第三章圆锥曲线的方程检测卷2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册（含解析）

第三章圆锥曲线的方程检测卷2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知椭圆的左顶点为A，左焦点为为该椭圆上一点且在第一象限，若射线上存在一点，使得，线段的垂直平分线与射线交于点，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的实轴长为6，焦点为，则的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知双曲线（，）的左右焦点分别为、，左右顶点分别为、，为（为原点）中点，为双曲线左支上一点，且，直线的斜率为，为的内心，则下列说法正确的是（ ）
A．的离心率为
B．的渐近线方程为：
C．平分
D．
5．已知为坐标原点，椭圆，过椭圆的右焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知为坐标原点，椭圆的焦距为，点在椭圆上，且，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线的焦点坐标是，则焦点到准线的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．已知点是抛物线上不同的两点，，若的焦点到直线的距离为3，则直线的斜率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、多选题
9．已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，则（ ）
A．的方程为 B．的最小值为
C． D．曲线在点处的切线方程为
10．已知双曲线为其右焦点，点到渐近线的距离为1，平行四边形的顶点在双曲线上，点在平行四边形的边上，则（）
A．
B．
C．若平行四边形各边所在直线的斜率均存在，则其值均不为
D．四边形的面积
11．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为曲线上任意一点，则的最小值为 .
13．已知椭圆：与双曲线有相同的左，右顶点A，B，过点A的直线l交于点P，交于点Q．若为等边三角形，则双曲线的虚轴长为 ．
14．如图，已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于第一象限的两点，若，则直线的斜率 ．
四、解答题
15．已知O为坐标原点，椭圆C：的焦距为，离心率，过点作两条直线，，直线交椭圆于A，B两点，直线交椭圆于M，N两点，A，B，M，N四点均不在坐标轴上，且A，O，M三点共线．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)记直线AM与BN的斜率分别为，且，判断是否存在非零常数，使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
16．已知椭圆，右顶点为，上 下顶点分别为是的中点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线交椭圆于点，点，直线分别交直线于点，求证：线段的中点为定点.
17．已知点为焦点在轴上的等轴双曲线上的一点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线且交双曲线右支于两点，直线分别交该双曲线斜率为正的渐近线于两点，设四边形和三角形的面积分别为和，求的取值范围.
18．已知双曲线过点（其中），且双曲线上的点到其两条渐近线的距离之积为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)记为坐标原点，双曲线的左、右顶点分别为为双曲线上一动点（异于顶点），为线段的中点，为直线上一点，且，过点作于点，求面积的最大值.
19．已知抛物线，直线与抛物线交于不同的两点为坐标原点．
(1)若，求证：直线过定点；
(2)若直线的方程为，且与轴交于点，是否存在以为圆心、2为半径的圆，使得过抛物线上任意一点作圆的两条切线，与抛物线交于另外两点时，总有直线也与圆相切？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
(
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】先利用椭圆的定义及线段间的关系得到，再利用等腰三角形三线合一的性质得到点与点重合，根据椭圆的性质计算即可.
【详解】
设该椭圆的右焦点为，连接，则，
设，
易得，所以，
所以，
又，所以，所以，
则对任意的点，线段的垂直平分线必过点，
所以点与点重合，所以.
故选:B.
2．B
【分析】将条件中的不等式用坐标表示，再结合椭圆方程化简不等式，即可求解椭圆的离心率的范围.
【详解】设，，，，
，
由题意可知，，即，得，
则.
故选：B
3．A
【分析】由椭圆的性质，结合双曲线渐近线方程的求法即可求解.
【详解】由题意可得的焦点为，且实半轴长为3，
则虚半轴长为，双曲线的方程为，
所以的渐近线方程为.
故选：A.
4．C
【分析】由题设及双曲线性质可得且，即可判断A、B；根据角平分线性质只需判断、是否相等判断C；设的内切圆的半径为，由三角形面积公式计算即可判断D.
【详解】由题设且，又，
所以，而，故，
由，则，故，所双曲线的离心率为，故A正确；
由上可得，故C的渐近线方程为，B错误；
由，则，故，
而为的中点，则，，
故，由角平分线性质易知：平分，C正确；
设的内切圆的半径为，，
可得，由勾股定理可得，
所以，，故D不正确.
故选：C.
5．B
【分析】根据题意，得到直线的方程为，联立方程组，求得，结合题意和斜率公式，化简得到方程，即可求解.
【详解】由直线过椭圆的右焦点且斜率为，则直线的方程为（其中），
设，联立方程组 ，整理得，
则，
所以，可得，解得.
故选：B.
6．A
【分析】根据椭圆的定义可得，在、中分别利用正弦定理即可求出，从而得到，利用诱导公式求出，再在利用余弦定理表示出，即可求出，从而得解.
【详解】因为焦距为，即，
因为，又，所以，，
在中由正弦定理，即，
在中由正弦定理，即，
因为，所以，
所以，又，所以，
又，所以，
所以，
在中，
解得或（舍去），
所以，
所以椭圆的方程为.
故选：A

