第六章平面向量及其应用检测卷2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册（含解析）

第六章平面向量及其应用检测卷2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．若，则与共线 B．若与是平行向量，则
C．若，则 D．共线向量方向必相同
2．在平行四边形ABCD中，（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量满足：为单位向量，且与相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，为边的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知的内角所对的边分别是，若，，则角（ ）
A． B． C． D．
8．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、多选题
9．下列叙述中错误的是（ ）
A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反
B．若，则
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
10．已知平行四边形的面积为，且，则（ ）
A．的最小值为2
B．的最小值为
C．当在上的投影向量为时，
D．当在上的投影向量为时，
11．设的内角所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则为等腰三角形或直角三角形
三、填空题
12．对于非零向量，定义运算“*”：.其中为的夹角.有两两不共线的三个向量下列结论不一定成立的是 .（只需写出序号）
①若，则
②
③
④
13．四边形ABCD中，，且，若，则 ．
14．已知锐角三角形的内角的对边分别为，若，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知不共线．
(1)若，求证：三点共线；
(2)若向量与共线，求实数的值．
16．已知向量满足，，且．
(1)求；
(2)在中，若，，求BC向量的模．
17．如图，记，，，已知，．
(1)若点在线段OA上，且，求的值；
(2)若向量与方向相同，且，求；
(3)若，求的最大值．
18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，，求的周长.
19．给定正整数，任意的有序数组，，定义：，
(1)已知有序数组，，求及；
(2)定义：n行n列的数表A，共计个位置，每个位置的数字都是0或1；任意两行都至少有一个同列的数字不同，并且有只有一个同列的数字都是1；每一行的1的个数都是a；称这样的数表A为‘表’．
①求证：当时，不存在‘表’；
②求证：所有的‘表’的任意一列有且只有a个1．
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即得.
【详解】对于A，相等向量必是共线向量，A正确；
对于B，与是平行向量，如为非零向量，而，显然，B错误；
对于C，模相等的两个向量，它们的方向不一定相同，即不一定成立，C错误；
对于D，共线向量的方向可以相反，D错误.
故选：A
2．A
【分析】利用向量加法的平行四边形法则求解即得.
【详解】在中，，所以.
故选：A
3．C
【分析】根据已知由向量垂直可得的模，再由不等式恒成立，结合图象可得，直接对进行平方化简，由二次函数最值可解.
【详解】和相互垂直，
则，则，
设，
则 ，
因为恒成立，则，
即，则，
对称轴时：，即.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据不等式得到，则解出，再对向量式数量化即同平方，再化简成二次函数，根据二次函数性质即可求出最小值.
4．A
【分析】首先表示，的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，
所以，
，
又，
所以，
即，
整理得.
故选：A
5．A
【分析】借助向量的模与数量积的关系、投影向量的定义计算即可得.
【详解】由，得．因为，所以．
又，所以，解得．
所以向量在向量方向上的投影向量的坐标为．
故选：A．
6．D
【分析】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得.
【详解】为的中点，，
．
故选：D.
7．C
【分析】利用正弦定理和余弦定理，结合已知条件，整理化简，即可求得.
【详解】，由余弦定理得，，整理得，即；
又，由正弦定理得，，．
又，，又，是等边三角形，．
故选：C．
8．A
【分析】设该塔的高度为米，由题意，根据同角的商关系可得，结合余弦定理计算即可求解.
【详解】设该塔的高度为米，
则．
在中，，
即，由，解得，
即塔高为30米.
故选：A
9．BC
【分析】根据共线向量的定义即可判断A；根据向量的定义即可判断B；根据零向量与任意向量共线即可判断C；根据单位向量的定义即可判断D.
【详解】对于A，两个非零向量共线，则它们的方向相同或相反，故A正确；
对于B，向量无法比较大小，故B错误；
对于C，若是零向量，则不成立，故C错误；
对于D，对任一非零向量，是一个与方向相同且模长为1的单位向量，故D正确．
故选：BC．
10．ABD
【分析】由题意画出图形，根据平面向量的数量积、投影向量，向量的线性运算，基本不等式等逐项判断即可.
【详解】因为，所以.
设，则，解得，
选项，，当且仅当时，等号成立，正确.
选项，因为，所以
，
所以，
，
，
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，B选项正确.
如图，过点作，垂足为，则在上的投影向量为，
当在上的投影向量为时，.
因为，所以，得，
则由选项解答，，故C错.
选项，由选项解答，则，故对.
故选：.
