余姚中学 2023 学年第二学期期中检测高二数学试卷答案
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1设集合M x 1 x 5 ， N y y x 1, x M ，则M N （ ）
A． ( 2,5) B． ( 1,4)
C． ( 2, 4) D． ( 1,5)
【答案】A
【分析】先化简集合 N,再求并集.
【详解】因为M x 1 x 5 ，所以 N y 2 y 4 ，所以M N ( 2,5)．
故选：A
2.命题“ x R, x2 4x 6 0 ”的否定为（ ）
2
A． x R, x2 4x 6 0 B． x R, x 4x 6 0
C． x R, x2 4x 6 0 D． x R, x2 4x 6 0
【答案】D
【分析】根据全称命题或者特称命题的否定判断即可；
【详解】根据全称命题或者特称命题的否定，
所以 x R, x2 4x 6 0的否定为 x R, x2 4x 6 0，
故选：D.
p : 2 x3.若 0，则 p成立的一个必要不充分条件是（ ）
x 1
A． 1 x 2 B． x 1 C． x > 2 D． 2 x 5
【答案】B
2 x
【分析】解不等式 ≤ 0得 x 1或 x 2，选出其必要不充分条件即可.
x 1
2 x
【详解】p： ≤ 0，即 (2 x)(x 1) 0且 x 1，解得 x 1或 x 2，
x 1
所以 p： x 1或 x 2，
对于 A， 1 x 2是 p的既不充分也不必要条件；
对于 B， x 1即 x 1或 x 1，是 p的必要不充分条件；
对于 C， x > 2即 x< 2或 x 2，是 p的充分不必要条件；
对于 D， 2 x 5是 p的充分不必要条件；
故选：B.
4．函数 y sin 2x log2 x 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判断函数的奇偶性，可判断 C,D的正误；利用在 (0, )之间的函数零点的个数即可
判断 A,B的正误.
【详解】设 f (x) y sin 2x log2 x ，
则 f ( x) sin 2x log2 x f (x)，
故 f (x) sin 2x log2 x 为奇函数，故 C,D错误；
而令 y sin 2x log2 x 0
时，在 (0, )之间的函数零点有1, 两个，故 B错误，
2
故选：A
5.已知正实数 a,b
5a b
满足 2a b 1 .则 2 的最小值为（ ）a ab
A．3 B．9 C．4 D．8
5a b 4a a b 4 1 4 1
解析： a,b均为正实数， 2
a b a
a ab a a b a b a a b a
4 1 4a a b 5 2 4a a b
4a a b 1
9，当且仅当 ，即 a b 时，等号成
a b a a b a a b a 3
立.故选：B
3 x 1 1,0 x 2
6.已知函数 y f x 是定义在R 上的奇函数，当 x 0时， f x 1 ，若关于
f x 2 ,x 2 3
x 2的方程 f x m 2 f x 2m 0 m R 恰有 4个不相等的实数根，则实数m的值是
（ ）
2 2
A． B 2． ±
3 3
C．0 D．
3
解析：由于函数 y f x 是定义在R 上的奇函数，所以讨论 x 0情况如下：作 y f x ,x 0
图像如下图所示，
关于 x
2
的方程 f x m 2 f x 2m 0 m R ，解得 f x 2或 f x m，
由于 y 2与 y f x , x R图像有一个公共点，则 y f x 图像与 y m图像有三个公共点，
2 2 2
如图所示，m ，同理， x＜0时，m ，所以实数m的值是± .故选：D
3 3 3
7. 若关于 x的不等式 2 ln x ax b e x 恒成立, 则实数 a的取值范围是 ( )
1
A. ,1
1
B. ,e
C. [1, e] D. [1,e] e e
解析: 注意到不等式中间是直线方程, 故临界情况是两条公切线, a 介于两条公切线之间;
x
设切点分别为 x1, 2 ln x1 , x2 ,e 2 , 则
y 1 x ln x 1
1
1
x
x
e 2
1 x1 消元得到:
x2 x2 x2 x2
y e x x2e e ln x1 1 e 1 x2