【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理推导出，从而得到，再在中利用余弦定理求出.
7．A
【分析】根据抛物线的标准方程的知识求解．
【详解】由题意，，即抛物线标准方程为，所以焦点到准线的距离为，
故选：A．
8．A
【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，再根据斜率公式或者点到直线的距离公式求解即可.
【详解】解法一 设直线的方程为，
与联立，并消去，得，
所以，得，可知直线经过点.
设直线的倾斜角为，由且到直线距离为，得，
所以或，直线的斜率为或.
解法二 设直线的方程为，与联立，
并消去得，所以，得，
则点到直线的距离为，解得，，
所以直线的斜率为或.
故选：A．
9．BCD
【分析】A.利用两圆的内切、外切的充要条件，由椭圆定义即可得的方程； B.由即求的最大值，利用椭圆性质可得； C.运用向量数量积的坐标公式计算即得； D.将选项直线与椭圆方程联立，验证消元后的方程判别式为零即可.
【详解】
如图，对于A项，设动圆的半径为，由条件得则，且不重合，
故点的轨迹为以为两焦点得椭圆，（去掉重合的点），则曲线的方程为，故A错误；
对于B项，由图知点在椭圆上运动，当且仅当点运动到椭圆短轴顶点时，最大，
此时，则最大为，即的最小值为，故B项正确；
对于C项，，易得，
故当时，取得最大值，故C项正确；
对于D项，由 ，消去，整理得：
则
因在椭圆上，，即，代入上式得，
故是过椭圆上一点处的切线方程，即D项正确.
故选：BCD.
10．BCD
【分析】由点到线的距离判断A，由对称性结合双曲线定义判断B，由渐近线性质判断C，联立直线与双曲线，表示面积利用函数单调性求得范围判断D.
【详解】对A，易知渐近线方程为，焦点F坐标为，
点到渐近线的距离为，故项错误；
对B，若为双曲线的左焦点，又点在平行四边形上，
则根据对称性知点也在平行四边形上，且，
所以，故B项正确；
对C，由双曲线的渐近线方程为，
若平行四边形各边所在直线的斜率均存在，当其值为时，
则平行四边形各对应边所在直线与双曲线不可能有四个交点，故C项正确；
对D，如上图，设直线，
联立双曲线方程得，且，
所以，
则，
由对称性知，则点到直线的距离，
所以，令，
则，
又在上单调递减，故在上单调递增，
所以，故D项正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的几何性质，关键是利用对称性解决B，合理表示面积结合函数单调性求得面积范围.
11．ACD
【分析】利用倾斜角和抛物线定义，分别求出点的横坐标即可得，可判断A；求出直线方程，联立抛物线方程求出点横坐标，利用定义即可得，然后可判断B；根据点的横坐标求出即可判断C；将代入直线方程，求出纵坐标，然后由可得面积，可判断D.
【详解】选项A：过点作轴的垂线，垂足为，则，
所以，所以，
由抛物线定义可得，，所以，
解得，故A正确．

选项B：由A得抛物线的方程为，，直线的方程为，
联立直线方程与抛物线的方程并化简，得，得或，
所以，故，故，B错误．
选项C：由，，得，故C正确．
选项D：由上知，得，
故，故D正确．
故选：ACD
12．
【分析】求出点的坐标，求出圆的圆心和半径，再利用圆的性质求出最小值.
【详解】椭圆中，右焦点，圆的圆心，半径，
显然椭圆与圆相离，由点在圆上，得，
于是，
当且仅当分别是线段与椭圆、圆的交点时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
13．
【分析】设出坐标，结合椭圆和双曲线的性质表示出和，再由图形关系得到，用正切展开式整理出关于的一元二次方程，解出再验证即可.
【详解】由题意，得，．
设双曲线的方程为，，则，
所以．
同理，得．如图，设，则，，．

