南宁市第二中学2023-2024学年高三下学期5月月考
数 学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C．
【解析】因为，所以，
所以，所以，
所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限，故选：C．
2．已知，则
A． B． C．1 D．
【答案】A．
【解析】由，解得，
所以．故选：A．
3．若函数在区间上有，则的递增区间是
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】设，当时，，因为，所以，
函数在上单调递减，因为的单调递减区间为，
所以的递增区间为，故选A．
4．已知集合，集合，则的子集个数为
A．8 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】集合A表示直线上的所有点的集合，集合B表示圆上所有点的集合，
因为圆心到直线的距离为，等于圆的半径，故直线与圆相切，
故中只有一个元素，故的子集个数为．故选：C．
5．已知平面直角坐标系中，椭圆：（）的左顶点和上顶点分别为，过椭圆左焦点且平行于直线的直线交轴于点．若，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由椭圆：的方程可得：
，其中，则，
过椭圆左焦点且平行于直线的直线方程为：，
将代入该直线方程，可得点的坐标为，若，则，得．故选：D．
6．8名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相邻，则不同的排列方式共有（ ）
A．1152种 B．1728种 C．2304种 D．2880种
【答案】C
【解析】由题意可知：D站在前排，A站在后排，
若E和F站在前排，则不同的排列方式共有；
若E和F站在后排，则不同的排列方式共有；
所以不同的排列方式共有种．故选：C．
7．已知等差数列的前项和为，若，则
A．有最小值25 B．有最大值25 C．有最小值50 D．有最大值50
【答案】B
【解析】由，可得，
因则等差数列的公差，故，
则，当且仅当时取等号，
即当时，取得最大值25．故选：B．
8．在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，是正方体表面上的一点，若，则线段长度的最大值是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】连接，在正方体中，平面，
四边形是正方形，因为平面，所以，
又，，且平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
所以当点P在线段（点除外）时，，取的中点E，连接，
在正方形中，因为E为的中点，是棱的中点，所以，因为平面，平面，所以，因为，
且平面，平面，所以平面，又平面，
所以，因为，且平面，平面，
所以平面，设平面平面，则，所以，则是棱的中点，
所以当点在正方体的表面线段上时，,
由题意可知，在梯形中，
，，，
，
所以线段长度的最大值是．故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．一个袋中有大小 形状完全相同的3个小球，颜色分别为红 黄 蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则
A． B．为互斥事件
C． D．相互独立
【答案】AC
【解析】正确；
可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，不互斥，错误；
在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为正确；
不独立，
D错误．故选：AC．
8．已知函数，对于任意，有，则
A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递减 D．函数在上共有6个极值点
【答案】ACD
【解析】因为，所以，
因此，从而，注意到，
故，所以，
又，即的图象关于直线对称，从而，
即，，所以，又，所以，
所以，所以的最小正周期为，A正确．
因为，所以函数的图象不关于点对称，B错误．
当时，，故函数在上单调递减，C正确．
令，得,令,得,故,易知函数在单调递增，在单调递减，故函数在上共有6个极值点，D正确．
故选：ACD．
11．已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足：，且在上单调递减，，则下列结论错误的是
A． B．
C．在定义域内单调递减 D．为奇函数
【答案】BC
【解析】对于，令，则，
因，故得，故A正确；
对于由，令，则，
则，即，
故是以为首项，2为公比的等比数列，
于是，故B错误；
对于，由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
令，则①，
把都取成，可得②，
将②式代入①式，可得，化简可得即为奇函数，故D正确；
对于C，在上单调递减，函数为奇函数，可得在上单调递减，
但是不能判断在定义域上的单调性，例如，故C错误．故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为_____________．
【答案】
【解析】圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为，底面半径为2，圆锥的高为，所以圆锥的体积为故答案为
13．在中，，点Q满足，则的最大值为_____________．
【答案】
【解析】设中点为M，则，
，
由，知P点轨迹是以为弦，圆周角为的优弧，
∴当时，最大，此时是等边三角形，
则．
故答案为：．
14．设，，．将，，这三者中的最大值记为．当，变化时，的最小可能值是_____________．
【答案】．
【解析】不妨设，则只需考虑及两种情形．
若，则，则；
若，即，即，则，
当，时，取到最小值．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知数列满足．
（1）若数列满足，证明：是常数数列；
（2）若数列满足，求的前项和．
【解析】（1）因为
，
所以，所以是常数数列．
（2）因为，所以，所以，所以．
因为，
所以
，所以．
16．（15分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得．
（1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物覆盖面积x（单位：公顷）的相关程度；
（2）已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列．
附：相关系数．
【解析】（1）样本，，2，， 的相关系数为
．
由于相关系数,，则相关性很强，的值越大，相关性越强．
故，故相关性越强．
（2）由题意得：的可能取值为0，1，2，
20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区的这种野生动物数量不低于样本平均数，
所以，，，
所以的分布列为：
0 1 2
17．（15分）在梯形中，，，四边形为矩形，平面平面，．
（1）求证：平面；
（2）若点在线段上运动，设平面与平面的夹角为，试求的范围．
【详解】（1）证明：在梯形中，因为，，，
所以，由余弦定理得，
可得，所以，
因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面．
（2）解：因为四边形为矩形，所以，
又因为平面，平面平面，平面平面，
所以平面，又因为，
以为原点，以，，所在直线为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，
由平面，可得平面的法向量，
又由，设，
可得，，
设平面的法向量，，
令，可得，所以，
则，
当时，可得最小为；当时，最大为，
所以的范围为．
18．（17分）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线于A，B两点，斜率为2的直线l与直线MA，MB，AB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围．
【解析】（1）因为，故，故抛物线的方程为：．
（2）【方法一】（通解通法）：设，，，
所以直线，由题设可得且.
