贵州省六盘水市第四中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．（2024高一下·六盘水月考）若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一下·六盘水月考）下列函数的最小正周期为且为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高一下·六盘水月考）已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·天津市）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·六盘水月考）已知扇形的周长是6cm，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（ ）
A．1 B．2或4 C．4 D．1或4
6．（2024高一下·六盘水月考）已知，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·达州月考）如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·六盘水月考）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国，各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）.已知正六边形的边长为2，若点是线段上的动点（包括端点），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2024高一下·六盘水月考）已知，，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．与方向相同的单位向量是
C．
D．
10．（2024高一下·六盘水月考）已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在上单调递增
D．若，则的最小值为
11．（2024高一下·六盘水月考）下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，的最小值为2
C．当时，的最小值是5
D．设，，且，则的最小值是
12．（2024高一下·六盘水月考）下列说法不正确的是（ ）
A．已知，，若，则组成集合为
B．不等式对一切实数恒成立的充要条件是
C．命题：，为真命题的充要条件是
D．不等式解集为，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2024高一下·六盘水月考）求值： .
14．（2020高三上·丹东月考）设 ， 为单位向量，且 ，则 ．
15．（2022高三上·东阳月考）已知函数是偶函数，则 .
16．（2024高一下·六盘水月考）已知，函数在上单调递减，则实数的取值可以是 .（填写一个正确答案即可）
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2024高一下·六盘水月考）已知，且是第三象限角.
（1）求和的值；
（2）求的值.
18．（2024高一下·六盘水月考）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点.记，.
（1）请用，表示向量；
（2）若，设，的夹角为，若，求证：.
19．（2024高一下·六盘水月考）如图所示，某地夏天从8~14时的用电量变化曲线近似满足函数.
（1）求这一天的最大用电量及最小用电量；
（2）写出这段曲线的函数解析式.
20．（2024高一下·六盘水月考）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）先将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位后得到函数的图象，求的单调减区间以及在区间上的最值.
21．（2024高一下·六盘水月考）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为（），北岸上的点在点的正北方向.
（1）若游船沿到达北岸点所需时间为6min，求的大小和的值；
（2）当，时，游船航行到北岸的实际航程是多少？
22．（2024高一下·六盘水月考）已知函数（为常数，且，）.请在下面四个函数：①，②，③，④，中选择一个函数作为，使得具有奇偶性.
（1）请写出表达式，并求的值；
（2）当为奇函数时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
（3）当为偶函数时，请讨论关于的方程解的个数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：，故，
故选：D
【分析】本题考查集合的交集运算.解不等式先求出集合，再利用集合交集的定义可求出.
2．【答案】D
【知识点】函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、根据函数的性质可知是周期，且是偶函数，A错误；
B、是周期为，且是奇函数，B错误；
C、 ，，且，所以函数是周期为的偶函数，C错误；
D、的周期，且是奇函数，D正确.
故选：D
【分析】本题考查三角函数的周期公式和奇偶性.先判断函数的奇偶性，据此可判断A和C选项；再求出函数的周期，据此可判断B和D选项，据此可选出选项.
3．【答案】C
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量在向量上的投影向量为：，
故选：C.
【分析】本题考查投影向量的定义.根据向量在向量上的投影公式即可.
4．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，故.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小。
5．【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形所在圆半径为r，则扇形弧长为，依题意，，解得或，
所以扇形的中心角的弧度数是或.
故选：C
【分析】本题考查扇形的面积公式和弧长公式.根据给定条件：设扇形所在圆半径为r，则扇形弧长为，利用扇形面积公式可列出方程，解方程可求出的值，根据圆心角求解公式：可求出圆心角的度数.
6．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：，
因为，所以，则在第二或第三象限，
因为，当在第三象限时，由于，
又在上递增，且，
所以当在第三象限时，，与矛盾，所以在第二象限，
因为，所以．
因为，所以，则．
因为，所以．
所以，即．
故选：A．
【分析】本题考查两角和的正弦公式，三角函数的诱导公式.先利用同角三角函数的基本关系可求出，再根据三角函数的诱导公式可得：，利用两角和的正弦公式进行展开，代入数据可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】因为，即，
又因为P为CD上一点，可设，
则，
又因为，
则，
可得，解得，
所以
.
