第四章指数函数与对数函数检测卷2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册（含解析）

第四章指数函数与对数函数检测卷2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若为偶函数，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．0或1
2．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，则的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．设且，若函数是上的奇函数，则（ ）．
A． B． C． D．
5．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数为上的偶函数，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．
C．
D．函数与函数的图象有8个不同的公共点
11．半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用表示从开始，晶体管数量随时间变化的函数，若，则下面选项中，符合摩尔定律公式的是（ ）
A．若是以月为单位，则
B．若是以年为单位，则
C．若是以月为单位，则
D．若是以年为单位，则
三、填空题
12．函数对定义域内任意的，，都有，写出一个满足上述条件的函数 .
13．已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程有两解，则的值为 .
14．设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
15．已知函数 .
(1)证明：；
(2)若，不等式恒成立，求实数 的取值范围.
16．已知函数在上有定义，且关于中心对称，若．
(1)求实数的值；
(2)若存在，使的值域为，求实数的取值范围．
17．已知为奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)记集合，，试判断实数与集合的关系；
(3)是否存在不相等的正实数，使得当时，函数f(x)的值域为
？若存在，则求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
18．定义：若函数的值域是定义域的子集，则称是紧缩函数．
(1)试问函数是否为紧缩函数？说明你的理由．
(2)若函数是紧缩函数，求的取值范围．
(3)已知常数，函数，是紧缩函数，求的取值集合．
19．已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”．
(1)试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；
(2)若，为，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
(3)函数表示不超过的最大整数，如．若为的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围．
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】利用偶函数的性质得到，进而求得，再进行检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，
所以，即，解得，
当时，，定义域为，
又，则为偶函数，
当时，，定义域为，
又，则为偶函数，
综上，.
故选：B.
2．A
【分析】判断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可.
【详解】，易知在单调递减，
在单调递减，且在处连续，故在R上单调递减，
由，则，解得,
故不等式的解集为.
故选：A
3．C
【分析】根据与，结合排除法即可求解.
【详解】由题意知，函数的定义域为，
由，排除选项A、D；
当时，，所以，故排除选项B.
故选：C
4．D
【分析】根据求出，然后代入验证即可.
【详解】由于函数是上的奇函数，
故，则，即．
因为，所以．
当时，，
则
符合函数是上的奇函数
故选：D．
5．D
【分析】利用换底公式计算a，利用指数函数单调性判断b，c即可得答案.
【详解】因为，，，
所以.
故选：D
6．A
【分析】根据偶函数的定义可得，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.
【详解】因为为偶函数，所以，
则.
故选：A
7．D
【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式和对数有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意可知，要使有意义，
只需要，解得，
所以，
所以函数的定义域为.
故选：D.
8．A
【分析】如图，由可得，即；由二次函数图象的对称轴为直线可得，进而，结合即可求解.
【详解】作出函数和函数的图象可知，
假设两个函数的图象共有4个交点，
且横坐标分别为，
由，得，则有，
所以，所以．
由于二次函数图象的对称轴为直线，
则点两点关于直线对称，所以．则．
令，解得或，所以，
所以．
故选：A
9．BC
【分析】本题通过设元，将对数转化为指数，进而化成同底的对数，然后又将对数相等转化为指数相等，再利用指数函数的单调性，得到方程有两个相等的根，再根据零点存在定理，得出方程根的取值范围，进而得到的取值范围
【详解】由已知，得．
令，则，所以，
所以，
所以．
等式两边同时除以，得，即．
同理，令，有．
所以是方程的两个根．
设，则易知在区间上单调递减，
所以．
又因为，
所以．故，且，所以．
又，所以．
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：本题考查了指数与对数的运算、函数的单调性，考查了转化与化归的思想，其关键在于指数与对数的相互转化，先将对数转化为指数，再换成同底对数，又利用对数相等转化为指数相等，从而可以利用指数函数的单调性求根，进而得到范围.
10．ABD
【分析】根据条件先得到函数的对称性及周期性，进而判断ABC，画出函数与函数的图象，根据图象观察交点个数即可判断D.
【详解】由得函数关于对称，A正确；
由得函数关于对称，
所以，，
所以，即，
所以，故函数的周期为，
由知，，
又时，，所以，解得，
所以时，，
所以，B正确；
，C错误；
画出函数和函数的图象，如图：
，观察图象可得函数与函数的图像有8个不同的公共点，D正确.
故选：ABD.
11．BC
【分析】对AC，计算，满足，，，可确定，对CD，计算，满足，，，可确定．
【详解】选项A，，，A不符合；
选项B，，，，，符合；
选项C，，则，，，，，符合，
选项D，，，
，，不符合．
故选：BC．
12．（答案不唯一）
【分析】利用指数的运算性质可知指数函数符合题意.
【详解】根据题意，且，
则，有，，
所以定义域内任意的，，都有，
所以指数函数符合题意.
故答案为：（答案不唯一）
13．49或
【分析】由已知可得是以为周期的周期函数，结合已知可作出函数的图象，关于的方程有两解，可得与的图象有两个交点，数形结合可求的值.
【详解】由，可得，
所以是以为周期的周期函数，又为偶函数，且，故可作出函数的图象如图所示：
若关于的方程有两解，
则与的图象有两个交点，
当，则过点,所以，解得，
当，则过点,所以，解得，
综上所述：的值为或.
