2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之三角形
一、选择题
1．（2024七下·柳江期中）绿色出行，健康出行，你我同行.某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，AM与BC平行，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：D．
【分析】由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥CD，根据而直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BCD=65°，再由而直线平行，同旁内角互补，可求出∠MAB的度数.
2．（2021八下·前郭期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．4π C．8π D．8
【答案】A
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，
则阴影部分的面积＝
＝
＝4，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理可得AB2＝AC2+BC2＝20，根据扇形面积公式计算即可。
3．（2024七下·湘桥期中）如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°，保持三角板ABC不动，三角板DCE可绕点C旋转，则下列结论：①∠ACE=∠BCD；②∠BCE+∠ACD随着∠ACD的交化而变化；③当AB∥CE时，则∠ACD=60°或150°；④当∠BCE=3∠ACD时，DE一定垂直于AC．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：①，，
；①正确．
②，
，
，是定值；②错误．
③如图1所示，
当时，，
，
如图2所示，
当时，，
，
当时，则或；③错误．
④设，则．
如图
由（1）可知，，
，
解得：，
即，
，
；
如图
由（1）得：，
，
，
，
，
．
此时或；④错误．
∴ 正确的个数有个．
故答案为：A．
【分析】①根据同角的余角相等可得；
②根据角的关系可得；
③分CD在CB上方和CD在CB下方两种平行情况讨论即可；
④分CD在CB上方和CD在CB下方两种情况讨论即可；
4．（2020八上·西华期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①正确；
②如图，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°，故②正确；
③∵∠1=∠B=30°，∴AD=B，.∴点D在AB的中垂线上，故③正确；
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD= AD.
∴BC=CD+BD= AD+AD= AD，S△DAC= AC CD= AC AD.
∴S△ABC= AC BC= AC A D= AC AD.
∴S△DAC：S△ABC 。故④正确；
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个.
故答案为：D.
【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线，可以证明点D在AB的中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比.
5．（2023九上·苍南模拟）如图，在三角形ABC中，AB=11，AC=15，点M是BC的中点，AD是∠BAC的角平分线，MF∥AD，则FC=（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作AB的平行线，延长AM、FM、AD交平行线于点E、G、H.
∵点M是BC的中点
易证△ABM≌△ECM
∴CE=AB=11，A=ME
∵AD是∠BAC的角平分线，MF//AD，且AB//CH
∴∠BAD=∠CAD=∠CFG=∠H=∠CGF
∴AC=CH=15
∴EH=CH-CE=15-11=4
在△AEH中，MG//AH，AM=ME
∴HG=GE=HE=2
∴CF=CG=CE+EG=11+2=13
故答案为：B.
【分析】本题已知点M是BC的中点，AM是△ABC的中线，将中线倍长是常见的解题方法；通过过点C作AB的平行线，延长AM、FM、AD交平行线于点E、G、H，实现中线倍长构造△ABM≌△ECM（SAS），同时因为AD是∠BAC的角平分线且MF//AD，AB//CH，由平行线的性质可得多个角相等，∠BAD=∠CAD=∠CFG=∠H=∠CGF，于是CE=AB=11，AC=CH=15，EH=CH-CE=15-11=4；由全等所得AM=ME，可知MG为△AEH的中位线，故HG=GE=HE=2，所以CF=CG=CE+EG=11+2=13.
6．（2023·南山模拟）如图，等边内有一点E， ，，当时，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】以点B为旋转中心把顺时针旋转至，
则．
∴是等边三角形，
∴，
∴，
，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据题意先求出是等边三角形，再求出∠CFE=90°，最后利用勾股定理计算求解即可。
7．（2023·洪山模拟）如图，是的内切圆，，过点I作分别交，于N，M，若，，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：设切点分别为E，F，G，连接IE、IF、IG，过点M作MP⊥AB于P，过点N作NQ⊥AB于Q，
∵是的内切圆，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，则，
在中，由勾股定理，
，
解得：，
∴，
故答案为：D.
【分析】设切点分别为E，F，G，连接IE、IF、IG，过M作MP⊥AB于P，过N作NQ⊥AB于Q，根据切线的性质得IE⊥BC，IF⊥AC，IG⊥AB，IE=IF=IG，根据平行线间的距离相等得NQ=IG=MP，推出NQ=IF，由AAS判断出△AQN≌△NFI，得IN=AN=4，同理IM=BM=3，进而判断出△MEI∽△IFN，由相似三角形对应边成比例得得，设ME=3x，IF=4x，则IE=IF=4x，在Rt△MEI中，利用勾股定理建立方程求出x的值，即可得出IF的长.
8．（2023·仙桃模拟）如图，点P是在正ABC内一点，，，，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段，连接，.下列结论中正确的是（ ）
①可以由绕点A逆时针旋转60°得到；②线段；③四边形的面积为；④.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：由题意知，，，
为等边三角形，，②正确，
又 ，，
，
①正确，，
又，
在中三边长为3、4、5，这是一组勾股数，所以 为直角三角形
= ，③错误.
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA，则有△BPC≌△BDA，连接PD，如图所示：
同理可得△BPD是边长为4的等边三角形，△APD是直角三角形，且直角边长为3和4，斜边长为5，
∴，故④正确；
故答案为：B.
【分析】易得AP=AP'，∠PAP'=60°，故△APP'是等边三角形，得PP'=PA=3，据此可判断②；易得∠BAP=∠CAP'=60°，用SAS证△ABP≌△AP'C，根据旋转的性质可判断①；由全等三角形性质得P'C=PB=4，利用勾股定理的逆定理判断出△PP'C是直角三角形，根据结合三角形面积计算公式计算可判断③；将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BDA，则有△BPC≌△BDA，连接PD，同理可得△BPD是边长为4的等边三角形，△APD是直角三角形，且直角边长为3和4，斜边长为5，进而根据结合三角形面积计算公式进行计算可判断④.
