图像有3个交点，④正确；
综上所述，正确的结论为①③④.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数与x、y轴的交点和翻折的性质，可得抛物线的对称轴，进而可得a和b的关系乙c的值；根据a、b、c与0的大小关系，可判断abc与0的大小；根据平移的性质，可得翻折后抛物线的顶点的y值＞5，进而根据图像可得直线与翻折后的抛物线的交点的个数.
8．已知 关于 的二次函数 ，下列结论中， 正确的序号是（ ）
① 当 时， 函数图象的顶点坐标为 ；②当 时，函数图象总过定点；③当 时， 函数图象在 轴上截得的线段的长度大于 ；④若函数图象上任取不同的两点 ， ， 则当 ， 函数在 时，一定能使 成立．
A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①当时，
∴二次函数顶点为，则①正确，
②当时，
当时，y的值与m无关，
此时，
当当
∴函数图象总过定点，
③当时，
∵，
∴
∴
∴
∴则③正确，
④当时，抛物线的对称轴为：且函数图象开口向下，
∴在时，只有当对称轴在直线右侧时，y随x增大而减小，即成立，则④错误，
综上所述，正确的说法有①②③，
故答案为：C.
【分析】把代入二次函数解析式，再将其化为顶点式即可判断①；根据可知当时，y的值与m无关，然后求出x和y的对应值即可判断②；求出二次函数与x轴的交点，进而即可求出据此即可判断③；根据二次函数的性质得到：抛物线的对称轴为：且函数图象开口向下，则只有当对称轴在直线右侧时，y随x增大而减小，进而即可判断④.
9．（2024·攀枝花模拟）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，以为直径在轴上方画半圆交轴于点，圆心为，是半圆上一动点，连接，点为的中点．下列四种说法：
点在上；
；
当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长为；
线段的长可以是．
其中正确说法的个数为( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；二次函数的其他应用；圆-动点问题
【解析】【解答】解：抛物线与坐标轴交于点，，，
，，，
点，的半径为，
，
顶点的坐标为：，
，
点在上．
，故点不在上，故不正确；
圆心为，是半圆上一动点，点在上，点为的中点．
，故正确；
图中实点、、、是点运动中所处的位置，
则是等腰直角三角形的中位线，，交于点，则四边形为正方形，
当点在半圆任意位置时，中点为，连接，则，连接，
则，则点的运动轨迹为以为圆心的半圆，
则运动的路径长，故正确；
由得，当点运动到点的位置时，的长最大，
最大值为，
线段的长不可以是，故不正确．
故正确说法有：．
故答案为：．
【分析】先根据二次函数与坐标轴的交点问题结合而成函数的图象与性质得到，，顶点，①根据勾股定理求出，进而即可求解；②根据垂径定理结合题意即可求解；③点P的运动轨迹为以I为圆心的半圆，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆，进而即可求解；④结合题意运用勾股定理即可求解。
10．（2023九上·上城期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）交x轴于A，B两点（B在A左侧），交y轴于点C，且CO＝AO，分别以BC，AC为边向外作正方形BCDE、正方形ACGH，记它们的面积分别为S1，S2，△ABC面积记为S3，当S1+S2＝6S3时，b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： y＝ax2+bx+3，当x=0时，y=3，则C（0，3），
∴OC=OA=3，
∴A（3，0），
∵ S1+S2＝6S3 ，
∴BC2+AC2=6××AB×OC，
即OC2+OB2+OC2+OA2=9+OB2+9+9=6××（OB+3）×3，
解得：OB=9，
∴B（9，0），
设抛物线解析式为y=a(x-9)(x-3)，
把C（0，3）代入得a=，
∴y=(x-9)(x-3)，即y= x2-x+3 ，
∴b=-.
故答案为：B.
【分析】先求出C（0，3），A（3，0），根据S1+S2＝6S3、正方形的性质及勾股定理可求出OB的长，即得B（9，0），利用交点式求出抛物线解析式即可.
二、填空题
11．（2024九下·岳阳月考）若关于x的方程恰有三个根，则t的值为 .
【答案】或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：的根的个数即函数与的图象的交点个数，
由题意作函数的图象如图：
结合图象可知，
当过点或与相切时，两函数图象有三个交点，
将代入得
联立和得：，
则，
解得：
或
故答案为：或．
【分析】作函数的图象，直线y=x+t与图象有三个交点，有两种情况：当y=x+t过点（1，0）或与相切时，把点（1，0）代入y=x+t，求出t的值；联立后整 理为一元二次方程，方程有两个相等的实数根，利用根的判别式的值为零求出t的值。
12．（2024·浙江模拟）在抛物线上，过轴上点作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于，，，，且，分别是线段，的中点，面积的最小值为 ．
【答案】4
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：如图：
∵AB⊥CD，设点E坐标（0，m）.
∴可设直线AB的表达式为：，直线CD的表达式为：.
联立 和得：，
整理得：
设A(x1，y1)， B（x2，y2），
∴ x1+x2=4k.
∴
因为点M是AB中点，故M坐标（2k，2k2+m）.
联立 和得：，
整理得：
设C(x3，y3)， D（x4，y4），
∴.
∴.
∴点N的坐标为.
∴，
∴.
∵k≠0，
∴，即k=±1时取得最小值.
∴
∴.
故答案为：4.
【分析】根据题意得AB⊥CD，设出点A，B，C，D的坐标，表示出直线AB，CD的表达式，联立 和得到 x1+x2和y1+y2，于是可根据中点坐标公式求得M点坐标，同理求得点N的坐标.利用两点间距离公式求得ME2和NE2，根据，表示出ME2×NE2并化简，得，根据均值不等式得最小值，最后再求最小面积.
