第二章一元二次函数、方程和不等式检测卷2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册（含解析）

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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第二章一元二次函数、方程和不等式检测卷2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．不等式的解是（ ）
A．或 B．或
C． D．
2．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知是正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．12 D．
4．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设，则代数式的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
6．对于任意的，定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
7．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．若，则称是关于x，y的方程的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（ ）
A．，方程有无限组整数解
B．，方程有且只有两组整数解
C．，方程至少有一组整数解
D．，方程至多有有限组整数解
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．如果，那么 D．若，则
10．已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
11．已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为
三、填空题
12．已知,，则“,”是“”的 条件，“”是“”的 条件.（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）
13．经观测，某公路段在某时段内的车流量y（单位:千辆/时）与汽车的平均速度v（单位:千米/时）之间有如下关系.在该时段内，当汽车的平均速度为 千米/时时车流量最大，最大车流量为 千辆/时（精确到0.01）.
14．如果关于的不等式的解集为，其中常数，则的最小值是 .
四、解答题
15．，求证：．
16．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若的最小值为t，，，求的最小值．
17．设函数
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于的不等式：．
18．中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.
(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式.
(2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.
19．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等.
例如，，求证：．
证明：原式．
阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究.
例如，正实数满足，求的最小值．
解：由，得，
，
当且仅当，即时，等号成立．
的最小值为．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.
结合阅读材料解答下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)若正实数满足，求的最小值．
第二章一元二次函数、方程和不等式检测卷2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．不等式的解是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得方程的解，结合不等式的解法，即可求解.
【详解】由方程，即，解得或，
不等式，可得，解得，
即不等式的解集为.
故选：D.
2．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由基本不等式以及作差法即可求解.
【详解】由题意，则，即，由基本不等式得，
又，即，
所以.
故选：D.
3．已知是正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．12 D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】，
当且仅当，时等号成立.
故选：B
4．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用不等式性质求目标式范围.
【详解】由题设，则，又，所以.
故选：C
5．设，则代数式的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令，可得出，利用分式不等式的解法求出的取值范围，即为所求.
【详解】令，可得，可得，所以，，
即，解得，即代数式的取值范围是.
故选：C.
6．对于任意的，定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据运算法则得到恒成立，由根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】由已知得对任意实数恒成立，
所以，解得.
故选：C.
7．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得和为方程的两根且，利用韦达定理得到，，代入不等式，解不等式即可.
【详解】因为不等式的解集为，
所以和为方程的两根且，
，解得，
则不等式可化为，
因为，所以，解得，
所以不等式的解集为：.
故选：A
8．若，则称是关于x，y的方程的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（ ）
A．，方程有无限组整数解
B．，方程有且只有两组整数解
C．，方程至少有一组整数解
D．，方程至多有有限组整数解
【答案】C
【分析】由，结合整数的分解形式转化为求解方程组的整数解的情况即可.
【详解】选项A，当时，由得，
解得，
，都是方程的整数解，
故，方程有无限组整数解. A项判断正确；
选项B，当时，由，
由，则，，
又，
由与，仅有这种整数分解的方法，
所以（舍），或；
解得 或，故方程有且仅有两组整数解，
即，方程有且只有两组整数解，故B项判断正确；
选项C，当时，由，，，，
仅有这种整数分解的方法，又，
所以（舍），或（舍），
或①，或②；
方程组①消得，，，无整数解；
方程组②消得，，此方程无解；
故当时，方程无整数解，所以选项C判断不正确；
选项D，若关于x，y的方程不存在整数解，
则满足至多有有限组整数解；
若关于x，y的方程存在整数解．
由，则，
，整数至多有有限组分解方法，可设所有分解形式为，
由，
得，
消得，，，
对于的每一个确定取值，此关于的二次方程最多有个整数解，
即方程组至多有组整数解；
故，方程至多有组整数解，故D项判断正确.
故选：C.
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．如果，那么 D．若，则
【答案】BCD
【分析】对于A，举反例证明其错误；对于B，证明即可；对于C，首先有，若要成立，只需即可，只需，这显然成立；对于D，首先有，若要，只需即可，只需，这显然成立.
【详解】对于A，令，，则，故A错误.