9．（2022·富拉尔基模拟）如图，中，，，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使，连接CE，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】∵在中，点D是边BC的中点，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴在和中，，
∴，
∴，
∵为等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先证出，可得，即，再结合，可得，最后求出即可。
10．（2022·东营模拟）如图，已知Rt△ABC，，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点F，连接AF，则下列结论中：①；②△ABD∽△ACE；③；④F为BD的中点，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】①由旋转性质可知，AC＝BC＝AE＝DE＝2，
∵，
∴AB＝AD，故①符合题意；
②，，
∴∠DAE＋∠EAB＝∠CAB＋∠EAB，即∠DAB＝∠EAC，
∴△ABD∽△ACE，故②符合题意；
③设AB、CE交于点G，如图所示：
∵△ABD∽△ACE，
∴∠DBA＝∠ECA，
又∵∠FGB＝∠CGA，
∴∠BFC＝∠BAC＝45°，故③符合题意；
④∵∠BFC＝∠BAC＝45°，
∴A、C、B、F四点共圆，
∴四边形ACBF为圆内接四边形，
∴∠BFA＋∠BCA＝180°，
∵，
∴∠BFA＝90°，
∴AF⊥BD，
∵AB＝AD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AF为BD上中线，即F为BD中点，故④符合题意；
综上分析可知，①②③④都符合题意，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】由旋转性质可知AC＝BC＝AE＝DE＝2，利用勾股定理求出AB＝AD=2，据此判断①；根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证△ABD∽△ACE，据此判断②；设AB、CE交于点G，如图，由△ABD∽△ACE可得∠DBA＝∠ECA，由对顶角相等可得∠FGB＝∠CGA，从而得出∠BFC＝∠BAC＝45°，据此判断③；先判断A、C、B、F四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得∠BFA＋∠BCA＝180°，据此求出∠BFA＝90°，即得AF⊥BD，根据等腰三角形三线合一的性质可得F为BD中点，据此判断④即可.
二、填空题
11．（2024·容县模拟）如图，C为线段AB的中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，若AB＝2，AE＝4，则CD的长为 ．
【答案】7
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接AD、BE，过点E作EH⊥AB于H，
由旋转知，DE=DB，∠BDE=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BE=BD
∵C为AB中点，点D在AB的处置平分线上，
∴AD=BD=DE，BC=AB=×=
∴∠BAD=，∠EAD=
∴∠BAD+∠EAD=
即∠BAE=
∵∠BDE=60°
∴∠BAE=150°
∴∠HAE=180°-150°=30°
∵AE=4
∴EH=AE=2，AH=2
∴BH=AH+AB=2+2=4
∴BE===2
∴BD=2
∴CD===7
故答案为：7．
【分析】连接AD、BE，过点E作EH⊥AB于H，由旋转知，DE=DB，∠BDE=60°，证明△BDE是等边三角形，根据三角形内角和定理求出∠BAD=，∠EAD=从而得到∠BAE==150°，∠HAE=30°，进而求出EH，AH，再利用勾股定理计算出BE和CD即可．
12．（2024·镇海区月考）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，CA上的点，且BD=CE，连结AD，BE交于点P．连接CP，若CP⊥AP时，则AE：CE= ；设△ABC的面积为S1，四边形CDPE的面积为S2，则＝ ．
【答案】2；
【知识点】三角形全等及其性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴C、D、P、E四点共圆，
∵，
∴，
即点P恰好落在以为直径的圆上，点P也落在以为直径的圆上，
∵，
∴，
如图，连接，则，
∴，
∵，
∴；
如图，过点D作，交于点F，
设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2；．
【分析】根据可证明，可得，从而得到，进而得到C、D、P、E四点共圆，继而得到点P恰好落在以为直径的圆上，点P也落在以为直径的圆上，可得到，连接，则，由直角三角形的性质可得，从而得到；过点D作，交于点F，证出，可得，即可得出答案．
13．（2023·深圳模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点E，若BE＝3DE，则BD＝ ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的应用；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：
过B作BO⊥AC于点O，连接OD，过D作DM⊥AC于点M.
∵AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形
∴OA=OC=3，
∴.
又∵∠ADC＝90°，
∴OA=OC=OD=3.
∵BO⊥AC，DM⊥AC，
∴BO//DM.
∴△BOE∽△DME
∴.
∴
∵Rt△DOM中，OD=3，
∴，
∴EM=
∴Rt△DEM中，，
∴.
故答案为：.
【分析】过B作BO⊥AC于点O，连接OD，过D作DM⊥AC于点M.根据△BOE∽△DME得到OE：ME=OB：DM=3，可求出DM长，再根据∠ADC=90°，O为AC中点，得OD长，从而可求出OM长，再根据OE：ME=3，求出EM长，在Rt△DEM中利用勾股定理可求出DE长，从而得DB.
14．（2023九上·襄州期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A旋转，使点C落在AB边上的点E处，点B落在点D处，连接BD，CE，延长CE交BD于点F，则EF的长为
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解： ∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理可得，.
由旋转的性质可知，AE=AC=3，DE=BC=4，AD=AB=5，∠DEA=∠ACB=90°，∠DAE=∠BAC.
∴BE=AB-AE=2，∠BED=90°.
由勾股定理可得，.
∵AE=AC，AD=AB，
∴∠AEC=∠ACE，∠ABD=∠ADB.
∵∠DAE=∠BAC，
由三角形的内角和定理可知，∠AED=∠ABD.
∵∠AED=∠BEF，
∴∠ABD=∠BEF.
∴BF=EF.
∵∠EDB+∠ABD=90°，∠DEF+∠BEF=90°，
∴∠EDB=∠DEF.
∴DF=EF.
∴EF=BD=.
故答案为：.
【分析】先由旋转的性质和勾股定理求得BD的长，然后根据等腰三角形的性质和判定得到BF=EF=DF，进而得到EF的长
15．（2019·银川模拟）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝ .
【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】如图，延长GH交AD于p，
∵矩形ABCD与CEFG，
∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2，GF=CE=1
∴AD∥GF，
∴∠GFH=∠PAH
∵H是AF的中点，
∴AH=FH，
在△APH与△FGH中，∠GFH=∠PAH，AH=FH， ∠AHP=∠FHG
∴△APH≌△FGH
∴AP=GF=1，GH=PH= PG
∴PD=AD-AP=1
∴CG=2，CD=1
∴DG=1
∴GH = PG= .