x 1 ex2 1 x ex22 2 1 x2 x2 1 0 1 x ex22 1 0 x2 1,0
而 a ex2 e 或 1, 结合前面的分析: a [1,e]
故选：D
8.设函数 f (x), f (x)的定义域均为 R , 且函数 f (2x 1), f (x 2)均为偶函数. 若当
x [1,2]时, f (x) ax3 4 , 则 f (90)的值为( )
A. -42 B. -35 C. -28 D.- 21
解析：
f (2x 1) 为偶函数, 则 f ( 2x 1) f (2x 1) 2x x f ( x 1) f (x 1) , 两边同时
求导
f ( x 1) f (x 1) f (x 1) f ( x 1) 0 可得 f (x) 关于 ( 1,0) 对称；
由 f (x 2) 为偶函数，可得 f (x) 关于 x 2 对称；
立马就知道了周期 T 4 , 那么由 f ( 1) f (3) 0, f (x) 关于 x 2 对称;
则 f (3) f (1) 0 , 而 f (1) a 4 0 a 4
故 f (90) f (22 4 2) f (2) 8a 4 28
故选：C
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题有多项符合题目要求，全
部选对得 6分，部分选对得得部分分，有选错的得 0分）
1 1
9.若 0，则下列不等式正确的是（ ）
a b
A. a b 0 1 1 1B. C. a b 1 D. ln a2 lnb2
a b ab a b
答案：BC
10.“ [x] ” 表示不大于 x 的最大整数,例如: [3.8] 3,[ 1.4] 2,[ 4] 4 . 下列关于
[x] 的性质的叙述中,正确的是（ ）
A. [x y] [x] [y] [y]B. 若 1 , 则 | x y | 1
[x]
64
C. 若函数 f n 的解析式为 f n [ n(n 1)], n N * , 则 f n 2080
n 1
M 2
22 23 22024
D. 3 3 3
被 3 除余数为 1
3
答案： ACD
分析：对于 A，由定义“ x ”表示不大于 x的最大整数可知， x y x y ,故
x x y - y ，用 x y代换 x，即得 x y x y ，故 A正确.
y 1
对于 B,不妨设 y 1, x 2，满足 1，但此时 x y 3 1，故 B错误。
x 2
n2 n n 1 n 1 2对于 C，由 ，可得 n n n 1 n 1，故 f n n，
64 1+64 64 f n =2080 ,故 C正确.
n 1 2
22k 1 22k 22k 1 22k 2k 1
D k 与 22k 1 2 对于 ，对任意自然数 ， 均不是整数，且 ，
3 3 3 3 3
22k 22k 1 22k k 2 2
2k 1 1
1 22k 1 1 .当 时， 被 3 除余 1，上述分析知，M 被 3
3 3 3
除余数为 1012，而 1012=3×337+1，所以 D正确。
11.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 X 所有可能的取值为1,2, ,n，且
n n
P X i pi 0 i 1,2, ,n ， pi 1，定义 X 的信息熵H X pi log2 pi .下列正确
i 1 i 1
的为（ ）
A．若 n 1，则H X 0
B．若 n 2，则H X 随着 p1的增大而增大
C．若 p
1
i i 1,2, ,n ，则H X 随着 n的增大而增大n
D．若 n 2m，随机变量Y 所有可能的取值为1,2, ,m，且
P Y j p j p2m 1 j j 1,2, ,m ，则H X H Y
解析：对于 A选项，当 n 1时， p1 1，则H X log2 p1 0，A选项正确；
对于 B选项，当 n 2时， p1 p2 1，则 p2 1 p1，其中0 p1 1，
H X 1 1 3 3 p
1
1 log2 p1 1 p1 log2 1 p1 .当 p1 时，H X log4 4 2
log
4 4 2
；
4
3 3 3 1
当 p1 时，H X log2 log
1
2 .两者相等，B选项错误；4 4 4 4 4
1 1 1
对于 C选项，若 pi i 1,2, ,n ，则H X n log2 log2 n，所以，H X 随着 nn n n