11．BD
【分析】A选项，由余弦定理与数量积的定义计算；B选项，由大角对大边和正弦定理判断；C选项，由正弦定理解三角形；D选项，由正弦定理与二倍角公式化简后判断．
【详解】对于A，，而，故A选项错误，
对于B，中，若，则，由正弦定理得：（为的外接圆半径），故，B选项正确，
对于C，由正弦定理，得，由，则或，C选项错误
对于D，若，则，即，
得或，故或，为等腰三角形或直角三角形，D选项正确.
故选：BD
12．①②④
【分析】设的夹角为，的夹角为，的夹角为，按照题目所定义的新运算逐项判断正误.
【详解】设的夹角为，的夹角为，的夹角为．
由题意可知：，，，
且，
对于①：若，即，
可得，故①不正确；
对于②：因为，，
又因为不一定共线，即与不一定相等，故②不正确；
对于③：，故③正确；
对于④：若，且不共线，则，，故④不正确；
故答案为：①②④．
13．2
【分析】由题设可得且，利用相似三角形和向量的线性运算将用与的另式表达，根据平面向量基本定理列出方程求解即得.
【详解】如图，由可得且，
易得,则有
于是, 因，
故得由，解得：.
故答案为：2.
14．
【分析】由二倍角公式可得，利用正弦定理边化角，结合和差公式整理可得，可得，根据三角形为锐角三角形求出角B的范围，然后利用正弦定理和二倍角公式可得，可得范围.
【详解】因为，所以，所以，
由正弦定理得，即，
所以，
所以，即，
所以或（舍去），
因为三角形为锐角三角形，所以，
又，解得，所以.
因为，所以的取值范围为.
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明，可得三点共线；
（2）利用向量共线的条件，设，列方程组求实数的值．
【详解】（1）证明：，，
则有，可得且为公共点，
所以三点共线.
（2）向量与共线，则存在唯一实数，使得，
可得，即，解得 .
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量模长为可得，求出；
（2）由向量加减法运算可得，同时平方可得.
【详解】（1）因为，
可得，
即，
又，
所以．
（2）在中，，
所以
，
故．
17．(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）根据向量的线性运算表示出，根据数量积的运算律即可求得答案；
（2）用表示，利用向量的夹角公式，即可求得答案；
（3）根据题意可推出四点均在以OB为直径的圆上，由此即可求得的最大值.
【详解】（1）由题可知，，
又，
.
（2）设，则，
，
解得或（舍去），
，，
，，
，
结合向量的夹角范围为大于等于小于等于，；
（3），，
，
，
四点均在以OB为直径的圆上，
的最大值为该圆的直径，为2，
即的最大值为2.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由，余弦定理边化角，利用同角三角函数的商数关系化简，再由正弦定理边化角，得，可得角的大小；
（2）由的面积求出，再由余弦定理求出，可得的周长.
【详解】（1）中，由，得，
由余弦定理得，
即，
由正弦定理得，
，，得，
，则.
（2）若的面积为，则，得，
，由余弦定理，得，
解得，
的周长为.
19．(1)、；
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）根据新定义，代入数值计算即可.
（2）①根据题中‘表’的定义，由，1，2，3，4逐个判断推出矛盾，即可证明当时，不存在‘表’；②根据‘表’的定义，由当或1时，当时推出矛盾证明即可.
【详解】（1）由题意可得，，
，所以.
（2）数表A的第i行构成一个有序数组记为，则，；
①当时，，1，2，3，4
，，这与M有4个元素矛盾；
同理，，矛盾；
，，矛盾；
同理，，，矛盾；
，，M也不能满足．
故知，时，不存在表．
②数表A中只有0或1，每一行的1的个数都是a，故数表中的1的总数是na．
第i行组成有序数组记为，第j列构成有序数组记为．，，
下证，
首先，或1时，有时，不合题意．
其次，时，若存在．不妨记为，
则第一列至少有个1，不妨记为前行的第一列都是1；
这行的每一行都另有个1，并且这个1都在不同列中．
于是数表至少有列，即，故第一列不是1的行至少有行；
取第一列不是1的某行（不妨记为第i行），
则它与前行中的每一行都有且只有1个同列的1；
又前行的第一列之外的所有1（共个）都在不同列中，
故第i行就出现了个1，与矛盾．
故存在不成立，即，成立，
由，故，需证成立．
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义问题.本题的关键点是根据题中所给的运算公式和‘表’等定义，分析在不同取值时，均不符合题意，推出矛盾，进而证明结论即可.
答案第1页，共2页
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