【分析】延长GH交AD点p，先证三角形APH与三角形FGH全等，得AP=GF=1，GH=PH= PG，再由勾股定理求得PG，从而得出答案.
三、解答题
16．（2023·墨玉模拟）如图，在中，，，点在上，从点向点运动不包括点，速度为；点在上，从点向点运动不包括点，速度为若点，分别从点，同时运动，且运动时间记为，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当为何值时，，两点的距离为？
（2）当为何值时，的面积为？
（3）点运动多少时间时，四边形的面积最小？最小面积是多少？
【答案】（1）解：在中，
，，
，
设经过后，、两点的距离为，
后，，，
根据勾股定理可知，
代入数据；
解得或不合题意舍去；
（2）解：设经过后，的面积为，
后，，，
，
解得，，
经过或后，的面积为；
（3）解：设经过后，的面积最大，则此时四边形的面积最小，
后，，，
四边形的面积为：
，
四边形的面积最小值为：，
当点运动秒时，四边形的面积最小为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出AB=25cm，再列方程求出 ，最后解方程求解即可；
（2）先求出 ，， 再根据三角形的面积公式列方程计算求解即可；
（3）根据题意先求出 ，， 再利用三角形的面积公式求出四边形的面积最小值为，最后作答即可。
17．（2024·孝南模拟） 已知和都是等腰三角形，且，，若点D在边上运动时，总保持，连接与交于点F．
（1）①如图1，当点D为边中点时，则的值为 ▲ ；
②如图2，当点D不为边中点时，求证：；
（2）如图3，当点D在边上运动中恰好使得时，若，，求的长．
【答案】（1）解：①
②证明：由①知，．
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，，
∴，，
∴．
∴，即．
∴．
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）①解：∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，点D为的中点，
∴．
∴．
又∵，
∴垂直平分，
∴．
∵点D为的中点，
∴．
∴．
故答案为：；
【分析】（1）①根据等边对等角和题目已知条件可得∠B=∠BCA=∠ADE=∠AED，由三角形内角和是180°，得∠BAC=∠DAE，故∠BAD=∠CAE；根据等腰三角形三线合一可得∠BAD=∠CAD，等量代换∠DAC=∠CAE，AD=AE，三线合一AF垂直平分DE，再根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等可得CD=CE，即可得到；
②利用SAS证得△BAD≌△CAE，再根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）先利用两直线平行内错角相等得到，等量代换，再由同位角相等，两直线平行可得AB∥DE，进而由两组对边平行的四边形是平行四边形证得四边形ABDE为平行四边形，由平行四边形对边相等得到DE=AB=5；，公共角∠B，由两组角对应相等的两个三角形相似得到，相似三角形对应边成比例，即可求出BD长，进而求出CD、AE、BD的长，再根据得到，代入即可求出DF长.
18．（2024·霞山模拟）如图1，在直线MN上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点O，∠AOB＝60°，∠OCD＝45°，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度顺时针方向转动，设转动时间为t秒．
（1）如图2，若OC平分∠MOB，则t的最小值为 ；此时∠DOB﹣∠MOC＝ 度；（直接写答案）
（2）当三角板COD转动如图3的位置，此时OC、OD同时在直线OB的右侧，猜想∠DOB与∠MOC有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含t）
（3）若当三角板COD开始转动的同时，另一个三角板OAB也绕点O以每秒3°的速度顺时针转动，当OC旋转至射线ON上时，两三角板同时停止运动：
①当t为何值时，∠BOC＝15°；
②在转动过程中，请写出∠DOB与∠MOC的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含t）
【答案】（1）5；30
（2）解：如图，
∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝∠BOC+90°，∠BOC＝∠COM-∠AOB＝∠COM-60°，
∴∠BOD＝∠COM-60°+90°＝∠COM+30°；
（3）解：①如图，
当OC在∠BOM内部时，
∵∠BOM＝60°+3t，∠COM＝6t，∠BOC＝∠BOM-∠COM，
∴60°+3t-6t＝15°，
∴t＝15，
如图，
当OC在∠BOM外部时，
∵∠COM＝6t，∠BOM＝60°+3t，∠BOC＝∠COM-∠BOM，
∴6t-（60°+3t）＝15°，
∴t＝25，
综上所述：t＝15或25；
②如图，
∵∠COM＝6t，∠BOD＝∠COM+90°-（60°+3t）＝3t+30°，
∴.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：如图，
∵OC平分∠MOB，
∴，
∴，
此时∠BOD=60°，
∴∠DOB-∠COM=30°，
故答案为：5，30.
【分析】（1）根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线得出∠COM=30°，∠BOD=60°，即可求解；
（2）分别求出∠BOD=∠BOC+90°，∠BOC=∠COM-60°，即可求解；
（3）①当OC在∠BOM内部时，由∠BOM=60°+3t，∠COM=6t，根据∠BOC=∠BOM-∠COM列出方程，解方程即可；当OC在∠BOM外部时，由∠COM=6t，∠BOM=60°+3t，根据∠BOC=∠COM-∠BOM列出方程，解方程即可；
②由∠COM=6t，∠BOD=3t+30°即可求解.
