(共40张PPT)
2.1 必要条件与充分条件
第2课时 充分条件
北师大版高中数学必修一课件
目录
01
02
03
04
新课导入
合作探究
课堂练习
拓展延伸
01
新课导入
课标定位
素养阐释
1.理解充要条件的意义.
2.掌握充分、必要、充要条件的应用.
3.区分充分不必要条件、必要不充分条件.
4.体会抽象概括的过程,加强逻辑推理素养的培养.
一、充要条件的含义
【问题思考】
1.(1)已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数.请判断:p是q的充分条件吗 p是q的必要条件吗
提示:因为p q,所以p是q的充分条件.
又q p,所以p是q的必要条件.
(2)通过问题(1)的判断,你发现了什么 这种关系是否对任意一个“若p,则q”的命题只要具备上述命题的条件都成立 你能用数学语言概括出来吗
提示:可以发现p既是q的充分条件,又是q的必要条件,且这种关系对“若p,则q”的命题只要具备p q,且q p都成立,即p q.
2.填空:抽象概括
一般地,如果 p q ,且 q p ,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作 p q .
3.想一想:符号“ ”的含义是什么
提示:符号“ ”的含义是“等价于”.
二、充分条件、必要条件、充要条件的判断
【问题思考】
1.观察两个集合A={x|x>0}和B={x|x>1},
(1)集合A,B满足什么关系
(2)若p:x>0,q:x>1,则p是q的什么条件
提示:(1)B A.
(2)p是q的必要条件.
2.想一想:若p不是q的充分条件,则q可能是p的必要条件吗 p可能是q的必要条件吗
提示:充分条件与必要条件是共存的,如果p不是q的充分条件,则q也不是p的必要条件.但p可能是q的必要条件.
4.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
设条件p,q对应的集合分别为A,B.
(1)若A B,则p是q的充分条件,若A B,则p是q的充分条件,但不是必要条件;
(2)若B A,则p是q的必要条件,若B A,则p是q的必要条件,但不是充分条件;
(3)若A=B,则p,q互为充要条件.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)当p是q的充要条件时,也可以说成q成立当且仅当p成立.
( √ )
(2)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题.
( √ )
(4)“1
02
合作探究
探究一 充要条件的判断
【例1】 在下列各题中,试判断p是q的什么条件.
(1)若a,b∈R,p:a2+b2≠0,q:a,b不全为0;
(2)p:x=1,q:x2-2x+1=0.
解:(1)由a2+b2≠0 a,b不全为0,反之,由a,b不全为0 a2+b2≠0,
故p是q的充要条件.
(2)解x2-2x+1=0,得x=1,所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件,即p是q的充要条件.
判断充要条件的两种思路
(1)命题角度:判断p q及q p这两个命题是否成立.若两者都成立,则p与q互为充要条件.
(2)集合角度:从集合角度去判断,结合集合中“小集合 大集合”的关系来理解.
【变式训练1】 a,b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A.ab=0 B.ab>0
C.a2+b2=0 D.a2+b2>0
解析:若a2+b2>0,则a,b不同时为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0.
答案:D
探究二 充分、必要条件的判断
【例2】 在下列各题中,试判断p是q的什么条件.
(1)p:y+x>4,q:x>1,y>3;
(2)p:a>b,c<0,q:ac(3)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC为等腰三角形.
解:(1)y+x>4不能推出x>1,y>3,即p q,而x>1,y>3可得x+y>4,即q p,故p是q的必要条件,但不是充分条件.
(2)当a>b,c<0时,有acb,c<0,也可能是a0,即q p,故p是q的充分条件,但不是必要条件.
(3)如图.由图可知p,q对应集合间无
包含关系,故p既不是q的充分条件,
也不是q的必要条件.
充分、必要条件判断的常用方法
(1)定义法:分清条件和结论,利用定义判断;
(2)等价法:将不易判断的命题转化为它的等价命题判断;
(3)集合法.