的增大而增大，C选项正确；
对于 D选项，若 n 2m，随机变量Y 所有可能的取值为1,2, ,m，且
P Y j p j p2m 1 j j 1, 2, ,m ，
2m 2m
H X p log p p log 1 1 i 2 i i 2 p1 log2 p2 log 12 p2m log 12
i 1 i 1 pi p1 p2 p
，
2m
H Y p 1 11 p2m log2 p2 p2m 1 log2 pm pm 1 log
1
p1 p2m p2 p
2
2m 1 pm pm 1
p 1 1 1 1 log2 pp 2
log2 p2m log2 ，
1 p2m p2 p2m 1 p1 p2m
1 1 1 1
pi 0 i 1, 2, , 2m ， p p p ，所以， log2 log2 ，i i 2m i 1 pi pi p 2m i 1
则 p log
1
i 2 p
1
p i
log2 p ，所以，
H X H Y ，D选项正确.
i i p 2m i 1
故选：ACD.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 已知函数 f x 1 2为偶函数，当 x 1时， f x x 4x 1，求当 x 1时的解析式
f x ___________________.
x2答案： 3
解析：注意到函数关于 x=1对称，即 f x f 2 x ，所以当 x 1时，则 2 x 1，
f x f 2 x 2 x 2 4 2 x 1=x 2 3
13. x已知函数 f x 3 2 2，对于任意的 x2 0,1 ，都存在 x1 0,1 ，使得
f x1 2 f x2 m 13成立，则实数 m的取值范围为__________．
1 1
【答案】 log2 , log6 2 3
【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解
【详解】 f x1 5,8
13 f x1 5 , 4
2 2
，
f x2 m 3 2x2 m 2 3 2
m 2,3 21 m 2 ，
3 5 2m 2 2
m 1
6 1 1
由题意得 2 log2 m log2
3 2m 1 2 4 2m 1 2 6 3
3
1 1
故答案为： log2 , log6 2 3
14.已知函数 f x x a x 3 3 x a x 2，若函数
x x f x 6对一切 x R 均成
立，则实数 a的取值范围________________.
【答案】 ( , 1] [5, )
3 3
【分析】分 x a x 2 0和 x a x 2 0两种情况去掉绝对值讨论，再通过求式
x x
子的最值可求得实数 a的取值范围
【详解】 f x x a 3 3 x x a x 2 6
x x
（1）当 x a x
3 2 0 3 ，即 x a x 2时，
x x
f x x a x 3 x a x 3 2 6，
x x
2 x a 4，得 x a 2
①当 2 x
3
2，即1 x 3时，
x
则 x a 2，得 x a 2或 x a 2，
所以 a≥ x 2或 a x 2恒成立，
所以a 5或 a 1，
3
②当 2 x 2，即 0 x 1或 x 3时，则
x
x a x 3 2恒成立，
x
3 3
所以 x a x 2或 x a 2 x ，
x x
3 3
所以 a 2 或 a 2x 2恒成立，
x x
因为当 0 x 1或 x 3时， 2
3
无最小值， 2x
3
2无最大值，
x x
所以不合题意，
x a x 3 3（2）当 2 0，即 x a x 2，
x x
f x x a x 3 x a x 3 2 6，
x x
得 2x
6
2 6，解得0 x 1或 x 3，
x
3 2
令 g(x) x 2，则 g (x) 3 x 3 1 ，
x x2 x2
当0 x 1时， g (x) 0，当 x 3时， g (x) 0，
所以 g(x)在 (0,1]上递减，在[3, )递增，
因为 g(1) 1 3 2 2, g(3) 3 1 2 2，
所以 g(x)min 2 ，
所以 x a 2，得 2 x a 2，
得 x 2 a x 2恒成立，
因为 x-2在[3, )无最大值，所以不等式无解，
综上a 5或 a 1，即实数 a的取值范围为 ( , 1] [5, )