19．（2024·渝中模拟）如图，为的中线，以为直角边在其右侧作直角，，与交于点F，．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若将绕点C逆时针旋转得到，连接、，探究、的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若，，，直线上有一点M，连接，将沿着翻折到所在的平面内得到，取的中点P，连接，当最小时，请直接写出的面积．
【答案】（1）解：在中，∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
倍长至点H使得，连接、、，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵在中，，，，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
设，与交于点K，
∵，
∴，
∴在四边形中，，
∴结合，可得为等边三角形，
∴；
（3）解：
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）∵，，，
∴在中，，，
∴，即，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∴在中，，
根据翻转可知：，
∵的中点为P点，
∴，
∴可知点P在以F为圆心，长为半径的圆上，
如图，
即可知当点A、P、F三点共线，且点P在线段上时，最小，
如图，过F点作于S点，过P点作于T点，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
即当最小时，．
【分析】（1）先求出，根据，可得，进而可得，解直角三角形即可求解；
（2）倍长至点H使得，连接、、，证明， ，即有，，进而可得，设，与交于点K，根据，可得，，进而得出为等边三角形，即可求解；
（3）先证明是等边三角形，即在中，，根据翻转可知：，结合的中点为P点，可得，即可知点P在以F为圆心，长为半径的圆上，当点A、P、F三点共线，且点P在线段上时，最小，过F点作于S点，过P点作于T点，则得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
20．（2024·万州模拟）如图，是等边三角形，D为上一点，连接，将绕点C顺时针旋转120°至，连接，分别交、于点F、G.
（1）若，，求的面积；
（2）请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当周长最小时，请直接写出的值.
【答案】（1）解：如图，将绕点C顺时针旋转，得到， 则点在上，过点作.
∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
根据旋转的性质可得，.
，
∵
∴点在同一直线上，
，
；
（2）解：.证明如下：
如图，将绕点C顺时针旋转，得到， 连接，
∵，.
∴.
∵，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴为的中位线，
，
；
∵，
∴；
（3）解：
【知识点】平行线的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（3）如图，将绕点C顺时针旋转得到， 连接，作点C关于的对称点 连接交于点P.
则，
，
∴要使周长取得最小值，即取得最小值，
，
∴当三点共线时，取得最小值，
如图， 连接交于点O， 连接，连接，
∵为等边三角形，，
∴，
∴四边形 为菱形，
∵，且
∴四边形为矩形，
设的边长a，
，
设， 则
由(2)知，则，
∵，P为中点，
∴为的中位线，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
设G到的距离为，G到的距离为，
，
，
，
，
.
【分析】（1）将绕点C顺时针旋转，得到， 则点在上，过点作，进而结合等边三角形的判定与性质得到，再根据旋转的性质得到，，从而解直角三角形（边角关系）即可求解；
（2）将绕点C顺时针旋转，得到， 连接，先根据平行线的判定证明，进而根据菱形的判定与性质得到，再根据三角形中位线定理得到，再结合题意进行线段的运算即可求解；
（3）将绕点C顺时针旋转得到， 连接，作点C关于的对称点 连接交于点P，进而结合题意得到要使周长取得最小值，即取得最小值，从而得到当三点共线时，取得最小值，连接交于点O， 连接，连接，再结合矩形的判定证明四边形为矩形，设的边长a，设G到的距离为，G到的距离为，根据相似三角形的判定与性质结合题意即可得到，进而根据，即可得到两个图形的面积，从而相比即可求解。
四、实践探究题
21．（2024·长春净月高新技术产业开发模拟）【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第122页的部分内容．
2．如图，、都是等腰直角三角形，，画出以点为旋转中心、逆时针旋转后的三角形．
数学课上，同学们连结便解决了此问题，随后数学老师追问：与具有怎样的数量关系？两组同学给出两种不同方法：
甲组：由于是由绕着点逆时针旋转后得到的，所以与为对应线段，所以．
乙组：根据题意，我们可以证明，因此．
（1）请结合图①写出乙组证明方法的完整过程．
（2）【类比探究】若将【教材呈现】中的等腰直角三角形换成等边三角形，上述结论是否仍然成立？
如图②，、都是等边三角形，连结、、．
①则与的数量关系是 ．
②若，则长为 ．
（3）【拓展应用】、都是等边三角形，，若将绕着点旋转一周，在运动过程中，点到直线的距离设为，则的取值范围是 ．
【答案】（1）解：证明：
∵和是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
（2）；
（3）
【知识点】等边三角形的性质；等腰直角三角形；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（2） ①、都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
②，，
，
，，
，
，
故答案为：；4；
（3）如图，以为半径，为圆心画圆得圆，将绕着点旋转一周，则点的轨迹为圆，过点作圆的切线，切点为，，连接，，，，则，，且始终在和之间或在和上，
由图可得当点与重合时，点到的距离为的最小值，
、都是等边三角形，，
，，
，，
，，
在上，且平分，
， ，
，
，，
，
，
点到的距离为，
当点不与重合时，令为点到直线的距离，则为直角三角形，为斜边，为直角边，
，
当点与重合时，最大，为8，
故答案为：．
【分析】
（1） 由等腰直角三角形性质，得，，，再证得，根据全等三角形判定，即可证得，然后根据全等三角形性质，可得；
（2）根据等边三角形性质可得，，再根据全等三角形判定，证得，即可得到；再由，，得到，然后根据勾股定理得，计算即可得出答案；
（3）如图，以为半径，为圆心画圆得圆，将绕着点旋转一周，则点的轨迹为圆，过点作圆的切线，切点为，，连接，，，，得到，，且始终在和之间或在和上，结合图形可得点到的距离为的最小值，证得垂直平分，即可求得的最小值，当点与重合时，证得点到的距离为，当点不与重合时，令为点到直线的距离，则为直角三角形，为斜边，为直角边，根据直角三角形的斜边大于直角边，即可得出的最大值，进而得出结论．
22．（2024·湖北模拟）
（1）【问题初探】数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：．
①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；
②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；
请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；
（2）【类比分析】李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答，
如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：；
（3）【学以致用】如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系．
【答案】（1）证明：①∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：延长，取，连接，如图所示：
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：延长，使，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）①利用"SAS"证明，得到：，，然后根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得到：，进而即可求解；
②根据平行线的性质得到：，利用"AAS"证明，得到：，然后根据等腰三角形的性质即可得到：，进而得到：，进而即可求解；
（2）延长，取，连接，利用"SAS"证明，得到：，，然后根据角的等量代换得到：，进而即可求解；
（3）延长，使，连接，利用"SAS"证明，得到：，，然后根据平行线的性质得到：，根据角平分线的定义即可求出∠CAF的度数，然后根据平行线的性质和角的运算得到：，最后根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.
