第五章三角函数检测卷2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册（含解析）

第五章三角函数检测卷2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若弧度为2的圆心角所对的弧长为4，则这个圆心角所夹扇形的面积是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．已知角终边上一点，若，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的部分图象如图，则（ ）
A． B． C．1 D．
7．如图，将地球近似看作球体，设地球表面某地正午太阳高度角为为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值.已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即.北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（ ）
A．北纬 B．北纬
C．南纬 D．南纬
8．筒车亦称“水转筒车”，是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假设在水流量稳定的情况下，一个半径为的筒车按逆时针方向做一圈的匀速圆周运动，已知筒车的轴心O到水面的距离为，且该筒车均匀分布有8个盛水筒（视为质点），以筒车上的某个盛水筒P刚浮出水面开始计时，设转动时间为t（单位：），则下列说法正确的是（ ）

①时，盛水筒P到水面的距离为；
②与时，盛水筒P到水面的距离相等；
③经过，盛水筒P共8次经过筒车最高点；
④记与盛水筒P相邻的盛水筒为Q，则P，Q到水面的距离差的最大值为．
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④
二、多选题
9．已知，且是方程的两根，下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数 ，则（ ）
A．
B．在定义域上单调递增
C．
D．不等式 f（x）≥1的解集为
11．计算下列各式，结果为的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．在中，若，，则 .
13．已知函数的部分图像如图所示，则 ， ．
14．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论错误的序号是 ；
①的一个周期为； ②的最大值为；
③的图象关于直线对称； ④在区间上有3个零点．
四、解答题
15．已知函数.
(1)求的最小正周期和对称轴;
(2)若，求的值域.
16．已知
(1)化简；
(2)已知，求的值.
17．已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且.
(1)求图象的一条对称轴；
(2)若，求的值．
18．如图，学校新校区有两块空闲的扇形绿化草地(圆心角为)和(圆心角为)，为圆的直径.在劣弧和劣弧上分别取点和点，且为圆的直径，分别设计出两块社团活动区域，其中一块为矩形区域，另一块为矩形区域，已知圆的直径米，点在上、点在上、点和在上、点在上.
(1)经设计，当达到最小值时，取得最佳观赏效果.请给出最佳观赏效果的设计方案
(2)学校本周将在矩形区域进行社团活动展示，现需要在矩形区域内铺满地垫，并在矩形区域四周放置围栏.铺设的地垫每平方米20元，围栏每米10元，则场地布置的费用最高不超过多少元
(参考数据：)
19．对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像.
(1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；
(2)若，；，，且与具有关系，求的像；
(3)若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围.
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
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第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】根据题意，结合扇形的弧长公式和面积公式，即可求解.
【详解】设扇形所在圆的半径为，
根据题意，可得α＝2，l＝4，所以，
所以.
故选：B.
2．D
【分析】利用余弦函数的定义列式计算即得.
【详解】由角终边上一点，得，因此，解得，
所以的值为.
故选：D
3．A
【分析】由利用诱导公式计算可得.
【详解】因为，
所以.
故选：A
4．D
【分析】根据函数图象的对称性排除AC，再结合函数值大小排除B，从而得正确结论．
【详解】从四个选项中可以看出，函数的周期性、奇偶性、函数值的正负无法排除任一个选项，
但是，因此的图象关于直线对称，可排除AC，
又，排除B，
故选：D．
5．A
【分析】将转化为，然后由两角和与差的正弦公式展开化简，由，利用二倍角公式化简最后求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，
化简得：，
所以，
又由，可得，
所以，即，所以，
所以，又，所以，
所以.
故选：A
6．B
【分析】由图可知，分别求出后，由，得，结合的范围求出，最后得到函数表达式即可求解.
【详解】由图可知，解得，
又，所以，解得，
注意到，从而，
所以，所以.
故选：B.
7．C
【分析】首先根据题意理解太阳高度角、该地纬度、太阳直射纬度的概念，然后由太阳高度角可得结果.
【详解】由题可知，天安门广场的太阳高度角，
由华表的高和影长相等可知，所以.
所以该天太阳直射纬度为南纬
故选：C
8．A
【分析】建立直角坐标系，依题意作图，分析其中的几何关系判断①②，利用周期判断③，求出距离差的表达式结合三角变换求最值判断④即可．
【详解】依题意作图如下：