13．（2021九上·黄冈月考）如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点.当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 .
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点 代入抛物线 中，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
设CD、EF分别与y轴交于点M和点N，
当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，
此时E点坐标为(x，4-2x)，代入抛物线 中，
得到： ，
解得 ， (负值舍去)，
∴.
故答案为： .
【分析】将点A的坐标代入y=ax2中可得a，据此可得抛物线的解析式，设CD、EF分别与y轴交于点M和点N，当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=4-2x，将点E的坐标代入抛物线中可得x，进而可得CD.
14．（2024九下·江夏月考）如图，二次函数，其对称轴为直线，且与x轴交于点、，其中，下列结论：
①；②；③；④；⑤
其中正确的有 ．（填写正确的序号）
【答案】④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由图知：抛物线的对称轴为直线x=-1=，
∴b=2a，
∴b-2a=0，故结论b+2a=0错误；
②∵x1与x2关于直线x=-1对称，
∴-1-x1=x2-(-1)，则x2=-x1-2，
∵-4＜x1＜-3，
∴3＜-x1＜4，
∴3-2＜-x1-2＜4-2，即1＜x2＜2，故结论2＜x2＜3错误；
③由图知：抛物线的开口向上，
∴当x=-1时，函数值最小，
∴a-b+c≤an2+bn+c，
∴an2+bn≥a-b，
∴an2+bn-a+b≥0，即（n2-1）a+bn+b≥0，故结论（n2-1）a+bn+b＞0错误；
④由图知：当x=-4时，y＞0，
∴16a-4b+c＞0，
∵b=2a，
∴a=，
∴16×-4b+c＞0，即4b+c＞0，故结论4b+c＞0正确；
⑤∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∴b=2a＞0，
由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，
∴a+c＜0，
∴-(a+c)＞0，
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2-4ac＞0，
∴b2-a-c(4a+1)=b2-a-4ac-c=b2-4ac+(-a-c)＞0，
∴b2-a＞4ac+c，即b2-a＞c(4a+1)，
故结论c(4a+1)＞b2-a错误.
故答案为：④.
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=-1=可判断①；由题意易知x1与x2关于直线x=-1对称，然后由x1的范围并结合不等式的性质即可判断②；根据抛物线的开口向上可知：当x=-1时，函数值最小，然后由二次函数的性质即可判断③；由图知：当x=-4时，y＞0，结合①的结论可判断④；根据抛物线的开口确定a的符号，且当x=1时，y＜0，由抛物线与x轴有2个交点可知b2-4ac＞0，然后根据不等式的性质即可判断⑤.
三、解答题
15．（2024·恩施模拟） 已知甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元.经市场调查发现，甲种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价x（单位：元）的函数关系为，乙种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价z（单位：元）之间是一次函数关系，其部分数据如下表：
每件售价z（单位：元） … 20 25 30 …
销量（单位：件） … 100 80 60 …
其中x，z均为非负整数.商店按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍来确定甲、乙两种玩具的销售单价，且销售单价高于进价．
（1）直接写出乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是 ；甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是 ；
（2）当甲种玩具总利润为800元时，求乙种玩具的总利润是多少元？
（3）当这两种玩具每天销售的总利润之和最大时，直接写出甲种玩具每件的销售价格．
【答案】（1）；
（2）解：依题意得：，
解得：，
将代入，可得，
因此，乙种玩具的总利润是（元）．
（3）解：甲玩具的总利润： ，
乙玩具的总利润：，
∵，
∴
，
设这两种玩具每天销售的总利润为元，
则
，
∵x，z均为非负整数，
又∵，
∴x必须取非负偶数，
∵，
∴当时，总利润之和w最大，
此时甲种玩具每件的销售单价为34元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：①设乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是，
将图表中数据代入计算，，
解得：，
乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是：
②利润售价进价得，乙种玩具的利润为，
∵甲种玩具利润是乙种玩具利润的2倍
∴甲种玩具的利润为，
∴甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是．
故答案为：，.
【分析】（1）①设乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是，将图表中数据代入计算，即可解答；
②根据利润=售价-进价得乙种玩具的利润为，根据甲种玩具利润是乙种玩具利润的2倍得甲种玩具的利润为，再根据售价=利润+进价，即可解答；
（2）根据题意可方程，解得x，再将x代入，即可解答；
（3）由题意得，甲玩具的总利润： 乙玩具的总利润：，总利润为，根据题意得到w关于x的关系式，由函数为开口向下的二次函数，可知最大值为对称轴顶点，即可解答．
16．（2024·高州模拟）图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在斜坡上的点A建有垂直于水平线的城墙，且，，，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙．
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是，
∴设石块运行的函数关系式为，
∵
∴点C的坐标为，
∵抛物线过点，
∴，代入，得，
解得：
∴抛物线的表达式为，
即；
（2）解：∵，
∴点D的横坐标为75，
将代入函数，得，
即石块飞到点D的竖直方向上时距的高度为，
∵，，
∴，
∴石块不能飞越城墙．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）此题给出了抛物线的顶点坐标，故设出顶点式y=a(x-50)2+25，然后将点C(0，5)代入算出a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）将x=75代入（1）所求的函数解析式算出对应的函数值，即石块飞到点D的竖直方向上时距OD的高度，然后将这个数值与BD的长度比较可得结论.