1 / 12024年中考数学考前20天终极冲刺专题之三角形
一、选择题
1．（2024七下·柳江期中）绿色出行，健康出行，你我同行.某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，AM与BC平行，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八下·前郭期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．4π C．8π D．8
3．（2024七下·湘桥期中）如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°，保持三角板ABC不动，三角板DCE可绕点C旋转，则下列结论：①∠ACE=∠BCD；②∠BCE+∠ACD随着∠ACD的交化而变化；③当AB∥CE时，则∠ACD=60°或150°；④当∠BCE=3∠ACD时，DE一定垂直于AC．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2020八上·西华期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3.
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023九上·苍南模拟）如图，在三角形ABC中，AB=11，AC=15，点M是BC的中点，AD是∠BAC的角平分线，MF∥AD，则FC=（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
6．（2023·南山模拟）如图，等边内有一点E， ，，当时，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．（2023·洪山模拟）如图，是的内切圆，，过点I作分别交，于N，M，若，，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·仙桃模拟）如图，点P是在正ABC内一点，，，，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段，连接，.下列结论中正确的是（ ）
①可以由绕点A逆时针旋转60°得到；②线段；③四边形的面积为；④.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．（2022·富拉尔基模拟）如图，中，，，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使，连接CE，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·东营模拟）如图，已知Rt△ABC，，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点F，连接AF，则下列结论中：①；②△ABD∽△ACE；③；④F为BD的中点，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
二、填空题
11．（2024·容县模拟）如图，C为线段AB的中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，若AB＝2，AE＝4，则CD的长为 ．
12．（2024·镇海区月考）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，CA上的点，且BD=CE，连结AD，BE交于点P．连接CP，若CP⊥AP时，则AE：CE= ；设△ABC的面积为S1，四边形CDPE的面积为S2，则＝ ．
13．（2023·深圳模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点E，若BE＝3DE，则BD＝ ．
14．（2023九上·襄州期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A旋转，使点C落在AB边上的点E处，点B落在点D处，连接BD，CE，延长CE交BD于点F，则EF的长为
15．（2019·银川模拟）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝ .
三、解答题
16．（2023·墨玉模拟）如图，在中，，，点在上，从点向点运动不包括点，速度为；点在上，从点向点运动不包括点，速度为若点，分别从点，同时运动，且运动时间记为，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当为何值时，，两点的距离为？
（2）当为何值时，的面积为？
（3）点运动多少时间时，四边形的面积最小？最小面积是多少？
17．（2024·孝南模拟） 已知和都是等腰三角形，且，，若点D在边上运动时，总保持，连接与交于点F．
（1）①如图1，当点D为边中点时，则的值为 ▲ ；
②如图2，当点D不为边中点时，求证：；
（2）如图3，当点D在边上运动中恰好使得时，若，，求的长．
18．（2024·霞山模拟）如图1，在直线MN上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点O，∠AOB＝60°，∠OCD＝45°，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度顺时针方向转动，设转动时间为t秒．
（1）如图2，若OC平分∠MOB，则t的最小值为 ；此时∠DOB﹣∠MOC＝ 度；（直接写答案）
（2）当三角板COD转动如图3的位置，此时OC、OD同时在直线OB的右侧，猜想∠DOB与∠MOC有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含t）
（3）若当三角板COD开始转动的同时，另一个三角板OAB也绕点O以每秒3°的速度顺时针转动，当OC旋转至射线ON上时，两三角板同时停止运动：
①当t为何值时，∠BOC＝15°；
②在转动过程中，请写出∠DOB与∠MOC的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含t）
19．（2024·渝中模拟）如图，为的中线，以为直角边在其右侧作直角，，与交于点F，．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若将绕点C逆时针旋转得到，连接、，探究、的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若，，，直线上有一点M，连接，将沿着翻折到所在的平面内得到，取的中点P，连接，当最小时，请直接写出的面积．
20．（2024·万州模拟）如图，是等边三角形，D为上一点，连接，将绕点C顺时针旋转120°至，连接，分别交、于点F、G.
（1）若，，求的面积；
（2）请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当周长最小时，请直接写出的值.
四、实践探究题
21．（2024·长春净月高新技术产业开发模拟）【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第122页的部分内容．
2．如图，、都是等腰直角三角形，，画出以点为旋转中心、逆时针旋转后的三角形．
数学课上，同学们连结便解决了此问题，随后数学老师追问：与具有怎样的数量关系？两组同学给出两种不同方法：
甲组：由于是由绕着点逆时针旋转后得到的，所以与为对应线段，所以．
乙组：根据题意，我们可以证明，因此．
（1）请结合图①写出乙组证明方法的完整过程．
（2）【类比探究】若将【教材呈现】中的等腰直角三角形换成等边三角形，上述结论是否仍然成立？
如图②，、都是等边三角形，连结、、．
①则与的数量关系是 ．
②若，则长为 ．
（3）【拓展应用】、都是等边三角形，，若将绕着点旋转一周，在运动过程中，点到直线的距离设为，则的取值范围是 ．
22．（2024·湖北模拟）
（1）【问题初探】数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：．
①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；
②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；
请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；
（2）【类比分析】李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答，
如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：；
（3）【学以致用】如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：D．
【分析】由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥CD，根据而直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BCD=65°，再由而直线平行，同旁内角互补，可求出∠MAB的度数.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，
则阴影部分的面积＝
＝
＝4，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理可得AB2＝AC2+BC2＝20，根据扇形面积公式计算即可。
3．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：①，，
；①正确．
②，
，
，是定值；②错误．
③如图1所示，
当时，，
，
如图2所示，
当时，，
，
当时，则或；③错误．
④设，则．
如图
由（1）可知，，
，
解得：，
即，
，
；
如图
由（1）得：，
，
，
，
，
．
此时或；④错误．
∴ 正确的个数有个．
故答案为：A．
【分析】①根据同角的余角相等可得；
②根据角的关系可得；
③分CD在CB上方和CD在CB下方两种平行情况讨论即可；
④分CD在CB上方和CD在CB下方两种情况讨论即可；
4．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①正确；
②如图，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°，故②正确；
③∵∠1=∠B=30°，∴AD=B，.∴点D在AB的中垂线上，故③正确；
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD= AD.