故答案为： ( , 1] [5, )
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15（. 满分 13分）已知集合 A {y | y 2x，x [2，3]}，B {x | x2 3x a2 3a 0，a 0}．
（1）当 a 4时，求 A B；
（2）若命题“ x A”是命题“ x B”的充分不必要条件，求实数 a的取值范围．
【分析】（1）求出集合 A， B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．
（2）根据充分条件和必要条件的定义结合集合之间的关系即可得到结论．
【解答】解：（1）当 a 4时，B {x | x2 3x a2 3a 0} {x | x2 3x 28 0} {x | x 4或
x 7}．
A {y | y 2x， x [2， 3]} {y | 8 y 4}，
则 A B {x | 8 x 7}．
（2）若命题“ x A”是命题“ x B”的充分不必要条件，则 A B，
B {x | x2 3x a2 3a 0} {x | (x a)(x a 3) 0}．
对应方程的两个根为 x a或 x a 3，
已知 a 0，此时 B {x | x a或 x a 3}}，
若满足 A B，则 a 3 4或 a 8（舍 )，解得 0 a 1．
16.（满分 15分）某校工会为弘扬体育精神推动乒乓球运动的发展现组织 A、B两团体运动
员进行比赛.其中 A团体的运动员 3名，其中种子选手 2名；B团体的运动员 5名，其中种
子选手m 1 m 5 名.从这 8名运动员中随机选择 4人参加比赛.
（1）已知m 2，若选出的 4名运动员中恰有 2名种子选手，求这 2名种子选手来自团体 A
的概率；
（2）已知m 1，设 X 为选出的 4人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列及其期望；
【详解】（1）由已知得：设“选出的 4名运动员中恰有 2名种子选手”为事件 A，
2 2
P(A) C4C4 36 18 4 C8 70 35
设“选出的 4名运动员中恰有 2名种子选手来自团体 A”为事件 B，则 B团体选择 2名非种子
选手，
2 2
P(AB) C 2C4 34 .C8 35
故选出的 4名运动员中恰有 2名种子选手，这 2名种子选手来自团体 A的概率为
P AB P B A 1
P A 6 .
（2）由于m 1，所以共有 3名种子选手， X 可取的值为 0，1，2，3.
0 4 1 3
P(X 0) 1 C3C54 ; P(X 1)
C 33C5 ;
C8 14 C48 7
2 2 3 1
P(X 2) C3C 354 ; P(X 3)
C3C 15 ;
C8 7 C48 14
随机变量 X 的分布列如下：
X 0 1 2 3
P 1 3 3 1
14 7 7 14
E X 0 1 3 3 1 3 1 2 3
14 7 7 14 2
x
17.（满分 15分）已知函数 f (x) 2a a 4 x (a 0,a 1) 是定义在 R上的奇函数．2a a
（1）求实数 a的值；
（2）判断 f (x)在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；
（3） x 1,2 ，使得 t f x 2x 2成立，求实数 t的取值范围．
解析（1） f (x) 1
4 4
a 2
2a x
,令 x 0, f (0) 1 0, a 2, 经 检验 时，
a 2 a
f (x)为定义在 R上的奇函数.（或由 f ( x) f (x) 0 a 2 ）
x
（2） f (x) 2 1 x 是 R上的增函数．2 1
证明：任取 x1, x2 R,且 x1 x2
x1 x2
f (x1) f (x
2
2 ) (1 x ) (1
2 ) 2(2 2 )
2 1 1 2x2 1 (2x1 1)(2x2 1)
x x , 0 2x1 2x21 2 , 2
x1 2x2 0,2x1 1 0,2x2 1 0
f (x1) f (x2 ) 0, 即 f (x1) f (x2 ) 所以 f (x)是 R上的增函数．
3 t f (x) 2x（ ）不等式： 2, (2x ) 2 (t 1) 2x t 2 0,
令u 2x， x 1,2 则u 2,4 .