【变式训练2】 对任意实数a,b,c,给出下列命题:
①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;
②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;
④“a<5”是“a<3”的必要条件.
其中为真命题的是 .(填序号)
解析:①由a=b,可得ac=bc.但ac=bc时不一定有a=b,故①为假命题;②由“a+5为无理数”可得“a为无理数”,由“a为无理数”可得“a+5为无理数”,故②为真命题;③由“a>b”不能得出a2>b2,如a=1,b=-2,故③为假命题;④“由a<5”不能推出“a<3”,而由“a<3”可推出“a<5”,故④为真命题.
答案:②④
探究三 充要条件的证明
1.要证明充要条件,就是要证明两个,一个是充分条件,另一个是必要条件.
2.证明p是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论;其次推证p q是证明充分性,推证q p是证明必要性.
【变式训练3】 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0),有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
证明:设方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2.必要性:因为方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个负根,
所以方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个负根.
探究四 与充分、必要及充要条件相关的参数值的求解
【例4】 已知条件p:A={x|(x-1)(x-a)≤0},条件q:B={x|1≤x≤2},当a为何值时,p是q的充分条件,但不是必要条件.
分析:将p,q的关系转化为A,B的关系→构建不等式求解→解不等式得结论
解:由已知A={x|(x-1)(x-a)≤0},B={x|1≤x≤2}.
因为p是q的充分条件,但不是必要条件,所以A B,而当a=1时,A={1},显然成立;
当a>1,A={x|1≤x≤a},则需a<2,故1当a<1时,A={x|a≤x≤1},显然不满足A B.
综上可知1≤a<2时,p是q的充分条件,但不是必要条件.
1.本例中条件不变,若p是q的必要条件,但不是充分条件,求实数a的取值范围.
解:因为p是q的必要条件,但不是充分条件,所以B A,则A={x|1≤x≤a},且a>2,所以a>2时p是q的必要条件,但不是充分条件.
2.本例中条件不变,若p是q的充要条件,求实数a的值.
解:因为p是q的充要条件,所以A=B,故a=2.
3.若把本例中集合B改为B={x|-2≤x≤1},其他条件不变,则当a为何值时,p是q的充分条件,但不是必要条件
解:因为p是q的充分条件,但不是必要条件,所以A B,与例4同理,可得-2应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤:
(1)根据已知条件将充分不必要、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系;
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式求解.
03
课堂练习
不能准确判断充要条件致误
【典例】 “函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方”是“0错解 设p:函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方,q:0因为当00恒成立,即函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方,故q p.
得0所以p是q的充要条件.
答案 充要
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:忽略了a=0时y=ax2+ax+1>0变为1>0这一情况.
正解:设p:函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方,q:0因为当0而当a=0时,函数y=ax2+ax+1的值为1,其图象在x轴上方,
所以p q.
故p为q的必要条件,但不是充分条件.
答案:必要不充分
用定义判断时无论是p q,还是q p,均要认真考虑是否有反例,这一点往往是判断充分性和必要性的关键和难点.
04
拓展延伸
1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A B”的( )
A.充分条件,但不是必要条件
B.必要条件,但不是充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:∵A={1,a},B={1,2,3},A B,
∴a∈B,且a≠1,
∴a=2或a=3,
∴“a=3”是“A B”的充分条件,但不是必要条件.
答案:A
2.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是( )
A.m=-2 B.m=2
C.m=-1 D.m=1
解析:由函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,可得 ,即m=-2,且当m=-2时,函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称.
答案:A
3.已知a,b,c,d为实数,且c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的( )
A.充分条件,但不是必要条件
B.必要条件,但不是充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:因为c>d,所以-c<-d,故由a>b,推不出a-c>b-d,而由a-c>b-d,c>d,两式左右两边分别相加得出a>b.