∴BC=CD+BD= AD+AD= AD，S△DAC= AC CD= AC AD.
∴S△ABC= AC BC= AC A D= AC AD.
∴S△DAC：S△ABC 。故④正确；
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个.
故答案为：D.
【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线，可以证明点D在AB的中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作AB的平行线，延长AM、FM、AD交平行线于点E、G、H.
∵点M是BC的中点
易证△ABM≌△ECM
∴CE=AB=11，A=ME
∵AD是∠BAC的角平分线，MF//AD，且AB//CH
∴∠BAD=∠CAD=∠CFG=∠H=∠CGF
∴AC=CH=15
∴EH=CH-CE=15-11=4
在△AEH中，MG//AH，AM=ME
∴HG=GE=HE=2
∴CF=CG=CE+EG=11+2=13
故答案为：B.
【分析】本题已知点M是BC的中点，AM是△ABC的中线，将中线倍长是常见的解题方法；通过过点C作AB的平行线，延长AM、FM、AD交平行线于点E、G、H，实现中线倍长构造△ABM≌△ECM（SAS），同时因为AD是∠BAC的角平分线且MF//AD，AB//CH，由平行线的性质可得多个角相等，∠BAD=∠CAD=∠CFG=∠H=∠CGF，于是CE=AB=11，AC=CH=15，EH=CH-CE=15-11=4；由全等所得AM=ME，可知MG为△AEH的中位线，故HG=GE=HE=2，所以CF=CG=CE+EG=11+2=13.
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】以点B为旋转中心把顺时针旋转至，
则．
∴是等边三角形，
∴，
∴，
，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据题意先求出是等边三角形，再求出∠CFE=90°，最后利用勾股定理计算求解即可。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：设切点分别为E，F，G，连接IE、IF、IG，过点M作MP⊥AB于P，过点N作NQ⊥AB于Q，
∵是的内切圆，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，则，
在中，由勾股定理，
，
解得：，
∴，
故答案为：D.
【分析】设切点分别为E，F，G，连接IE、IF、IG，过M作MP⊥AB于P，过N作NQ⊥AB于Q，根据切线的性质得IE⊥BC，IF⊥AC，IG⊥AB，IE=IF=IG，根据平行线间的距离相等得NQ=IG=MP，推出NQ=IF，由AAS判断出△AQN≌△NFI，得IN=AN=4，同理IM=BM=3，进而判断出△MEI∽△IFN，由相似三角形对应边成比例得得，设ME=3x，IF=4x，则IE=IF=4x，在Rt△MEI中，利用勾股定理建立方程求出x的值，即可得出IF的长.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：由题意知，，，
为等边三角形，，②正确，
又 ，，
，
①正确，，
又，
在中三边长为3、4、5，这是一组勾股数，所以 为直角三角形
= ，③错误.
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA，则有△BPC≌△BDA，连接PD，如图所示：
同理可得△BPD是边长为4的等边三角形，△APD是直角三角形，且直角边长为3和4，斜边长为5，
∴，故④正确；
故答案为：B.
【分析】易得AP=AP'，∠PAP'=60°，故△APP'是等边三角形，得PP'=PA=3，据此可判断②；易得∠BAP=∠CAP'=60°，用SAS证△ABP≌△AP'C，根据旋转的性质可判断①；由全等三角形性质得P'C=PB=4，利用勾股定理的逆定理判断出△PP'C是直角三角形，根据结合三角形面积计算公式计算可判断③；将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BDA，则有△BPC≌△BDA，连接PD，同理可得△BPD是边长为4的等边三角形，△APD是直角三角形，且直角边长为3和4，斜边长为5，进而根据结合三角形面积计算公式进行计算可判断④.
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】∵在中，点D是边BC的中点，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴在和中，，
∴，
∴，
∵为等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先证出，可得，即，再结合，可得，最后求出即可。
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】①由旋转性质可知，AC＝BC＝AE＝DE＝2，
∵，
∴AB＝AD，故①符合题意；
②，，
∴∠DAE＋∠EAB＝∠CAB＋∠EAB，即∠DAB＝∠EAC，
∴△ABD∽△ACE，故②符合题意；
③设AB、CE交于点G，如图所示：
∵△ABD∽△ACE，
∴∠DBA＝∠ECA，
又∵∠FGB＝∠CGA，
∴∠BFC＝∠BAC＝45°，故③符合题意；
④∵∠BFC＝∠BAC＝45°，
∴A、C、B、F四点共圆，
∴四边形ACBF为圆内接四边形，
∴∠BFA＋∠BCA＝180°，
∵，
∴∠BFA＝90°，
∴AF⊥BD，
∵AB＝AD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AF为BD上中线，即F为BD中点，故④符合题意；
综上分析可知，①②③④都符合题意，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】由旋转性质可知AC＝BC＝AE＝DE＝2，利用勾股定理求出AB＝AD=2，据此判断①；根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证△ABD∽△ACE，据此判断②；设AB、CE交于点G，如图，由△ABD∽△ACE可得∠DBA＝∠ECA，由对顶角相等可得∠FGB＝∠CGA，从而得出∠BFC＝∠BAC＝45°，据此判断③；先判断A、C、B、F四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得∠BFA＋∠BCA＝180°，据此求出∠BFA＝90°，即得AF⊥BD，根据等腰三角形三线合一的性质可得F为BD中点，据此判断④即可.