17．（2024·万山模拟）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生在处将球垫偏，之后又在A、两处先后垫球，球沿抛物线运动（假设抛物线、、在同一平面内），最终正好在处垫住，处离地面的距离为1米．如图所示，以为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处离地面的高度至少为多少米？
【答案】（1）解：抛物线表达式为，且经过点，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为：
（2）解：最大高度未达到要求，理由如下：
由（1）得，抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为，
处离地面的距离为1米，
球在运动中离地面的最大高度为，
最大高度未达到要求
（3）解：由（1）可知，，
抛物线表达式为，
对称轴为直线，顶点坐标为，
球在运动中离地面的最大高度达到要求，
，
或，
对称轴在x轴负半轴，
，
，
点的横坐标为，
，
当时，有最小值，最小值为，
点离地面的高度至少为米
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）将代入解析式，待定系数法即可求出抛物线的函数表达式；
（2）根据解析式得到顶点坐标，即可求解；
（3）由（1）可知，，得到抛物线表达式为，进而得到对称轴为直线，顶点坐标为，根据最大高度的要求和对称轴，求出，再根据点的横坐标为，得到，求出的最小值即可得到答案．
18．（2024九下·江夏月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，若抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点是直线下方的抛物线上一点，过点作，交轴于点，且，求点的横坐标；
（3）如图2，点在点的正下方，连接，交抛物线于点，直线交对称轴于点，作，交射线于点，求的大小．
【答案】（1）解：抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为：，
将，代入直线得：，
解得：，
直线的解析式为：，
点是直线下方的抛物线上一点，
设点的坐标为，
，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，
令，则，
解得：，
，
，
，
，
，
或，
点是直线下方的抛物线上一点，
，
，
，
解得：或，
，
，
点的横坐标为；
（3）解：点在点的正下方，
设点的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为：，
联立，
整理得：，
，
解得：，，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
设直线的解析式为：，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为：，
抛物线的解析式为，
对称轴为直线，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
作，交射线于点，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）由题意把点A、B、C的坐标代入二次函数的解析式可得关于a、b、c的方程组，解方程组即可求解；
（2）用待定系数法求出直线AB的解析式；由点的坐标与图形性质设E，根据EF∥AB可将直线EF的解析式用含e的代数式表示出来，则点F的坐标可用含e的代数式表示出来，根据两点间的距离公式可得关于e的方程，解方程求出e的值即可；
（3）由题意设点M的坐标为（4，m）(m＜0) ，用待定系数法可将直线CM的解析式用含m的代数式表示出来，将抛物线和直线CM的解析式联立解方程组可把点N的坐标用含m的代数式表示出来，同理可把直线BN的解析式用含m的代数式表示出来，由PQ∥CM可将直线PQ的解析式用含m的代数式表示出来，PQ交射线BM于点Q可得点Q的坐标，则BQ的值可求解.
四、实践探究题
19．（2024·深圳模拟）综合与应用
如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，运动员从点A（0，10）起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y （m）与水平距离x （m）满足二次函数的关系.
（1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
水平距离x（m） 0 1 1.5
竖直高度y（m） 10 10 6.25
根据上述数据，求出y关于x的关系式；
（2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长；
（3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为k（m），从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离h （m）与时间t （s）之间满足h=-5t2+k .
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C 动作.
问题解决：
①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y（m）与水平距离x （m）的关系为y =ax2-ax+10（a<0），若选手在达到最高点后要顺利完成270C 动作，则a的取值范围是 ▲ .
【答案】（1）解：设 ，代入 得
解得：
关于 的关系式为
（2）解：当 时， 解得：
动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长为2米
（3）解：①
当 时， (舍负)
运动员甲不能成功完成此动作.
②
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（2） y =ax2-ax+10=a（x-） 2+10-a，
∴顶点坐标为（，10-a），
∴，
∴，
当h=0时，，
∴
∵由运动员甲在到达最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作，
∴t≥1.6，
∴
解之：.
故答案为：.
【分析】（1）将表中的三组x，y的对应值分别代入函数解析式，可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到y与x的函数解析式.
（2）将y=0代入函数解析式，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到符合题意的x的值.
（3）①将函数解析式转化为顶点式，可得到k的值，将k的值和h=0代入，可求出对应的t的值，再与1.6比较大小，可作出判断；②求出函数的顶点坐标，可得到，可得到，同时可推出，由运动员甲在到达最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作，可知t≥1.6，由此可得到，解不等式求出a的取值范围.
五、综合题
20．（2016九上·乐昌期中）在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
（1）若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天所需支付的各种费用2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800件，那么该公司应该把销售单价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设花边的宽度为xcm，根据题意得：
（60﹣2x）（40﹣x）=60×40﹣650，
解得：x=5或x=65（舍去）．
答：丝绸花边的宽度为5cm
（2）解：设每件工艺品定价x元出售，获利y元，则根据题意可得：
y=（x﹣40）[200+20（100﹣x）]﹣2000=﹣20（x﹣75）2+22500；
∵销售件数至少为800件，故40＜x≤70
∴当x=70时，有最大值，y=22000
当售价为70元时有最大利润22000元
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解；（2）先根据题意设每件工艺品降价为x元出售，获利y元，则降价x元后可卖出的总件数为（200+20x），每件获得的利润为（100﹣x﹣40），此时根据获得的利润=卖出的总件数×每件工艺品获得的利润，列出二次方程，再根据求二次函数最值的方法求解出获得的最大利润即可．
21．（2022·澄城模拟）如图，抛物线 经过坐标原点O与点 ，正比例函数 与抛物线交于点 .