故答案为：D．
【分析】设，根据向量线性运算结合平面向量基本定理解得，再利用数量积的定义和运算律分析求解.
8．【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：如图所示：
以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点，方向为轴正方向，建立直角坐标系.
因正六边形边长为2，故得：，
设点，， 则得：，故，
于是， ，
则：，
因，故得：，即：.
故选：A.
【分析】本题考查平面向量的数量积.根据正六边形的对称性，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立直角坐标系.，求得相关点坐标，设出点坐标，利用表示出，利用平面向量坐标运算可得，运用二次函数的性质可求出的取值范围.
9．【答案】A,B,C
【知识点】单位向量；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因，则，A正确；
与方向相同的单位向量是，B正确；
，而，所以，C正确；
因，则与不平行，D不正确.
故选：ABC.
【分析】本题考查单位向量的定义，平面向量的数量积的坐标表示，平面向量的夹角，平面向量平行的坐标表示. 根据平面向量数量积的坐标表示可判断A选项；根据单位向量的定义可得：与方向相同的单位向量是，代入数据可判断B选项；利用向量的夹角计算公式可求出，据此可反推出；利用平面向量平行的坐标表示可判断D选项.
10．【答案】B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：对于函数的图象关于对称，
故，
由于，所以，所以，故，所以；
A：由于，所以，A错误；
B：当时，，C错误；
C：由于，故，故函数在该区间上单调递增，B正确；
D：若，则的最小值为，D正确．
故选：BD．
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质.先根据正弦函数的对称轴公式可列出方程，解方程可求出，计算出函数值可判断A选项；求出函数值可得，对称中心的横坐标函数值等于0，据此可判断B选项；通过求解可得，利用正弦函数的性质可判断C选项；根据正弦函数的最大值和最小值之间的关系可判断D选项.
11．【答案】A,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A.时，，当且仅当时取等号，正确；
B.当时，，没有最小值，错误；
C.当时，，
有最大值，没有最小值， 错误；
D.，，，
则，
当且仅当且即，时取等号，D正确
故选：AD．
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.观察看得积为定值，利用基本不等式可求最值，判断A选项；利用不等式性质可得，据此可判断B选项；通过变形再利用基本不等式求解可求出：，据此可判断C选项；采用1还原法，式子先乘以1，再将1进行替换，观察可得积为定值，利用基本不等式求最值，据此可判断D选项.
12．【答案】A,B,C
【知识点】集合关系中的参数取值问题；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：A，，又，
当时，，满足，
当时，，
当时，，满足，当时，，满足，
综上，组成集合为，A错误；
B，中，当时，满足要求，B错误；
C，在上有解，
其中在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得最小值，最小值为，
故，C正确；
D，不等式解集为，
则且为方程的两个根，故，，
则，，故，D错误.
故选：ABC
【分析】本题考查集合间的基本关系，恒成立问题，充分条件和必要条件的判断，一元二次不等式的解集.当时，，满足要求，据此可知A错误；当时，满足要求，所以，据此可判断B选项；原问题可转化为在上有解，利用二次函数的性质求出的最小值，可求出m的取值范围，据此可判断C选项；根据一元二次不等式的解集得到且为方程的两个根，利用韦达定理可求出的关系，判断D选项.
13．【答案】-4
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：由题意得．
故答案为．
【分析】本题考查诱导公式，二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式.先对式子进行通分，再利用二倍角的正弦公式和两角和的正弦公式化简可得：原式，利用诱导公式再进行化简可求出答案.
14．【答案】1
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 ，
．
故答案为：1．
【分析】由向量的模长以及数量积运算公式代入数值计算出结果即可。
15．【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
【分析】根据题意，利用，列出方程，即可求解.
16．【答案】内任取一个
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：，在上单调递减，
故，解得，
当时，，
所以且，，
解得且，，
结合，可知只有当时，符合要求，
综上，.