11．【答案】7
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接AD、BE，过点E作EH⊥AB于H，
由旋转知，DE=DB，∠BDE=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BE=BD
∵C为AB中点，点D在AB的处置平分线上，
∴AD=BD=DE，BC=AB=×=
∴∠BAD=，∠EAD=
∴∠BAD+∠EAD=
即∠BAE=
∵∠BDE=60°
∴∠BAE=150°
∴∠HAE=180°-150°=30°
∵AE=4
∴EH=AE=2，AH=2
∴BH=AH+AB=2+2=4
∴BE===2
∴BD=2
∴CD===7
故答案为：7．
【分析】连接AD、BE，过点E作EH⊥AB于H，由旋转知，DE=DB，∠BDE=60°，证明△BDE是等边三角形，根据三角形内角和定理求出∠BAD=，∠EAD=从而得到∠BAE==150°，∠HAE=30°，进而求出EH，AH，再利用勾股定理计算出BE和CD即可．
12．【答案】2；
【知识点】三角形全等及其性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴C、D、P、E四点共圆，
∵，
∴，
即点P恰好落在以为直径的圆上，点P也落在以为直径的圆上，
∵，
∴，
如图，连接，则，
∴，
∵，
∴；
如图，过点D作，交于点F，
设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2；．
【分析】根据可证明，可得，从而得到，进而得到C、D、P、E四点共圆，继而得到点P恰好落在以为直径的圆上，点P也落在以为直径的圆上，可得到，连接，则，由直角三角形的性质可得，从而得到；过点D作，交于点F，证出，可得，即可得出答案．
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的应用；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：
过B作BO⊥AC于点O，连接OD，过D作DM⊥AC于点M.
∵AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形
∴OA=OC=3，
∴.
又∵∠ADC＝90°，
∴OA=OC=OD=3.
∵BO⊥AC，DM⊥AC，
∴BO//DM.
∴△BOE∽△DME
∴.
∴
∵Rt△DOM中，OD=3，
∴，
∴EM=
∴Rt△DEM中，，
∴.
故答案为：.
【分析】过B作BO⊥AC于点O，连接OD，过D作DM⊥AC于点M.根据△BOE∽△DME得到OE：ME=OB：DM=3，可求出DM长，再根据∠ADC=90°，O为AC中点，得OD长，从而可求出OM长，再根据OE：ME=3，求出EM长，在Rt△DEM中利用勾股定理可求出DE长，从而得DB.
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解： ∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理可得，.
由旋转的性质可知，AE=AC=3，DE=BC=4，AD=AB=5，∠DEA=∠ACB=90°，∠DAE=∠BAC.
∴BE=AB-AE=2，∠BED=90°.
由勾股定理可得，.
∵AE=AC，AD=AB，
∴∠AEC=∠ACE，∠ABD=∠ADB.
∵∠DAE=∠BAC，
由三角形的内角和定理可知，∠AED=∠ABD.
∵∠AED=∠BEF，
∴∠ABD=∠BEF.
∴BF=EF.
∵∠EDB+∠ABD=90°，∠DEF+∠BEF=90°，
∴∠EDB=∠DEF.
∴DF=EF.
∴EF=BD=.
故答案为：.
【分析】先由旋转的性质和勾股定理求得BD的长，然后根据等腰三角形的性质和判定得到BF=EF=DF，进而得到EF的长
15．【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】如图，延长GH交AD于p，
∵矩形ABCD与CEFG，
∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2，GF=CE=1
∴AD∥GF，
∴∠GFH=∠PAH
∵H是AF的中点，
∴AH=FH，
在△APH与△FGH中，∠GFH=∠PAH，AH=FH， ∠AHP=∠FHG
∴△APH≌△FGH
∴AP=GF=1，GH=PH= PG
∴PD=AD-AP=1
∴CG=2，CD=1
∴DG=1
∴GH = PG= .
【分析】延长GH交AD点p，先证三角形APH与三角形FGH全等，得AP=GF=1，GH=PH= PG，再由勾股定理求得PG，从而得出答案.
16．【答案】（1）解：在中，
，，
，
设经过后，、两点的距离为，
后，，，
根据勾股定理可知，
代入数据；
解得或不合题意舍去；
（2）解：设经过后，的面积为，
后，，，
，
解得，，
经过或后，的面积为；
（3）解：设经过后，的面积最大，则此时四边形的面积最小，
后，，，
四边形的面积为：
，
四边形的面积最小值为：，
当点运动秒时，四边形的面积最小为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出AB=25cm，再列方程求出 ，最后解方程求解即可；
（2）先求出 ，， 再根据三角形的面积公式列方程计算求解即可；
（3）根据题意先求出 ，， 再利用三角形的面积公式求出四边形的面积最小值为，最后作答即可。
17．【答案】（1）解：①
②证明：由①知，．
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，，
∴，，
∴．
∴，即．
∴．
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）①解：∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，点D为的中点，
∴．
∴．
又∵，
∴垂直平分，
∴．
∵点D为的中点，
∴．
∴．
故答案为：；
【分析】（1）①根据等边对等角和题目已知条件可得∠B=∠BCA=∠ADE=∠AED，由三角形内角和是180°，得∠BAC=∠DAE，故∠BAD=∠CAE；根据等腰三角形三线合一可得∠BAD=∠CAD，等量代换∠DAC=∠CAE，AD=AE，三线合一AF垂直平分DE，再根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等可得CD=CE，即可得到；
②利用SAS证得△BAD≌△CAE，再根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）先利用两直线平行内错角相等得到，等量代换，再由同位角相等，两直线平行可得AB∥DE，进而由两组对边平行的四边形是平行四边形证得四边形ABDE为平行四边形，由平行四边形对边相等得到DE=AB=5；，公共角∠B，由两组角对应相等的两个三角形相似得到，相似三角形对应边成比例，即可求出BD长，进而求出CD、AE、BD的长，再根据得到，代入即可求出DF长.
18．【答案】（1）5；30
（2）解：如图，
∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝∠BOC+90°，∠BOC＝∠COM-∠AOB＝∠COM-60°，
∴∠BOD＝∠COM-60°+90°＝∠COM+30°；
（3）解：①如图，
当OC在∠BOM内部时，
∵∠BOM＝60°+3t，∠COM＝6t，∠BOC＝∠BOM-∠COM，
∴60°+3t-6t＝15°，
∴t＝15，
如图，
当OC在∠BOM外部时，
∵∠COM＝6t，∠BOM＝60°+3t，∠BOC＝∠COM-∠BOM，
∴6t-（60°+3t）＝15°，
∴t＝25，
综上所述：t＝15或25；
②如图，
∵∠COM＝6t，∠BOD＝∠COM+90°-（60°+3t）＝3t+30°，
∴.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：如图，
∵OC平分∠MOB，
∴，
∴，
此时∠BOD=60°，
∴∠DOB-∠COM=30°，
故答案为：5，30.