答案:B
4.设p:x<3,q:-1A.充要条件
B.充分条件,但不是必要条件
C.必要条件,但不是充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析:因为p:x<3,q:-1答案:C
5.若“p:x(x-3)<0”是“q:2x-3答案:[3,+∞)
2.1 必要条件与充分条件
第2课时 充分条件
北师大版高中数学必修一课件(共34张PPT)
2.1 必要条件与充分条件
第1课时 必要条件与充分条件
北师大版高中数学必修一课件
目录
01
02
03
04
新课导入
合作探究
课堂练习
拓展延伸
01
新课导入
课标定位
素养阐释
1.理解充分条件、必要条件的含义.
2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件.
3.能够利用命题之间的关系判定充分、必要关系.
4.体会数学抽象和推理的过程,提升逻辑推理的素养.
一、必要条件与性质定理
【问题思考】
1.古时候有个卖油郎,名叫洛孝.一天,他在卖油回家的路上捡到30两银子,回家后其母亲要求洛孝把银子还给失主.当洛孝把银子还给失主时,失主却说自己丢了50两银子,要洛孝拿出自己私留的20两银子.两人为此争执不休,告到县衙.县官听了两人的供述后,把银子判给洛孝,失主含羞离去.
设A:洛孝拾到30两银子,失主丢失50两银子.
B:洛孝所拾银子不是失主所丢.
县官由A得出什么结论 它是A的什么条件
提示:B,必要条件.
2.填空:必要条件的含义
一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的必要条件.也就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的.
3.做一做:
p:a<1,q:|a|<1,则p是q的 条件.
解析:∵a≤|a|<1,∴|a|<1 a<1,
∴p是q的必要条件.
答案:必要
二、充分条件与判定定理
【问题思考】
有一个圆A,在其内又含有一个圆B.请回答:
1.“点在A内”是“点在B内”的什么条件
提示:由已知B A,所以点在B内,能推出点在A内,故“点在A内”是“点在B内”的必要条件.
2.“点在B内”是“点在A内”的什么条件
提示:因为点在B内 点一定在A内,所以“点在B内”是“点在A内”的充分条件.
3.填空:充分条件的含义
一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的充分条件.
4.想一想:(1)若p是q的充分条件,这样的条件p唯一吗
提示:不唯一.例如“x>1”是“x>0”的充分条件,p可以是“x>2”“x>3”或“2(2)“若p,则q”为真命题,则p是q的什么条件
提示:充分条件.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)当p是q的必要条件时,也可以说成q成立则必有p成立.( √ )
(2)若p是q的充分条件,则p成立,一定有q成立.( √ )
(3)若p q,则p一定不是q的充分条件.( √ )
(4)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.( × )
02
合作探究
探究一 必要条件
【例1】 将下面的性质定理写成“若p,则q”的形式,并用必要条件的语言表述.
(1)矩形的对角线相等;
(2)正方形的四条边相等.
解:(1)原命题可表述为“若一个四边形是矩形,则该四边形的对角线相等”,所以“四边形的对角线相等”是“该四边形是矩形”的必要条件.
(2)原命题可表述为“若一个四边形是正方形,则这个四边形的四条边相等”,所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件.
当一个命题的条件和结论不明显时,可以把它的表述适当改变,再写成“若p,则q”的形式,然后根据必要条件与命题的关系判断.
【变式训练1】 把下列命题写成“若p,则q”的形式,并用必要条件的语言表述.
(1)实数的平方是非负数;
(2)等底等高的两个三角形面积相等.
解:(1)原命题可以写成:若一个数是实数,则它的平方是非负数.所以“一个数的平方是非负数”是“这个数是实数”的必要条件.
(2)原命题可以写成:若两个三角形等底等高,则这两个三角形面积相等.
所以“两个三角形面积相等”是“这两个三角形等底等高”的必要条件.
探究二 充分条件
【例2】 用充分条件的语言表述下列命题:
(1)若p:m<-2,则q:方程x2-x-m=0无实根;
(2)“m是有理数”是“m是实数”;
(3)若a=-b,则a2=b2.
解:(1)“p:m<-2”是“q:方程x2-x-m=0无实根”的充分条件.
(2)“m是有理数”是“m是实数”的充分条件.