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是第四象限抛物线上的一个动点，过点P作 轴于点N，交 于点M，是否存在点P，使得 与以点N、A、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将 ， 代入 中得：
，
解得： ，
即抛物线的解析式为： ；
（2）解：存在，①如图1，过A点作直线l OB，与抛物线交于点P时，此时 ，
将 代入 得：k= ，
∵l OB，
∴设直线l解析式为： ，
将 代入 得： ， ，
∴直线l解析式为： ，
则： ，
解得：x= 或x=3（舍去），
将x= 代入 ，得y= ，
即P点坐标为 ；
②如图2，当∠OMN=∠PAN，时 ，
∴ ，
设P点坐标为 ，则ON=t，AN=3-t，PN= ，
∵M横坐标为t，
∴M纵坐标为： ，即MN=
∴ ，
解得：t=2，
检验：当t=2时， ， ，
故t=2是该分式方程的根，
将x=2代入 ，得y=-2，
∴P点坐标为： ，
综上所述，P点坐标为 或 .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）将A（3，0）、B（，）代入y=ax2+bx中求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）①过A点作直线l∥OB，与抛物线交于点P时，此时△OMN∽△APN，将B（，）代入y=kx中求出k的值，根据l∥OB可设直线l解析式为y=x+m，将A（3，0）代入求出m的值，据此可得直线l的解析式，联立抛物线解析式求出x，将x的值代入直线l的解析式中求出y的值，据此可得点P的坐标；②当∠OMN=∠PAN时，△OMN∽△PAN，设P（t，t2-3t），则ON=t，AN=3-t，PN=3t-t2，则点M的纵坐标为t，即MN=t，根据相似三角形的性质求出t，进而求出y的值，据此可得点P的坐标.
22．（2023·永嘉模拟）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计跳长绳方案
素材1 图1是集体跳长绳比赛，比赛时，各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．图2是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米，绳子最高点距离地面2.5米．
素材2 某队跳绳成员有6名男生和4名女生，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.66米至1.68米．跳长绳比赛时，可以采用一路纵队或两路纵队并排的方式安排队员位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米．
问题解决
任务1 确定长绳形状 在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
任务2 探究站队方式 当该队以一路纵队的方式跳绳时，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？
任务3 拟定位置方案 为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式居中安排站位．请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位跳绳队员横坐标的最大取值范围．
【答案】解：任务一：
以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为 轴，建立直角坐标系，如图：
由已知可得， ， 在抛物线上，且抛物线顶点的纵坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的函数解析式为 ；
任务二：
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
名同学，以直线 为对称轴，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，对称轴左侧的 位男同学所在位置横坐标分布是 ， 和 ，
当 时， ，
∴绳子能顺利的甩过男队员的头顶，
同理当 时， ，
∴绳子不能顺利的甩过女队员的头顶；
∴绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶；
任务三：
两路并排，一排 人，
当 时， ，
解得 或 ，
但第一位跳绳队员横坐标需不大于 （否则第二、三位队员的间距不够 米）
∴ ．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】任务一：以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，由已知可得：（0，1）、（6，1）在抛物线上，且抛物线顶点的纵坐标为2.5，设y=ax2+bx+c，代入求出a、b、c的值，据此可得对应的函数表达式；
任务二：由函数表达式可得对称轴为直线x=3，以直线x=3为对称轴，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，对称轴左侧的3位男同学所在位置横坐标分布是、、，分别求出x=、对应的y的值，然后进行判断；
任务三：令y=1.66，求出x的值，据此不难得到x的范围.
1 / 12024中考数学考前20天终极冲刺专题之二次函数
一、选择题
1．（2023·自贡）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
2．（2024·东兴会考）如图是小颖家门口的路灯示意图，为垂直于地面的竖直灯杆(点在地面上)，灯杆顶端与灯泡之间用一根曲杆连接，曲杆的形状可看成是一条抛物线的一部分，以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知该拋物线的顶点，竖直灯杆的高度为，灯泡到轴的水平距离为，则灯泡到地面的高度为( )
A． B． C． D．
3．（2023·乐山）如图，抛物线经过点，且，有下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，则．其中，正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2024·宁波模拟）已知ac≠0，若二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），二次函数y2＝cx2+bx+a的图象与x轴交于两个不同的点C（x3，0），D（x4，0），则（ ）
A．x1+x2+x3+x4＝1 B．x1x2x3x4＝1
C． D．
5．（2023·牡丹江）如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2024九下·麻城期中） 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线 的对称轴为 与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若、为方程 的两个根，则
7．（2024·孝感模拟）函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④图象向上平移2个单位后与直线有3个交点．
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①③
8．已知 关于 的二次函数 ，下列结论中， 正确的序号是（ ）
① 当 时， 函数图象的顶点坐标为 ；②当 时，函数图象总过定点；③当 时， 函数图象在 轴上截得的线段的长度大于 ；④若函数图象上任取不同的两点 ， ， 则当 ， 函数在 时，一定能使 成立．
A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④
9．（2024·攀枝花模拟）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，以为直径在轴上方画半圆交轴于点，圆心为，是半圆上一动点，连接，点为的中点．下列四种说法：
点在上；
；
当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长为；
线段的长可以是．
其中正确说法的个数为( )
A．个 B．个 C．个 D．个
10．（2023九上·上城期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）交x轴于A，B两点（B在A左侧），交y轴于点C，且CO＝AO，分别以BC，AC为边向外作正方形BCDE、正方形ACGH，记它们的面积分别为S1，S2，△ABC面积记为S3，当S1+S2＝6S3时，b的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024九下·岳阳月考）若关于x的方程恰有三个根，则t的值为 .
12．（2024·浙江模拟）在抛物线上，过轴上点作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于，，，，且，分别是线段，的中点，面积的最小值为 ．
13．（2021九上·黄冈月考）如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点.当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 .