【分析】（1）根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线得出∠COM=30°，∠BOD=60°，即可求解；
（2）分别求出∠BOD=∠BOC+90°，∠BOC=∠COM-60°，即可求解；
（3）①当OC在∠BOM内部时，由∠BOM=60°+3t，∠COM=6t，根据∠BOC=∠BOM-∠COM列出方程，解方程即可；当OC在∠BOM外部时，由∠COM=6t，∠BOM=60°+3t，根据∠BOC=∠COM-∠BOM列出方程，解方程即可；
②由∠COM=6t，∠BOD=3t+30°即可求解.
19．【答案】（1）解：在中，∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
倍长至点H使得，连接、、，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵在中，，，，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
设，与交于点K，
∵，
∴，
∴在四边形中，，
∴结合，可得为等边三角形，
∴；
（3）解：
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）∵，，，
∴在中，，，
∴，即，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∴在中，，
根据翻转可知：，
∵的中点为P点，
∴，
∴可知点P在以F为圆心，长为半径的圆上，
如图，
即可知当点A、P、F三点共线，且点P在线段上时，最小，
如图，过F点作于S点，过P点作于T点，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
即当最小时，．
【分析】（1）先求出，根据，可得，进而可得，解直角三角形即可求解；
（2）倍长至点H使得，连接、、，证明， ，即有，，进而可得，设，与交于点K，根据，可得，，进而得出为等边三角形，即可求解；
（3）先证明是等边三角形，即在中，，根据翻转可知：，结合的中点为P点，可得，即可知点P在以F为圆心，长为半径的圆上，当点A、P、F三点共线，且点P在线段上时，最小，过F点作于S点，过P点作于T点，则得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
20．【答案】（1）解：如图，将绕点C顺时针旋转，得到， 则点在上，过点作.
∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
根据旋转的性质可得，.
，
∵
∴点在同一直线上，
，
；
（2）解：.证明如下：
如图，将绕点C顺时针旋转，得到， 连接，
∵，.
∴.
∵，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴为的中位线，
，
；
∵，
∴；
（3）解：
【知识点】平行线的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（3）如图，将绕点C顺时针旋转得到， 连接，作点C关于的对称点 连接交于点P.
则，
，
∴要使周长取得最小值，即取得最小值，
，
∴当三点共线时，取得最小值，
如图， 连接交于点O， 连接，连接，
∵为等边三角形，，
∴，
∴四边形 为菱形，
∵，且
∴四边形为矩形，
设的边长a，
，
设， 则
由(2)知，则，
∵，P为中点，
∴为的中位线，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
设G到的距离为，G到的距离为，
，
，
，
，
.
【分析】（1）将绕点C顺时针旋转，得到， 则点在上，过点作，进而结合等边三角形的判定与性质得到，再根据旋转的性质得到，，从而解直角三角形（边角关系）即可求解；
（2）将绕点C顺时针旋转，得到， 连接，先根据平行线的判定证明，进而根据菱形的判定与性质得到，再根据三角形中位线定理得到，再结合题意进行线段的运算即可求解；
（3）将绕点C顺时针旋转得到， 连接，作点C关于的对称点 连接交于点P，进而结合题意得到要使周长取得最小值，即取得最小值，从而得到当三点共线时，取得最小值，连接交于点O， 连接，连接，再结合矩形的判定证明四边形为矩形，设的边长a，设G到的距离为，G到的距离为，根据相似三角形的判定与性质结合题意即可得到，进而根据，即可得到两个图形的面积，从而相比即可求解。
21．【答案】（1）解：证明：
∵和是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
（2）；
（3）
【知识点】等边三角形的性质；等腰直角三角形；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（2） ①、都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
②，，
，
，，
，
，
故答案为：；4；
（3）如图，以为半径，为圆心画圆得圆，将绕着点旋转一周，则点的轨迹为圆，过点作圆的切线，切点为，，连接，，，，则，，且始终在和之间或在和上，
由图可得当点与重合时，点到的距离为的最小值，
、都是等边三角形，，
，，
，，
，，
在上，且平分，
， ，
，
，，
，
，
点到的距离为，
当点不与重合时，令为点到直线的距离，则为直角三角形，为斜边，为直角边，
，
当点与重合时，最大，为8，
故答案为：．
【分析】
（1） 由等腰直角三角形性质，得，，，再证得，根据全等三角形判定，即可证得，然后根据全等三角形性质，可得；
（2）根据等边三角形性质可得，，再根据全等三角形判定，证得，即可得到；再由，，得到，然后根据勾股定理得，计算即可得出答案；
（3）如图，以为半径，为圆心画圆得圆，将绕着点旋转一周，则点的轨迹为圆，过点作圆的切线，切点为，，连接，，，，得到，，且始终在和之间或在和上，结合图形可得点到的距离为的最小值，证得垂直平分，即可求得的最小值，当点与重合时，证得点到的距离为，当点不与重合时，令为点到直线的距离，则为直角三角形，为斜边，为直角边，根据直角三角形的斜边大于直角边，即可得出的最大值，进而得出结论．
22．【答案】（1）证明：①∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：延长，取，连接，如图所示：
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：延长，使，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）①利用"SAS"证明，得到：，，然后根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得到：，进而即可求解；
②根据平行线的性质得到：，利用"AAS"证明，得到：，然后根据等腰三角形的性质即可得到：，进而得到：，进而即可求解；
（2）延长，取，连接，利用"SAS"证明，得到：，，然后根据角的等量代换得到：，进而即可求解；
（3）延长，使，连接，利用"SAS"证明，得到：，，然后根据平行线的性质得到：，根据角平分线的定义即可求出∠CAF的度数，然后根据平行线的性质和角的运算得到：，最后根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.
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