东莞市常平中学等三校2023-2024学年高二下学期期中联考
数学
一、单选题
1. 已知函数在处的导数为3，则（ ）
A. 3 B. 1 C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件及函数在导数的定义即可求解.
【详解】因为函数在处的导数为3，
所以，
所以．
故选：B．
2. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数公式对函数进行求导，再根据导数与函数单调性的关系计算求解.
【详解】因为，所以函数的定义域为，
所以，由有：，
所以函数的单调递减区间为，故B，C，D错误.
故选：A.
3. 已知（，且），若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出，由可求得实数的值.
【详解】因为，则，所以，，
因为，且，解得.
故选：A.
4. 若曲线在处的切线垂直于直线，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的几何意义可求出结果.
【详解】的定义域为，
，
依题意得，解得.
故选：D
5. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读3种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A. 30种 B. 60种 C. 180种 D. 240种
【答案】C
【解析】
【分析】利用分步计数原理结合组合数公式求解.
【详解】甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读3种，
则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有种.
故选：C
6. 已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中的系数为（ ）
A. B. 1215 C. 135 D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用赋值法求出，再利用二项式定理的通项公式求解答案．
【详解】令，得，（注意所有项的系数之和与所有项的二项式系数之和的区别）
解得（舍去）或，
则的展开式的通项，
令，解得，则展开式中的系数为，
故选：B．
7. 从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个偶数和1个奇数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A. 36 B. 42 C. 45 D. 54
【答案】B
【解析】
【分析】分选2个偶数中含有0和不选0两种情况，结合排列组合知识进行求解.
【详解】当任选2个偶数中含有0时，0可以放在个位或十位，共2种情况，
再从3个奇数中选一个，2个偶数中选一个，放在剩余的数位上，共种选择，
此时共种情况，
当任选2个偶数中不含有0时，从3个奇数中选一个，并和2,4进行全排列，共种情况，
综上，组成没有重复数字的三位数个数为.
故选：B
8. 若直线与曲线（且）无公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由时，易知直线与曲线必有一个公共点，当时，由直线与曲线相切，利用导数法求得，再由图象位置判断．
【详解】解：当时，直线与曲线必有一个公共点，不合题意，
当时，若直线与曲线相切，设直线与曲线相切于点，则，得．
由切点在切线上，得，
由切点在曲线上，得，
所以，．
如图所示：
故当直线与曲线（且）无公共点时，．
故选：D
【点睛】思路点睛：时，由单调递增，单调递减容易判断；时，利用导数法研究直线与曲线相切时a的值，再根据对数函数在第一象限内随底数a的增大,图象向x轴靠近而得解.
二、多选题
9. 若，则x的值可能为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】BD
【解析】
【分析】
由已知组合数相等有2x-1=x+3，又由组合数的性质有2x-1+x+3=20，求解即可.
【详解】由，知2x-1=x+3或2x-1+x+3=20，所以x=4或x=6，
故选：BD．
10. 二项式的展开式中的有理项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先得到通项公式，当或或时为有理项，求出答案.
【详解】的通项公式，
当或或时，为有理项，
当时，，D正确；
当时，，C正确；
当时，，A正确
故选：ACD
11. 下列有关导数的运算和几何意义的说法，正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 在处的切线斜率是
D. 过点的切线方程是
【答案】BC
【解析】
【分析】AB选项，直接求导得到A错误，B正确；C选项，求导后，代入得到切线斜率；D选项，先得到不在上，设出切点，利用导数几何意义得到切线方程，将代入，得到方程，求出切点，进而得到切线斜率，得到D错误.
【详解】A选项，，A错误；
B选项，，，B正确；
C选项，，故，
所以在处的切线斜率是，C正确；
D选项，因为，故不在上，
，设切点为，
故，
故过点的切线方程是，
将代入切线方程中，，
即，
变形得到，即，
解得或，
故切线方程的斜率为或，
故切线方程不为，D错误.
故选：BC
三、填空题
12. 已知的展开式的第7项为常数项，则正整数的值为_________.
【答案】8
【解析】
【分析】根据展开式的通项公式，化简后，根据常数项特征，求正整数的值.
【详解】根据展开式的通项公式，
由题意可知，，.
故答案为：8
13. 某同学有4本相同的小说书，1本散文书．从中取出4本书送给4个朋友，每人1本，则不同的赠法有______种
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，分为选出的4本书都是相同的小说书和选出的4本书中3本相同的小说和1本散文书，两种情况，结合分类计数原理，即可求解.
【详解】若选出的4本书都是相同的小说书时，此时只有1中赠法；
若选出的4本书中3本相同的小说和1本散文书时，有4中不同的赠法，
由分类计数原理得，共有种不同的赠法.
故答案为：.
14. 若函数在上不单调，则实数的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为方程在上有根，结合的定义域得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】因为函数在上不单调，
所以在上有零点，
即方程在上有根，即方程在上有根，
又函数定义域为，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
15. 求下列函数的导函数.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【解析】
【分析】根据函数求导公式和四则运算即可求解.
【小问1详解】
，所以.
【小问2详解】
，所以.
【小问3详解】
，所以，.
【小问4详解】
，所以.
【小问5详解】
，所以
【小问6详解】
，所以.
16. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求在上的值域.
【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据导数的正负得出其单调性；
（2）根据第一问的函数单调性得出其值域.