14．（2024九下·江夏月考）如图，二次函数，其对称轴为直线，且与x轴交于点、，其中，下列结论：
①；②；③；④；⑤
其中正确的有 ．（填写正确的序号）
三、解答题
15．（2024·恩施模拟） 已知甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元.经市场调查发现，甲种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价x（单位：元）的函数关系为，乙种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价z（单位：元）之间是一次函数关系，其部分数据如下表：
每件售价z（单位：元） … 20 25 30 …
销量（单位：件） … 100 80 60 …
其中x，z均为非负整数.商店按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍来确定甲、乙两种玩具的销售单价，且销售单价高于进价．
（1）直接写出乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是 ；甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是 ；
（2）当甲种玩具总利润为800元时，求乙种玩具的总利润是多少元？
（3）当这两种玩具每天销售的总利润之和最大时，直接写出甲种玩具每件的销售价格．
16．（2024·高州模拟）图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在斜坡上的点A建有垂直于水平线的城墙，且，，，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙．
17．（2024·万山模拟）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生在处将球垫偏，之后又在A、两处先后垫球，球沿抛物线运动（假设抛物线、、在同一平面内），最终正好在处垫住，处离地面的距离为1米．如图所示，以为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处离地面的高度至少为多少米？
18．（2024九下·江夏月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，若抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点是直线下方的抛物线上一点，过点作，交轴于点，且，求点的横坐标；
（3）如图2，点在点的正下方，连接，交抛物线于点，直线交对称轴于点，作，交射线于点，求的大小．
四、实践探究题
19．（2024·深圳模拟）综合与应用
如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，运动员从点A（0，10）起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y （m）与水平距离x （m）满足二次函数的关系.
（1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
水平距离x（m） 0 1 1.5
竖直高度y（m） 10 10 6.25
根据上述数据，求出y关于x的关系式；
（2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长；
（3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为k（m），从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离h （m）与时间t （s）之间满足h=-5t2+k .
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C 动作.
问题解决：
①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y（m）与水平距离x （m）的关系为y =ax2-ax+10（a<0），若选手在达到最高点后要顺利完成270C 动作，则a的取值范围是 ▲ .
五、综合题
20．（2016九上·乐昌期中）在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
（1）若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天所需支付的各种费用2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800件，那么该公司应该把销售单价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
21．（2022·澄城模拟）如图，抛物线 经过坐标原点O与点 ，正比例函数 与抛物线交于点 .
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是第四象限抛物线上的一个动点，过点P作 轴于点N，交 于点M，是否存在点P，使得 与以点N、A、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
22．（2023·永嘉模拟）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计跳长绳方案
素材1 图1是集体跳长绳比赛，比赛时，各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．图2是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米，绳子最高点距离地面2.5米．
素材2 某队跳绳成员有6名男生和4名女生，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.66米至1.68米．跳长绳比赛时，可以采用一路纵队或两路纵队并排的方式安排队员位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米．
问题解决
任务1 确定长绳形状 在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
任务2 探究站队方式 当该队以一路纵队的方式跳绳时，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？
任务3 拟定位置方案 为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式居中安排站位．请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位跳绳队员横坐标的最大取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线（为自变量）与轴有交点，
∴，
∴b=2，
∵抛物线的对称轴为，
又∵，
∴，
∴c=b-1=1，
∴A（-4，m），B（8，m），
∴AB=12，
故答案为：B
【分析】先根据抛物线与x轴有交点结合判别式即可求出b的值，再根据二次函数的对称轴和二次函数的对称性即可求出c的值，进而得到点A和点B的坐标，进而即可求解。
2．【答案】D
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设抛物线解析式为y=ax2＋bx，
∵M（2，2）是抛物线上的点，
∴2=4a+2b，即2a+b=1，
又∵，
∴b=-4a，
∴2a+b=2a-4a=-2a=1，
∴，b=2，
∴抛物线解析式为，
则将x=3代入，可得，
∴P到地面的高度为1.5＋10＝11.5（m），
故答案为：D.
【分析】图像经过原点，设抛物线解析式为y=ax2＋bx，将M的坐标代入求出a、b的关系式，结合对称轴为x=2求出a、b的值，再由P点横坐标为3求出p的纵坐标，再加10m即可.
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得a＞0，c＜0，
∵，
∴对称轴为，
∴，①正确；
∵对称轴，
∴-b＜a，
∴，②正确；
当x=1时，a+b+c＜0，
∴a+b＜-c，
∴，③正确；
∵对称轴，
∴，
∴，④错误；
故答案为：B
【分析】先根据题意得到a＞0，c＜0，再根据二次函数对称轴的性质即可判断①，结合二次函数的图象即可得到，进而即可判断②，将x=1代入，进而即可判断③，再运用结合二次函数图象上的点的特征即可求解。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ac≠0，二次函数y1=ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的根分别是：x1、x2，
∴，；
∵ac≠0，二次函数y2=cx2+bx+a的图象与x轴交于两个不同的点C（x3，0），D（x4，0），
∴关于x的方程cx2+bx+a=0的根分别是：x3、x4，
∴，；
，A不符合题意；
，B符合题意；
，C不符合题意；
，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程与二次函数的关系可得关于x的方程ax2+bx+c=0的根分别是：x1、x2，关于x的方程cx2+bx+a=0的根分别是：x3、x4，结合根与系数的关系可得，，，，逐项计算即可求解.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴x=-在y轴右侧，与y轴的交点在正半轴，
∴a<0，b>0，c>0，
∴<0，故①错误；
∵抛物线过点（-2，0）、（3，0），
∴对称轴为直线x=，
∴b=-a.
∵4a-2b+c=0，
∴-4b-2b+c=0，
∴c=6b，故②错误；
∵|--|<|-|<|-3-|，
∴y3>y1>y2，故③正确；
∵抛物线过点（-2，0）、（3，0），
∴ax2+bx+c=0的两根分别为-2、3，
∴=-6，
∴cx2+bx+a=0的两根满足x1·x2==-，但不能求出x1、x2，故④错误.
故答案为：D.