(3)“a=-b”是“a2=b2”的充分条件.
判断充分条件的方法:(1)先确定命题的条件和结论,同时判断此命题的真假,若命题为真时,是充分条件,为假不是充分条件.(2)根据定义判断.
【变式训练2】 用充分条件的语言表述下面的定理:
(1)四条边相等的四边形是菱形;
(2)若Δ>0,则一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等实根.
解:(1)“若一个四边形四条边相等”是“该四边形是菱形”的充分条件.
(2)“Δ>0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等实根”的充分条件.
探究三 充分条件、必要条件的应用
【例3】 是否存在实数p,使“4x+p<0”是“(x-2)(x+1)>0”的充分条件 若存在,求出p的取值范围;若不存在,请说明理由.
分析:先求不等式的解集→再根据条件判断两解集的关系→建立不等式求解
1.将本例中的“充分条件”改为“必要条件”,其他不变,如何求解
解:由(x-2)(x+1)>0 4x+p<0,所以不存在实数p使“4x+p<0”是“(x-2)(x+1)>0”的必要条件.
2.写出4x+p<0的一个必要条件.
【变式训练3】 已知p:-4解:由-4又q是p的充分条件,则有{x|2应用充分条件和必要条件的两个思路
(1)确定条件与结论:确定p和q谁是条件,谁是结论.
(2)“ ”符号的应用:若p q,则p是q成立的充分条件;若q p,则p是q成立的必要条件.
提醒:应用充分条件和必要条件,主要看能否得到p q和q p.
03
课堂练习
因对充分、必要的概念理解不清致误
【典例】 已知p:x2-2x-3<0,若-a0)是p的一个必要条件,求实数a的取值范围.
错解 由x2-2x-3<0,解得-1依题意,得{x|-10).
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:分不清条件和结论,或对必要条件的概念理解不清,把必要条件当充分条件致误.必要条件是由结论推条件,充分条件由条件推结论,解题时要注意区分.
正解:由p:x2-2x-3<0,解得-10).
依题意,得{x|-10).
故实数a的取值范围是[2,+∞).
在判断充分条件、必要条件时,要特别注意哪一个是“条件”,哪一个是“结论”,否则将犯“张冠李戴”的错误.需注意:若p是q的……条件,则p是条件,q是结论;若p的……条件是q,则p是结论,q是条件.
【变式训练】 已知集合P={x|a-404
拓展延伸
1.“x<0,或x>4”的一个必要条件是( )
A.x<0 B.x>4
C.x<0,或x>2 D.x<-1,或x>5
解析:当x<0,或x>4时一定有x<0,或x>2.故选C.
答案:C
2.“x2=4”是“x=m”的必要条件,则m的一个值可以是( )
A.0 B.2 C.4 D.16
解析:由“x=2”能得出“x2=4”,选项B正确.
答案:B
答案:C
4.下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的命题个数为( )
①若f(x)是二次函数,则f(x)=x2;②若x>5,则x>2;
③若x2-9=0,则x=3.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:①f(x)=x2 f(x)是二次函数,∴p是q的必要条件;
②x>5 x>2,∴p是q的充分条件;
③x2-9=0 x=3,∴p是q的必要条件,故选B.
答案:B
5.下面四个条件中,使“a>b”成立的充分条件是 . (填写序号)
①a>b-1;②a>b+1;③a2>b2;④a3>b3.
解析:取a=0.5,b=1,则a>b-1,但a当a>b+1时,因为b+1>b,所以a>b成立;故“a>b+1”是“a>b”成立的充分条件,②符合题意;
取a=-2,b=1,满足“a2>b2”,但“a>b”不成立,
故“a2>b2”不是“a>b”的充分条件,故③不符合题意;
根据立方的意义,当“a3>b3”成立时,必定有“a>b”成立,
故“a3>b3”是“a>b”的充分条件,④符合题意.
答案:②④
2.1 必要条件与充分条件
第1课时 必要条件与充分条件
北师大版高中数学必修一课件