故答案为：或.
14．或
【分析】对实数的取值进行分类讨论，分别画出不同取值情况的的函数图象，函数恰有4个零点，说明的图象与的图象有四个交点，通过斜率的变化即可确定实数的取值范围.
【详解】因为函数恰有4个零点，
所以的图象与的图象有四个交点，
当时，如图所示，
的图象与的图象仅有两个交点，与题意不符；
当时，如图所示，
在上，当与相切时，
联立，得，
则，得（舍去），
由图可知，当时，与在有一个交点，在有两个交点，与题意不符，
所以当时，与在无交点，在有两个交点，与题意不符，
当时，与在无交点，在有三个交点，与题意不符，
当时，与在无交点，在有四个交点，符合题意；
当时，如图所示，
在上，当与相切时，
联立，得，
则，得（舍去），
由图可知，当 时，与在有两个交点，在有四个交点，与题意不符，
当时，与在有两个交点，在有三个交点，与题意不符，
当时，与在有两个交点，在有两个交点，符合题意，
当时，与在有一个交点，在有两个交点，与题意不符.
综上所述， 或.
故答案为：或.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的应用，关键在于数形结合与分类讨论的思想，需要通过讨论取值范围的不同，结合范围的限制，判断交点个数，然后推出的范围即可.
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用完全平方公式得到，从而得证；
（2）先将变形为，令，构造函数，研究其性质即可.
【详解】（1）由于，左边；
右边；
右边右边，所以等式成立.
（2），，
当且仅当时，即时等号成立，
由第（1）问可知，“不等式恒成立”等价于：“不等式恒成立”，
令，即对任意，恒成立，
构造函数，
当时，函数在区间上单调递增，
函数的最小值为，只需，
此时满足题意；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
函数的最小值为，只需，
此时满足题意；
总之，不等式恒成立，实数 的取值范围为.
16．(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意可知关于中心对称，结合奇函数的性质分析求解；
（2）换元令，可得，分类讨论，结合函数单调性和最值分析求解.
【详解】（1）因为关于中心对称，可知关于中心对称，
且的定义域为，则，解得，
此时，
且，
可知为奇函数，关于原点对称，即符合题意，
综上所述：.
（2）令，可得，
可知函数在单调递增，
①当时，，则，
可得，可知，均为的实根，
即有两个不相等的正根，等价于有两个不相等的正根，
可得，解得；
②当时，，则
可得，即，
可得，则，
可得，此方程能成立，即；
③，则，，不合题意；
综上所述：或.
17．(1)
(2)
(3)存在；
【分析】（1）利用奇函数的性质，化简即可得解；
（2）由（1）可得，可求，计算求得，可得结论；
（3）易得在上单调递增，进而转化得为方程的两个根，从而解二次方程即可得解.
【详解】（1）因为函数为奇函数，
所以，
所以，所以，
所以，所以
因为，且，所以.
（2）由（1）可知.
当时，；当时，；
当时，，所以.
因为
，
所以.
（3）假设存在不相等的正实数m，n，使得当时，函数f(x)的值域为
因为，所以在上单调递增，
所以，
所以为方程的两个根，即的两个根，
即的两根，解得或.
又，所以，
所以存在，使得当时，函数f(x)的值域为.
18．(1)不是
(2)
(3)
【分析】（1）求出的定义域与值域，即可判断；
（2）首先求出的定义域，再利用换元法求出的值域，结合题意得到不等式，即可求出参数的取值范围；
（3）首先推导出的值域与定义域相同，再分，两种情况讨论，分别计算可得.
【详解】（1）函数的定义域为，值域为.
因为不是的子集，所以不是紧缩函数.
（2）对于函数，
令，解得，即的定义域为.
令，则，令，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
所以，即的值域为，
依题意可得，解得，
故的取值范围为.
（3）因为的值域是定义域的子集，所以的值域是的值域的子集，
又，则，所以的值域与定义域相同，
又，，
所以的值域为.
（i）若，则，即，
则且，
所以且，
即，解得，此时，符合题意.
（ii）若，则或，即，
则且，
所以且，即，方程无解.
综上，的取值集合为.
19．(1)不是的“2重覆盖函数”；理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据“重覆盖函数”的定义判断即可；
（2）由题意可得即对任意，存在2个不同的实数），使得（其中），即，分和分别求解；
（3）先求出，再做出函数的图象，数形结合解决问题.
【详解】（1）由，可知．
当时，，
当时，解得，
此时在中只存在一个，使，
所以不是的“2重覆盖函数”；
（2）由题意可得的定义域为，
即对任意，存在2个不同的实数），
使得（其中），
，则，
，即，
即对任意有2个实根，
当时，已有一个根，
故只需时，仅有1个根．
当时，，符合题意；
当时，发现，
则只需满足，解得，
综上得的取值范围为：．
（3）因为，
当时，，
当时，且，
当且仅当时取等号，所以．
综上可得，即，
则对于任意要有2024个根，
作出函数的图象（部分），如图：
要使有2024个根，则，
又，则，故正实数的取值范围．
【点睛】难点点睛：本题难点在于对新概念的理解，只需根据定义将问题转化为对于定义域内任意实数m，直线与函数的图象有n个交点的问题，然后利用单调性或图象即可求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页