2024年高考数学各地区模拟专项训练：圆锥曲线与方程（含答案）

2024年高考数学各地区模拟专项训练：圆锥曲线与方程
一、选择题
1．（2024·贵州模拟）已知过点的动直线交抛物线于，两点（，不重合），为坐标原点，则（　　）
A．一定是锐角 B．一定是直角
C．一定是钝角 D．是锐角、直角或钝角都有可能
2．（2024·广西壮族自治区月考） 已知椭圆的长轴长等于焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·丽水模拟）双曲线的渐近线方程为，则(　　)
A． B． C． D．2
4．（2024·安庆模拟）设F是椭圆的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆于P，Q两点，则的周长的最小值为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
5．（2024·延庆模拟） 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·贵州模拟）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图像的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
7．（2024·玉林模拟）如图所示，是双曲线的左、右焦点，的右支上存在一点满足与双曲线左支的交点满足，则双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
8．（2024·从化模拟）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的方程为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2024·南通模拟）已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，上，下两个顶点分别为，，的延长线交于，且，则（　　）
A．椭圆的离心率为 B．直线的斜率为
C．为等腰三角形 D．
10．（2024·邯郸模拟）设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于点，与轴相交于点.则（　　）
A．的准线方程为
B．的值为2
C．
D．的面积与的面积之比为9
11．（2024·安徽模拟）已知双曲线：（，）左右焦点分别为，，。经过的直线与的左右两支分别交于，，且为等边三角形，则（　　）
A．双曲线的方程为
B．的面积为
C．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相交
D．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相切
三、填空题
12．（2024·南通模拟）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为　 　.
13．（2024·宁波模拟）在平面直角坐标系中，定义为两点间的“曼哈顿距离”.已知椭圆，点在椭圆上，轴.点满足.若直线与的交点在轴上，则的最大值为　 　.
14．（2024·广西壮族自治区月考） 已知分别是双曲线的左 右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则　 　.
四、解答题
15．（2024·贵州模拟） 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，椭圆上的点到的最大距离是短半轴长的倍，且椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与相交于，两点，直线的倾斜角为锐角．若点到直线与的距离为，求直线与直线的斜率之和．
16．（2024·鞍山模拟）焦点在轴上的椭圆的左顶点为，，，为椭圆上不同三点，且当时，直线和直线的斜率之积为．
（1）求的值；
（2）若的面积为，求和的值；
（3）在的条件下，设的中点为，求的最大值．
17．（2024·南通模拟）已知双曲线的渐近线为，左顶点为.
（1）求双曲线的方程；
（2）直线交轴于点，过点的直线交双曲线于，，直线，分别交于，，若，，，均在圆上，
①求的横坐标；
②求圆面积的最小值.
18．（2024·宁波模拟）已知双曲线，上顶点为.直线与双曲线的两支分别交于两点（在第一象限），与轴交于点.设直线的倾斜角分别为.
（1）若，
（i）若，求；
（ii）求证：为定值；
（2）若，直线与轴交于点，求与的外接圆半径之比的最大值.
19．（2024·丽水模拟）已知抛物线，点A，B，C在抛物线E上，且A在x轴上方，B和C在x轴下方(B在C左侧)，A，C关于x轴对称，直线AB交x轴于点M，延长线段CB交x轴于点Q，连接QA.
（1）证明：为定值(O为坐标原点)；
（2）若点Q的横坐标为，且，求的内切圆的方程.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】A,C,D
10．【答案】B,D
11．【答案】B,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】2
15．【答案】（1）解：由题意知，
得，由，得，
化简得，所以，
又因为椭圆过点，所以，
所以，解得．
所以，，即的方程为．
（2）解：设直线的方程为，，由点到直线与的距离为，
得，解得．
联立，整理得．
设，，则，，
所以直线与直线的斜率的和为
．
16．【答案】（1）由可知，，，三点共线，
再由椭圆的对称性可知，，关于原点中心对称，即，，
易知，由直线和直线的斜率之积为可得，
对任意成立，即对任意成立，
再由，消去，可知对任意成立，
故，所以．
（2）若，即直线斜率不存在.则，
的面积为，即，解得，
故，，
所以，；
若，即直线斜率存在，设直线的方程为：，
代入椭圆方程得，所以，是关于的方程的两实根，
由韦达定理可知，当即时，
，，
，
的面积为，即，
整理得，故，
即，．
综上，，．
（3）显然，由可知，，
又，
即，
所以，当且仅当时取等号，
此时为直角三角形且为直角，
故，
解得从而，即等号可以成立，
故的最大值为．
17．【答案】（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在轴上，可设双曲线的方程为（，），从而渐近线方程为：，由题条件知：.
因为双曲线的左顶点为，所以，，双曲线的方程为：.
（2）①，设直线的方程为：，将代入方程：，
得：，当且时，
设，，则，.
设直线得倾斜角为，不妨设，则，
由于，，，四点共圆知：，所以直线的倾斜角为，.
直线的方程为：，令，则，从而，
所以，又，得：，
，
又，代入上式得：
，
，
，
化简得：，解得：（舍）或.
故点的坐标为.
②，由①知：，所以.
，所以，
若，在轴上方时，在的上方，即时，；
若，在轴下方时，即时，，所以或.
又直线与渐近线不平行，所以.
所以，或且.
因为，
设圆的半径为，面积为，则，
所以
，
当且仅当即时，上述不等式取等号，
或且.
所以且，从而且.
18．【答案】（1）（i），所以.
与联立可得，解得或，所以.
所以，所以；
（ii）①直线斜率存在时，可设直线的方程为，设
由得
所以.
当时，由（i）可得；
当时，设的斜率分别为.
.
所以，
.
所以.
因为在第一象限，所以，所以，所以.
②直线斜率不存在时，可得，
可得，
所以，同理可得.
综上可得，为定值，得证
（2）由（1）可得时，.
①不存在，则，由①（i）可得，所以，所以.
②不存在，则，则，此时，由图可得.
③若和均存在，设，则
与双曲线联立可得.
所以.
所以，
所以.
设与的外接圆半径分别为，
从而.等号当且仅当时取到.
所以与的外接圆半径之比的最大值为2.
19．【答案】（1）证明：设直线AB的方程为，，，则，，
由，消去x，得，
，
所以，，
直线BC的方程为，化简得，
令，得，所以
因此.
（2）解：因为点Q的横坐标为，由（1）可知，，，
设QA交抛物线于D，，，，，如图所示
又由（1）知，，同理可得，得，
又，
，
又，，
则，
故结合，得.
所以直线AB的方程为，
又，
则，
所以直线AD的方程为，
设圆心，
因为QM为的平分线，故点T到直线AB和直线AD的距离相等，
所以，因为，解得，
故圆T的半径，
因此圆T的方程为.