2
原不等化为u2 (t 1)u t 2 0 (u 1)t u2 u 2 t u u 2
u 1
2 2
令u 1 v, v 1 3 ,t v 2 v (v 2 v ， ，而 )min (v
2
1)min 0 ，v v v
所以 t 0．
18.（满分 17分）已知函数 f (x) (ax 1)ex ,a R .
（1）讨论 f ( x ) 的单调性;
（2）若 a 1 ,求证：当 x 1时, f (x) ex ln(x 1) x 1.
解析：（1）依题意, f (x)的定义域为 ( , ), f (x) (ax a 1)ex ,当 a 0
时, f (x) ex 0, f (x)在 ( , )单调递减;当 a 0 x 1 a 时,当 时, f (x) 0 ,当
a
x 1 a f (x) 0 f (x) ,1 a 1 a , 时, ,∴ 在 单调递减,在a a a
单调递增;
a 1 a 1 a 1 a当 0 时,当 x 时, f (x) 0 ,当 x 时, f (x) 0 ,∴ f (x)在 ,
a a a
1 a
单调递增,在 , 单调递减;
a
综上,当 a 0时, f (x)在 ( , ) 1 a单调递减;当 a 0 时, f (x)在 ,
单调递减,
a
1 a
在 , )
1 a 1 a
单调递增;当 a 0时, f (x)在 , 单调递增,在 , a a a
单调
递减;
（2）当 a 1,要证明 f (x) ex ln(x 1) x 1 x x,即证明 (x 1)e e ln(x 1) x 1,
∵ ex 0, 只需证明 x 1 ln(x 1) (x 1)e x ,即 (x 1)e x ln(x 1) x 1 0 ,
设 g(x) (x 1)e x ln(x 1) x 1,则
x ex x 1
g (x) xe x 1 1
1 x e x ,设 h(x) e
x x 1,则
x 1 x 1 (x 1)ex
h (x) ex 1, 当 1 x 0时, h (x) 0 ;当 x 0时, h (x) 0；∴ h(x)在 ( 1,0)单调
递减,在 (0, )单调递增;∴h(x) h(0) 0,当 1 x 0时, g (x) 0 ;当 x 0
时, g (x) 0; g(x)在 ( 1,0)单调递减,在 (0, )单调递增∴ g(x) g(0) 0, 当
x 1时, f (x) ex ln(x 1) x 1.
19.（满分 17分）某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠
1
之间的接触传染，现有 n只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为 2 ，被感染的白鼠
数用随机变量 X 表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立.
（1）若P X 5 P X 95 ，求数学期望 E X ；
（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为 p，现有两个不同的研究团队理论研究发现概
p 0 1 2. A p ln 1 2率 与参数 的取值有关 团队 提出函数模型为 .团队 B提出
3
1
函数模型为 p 1 e .现将白鼠分成 10组，每组 10只，进行实验，随机变量2
X i i 1,2, ,10 表示第 i组被感染的白鼠数，现将随机变量 X i i 1,2, ,10 的实验结果
xi i 1,2, ,10 绘制成频数分布图，如图所示.
（ⅰ）试写出事件“ X1 x1， X 2 x2 ，…， X10 x10 ”发生的概率表达式（用 p表示，组合数
不必计算）；
（ⅱ）在统计学中，若参数 0时使得概率 P X1 x1 ,X 2 x2 ,L,X10 x10 最大，称 0是 的
最大似然估计.根据这一原理和团队 A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以
3
求出 的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据： ln 0.4065 .