故答案为：内任取一个
【分析】本题正弦函数的图象和性质.根据函数在上单调递减，利用正弦函数的周期性可列出不等式，解不等式可求出，再根据正弦函数的图象和性质可列出不等式组：且，，解不等式可求出的取值范围，进而求出答案.
17．【答案】（1）解：因为是第三象限角，所以，
因为，，故，；
（2）解：由（1）可知，，
故
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角正弦公式.
（1）先利用同角三角函数关系结合所在象限可求出，；
（2）先利用二倍角正弦公式将分式进行展开，再将，代入式子可求出答案；
18．【答案】（1）解：，由题意得，
所以.
（2）解：由题意，.
∵，，∴.
∴，
∴.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【分析】本题考查平面向量的基本定理，平面向量的数量积.
（1）结合图形，利用向量的减法运算法则可求出，再利用平面向量的加法法则可求出答案；
（2）以，为基底表示出，利用平面向量的数量积进行计算可得，据此可证明结论.
19．【答案】（1）解：由图像可知最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h
（2）解：观察图象可知从8~14时的图象是的半个周期图象，
∴，.
∵，∴.
∴.
将，代入上式，又∵，∴解得.
∴所求解析式为，
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】本题考查正弦函数的图象和性质，根据三角函数图象求函数解析式.
（1）观察函数图象找出最高点和最低点，据此可求出答案；
（2）观察函数图象可先求出的值，再找出周期进而求出，再将点将，代入函数解析式可求出的值，据此可求出函数解析式.
20．【答案】（1）解：
，
则函数的最小正周期为.
（2）解：根据图象变换可得：.
令，
解得：，
则的单调减区间为.
令
则.
因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；
且当时，；当时，；当时，.
所以函数在区间上的最大值为，最小值为
【知识点】简单的三角恒等变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】本题考查辅助角公式，三角函数的变换，正弦函数的图象和性质.
（1）先利用两角和与差的正弦公式、辅助角公式化简解析式可得：；再根据正弦型函数的周期公式可求出周期；
（2）先利用三角函数图象的变换规律可求出函数的解析式；再根据正弦函数的图象和性质可列不等式，解不等式可求出单调递减区间；采用换元法令，求出函数的单调区间，进而求出函数在区间的最值.
21．【答案】（1）解：设游船的实际速度为.
由，，得，.
如图所示速度合成示意图，由，得，.
所以的大小为，的值为.
（2）解：当，时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示：
由向量数量积运算得：
.∴.
在中，，从而.
所以.
故游船的实际航程为.
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；向量在物理中的应用
【解析】【分析】本题考查平面向量的基本定理的实际应用，平面向量数量积的实际应用.
（1）设游船的实际速度为，由速度合成得，根据可求出，再利用余弦的定义可求出的值.
（2）设到达北岸点所用时间为，根据，利用平面向量的数量积可求出长度，利用余弦的定义可求出时间t，代入时间t可求出游船的实际航程.
22．【答案】（1）解：若选①，，则，该函数的定义域为
若函数为奇函数，则，不合乎题意；
若函数为偶函数，则，
由，可得，化简可得，
则不为常数，即函数不可能为偶函数，不合乎题意；
若选②，的定义域为，所以，函数的定义域为，
此时，函数为非奇非偶函数，不合乎题意；
若选③，，则.
若函数为奇函数，则，不合乎题意；
若函数为偶函数，则，
由，可得，
整理可得，
则不为常数，不合乎题意.
选④，，，
当为奇函数，则，即，可得；
当为偶函数，则，则，可得；
（2）解：当为奇函数时，，，则，
由于函数在上为增函数，函数在为减函数，
所以，函数在上为增函数，则，
若对于任意的，都有成立
，
设，，
任取、，且，即，
则，
∵，则，，可得，即，
所以，函数在上为增函数，所以，，∴.
所以的取值范围是；
（3）解：当为偶函数时，，，
令，当且仅当时，等号成立，
则，，
又在单调递增，所以.