由可得，故，
因为，故，故.
又，由可得，同理，
由可得，所以，
整理得到
，故，
令，则且，故，
故即，解得或或．
故直线在轴上的截距的范围为或或．
【方法二】（利用焦点弦性质）：
设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，
直线的方程为，由题设可得且．
由得，所以．
因为，，．
由得．同理．
由得．因为，
所以，即．故．
令，则．
所以，解得或或．
故直线在x轴上的截距的范围为．
【方法三】（最优解）：设，
由三点共线得，即．
所以直线的方程为，直线的方程为，
直线的方程为．
设直线的方程为，则．
所以．故（其中）．
所以．因此直线在x轴上的截距为．
19．（17分）设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上单调递减，在上单调递增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”．
（1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：
（i），（ii）；
（2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；
（3）设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值．
【解析】（1）函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点；
函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数．
（2）由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点，
令，所以，
设，所以，由可知恒成立，
所以在区间上单调递增，若满足谷点，则有，解得，
故m的取值范围是．
（3）因为，
所以，
若恒成立，
则函数在时单调递增，在时单调递减，不是谷函数，不满足题意；
因此关于x的方程有两个相异实根，即，
设两根为，且，
因为，所以函数在区间上不单调递增，
但是当时，，为单调递增，
所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个零点，即，
同理，因为，所以，
因此，在区间和上单调递增，在区间和上单调递减，
从而函数的含谷区间必满足，
即，
因为，
，
由得，所以，
由得，所以，
所以，
当时，，
当时，，
因此的最小值为，当时成立．南宁二中 2024 年 5 月高三月考
数 学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1
1．已知复数 z 满足 zi +1= ，复数 z 的共轭复数为 z ，则 z 在复平面内对应的点位于
2 + i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
π
2．已知 tan + = 3，则 cos 2 =
4
3 3
A． B． C．1 D． 1
5 5
3．若函数 ( ) = log | 1|在区间(1，2)上有 ( ) > 0，则 ( )的递增区间是
A．( ∞，1) B．(1，+∞) C．( ∞， 1) D．( 1，+∞)
2 2 1
4．已知集合 A = (x, y) y = x ，集合B = (x, y) x + ( y 1) = ，则 的子集个数为
2
A．8 B．3 C．2 D．1
x2 y2
5．已知平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C ： + =1（ > > 0）的左顶点和上顶点分别为 A, B，过椭
a2 b2
圆C 的左焦点F 且平行于直线 AB 的直线交 y 轴于点D．若OD = 2DB ，则椭圆C 的离心率为
1 3 1 2
A． B． C． D．
2 2 3 3
6．8 名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A不站在前排，D不站在后排，E和 F左右相邻，
则不同的排列方式共有
A．1152 种 B．1728 种 C．2304 种 D．2880 种
7．已知等差数列 an 的前n 项和为 Sn ，若a2 a1 0, S20 =100，则a10a11
A．有最小值 25 B．有最大值 25 C．有最小值 50 D．有最大值 50
8．在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B C D CC1 1 1 中，点F 是棱 1 的中点， P 是正方体表面上的一点，若
D1P ⊥ AF ，则线段D1P长度的最大值是
34 3
A． 2 B． C． D． 3
4 2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．一个袋中有大小 形状完全相同的 3 个小球，颜色分别为红 黄 蓝，从袋中先后无放回地取出 2 个
球，记“第一次取到红球”为事件 A，“第二次取到黄球”为事件 B ，则
1 1
A．P (A) = B． A, B为互斥事件 C．P (B∣A) = D． A, B相互独立
3 2
【5 月月考数学试题 第 1 页，共 4 页】
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π π
10．已知函数 f (x) = sin ( x + )(0 ， π)，对于任意 x R ，有 f x = f + x = f (x)，则
6 3
2π
A．函数 f (x)的最小正周期为
3
7