2
1
解析：（1）由题知，随机变量 X 服从二项分布， X ~ B(n, )，
2
P X 5 P X 95 C5 (1)5(1 1) n 5 C n 5(1 n 5 1 5由 ，即 n ) (1 ) ，得 n 100，所以2 2 n 2 2
E(X ) np 50 ．
（2）（ⅰ） A "X1 x1, X 2 x2 , , X10 x10 "，
P(A) (C110 p(1 p)
9 )3 (C210 p
2 (1 p)8 )3 (C310 p
3 (1 p)7 )2 (C4 p410 (1 p)
6 )(C610 p
6 (1 p)4，)
P(A) (C1 3 210) (C10)
3(C3 ) 2(C 4 2 2510 10) p (1 p)
75
．
ⅱ g(p) ln(C1 ) 3(C 2 ) 3(C3 ) 2（ ）记 10 10 10 (C
4 2
10) 25ln p 75ln(1 p) ，则
g (p) 25 75 25 100 p 1，当0 p 时， g (p) 0， g( p)
1
单增；当 p 1p 1 p p(1 p) 时，4 4
g (p) 0， g( p) p
1
单减；当 时， g( p)取得最大值，即 P取得最大值．在团体A提出的
4
函数模型 p ln 1 2 2 2, 0 1 f (x) ln(1 x) x 2中，记函数 1 , 0 x 1 ，3 3
f (x) 1 4 4x
2 4x 3 1 1
1 x ，当0 x 时， f (x) 0， f (x)单增；当 x 1时，1 x 3 3(1 x) 2 1 1 2
f (x) 0 f (x) x 1 f (x) ln 3 1 11 ， 1 单减．当 时， 取得最大值 ，（ ln
3
0.4065），则 不
2 2 6 4 2
1 1 x
可以估计．在团体 B提出的函数模型 p (1 e )中，记函数 f2 (x) (1 e ) ， f2 (x)单调2 2
递增，令 f2 (x)
1
，解得 x ln 2，则 ln 2是 的最大似然估计．
4余姚中学 2023 学年第二学期期中检测高二数学试卷
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.设集合M x 1 x 5 ， N y y x 1, x M ，则M U N （ ）
A． ( 2,5) B． ( 1,4)
C． ( 2,4) D． ( 1,5)
2.命题“ x R, x2 4x 6 0 ”的否定为 （ ）
A． x R, x2 4x 6 0 B． x R, x2 4x 6 0
C． x R, x2 4x 6 0 D． x R, x2 4x 6 0
3.若 p : 2 x 0，则 p成立的一个必要不充分条件是 （ ）
x 1
A． 1 x 2 B． x 1 C． x > 2 D． 2 x 5
4．函数 y sin 2x log2 x 的图象大致是 （ ）
A． B．
C． D．
5a b
5.已知正实数 a,b满足 2a b 1 .则 2 的最小值为 （ ）a ab
A．3 B．9 C．4 D．8
3 x 1 1,0 x 2
6.已知函数 y f x 是定义在R 上的奇函数，当 x 0时， f x 1 ，若关于
f x 2 ,x 2 3
x的方程 f x
2
m 2 f x 2m 0 m R 恰有 4个不相等的实数根，则实数m的值是
（ ）
2 2 2
A． B． C．0 D．±
3 3 3
7. 若关于 x的不等式 2 ln x ax b ex恒成立， 则实数 a的取值范围是 （ ）
1 ,1 1A. B. , e
C. [1, e] D. [1,e]
e e
8.设函数 f (x), f (x)的定义域均为R ， 且函数 f (2x 1), f (x 2)均为偶函数.若当
x [1,2]时， f (x) ax3 4，则 f (90)的值为 （ ）
A. 42 B. 35 C. 28 D. 21
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题有多项符合题目要求，全
部选对得 6分，部分选对得得部分分，有选错的得 0分）
1 1
9.若 0，则下列不等式正确的是 （ ）
a b
1 1 1 1
A. a b 0 B. C. a b D. ln a2 lnb2
a b ab a b
10.“[x]”表示不大于 x的最大整数，例如：[3.8] 3,[ 1.4] 2,[ 4] 4 .下列关于[x]
的性质的叙述中，正确的是 （ ）
A. [x y] [x] [y]
[y]
B. 若 1 , 则 | x y | 1
[x]
64
C. 若函数 f n 的解析式为 f n [ n(n 1)],n N *， 则 f n 2080
n 1
2 22 23 2024
D. M
2
被 3 除余数为 1
3 3 3 3