①当，此时方程无解；
②当，存在唯一解，
又因为为偶函数，不妨设，
，
因为，则，，所以，，∴，
所以在单调递增，在单调递减，
（ⅰ）当时，，此时方程有唯一解；
（ⅱ）当时，，此时方程有两个解；
下证必要性：令，该函数的定义域为，
，则为偶函数，在单调递增，
，，
所以在有一个零点，
又因为函数是偶函数，则函数在也有一个零点，
所以当，时原方程一共有两个解.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性；函数恒成立问题；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，恒成立问题，函数的单调性，函数与方程的综合应用.
（1）根据所选条件，求出，利用奇函数和偶函数的定义，可列出关于的方程，解方程可求出对应的实数的值；
（2）由已知条件可得出，参变量分离可得，利用对勾函数的性质可求出函数在区间上的最小值，据此可求出实数的取值范围；
（3）设，参变量分离可得，分析函数在区间上的单调性，分两种情况：当时；当时；讨论在不同取值下方程的解的个数，据此可求出答案.
1 / 1贵州省六盘水市第四中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．（2024高一下·六盘水月考）若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：，故，
故选：D
【分析】本题考查集合的交集运算.解不等式先求出集合，再利用集合交集的定义可求出.
2．（2024高一下·六盘水月考）下列函数的最小正周期为且为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、根据函数的性质可知是周期，且是偶函数，A错误；
B、是周期为，且是奇函数，B错误；
C、 ，，且，所以函数是周期为的偶函数，C错误；
D、的周期，且是奇函数，D正确.
故选：D
【分析】本题考查三角函数的周期公式和奇偶性.先判断函数的奇偶性，据此可判断A和C选项；再求出函数的周期，据此可判断B和D选项，据此可选出选项.
3．（2024高一下·六盘水月考）已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量在向量上的投影向量为：，
故选：C.
【分析】本题考查投影向量的定义.根据向量在向量上的投影公式即可.
4．（2022·天津市）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，故.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小。
5．（2024高一下·六盘水月考）已知扇形的周长是6cm，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（ ）
A．1 B．2或4 C．4 D．1或4
【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形所在圆半径为r，则扇形弧长为，依题意，，解得或，
所以扇形的中心角的弧度数是或.
故选：C
【分析】本题考查扇形的面积公式和弧长公式.根据给定条件：设扇形所在圆半径为r，则扇形弧长为，利用扇形面积公式可列出方程，解方程可求出的值，根据圆心角求解公式：可求出圆心角的度数.
6．（2024高一下·六盘水月考）已知，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：，
因为，所以，则在第二或第三象限，
因为，当在第三象限时，由于，
又在上递增，且，
所以当在第三象限时，，与矛盾，所以在第二象限，
因为，所以．
因为，所以，则．
因为，所以．
所以，即．
故选：A．
【分析】本题考查两角和的正弦公式，三角函数的诱导公式.先利用同角三角函数的基本关系可求出，再根据三角函数的诱导公式可得：，利用两角和的正弦公式进行展开，代入数据可求出答案.
7．（2024高一下·达州月考）如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】因为，即，
又因为P为CD上一点，可设，
则，
又因为，
则，
可得，解得，
所以
.
故答案为：D．
【分析】设，根据向量线性运算结合平面向量基本定理解得，再利用数量积的定义和运算律分析求解.
8．（2024高一下·六盘水月考）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国，各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）.已知正六边形的边长为2，若点是线段上的动点（包括端点），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：如图所示：
以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点，方向为轴正方向，建立直角坐标系.
因正六边形边长为2，故得：，
设点，， 则得：，故，
于是， ，
则：，
因，故得：，即：.
故选：A.
【分析】本题考查平面向量的数量积.根据正六边形的对称性，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立直角坐标系.，求得相关点坐标，设出点坐标，利用表示出，利用平面向量坐标运算可得，运用二次函数的性质可求出的取值范围.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2024高一下·六盘水月考）已知，，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．与方向相同的单位向量是
C．
D．
【答案】A,B,C
【知识点】单位向量；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因，则，A正确；
与方向相同的单位向量是，B正确；
，而，所以，C正确；
因，则与不平行，D不正确.