对于B，因为，所以，故B正确.
对于C，由于 ，同乘以，
得，又，所以，故C正确.
对于D，若，则，所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
10．已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式一一判断即可.
【详解】对于A：，，，
，当且仅当，即，时，等号成立，
即的最大值为，故A正确，
对于B：，，，
，
由A可知，，，当且仅当，时，等号成立，
即的最小值为，故B正确，
对于C：，，，
，当且仅当，即，时，等号成立，
显然不成立，所以的最大值取不到，故C错误，
对于D，，，，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
即的最小值为，故D正确，
故选：ABD．
11．已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为
【答案】BC
【分析】根据不等式的解集求得的关系式，然后对选项进行分析，结合一元二次不等式的解法求得正确答案.
【详解】因为关于x的不等式的解集为，
所以，是方程的两根，所以，
即，，A错误；
不等式可化为，
故不等式的解集为，B正确；
，C正确；
因为，所以，
即，且，所以的解集为，D错误．
故选：BC
三、填空题
12．已知,，则“,”是“”的 条件，“”是“”的 条件.（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】 充分不必要 必要不充分
【分析】由不等式的性质，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】由可得，
由，得或，
所以“”是“”的充分不必要条件；
由可得，
由，得或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：充分不必要；必要不充分
13．经观测，某公路段在某时段内的车流量y（单位:千辆/时）与汽车的平均速度v（单位:千米/时）之间有如下关系.在该时段内，当汽车的平均速度为 千米/时时车流量最大，最大车流量为 千辆/时（精确到0.01）.
【答案】 40 11.08
【分析】变形后由基本不等式求出答案.
【详解】因为，，当且仅当，即时，等号成立，
即当汽车的平均速度为40千米/时时车流量最大，最大车流量为千辆/时.
故答案为：40，11.08
14．如果关于的不等式的解集为，其中常数，则的最小值是 .
【答案】
【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系和基本不等式即可求解.
【详解】不等式的解集为，其中常数，
所以是方程的实数根，
时，，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值是
故答案为：
四、解答题
15．，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】作差，分与两种情况讨论，得到，同理得到，，累加即可证明结果.
【详解】因为，
当时，，又，所以，
当时，，又，所以．
综合上两式，，
同理可得，，
累加得，，
取等号时，故不等式得证．
16．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若的最小值为t，，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原不等式等价于，然后两边平方即可求得解集
（2）利用绝对值三角不等式得，然后利用换元法结合基本不等式求最值即可
【详解】（1）由，即，即，
即，解得，
所以不等式的解集为．
（2）因为，当且仅当时“=”成立，
所以，
所以．
令，，则，，，，
所以，
当且仅当，即时“=”成立，
所以的最小值为．
17．设函数
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于的不等式：．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）对是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解.
（2）不等式化简为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解.
【详解】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立.
当时，不等式可化为，不满足题意.
当，有，即，解得
所以的取值范围是．
（2）依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为；
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
18．中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.
(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式.
(2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.
【答案】(1)；
(2)当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元．
【分析】
（1）根据利润等于售价减成本可求利润的表达式；
（2）根据的表达式分别求出每段函数的最大值即可.
【详解】（1）（1）由题意可得，，
所以，
即.
（2）当时，；
当时，，对称轴，；
当时，由基本不等式知，
当且仅当，即时等号成立，故，
综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元．
19．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等.
例如，，求证：．
证明：原式．
阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究.
例如，正实数满足，求的最小值．
解：由，得，
，
当且仅当，即时，等号成立．
的最小值为．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.
结合阅读材料解答下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)若正实数满足，求的最小值．
【答案】(1)1
(2)．
【分析】
（1）将1化成，约分即可求解，
（2）利用将1化成，即可得，通分后分离常数，即可利用基本不等式求解，或者利用，代入后得，即可求解.
【详解】（1）
由题意得
；
（2）
解法1（整体代入）：由
，
由于，故，当且仅当，即时等号成立，
因为有最小值，此时有最大值，
从而最小值，即有最小值．
解法2（消元思想）：由题意得．
因为，当且仅当，即时等号成立，
因为有最小值，此时有最大值，
从而最小值，即有最小值．
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