【分析】由图象可得：抛物线开口向下，对称轴x=-在y轴右侧，与y轴的交点在正半轴，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；由题意可得对称轴为直线x=，则b=-a，根据图象过点（-2，0）可得4a-2b+c=0，将b=-a代入即可判断②；根据距离对称轴越近的点对应的函数值越大可判断③；由题意可得ax2+bx+c=0的两根分别为-2、3，则=-6，cx2+bx+a=0的两根满足x1·x2==-，据此判断④.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：依题意作图如下：
∵对称轴，，
∴，A错误；
∵抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为，
∴另一个交点在，之间，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴时，， 时，，
∴ ，B错误；
∴，得，C错误；
由，，知，
∵，为方程的两个根，
∴
∴，D正确；
故答案为：D.
【分析】由对称轴得，，；抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称性知另一个交点在，之间，得 ，，于是，进一步推知，由根与系数关系知的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由图可知，二次函数与x轴的交点为（1，0）和（3，0），与y轴的交点为（0，-3）；
∴函数的对称轴为直线x=1
∴-=1
∴2a+b=0，①正确；
将点C代入函数，可得c=-3，②错误；
∵a＞0
∴b=-2a＜0
∴abc＞0，③正确；
将函数图象向上平移2个单位后，翻折后抛物线的顶点的y值＞5；
∴直线y=5与图像有3个交点，④正确；
综上所述，正确的结论为①③④.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数与x、y轴的交点和翻折的性质，可得抛物线的对称轴，进而可得a和b的关系乙c的值；根据a、b、c与0的大小关系，可判断abc与0的大小；根据平移的性质，可得翻折后抛物线的顶点的y值＞5，进而根据图像可得直线与翻折后的抛物线的交点的个数.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①当时，
∴二次函数顶点为，则①正确，
②当时，
当时，y的值与m无关，
此时，
当当
∴函数图象总过定点，
③当时，
∵，
∴
∴
∴
∴则③正确，
④当时，抛物线的对称轴为：且函数图象开口向下，
∴在时，只有当对称轴在直线右侧时，y随x增大而减小，即成立，则④错误，
综上所述，正确的说法有①②③，
故答案为：C.
【分析】把代入二次函数解析式，再将其化为顶点式即可判断①；根据可知当时，y的值与m无关，然后求出x和y的对应值即可判断②；求出二次函数与x轴的交点，进而即可求出据此即可判断③；根据二次函数的性质得到：抛物线的对称轴为：且函数图象开口向下，则只有当对称轴在直线右侧时，y随x增大而减小，进而即可判断④.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；二次函数的其他应用；圆-动点问题
【解析】【解答】解：抛物线与坐标轴交于点，，，
，，，
点，的半径为，
，
顶点的坐标为：，
，
点在上．
，故点不在上，故不正确；
圆心为，是半圆上一动点，点在上，点为的中点．
，故正确；
图中实点、、、是点运动中所处的位置，
则是等腰直角三角形的中位线，，交于点，则四边形为正方形，
当点在半圆任意位置时，中点为，连接，则，连接，
则，则点的运动轨迹为以为圆心的半圆，
则运动的路径长，故正确；
由得，当点运动到点的位置时，的长最大，
最大值为，
线段的长不可以是，故不正确．
故正确说法有：．
故答案为：．
【分析】先根据二次函数与坐标轴的交点问题结合而成函数的图象与性质得到，，顶点，①根据勾股定理求出，进而即可求解；②根据垂径定理结合题意即可求解；③点P的运动轨迹为以I为圆心的半圆，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆，进而即可求解；④结合题意运用勾股定理即可求解。
10．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： y＝ax2+bx+3，当x=0时，y=3，则C（0，3），
∴OC=OA=3，
∴A（3，0），
∵ S1+S2＝6S3 ，
∴BC2+AC2=6××AB×OC，
即OC2+OB2+OC2+OA2=9+OB2+9+9=6××（OB+3）×3，
解得：OB=9，
∴B（9，0），
设抛物线解析式为y=a(x-9)(x-3)，
把C（0，3）代入得a=，
∴y=(x-9)(x-3)，即y= x2-x+3 ，
∴b=-.
故答案为：B.
【分析】先求出C（0，3），A（3，0），根据S1+S2＝6S3、正方形的性质及勾股定理可求出OB的长，即得B（9，0），利用交点式求出抛物线解析式即可.
11．【答案】或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：的根的个数即函数与的图象的交点个数，
由题意作函数的图象如图：
结合图象可知，
当过点或与相切时，两函数图象有三个交点，
将代入得
联立和得：，
则，
解得：
或
故答案为：或．
【分析】作函数的图象，直线y=x+t与图象有三个交点，有两种情况：当y=x+t过点（1，0）或与相切时，把点（1，0）代入y=x+t，求出t的值；联立后整 理为一元二次方程，方程有两个相等的实数根，利用根的判别式的值为零求出t的值。
12．【答案】4
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：如图：
∵AB⊥CD，设点E坐标（0，m）.
∴可设直线AB的表达式为：，直线CD的表达式为：.
联立 和得：，
整理得：
设A(x1，y1)， B（x2，y2），
∴ x1+x2=4k.
∴
因为点M是AB中点，故M坐标（2k，2k2+m）.
联立 和得：，
整理得：
设C(x3，y3)， D（x4，y4），
∴.
∴.
∴点N的坐标为.
∴，
∴.
∵k≠0，
∴，即k=±1时取得最小值.
∴
∴.
故答案为：4.
【分析】根据题意得AB⊥CD，设出点A，B，C，D的坐标，表示出直线AB，CD的表达式，联立 和得到 x1+x2和y1+y2，于是可根据中点坐标公式求得M点坐标，同理求得点N的坐标.利用两点间距离公式求得ME2和NE2，根据，表示出ME2×NE2并化简，得，根据均值不等式得最小值，最后再求最小面积.
