永嘉县上塘中学2024届高三下学期5月模拟考试
数学试题卷
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上，将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”.
作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上.
非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.
考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.
选择题部分 (共58分)
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 合题目要求的.
已知定义域R的函数f(x)+f(y)=, 求出f(2)是( )
A.0 B. C.1 D.2
集合M={,}则以下可以是 f(x) 的表达式的是( )
A.x B. C. D.
若A+B+sin(A+)+sin(B+)=2,(A≠B)，则的最小值是( )
A. B.2 C. D.
已知抛物线，则焦准距是( )
A.1 B.2 C. D.
边长为2的立方体被一个平面所截，截得的截面图形面积最大值为( )
A.4 B. 2 C.3 D.6
求 的值为 ( )
A.922 B. 923 C. 924 D. 925
平面上的两个点A(),B(),其中横纵坐标均为自然数，且不大于5,则两 点之间的距离可以有多少种取值( )
A.19 B.20 C.25 D.27
古希腊著名的约瑟夫环问题讲的是：共有127个士兵，围成一个环，从一号位的 士兵开始，每个存活下来的人依次杀死相邻的下一位士兵，若一名叫做约瑟夫的 士兵想要存活到最后，那么他最开始应当站在几号位上？( )
A.1 B.63 C.127 D.31
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
已知单位向量共面，则下列说法中正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若，则<>= D.若，则<>=
10. 已知 , ,且 则以下正确的是( )
A. a-lna=b+ B. a+b>1
C. b= D. ab≤
11. 若 m=m(x)=, n=n(x)=，则下列说法中正确的有( )
A. B. m’(x)=n(x) , n’(x)=m(x)
C. n(x)≥x的解集是(0,+) D. m(x)的最小值是 2
非选择题部分 (共92分)
填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分，把答案填在题中的横线上.
函数 f(x)=上有一个动点 P,定点 A(0,-1) 则 的最小值是 ______.
不计容器壁厚度的有盖立方体容器的边长是1，向其中放入两个小球，则这两个小 球的体积之和的最大值是_____.
椭圆的右焦点是 F, 过F的直线交椭圆C于A,B两点.点O是坐标原 点，若直线AB上存在异于F的点P，使得 则的取值范围是_____.
解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
ABC 的对应边是 a,b,c 三角形的重心是 O.已知 OA=3,OB=4,OC=5.
(1) 求 a 的长.
(2) 求 ABC 的面积.
函数 x
求f(x) 的单调区间.
若 f(x)≤ax+在 x≥0时恒成立，求a的取值范围.
已知椭圆C:( a>b>0 )，左右顶点分别是 A(), B().椭圆的离心 率是.点P是直线 上的点，直线PA与PB分别交椭圆C于另外两点M,N.
求椭圆的方程.
若 ，求出的值.
试证明直线MN过定点.
在坐标平面内 0≤x,y≤n (n≥1) 的区域，随机生成一个横纵坐标均为整数的一个 整点P(a,b)(a,b∈Z)，记该点到坐标原点的距离是随机变量X
相关公式:
当 n=2 时，写出X的分布列和期望.
记随机变量 a与b分别表示 P(a,b)的横纵坐标.
求出 a+b 的期望 E(a+b)
现在实际上选取了四个点尝试运用样本的平均值去估计数学期望，以此来得到估计值 (四舍五入取整).
记方差 D(X)，试证明 D(X)<
复平面是人类漫漫数学历史中的一副佳作，他以虚无缥缈的数字展示了人类数学 最纯粹的浪漫.欧拉公式可以说是这座数学王座上最璀璨的明珠,相关的内容是，欧拉公
式:+sin,其中 表示虚数单位,是自然对数的底数.
数学家泰勒对此也提出了相关公式:
其中的感叹号 ! 表示阶乘 !=1x2x3x...x,∈N
试回答下列问题:
试证明欧拉公式.
利用欧拉公式，求出以下方程的所有复数解.
求出角度的 倍角公式(用,).永嘉县上塘中学2024届高三下学期5月模拟考试
数学答案
1 2 3 4
D C B D
5 6 7 8
A B A C
9 10 11
BD ABD ABC
12 13. 14. ( 1 ,
解答题答案：
(1) O是重心，于是 , 故得到
得到 则
同理可以得到 所以
于是正弦定理求出
(1) f’(x)= 定义域是R
故 的单调递增区间是
单调递减区间是
记 , 题意 x≥0 , g(x)≤0, ∵g(0)=0
∴必要条件是 g’(0)=≤0 也即
不妨就令 则
证明 所以 成立
证明 所以 h(x)在 上单调递增
所以 于是 在上成立
综上，于是证明了 也是题目条件的充分条件,所以 是题目条件的充要条件
即 a 得取值范围是 [
(1) , 所以 于是椭圆
所以
设 MN: 联立方程
韦达定理得 由(2)知
因为 所以上式
即 解得 故MN: 过定点(,0)
X 0 1 2
P
(1) 分布列期望是
(i) 所以
(ii) ,,,所以平均数是 7.75
所以取 ， 四舍五入取
先求
则方差 成立
(1) )+()sinx
(i) 所以 (k∈Z)
(ii) sinx=2 , cosx= 所以
))
取对数即得 ln()(k∈Z)
所以令实部相等，即得