11.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 X 所有可能的取值为1,2, ,n，且
n n
P X i pi 0 i 1,2, ,n ， pi 1，定义 X 的信息熵H X pi log2 pi .下列正确
i 1 i 1
的为 （ ）
A．若 n 1，则H X 0
B．若 n 2，则H X 随着 p1的增大而增大
1
C．若 pi i 1,2, ,n ，则H X 随着 n的增大而增大n
D．若 n 2m，随机变量Y 所有可能的取值为1,2, ,m，且
P Y j p j p2m 1 j j 1,2, ,m ，则H X H Y
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 f x 1 为偶函数，当 x 1时， f x x2 4x 1，则当 x 1时的解析式
f x __________．
13. x已知函数 f x 3 2 2，对于任意的 x2 0,1 ，都存在 x1 0,1 ，使得
f x1 2 f x2 m 13成立，则实数 m的取值范围为__________．
3 3
14.已知函数 f x x a x x a x 2 .若函数 f x 6对一切 x R 均x x
成立，则实数 a的取值范围_________．
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（满分 13 分）已知集合 A {y | y 4x 16，x [2，3]}，B {x | x2 3x a2 3a 0，a 0}．
（1）当 a 4时，求 A B；
（2）若命题“ x A”是命题“ x B”的充分不必要条件，求实数 a的取值范围．
16.（满分 15 分）某校工会为弘扬体育精神推动乒乓球运动的发展，现组织 A、B两团体运
动员进行比赛.其中 A团体的运动员 3 名，其中种子选手 2 名； B团体的运动员 5名，其中
种子选手m 1 m 5 名.从这 8名运动员中随机选择 4人参加比赛.
（1）已知m 2，若选出的 4名运动员中恰有 2名种子选手，求这 2名种子选手来自团体 A
的概率；
（2）已知m 1，设 X 为选出的 4人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列及其期望.
x
17. 2a a 4（满分 15分）已知函数 f x (a 0，a 1)是定义在R 上的奇函数．
2a x a
（1）求实数 a的值；
（2）判断 f x 在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；
（3） x 1,2 ，使得 t f x 2x 2成立，求实数 t的取值范围．
18.（满分 17分）已知函数 f (x) (ax 1)ex， a R .
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）若 a 1，求证：当 x 1时, f (x) ex ln(x 1) x 1.
19.（满分 17分）某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠
1
之间的接触传染，现有 n只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为 2 ，被感染的白鼠
数用随机变量 X 表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立.
（1）若 P X 5 P X 95 ，求数学期望 E X ；
（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为 p，现有两个不同的研究团队理论研究发现概
率 p与参数 0 1 2 2的取值有关.团队 A提出函数模型为 p ln 1 .团队 B提出
3
1
函数模型为 p 1 e .现将白鼠分成 10组，每组 10只，进行实验，随机变量2
X i i 1,2, ,10 表示第 i组被感染的白鼠数，现将随机变量 X i i 1,2, ,10 的实验结果
xi i 1,2, ,10 绘制成频数分布图，如图所示.
（ⅰ）试写出事件“ X1 x1， X2 x2，…， X10 x10”发生的概率表达式（用 p表示，组
合数不必计算）；
（ⅱ）在统计学中，若参数 0时使得概率P X1 x1, X 2 x2 ,L, X10 x10 最大，称 0是
的最大似然估计.根据这一原理和团队 A， B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可
3
以求出 的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据： ln 0.4065 .
2
命题人：施剑锋 审题人：沈科杰