13．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点 代入抛物线 中，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
设CD、EF分别与y轴交于点M和点N，
当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，
此时E点坐标为(x，4-2x)，代入抛物线 中，
得到： ，
解得 ， (负值舍去)，
∴.
故答案为： .
【分析】将点A的坐标代入y=ax2中可得a，据此可得抛物线的解析式，设CD、EF分别与y轴交于点M和点N，当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=4-2x，将点E的坐标代入抛物线中可得x，进而可得CD.
14．【答案】④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由图知：抛物线的对称轴为直线x=-1=，
∴b=2a，
∴b-2a=0，故结论b+2a=0错误；
②∵x1与x2关于直线x=-1对称，
∴-1-x1=x2-(-1)，则x2=-x1-2，
∵-4＜x1＜-3，
∴3＜-x1＜4，
∴3-2＜-x1-2＜4-2，即1＜x2＜2，故结论2＜x2＜3错误；
③由图知：抛物线的开口向上，
∴当x=-1时，函数值最小，
∴a-b+c≤an2+bn+c，
∴an2+bn≥a-b，
∴an2+bn-a+b≥0，即（n2-1）a+bn+b≥0，故结论（n2-1）a+bn+b＞0错误；
④由图知：当x=-4时，y＞0，
∴16a-4b+c＞0，
∵b=2a，
∴a=，
∴16×-4b+c＞0，即4b+c＞0，故结论4b+c＞0正确；
⑤∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∴b=2a＞0，
由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，
∴a+c＜0，
∴-(a+c)＞0，
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2-4ac＞0，
∴b2-a-c(4a+1)=b2-a-4ac-c=b2-4ac+(-a-c)＞0，
∴b2-a＞4ac+c，即b2-a＞c(4a+1)，
故结论c(4a+1)＞b2-a错误.
故答案为：④.
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=-1=可判断①；由题意易知x1与x2关于直线x=-1对称，然后由x1的范围并结合不等式的性质即可判断②；根据抛物线的开口向上可知：当x=-1时，函数值最小，然后由二次函数的性质即可判断③；由图知：当x=-4时，y＞0，结合①的结论可判断④；根据抛物线的开口确定a的符号，且当x=1时，y＜0，由抛物线与x轴有2个交点可知b2-4ac＞0，然后根据不等式的性质即可判断⑤.
15．【答案】（1）；
（2）解：依题意得：，
解得：，
将代入，可得，
因此，乙种玩具的总利润是（元）．
（3）解：甲玩具的总利润： ，
乙玩具的总利润：，
∵，
∴
，
设这两种玩具每天销售的总利润为元，
则
，
∵x，z均为非负整数，
又∵，
∴x必须取非负偶数，
∵，
∴当时，总利润之和w最大，
此时甲种玩具每件的销售单价为34元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：①设乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是，
将图表中数据代入计算，，
解得：，
乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是：
②利润售价进价得，乙种玩具的利润为，
∵甲种玩具利润是乙种玩具利润的2倍
∴甲种玩具的利润为，
∴甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是．
故答案为：，.
【分析】（1）①设乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是，将图表中数据代入计算，即可解答；
②根据利润=售价-进价得乙种玩具的利润为，根据甲种玩具利润是乙种玩具利润的2倍得甲种玩具的利润为，再根据售价=利润+进价，即可解答；
（2）根据题意可方程，解得x，再将x代入，即可解答；
（3）由题意得，甲玩具的总利润： 乙玩具的总利润：，总利润为，根据题意得到w关于x的关系式，由函数为开口向下的二次函数，可知最大值为对称轴顶点，即可解答．
16．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是，
∴设石块运行的函数关系式为，
∵
∴点C的坐标为，
∵抛物线过点，
∴，代入，得，
解得：
∴抛物线的表达式为，
即；
（2）解：∵，
∴点D的横坐标为75，
将代入函数，得，
即石块飞到点D的竖直方向上时距的高度为，
∵，，
∴，
∴石块不能飞越城墙．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）此题给出了抛物线的顶点坐标，故设出顶点式y=a(x-50)2+25，然后将点C(0，5)代入算出a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）将x=75代入（1）所求的函数解析式算出对应的函数值，即石块飞到点D的竖直方向上时距OD的高度，然后将这个数值与BD的长度比较可得结论.
17．【答案】（1）解：抛物线表达式为，且经过点，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为：
（2）解：最大高度未达到要求，理由如下：
由（1）得，抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为，
处离地面的距离为1米，
球在运动中离地面的最大高度为，
最大高度未达到要求
（3）解：由（1）可知，，
抛物线表达式为，
对称轴为直线，顶点坐标为，
球在运动中离地面的最大高度达到要求，
，
或，
对称轴在x轴负半轴，
，
，
点的横坐标为，
，
当时，有最小值，最小值为，
点离地面的高度至少为米
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）将代入解析式，待定系数法即可求出抛物线的函数表达式；
（2）根据解析式得到顶点坐标，即可求解；
（3）由（1）可知，，得到抛物线表达式为，进而得到对称轴为直线，顶点坐标为，根据最大高度的要求和对称轴，求出，再根据点的横坐标为，得到，求出的最小值即可得到答案．
18．【答案】（1）解：抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为：，
将，代入直线得：，
解得：，
直线的解析式为：，
点是直线下方的抛物线上一点，
设点的坐标为，
，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，
令，则，
解得：，
，
，
，
，
，
或，
点是直线下方的抛物线上一点，
，
，
，
解得：或，
，
，
点的横坐标为；
（3）解：点在点的正下方，
设点的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为：，
联立，
整理得：，
，
解得：，，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
设直线的解析式为：，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为：，
抛物线的解析式为，
对称轴为直线，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
作，交射线于点，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）由题意把点A、B、C的坐标代入二次函数的解析式可得关于a、b、c的方程组，解方程组即可求解；
（2）用待定系数法求出直线AB的解析式；由点的坐标与图形性质设E，根据EF∥AB可将直线EF的解析式用含e的代数式表示出来，则点F的坐标可用含e的代数式表示出来，根据两点间的距离公式可得关于e的方程，解方程求出e的值即可；
（3）由题意设点M的坐标为（4，m）(m＜0) ，用待定系数法可将直线CM的解析式用含m的代数式表示出来，将抛物线和直线CM的解析式联立解方程组可把点N的坐标用含m的代数式表示出来，同理可把直线BN的解析式用含m的代数式表示出来，由PQ∥CM可将直线PQ的解析式用含m的代数式表示出来，PQ交射线BM于点Q可得点Q的坐标，则BQ的值可求解.