B．函数 f (x)的图象关于点 π,0 对称
12
π π
C．函数 f (x)在 , 上单调递减
12 12
D．函数 f (x)在 ( π,π)上共有 6 个极值点
11．已知函数 f (x)的定义域和值域均为 x∣x 0, x R ，对于任意非零实数 x, y, x + y 0，函数 f (x)满
足： f (x + y)( f (x)+ f ( y)) = f (x) f ( y )，且 f (x)在( ∞，0)上单调递减， f (1) =1，则下列结论错
误的是
1
A． f = 2
2
2023
1
f 2023B． = 2 2 i
i=1 2
C． f (x)在定义域内单调递减
D． f (x)为奇函数
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．若圆锥的侧面展开图是半径为 4 的半圆，则此圆锥的体积为___________．
13．在△ 中， AB = 4, APB = ，点 Q满足QP = 2(AQ + BQ)，则QA QB 的最大值为___________．
3
14．设 ， ≥ 0， + = 1．将 2， 2，2 这三者中的最大值记为 ．当 ， 变化时， 的最小可能值
是___________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13 分）已知数列 an 满足 a1 =1,nan+1 (n+1)an =1．
1+ a
（1）若数列 bn 满足b n bn = ，证明： n 是常数数列；
n
π a
（2）若数列 c 满足cn = sin an + 2 nn ，求 cn 的前2n项和 S2n ．
2
【5 月月考数学试题 第 2 页，共 4 页】
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16．（15 分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区植物
覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取 20 个作
为样区，调查得到样本数据 (xi , yi ) (i =1,2, , 20)，其中 xi 和 yi 分别表示第 i个样区的植物覆盖面积（单
位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得
20 20 20
2 2
(xi x ) = 80, ( yi y ) = 9000, (xi x )( yi y ) = 800．
i=1 i=1 i=1
（1）求样本 (xi , yi ) (i =1,2, , 20)的相关系数（精确到 0.01），并推断这种野生动物的数量 y（单位：
只）和植物覆盖面积 x（单位：公顷）的相关程度；
（2）已知 20 个样区中有 8 个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从 20 个样区中随机抽取 2
个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为 X，求随机变量 X的分布列．
n
(xi x )( yi y )
i=1
附：相关系数 r = , 2 1.414．
n n
2 2
(xi x ) ( yi y )
i=1 i=1
17（．15分）在梯形 ABCD中，AB / /CD ，AD = DC =CB =1, ABC = 60 ，四边形 ACFE 为矩形，平面 ACFE ⊥
平面 ABCD，CF =1．
（1）求证： ⊥平面 ACFE ；
（2）若点M 在线段EF 上运动，设平面MAB与平面FCB的夹角为 ，试求cos 的范围．
【5 月月考数学试题 第 3 页，共 4 页】
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2
18．（17 分）如图，已知 F是抛物线 y = 2 px ( p 0)的焦点，M是抛物线的准线与 x轴的交点，且
MF = 2．
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点 F的直线交抛物线于 A，B两点，斜率为 2 的直线 l与直线MA，MB，AB，x轴依次交
2
于点 P，Q，R，N，且 RN = PN QN ，求直线 l在 x轴上截距的范围．
y l
PA
R
N
O F xM
B
Q
19．（17 分）设 y = f (x)是定义在R 上的函数，若存在区间 a,b 和 x0 (a,b)，使得 y = f (x)在[a, x0 ]上
单调递减，在[x0 ,b]上单调递增，则称 y = f (x)为“含谷函数”， x0 为“谷点”， a,b 称为 y = f (x)的一
个“含谷区间”．
（1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：
（i） y = 2 x ，（ii） y = x + cos x；
2
（2）已知实数m 0， y = x 2x m ln (x 1)是含谷函数，且 2,4 是它的一个含谷区间，求m 的取
值范围；
（3）设 p, q R ， h (x) = x4 + px3 + qx2 + (4 3p 2q) x．设函数 y = h (x)是含谷函数， a,b 是它的
一个含谷区间，并记b a的最大值为 L ( p,q)．若h (1) h (2)，且h (1) 0，求 L ( p,q)的最小值．
【5 月月考数学试题 第 4 页，共 4 页】
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