由，得．整理，得，
解得或．．
当时，（舍去）；
当时，，所以（负值已舍去），所以．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键是能够利用图形关系和斜率关系得到.
14．
【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立表示出，再结合正弦定理，抛物线焦半径公式及韦达定理即可求解．
【详解】由题意得，，当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求，
故设直线的方程为，
联立，可得，易得，即，
设，则，
则，
由正弦定理得，
因为，
所以，即，
又由焦半径公式可知，
则，即，
即，解得，满足，
于是，解得，
所以，
故答案为：．
15．(1)
(2)存在；
【分析】（1）根据椭圆的的焦距为，离心率，由，求解；
（2）设，直线：，，与椭圆方程联立，结合韦达定理，得到B的坐标，同理，得到N的坐标，然后利用直线的斜率公式求解.
【详解】（1）解：由题意得，，
所以，，
则，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）如图所示：
由题意可知A，M是椭圆C上不在坐标轴上的两点，且A，M关于坐标原点O对称，
设，则，，，且，．
设直线：，，
联立方程可得，消去y，得，
则，所以．
因为，，
所以，
所以，
所以．
同理，设直线：，，
因为，，
所以，
所以，
所以．
因为直线AM与BN的斜率分别为，，所以，
，所以，
所以存在非零常数，使得，且．
【点睛】思路点睛：本题第二问根据题意，设直线方程，与椭圆方程联立，分别表示相应点的坐标，再利用斜率公式计算而得解.
16．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的标准方程；
（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数的关系，求得点的坐标，进而证得线段的中点为定点.
【详解】（1）由题可得，，
的中点为，
故椭圆的方程为；
（2）依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去并化简得，
由，得.
设，则，
依题意可知直线的斜率存在，
直线的方程为，
令，得
，
同理可求得，
，
线段的中点为定点.
【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般将直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理带入计算求解.
17．(1)
(2)
【分析】（1）设出等轴双曲线方程，将点代入即可得到双曲线的方程；
（2）由直线可得的斜率，设出的方程，联立双曲线方程消元，又是双曲线右支于两点，由根与系数关系解出的范围，表示出两点的坐标，由三角形的面积公式得到，再由的范围得到，从而得到的取值范围.
【详解】（1）设等轴双曲线方程为，代入点可得，所以，
所以双曲线方程为.
（2）因为，所以，又，所以，

设直线，
联立，可得，
因为是双曲线右支的两点，所以，解得.
又因为双曲线斜率为正的渐近线为，直线，
可得，同理可得，
而
，
所以，即，所以.
【点睛】关键点点睛：设出的方程，由是双曲线右支的两点，先得到的范围，要求的取值范围，可以先求的范围.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）由点在上可得，再由上的点到其两条渐近线的距离之积得，联立求解即得.
（2）设出直线的方程，与双曲线的方程联立求出点的坐标，结合已知确定点的位置，进而求出面积的最大值.
【详解】（1）由双曲线过点，得，
双曲线的渐近线方程为，
则双曲线上的点到两条渐近线的距离之积为，
于是，解得，则，而，解得
，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由（1）知，显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
由消去y并整理得，显然，
设，则，解得，且，
于是线段的中点，直线的斜率，
由，得直线的斜率，而，直线的方程为，则点，
于是直线的方程为，即，则直线过定点，
因此点在以为直径的圆上，该圆的圆心为，半径为，
则点到直线的最大距离为，点的坐标为或，
而点在直线上，即或，得或，满足，
所以点到直线的距离的最大值为，面积的最大值为.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
19．(1)证明见解析
(2)存在，7
【分析】（1）设直线方程为，联立抛物线方程，得出根与系数的关系式，结合数量积的坐标表示，化简，可得n的值，即可证明结论；
（2）假设存在，设圆M的方程为，设，根据直线和圆相切可得，表示出直线的方程，由直线也与圆相切推出恒成立，由此求出m的值，即可得结论.
【详解】（1）证明：由题意知直线l的斜率不为0，设其方程为，联立，
得，需满足，
设，则，
又，故，即，
即，
故，则，
故l的方程为，则直线过定点；
（2）假设存在以为圆心，2为半径的圆，符合题意；
由题意知直线的方程为，则，设，
则圆M的方程为，
设，
则直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
则由直线与圆M相切得，
即；
同理可得，
则，否则直线与抛物线只有一个交点，
故是的两个根，
需满足，
则，
直线的斜率为,
故直线的方程为，即,
由直线与圆相切可得，
两边平方得，
即，
化简得，
上式对任意的恒成立，故，解得或，
当时，此时圆M的方程为与相交，不合题意；
当时，，，
符合题意，此时，
综上，存在定圆，使得过抛物线上任意一点作圆的两条切线，
与抛物线交于另外两点时，总有直线也与圆相切.
【点睛】难点点睛：本题考查了直线和抛物线位置关系中的直线过定点问题，以及是否存在的探究性问题，综合性强，难度较大，解答的难点在于（2）中复杂的计算，并且基本都是有关字母参数的运算，计算量极大，需要十分细心.
答案第1页，共2页
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