【小问1详解】
函数，则，
当时，，当，，
故函数在上单调递增，在上单调递减；
【小问2详解】
由（1）可得函数在上单调递增，在上单调递减，
且，，
则在上的最大值，最小值，
故在上的值域为.
17. 设，，
（1）当时，若
求．
（2）当时，若展开式中的系数是20，求的值．
（3）展开式中的系数是19，当，变化时，求系数的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）本题可以应用赋值法分别令，，写出两个等式，把两个等式相加得到要求的下标是偶数的系数的和．
（2）写出二项式的展开式，根据当时，若展开式中的系数是20，得到，求出的值．
（3）要求一个系数的最小值，首先表示出这个项的系数，根据之间的关系，代入系数的表示式，根据二次函数的性质求得最小值．
【详解】（1）赋值法：分别令，则，
令，，
两式相加得.
（2）时，，因为的系数为20，所以，即，又，得.
（3）由题意得，，即，
，又因为，所以，当或时，
展开式中的系数最小，为
【点睛】二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，求二项展开式各项系数和往往可利用赋值法：（1）令可求得；（2）令结合（1）可求得与的值.
18. 已知函数与函数.
（1）若的图象在点处有公共的切线，求实数a的值；
（2）设，求函数的极值.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）因为的图象在点处有公共的切线，，因此则在该点处的导数值相等，得到参数a的值．
（2）设，分别对参数a进行分类讨论：i. 时， 在上单调递增，无极值；ii. 时，用列表法求出函数的极小值.
【详解】（1）因为，，所以，.
所以点同时在函数的图象上，
因为，所以，，
由已知，得，所以，即.
（2）因为，
所以 .
i.当时，
因为，且所以对恒成立，
所以在上单调递增，无极值；
ii.当时，
令，解得（舍）.
列表得：
x
- 0 +
减函数 极小值 增函数
所以当时，取得极小值，且.
综上，当时，函数在上无极值；
当时，函数在处取得极小值.
19. 已知函数.
（1）若是函数的一个极值点，求实数的值；
（2）若函数有两个极值点，其中，
①求实数的取值范围；
②若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）①，②
【解析】
【分析】（1）对函数求导，依题意可得，解得，经检验符合题意；
（2）①将函数有两个极值点转化为方程有两个不同正数根，再由函数与方程的思想可知函数与函数的图象在上有两个不同交点，利用数形结合可得；
②由两极值点的关系通过构造函数可将不等式恒成立问题转化为函数对任意的恒成立，利用导数并对实数的取值分类讨论即可求得.
【小问1详解】
易知，又是函数的一个极值点，
，即.
此时，令，
在上单调递增，且，
当，当，
在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，即符合题意；
因此实数的值为.
【小问2详解】
①因为，且有两个极值点，
所以方程在上有两个不同的根，即方程有两个不同的正数根，
将问题转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，
则，令，解得，
当时，单调递减，当时，单调递增，
且当时，，故作出的图象如下：
由图象可得满足题意，即.
即实数的取值范围为；
②由①知是的两个根，
故，则，
不妨设，又，所以可得，
可得，即，所以；
故由可得，
即，所以；
也即，化简得，
由于，所以等价于对任意的恒成立，
令，故对任意的恒成立，
则，
设，则，
（i）当时，单调递增，
故单调递减，故，不满足，舍去；
（ii）当时，单调递减，
故单调递增，故，故恒成立，符合题意；
（iii）当时，令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
又，故时，，此时单调递减，故，
因此当时，，不符合题意，舍去
综上，实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用两极值点关系可得，并通过构造函数将不等式问题转化为函数在指定区间上恒成立问题，利用导函数求出函数最值即可求得实数的取值范围.东莞市常平中学等三校2023-2024学年高二下学期期中联考
数学
一、单选题
1. 已知函数在处的导数为3，则（ ）
A. 3 B. 1 C. 2 D.
2. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D. ，
3. 已知（，且），若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若曲线在处切线垂直于直线，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
5. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读3种，则这两人选读课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A. 30种 B. 60种 C. 180种 D. 240种
6. 已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中的系数为（ ）
A. B. 1215 C. 135 D.
7. 从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个偶数和1个奇数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A. 36 B. 42 C. 45 D. 54
8. 若直线与曲线（且）无公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 若，则x值可能为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10. 二项式的展开式中的有理项为（ ）
A. B. C. D.
11. 下列有关导数运算和几何意义的说法，正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 在处的切线斜率是
D. 过点的切线方程是
三、填空题
12. 已知的展开式的第7项为常数项，则正整数的值为_________.
13. 某同学有4本相同的小说书，1本散文书．从中取出4本书送给4个朋友，每人1本，则不同的赠法有______种
14. 若函数在上不单调，则实数的取值范围为____________.
四、解答题
15. 求下列函数的导函数.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
16 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求在上的值域.
17. 设，，
（1）当时，若
求．
（2）当时，若展开式中的系数是20，求的值．
（3）展开式中的系数是19，当，变化时，求系数的最小值．
18. 已知函数与函数.
（1）若的图象在点处有公共的切线，求实数a的值；
（2）设，求函数的极值.
19. 已知函数.
（1）若是函数的一个极值点，求实数的值；
（2）若函数有两个极值点，其中，
①求实数的取值范围；
②若不等式恒成立，求实数的取值范围.