以水车的轴心为原点建立直角坐标系如图，由题可知水车旋转一周的时间为4min，
当刚露出水面时，与轴的夹角是，相邻盛水桶之间的夹角是，
当旋转时，旋转了，旋转到点，
此时点到水面的距离为，所以①正确；
②当时，旋转了周，即，此时的位置是点，
与轴正半轴的夹角是，
当时，旋转了，即点，与轴正半轴的夹角也是，
点与点到水面的距离相等，所以②正确；
③经过，则水车转过了个周期，所以盛水桶共9次经过最高点，故③错误；
④设在的上方，与轴负方向的夹角为，，
则与轴负方向的夹角为，
相邻两筒到水面的距离差为：
，
其中，，
当时取最大值为，故④错误；
故选：A．
9．AD
【分析】由方程解出，利用两角和与差的正弦余弦正切公式和同角三角函数的商数关系，求解各选项中的算式，验证选项.
【详解】是方程的两根，又，
解得，
，A选项正确；
，B选项错误；
，C选项错误；
，，则，有，
，
，D选项正确.
故选：AD.
10．AC
【分析】对A，直接代入计算即可比较大小；对B，根据正切型函数定义得到不等式，解出即可；对C，直接代入验证判断对称性；对D，根据正切型函数性质列出不等式，解出即可.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，由，，得，
故函数的定义域为，因为，故B错误;
对于C，因为，所以点是函数图象的一个对称中心，则，故C正确；
对于D，，即，则，，
解得，所以不等式的解集为，故D错误.
故选：AC.
11．AC
【分析】由两角和与差的正弦，正切公式，二倍角的余弦公式对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，
，故A正确；
对于B，因为，
可得，
所以，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：AC.
12．
【分析】利用三角形的内角范围与同角三角函数的平方关系，结合诱导公式与两角和的正弦公式即可求解.
【详解】因为在中，，
又，，
所以， ，
又，所以，
所以
.
故答案为：.
13． 2 /
【分析】由图象首先得，然后由点对应的正弦函数上的点求出，再由图象确定周期，得值．
【详解】由图形，
，，由图象知，而，所以，
由图象知最小正周期为，所以，
故答案为：2；．
14．①②③
【分析】对于①，代入周期的定义，即可判断；对于②，分别比较两个函数取得最大值的值，即可判断；对于③，代入对称性的公式，即可求解；对于④，根据零点的定义，解方程，即可判断.
【详解】对于①，，故①错误；
对于②，，当，时，取得最大值1，，
当，时，即，时，取得最大值，
所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故②错误；
对于③，，
所以函数的图象不关于直线对称，故③错误；
对于④，，
即，，
即或，解得：或或，
所以函数在区间上有3个零点，故④正确.
故答案为：①②③.
15．(1)最小正周期为，；
(2).
【分析】（1）利用余弦函数的周期公式、整体代入法计算对称轴即可；
（2）利用余弦函数的性质计算值域即可.
【详解】（1）最小正周期为，
令可得：，
所以的对称轴为.
（2）由可知，
由余弦函数的性质可知，，
即的值域为
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式直接化简；
（2）为待求表达式补上分母，然后分子分母同时除以即可.
【详解】（1）依题意得，
（2）依题意得，，所以，
于是
17．(1)
(2)
【分析】（1）由函数在区间上的单调性，根据题意和最小正周期的定义，求得，再结合，即可确定对称轴；
（2）根据函数对称轴及函数值确定的表达式，再结合最小正周期确定的可能取值，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：因为函数在区间上单调，
所以函数的最小正周期，
又因为，所以，
即直线为图象的一条对称轴．
（2）解：由（1）最小正周期，可得，
因为，所以或或，
又因为为图象的一条对称轴，可得，
因为，可得或，
若，则，
即，
此时不存在整数，使得或或；
若，则，
即，
此时不存在整数，使得或，
当时，可得，此时，
因为，所以.
18．(1)答案见解析
(2)元
【分析】（1）设，设，则且，利用辅助角公式得到，即可求出的最小值，从而求出，即可得解；
（2）依题意可得，即可表示矩形的面积、周长，所以场地布置的费用，利用换元法求出，即可得解.
【详解】（1）设，
由得，，
设，则且，
即，其中，
由得，即或（舍去），
即的最小值为，此时，
又，解得，
所以当时，达到最小值时，取得最佳观赏效果，
即当时达到最小值时，取得最佳观赏效果.
（2）在矩形中，，
所以矩形的面积为，周长为，
所以场地布置的费用
，
令，则，
又，因为，所以，
所以，所以，
则，
又在上单调递增，
当时，元，
即当时场地布置的费用最高为元，所以场地布置的费用最高不超过元.
19．(1)不具有，理由见解析；
(2)或或；
(3)或，
【分析】（1）根据具有关系的定义及三角函数的值域判断即可；
（2）根据具有关系及三角函数的性质计算即可；
（3）利用三角函数的性质先确定，根据具有关系的定义得出，再根据二次函数的动轴定区间分类讨论计算即可.
【详解】（1）与不具有关系，
理由如下：时，，，所以，
则与不具有关系；
（2）由题意可知
，
所以，
又，所以，
解之得或或，
即的像为或或；
（3）对于，则，所以，
即，
因为与具有关系，
所以要满足题意需，使得即可.
令，
令，则，设，
①若，即时，，
则，
②若，即时，，
则，
③若，即时，，
则或，显然无解，
④若，即时，，
则或，显然无解，
综上所述：或，
答案第1页，共2页
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