19．【答案】（1）解：设 ，代入 得
解得：
关于 的关系式为
（2）解：当 时， 解得：
动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长为2米
（3）解：①
当 时， (舍负)
运动员甲不能成功完成此动作.
②
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（2） y =ax2-ax+10=a（x-） 2+10-a，
∴顶点坐标为（，10-a），
∴，
∴，
当h=0时，，
∴
∵由运动员甲在到达最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作，
∴t≥1.6，
∴
解之：.
故答案为：.
【分析】（1）将表中的三组x，y的对应值分别代入函数解析式，可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到y与x的函数解析式.
（2）将y=0代入函数解析式，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到符合题意的x的值.
（3）①将函数解析式转化为顶点式，可得到k的值，将k的值和h=0代入，可求出对应的t的值，再与1.6比较大小，可作出判断；②求出函数的顶点坐标，可得到，可得到，同时可推出，由运动员甲在到达最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作，可知t≥1.6，由此可得到，解不等式求出a的取值范围.
20．【答案】（1）解：设花边的宽度为xcm，根据题意得：
（60﹣2x）（40﹣x）=60×40﹣650，
解得：x=5或x=65（舍去）．
答：丝绸花边的宽度为5cm
（2）解：设每件工艺品定价x元出售，获利y元，则根据题意可得：
y=（x﹣40）[200+20（100﹣x）]﹣2000=﹣20（x﹣75）2+22500；
∵销售件数至少为800件，故40＜x≤70
∴当x=70时，有最大值，y=22000
当售价为70元时有最大利润22000元
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解；（2）先根据题意设每件工艺品降价为x元出售，获利y元，则降价x元后可卖出的总件数为（200+20x），每件获得的利润为（100﹣x﹣40），此时根据获得的利润=卖出的总件数×每件工艺品获得的利润，列出二次方程，再根据求二次函数最值的方法求解出获得的最大利润即可．
21．【答案】（1）解：将 ， 代入 中得：
，
解得： ，
即抛物线的解析式为： ；
（2）解：存在，①如图1，过A点作直线l OB，与抛物线交于点P时，此时 ，
将 代入 得：k= ，
∵l OB，
∴设直线l解析式为： ，
将 代入 得： ， ，
∴直线l解析式为： ，
则： ，
解得：x= 或x=3（舍去），
将x= 代入 ，得y= ，
即P点坐标为 ；
②如图2，当∠OMN=∠PAN，时 ，
∴ ，
设P点坐标为 ，则ON=t，AN=3-t，PN= ，
∵M横坐标为t，
∴M纵坐标为： ，即MN=
∴ ，
解得：t=2，
检验：当t=2时， ， ，
故t=2是该分式方程的根，
将x=2代入 ，得y=-2，
∴P点坐标为： ，
综上所述，P点坐标为 或 .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）将A（3，0）、B（，）代入y=ax2+bx中求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）①过A点作直线l∥OB，与抛物线交于点P时，此时△OMN∽△APN，将B（，）代入y=kx中求出k的值，根据l∥OB可设直线l解析式为y=x+m，将A（3，0）代入求出m的值，据此可得直线l的解析式，联立抛物线解析式求出x，将x的值代入直线l的解析式中求出y的值，据此可得点P的坐标；②当∠OMN=∠PAN时，△OMN∽△PAN，设P（t，t2-3t），则ON=t，AN=3-t，PN=3t-t2，则点M的纵坐标为t，即MN=t，根据相似三角形的性质求出t，进而求出y的值，据此可得点P的坐标.
22．【答案】解：任务一：
以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为 轴，建立直角坐标系，如图：
由已知可得， ， 在抛物线上，且抛物线顶点的纵坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的函数解析式为 ；
任务二：
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
名同学，以直线 为对称轴，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，对称轴左侧的 位男同学所在位置横坐标分布是 ， 和 ，
当 时， ，
∴绳子能顺利的甩过男队员的头顶，
同理当 时， ，
∴绳子不能顺利的甩过女队员的头顶；
∴绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶；
任务三：
两路并排，一排 人，
当 时， ，
解得 或 ，
但第一位跳绳队员横坐标需不大于 （否则第二、三位队员的间距不够 米）
∴ ．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】任务一：以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，由已知可得：（0，1）、（6，1）在抛物线上，且抛物线顶点的纵坐标为2.5，设y=ax2+bx+c，代入求出a、b、c的值，据此可得对应的函数表达式；
任务二：由函数表达式可得对称轴为直线x=3，以直线x=3为对称轴，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，对称轴左侧的3位男同学所在位置横坐标分布是、、，分别求出x=、对应的y的值，然后进行判断；
任务三：令y=1.66，求出x的值，据此不难得到x的范围.
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