故选：ABC.
【分析】本题考查单位向量的定义，平面向量的数量积的坐标表示，平面向量的夹角，平面向量平行的坐标表示. 根据平面向量数量积的坐标表示可判断A选项；根据单位向量的定义可得：与方向相同的单位向量是，代入数据可判断B选项；利用向量的夹角计算公式可求出，据此可反推出；利用平面向量平行的坐标表示可判断D选项.
10．（2024高一下·六盘水月考）已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在上单调递增
D．若，则的最小值为
【答案】B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：对于函数的图象关于对称，
故，
由于，所以，所以，故，所以；
A：由于，所以，A错误；
B：当时，，C错误；
C：由于，故，故函数在该区间上单调递增，B正确；
D：若，则的最小值为，D正确．
故选：BD．
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质.先根据正弦函数的对称轴公式可列出方程，解方程可求出，计算出函数值可判断A选项；求出函数值可得，对称中心的横坐标函数值等于0，据此可判断B选项；通过求解可得，利用正弦函数的性质可判断C选项；根据正弦函数的最大值和最小值之间的关系可判断D选项.
11．（2024高一下·六盘水月考）下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，的最小值为2
C．当时，的最小值是5
D．设，，且，则的最小值是
【答案】A,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A.时，，当且仅当时取等号，正确；
B.当时，，没有最小值，错误；
C.当时，，
有最大值，没有最小值， 错误；
D.，，，
则，
当且仅当且即，时取等号，D正确
故选：AD．
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.观察看得积为定值，利用基本不等式可求最值，判断A选项；利用不等式性质可得，据此可判断B选项；通过变形再利用基本不等式求解可求出：，据此可判断C选项；采用1还原法，式子先乘以1，再将1进行替换，观察可得积为定值，利用基本不等式求最值，据此可判断D选项.
12．（2024高一下·六盘水月考）下列说法不正确的是（ ）
A．已知，，若，则组成集合为
B．不等式对一切实数恒成立的充要条件是
C．命题：，为真命题的充要条件是
D．不等式解集为，则
【答案】A,B,C
【知识点】集合关系中的参数取值问题；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：A，，又，
当时，，满足，
当时，，
当时，，满足，当时，，满足，
综上，组成集合为，A错误；
B，中，当时，满足要求，B错误；
C，在上有解，
其中在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得最小值，最小值为，
故，C正确；
D，不等式解集为，
则且为方程的两个根，故，，
则，，故，D错误.
故选：ABC
【分析】本题考查集合间的基本关系，恒成立问题，充分条件和必要条件的判断，一元二次不等式的解集.当时，，满足要求，据此可知A错误；当时，满足要求，所以，据此可判断B选项；原问题可转化为在上有解，利用二次函数的性质求出的最小值，可求出m的取值范围，据此可判断C选项；根据一元二次不等式的解集得到且为方程的两个根，利用韦达定理可求出的关系，判断D选项.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2024高一下·六盘水月考）求值： .
【答案】-4
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：由题意得．
故答案为．
【分析】本题考查诱导公式，二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式.先对式子进行通分，再利用二倍角的正弦公式和两角和的正弦公式化简可得：原式，利用诱导公式再进行化简可求出答案.
14．（2020高三上·丹东月考）设 ， 为单位向量，且 ，则 ．
【答案】1
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 ，
．
故答案为：1．
【分析】由向量的模长以及数量积运算公式代入数值计算出结果即可。
15．（2022高三上·东阳月考）已知函数是偶函数，则 .
【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
【分析】根据题意，利用，列出方程，即可求解.
16．（2024高一下·六盘水月考）已知，函数在上单调递减，则实数的取值可以是 .（填写一个正确答案即可）
【答案】内任取一个
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：，在上单调递减，
故，解得，
当时，，
所以且，，
解得且，，
结合，可知只有当时，符合要求，
综上，.
故答案为：内任取一个
【分析】本题正弦函数的图象和性质.根据函数在上单调递减，利用正弦函数的周期性可列出不等式，解不等式可求出，再根据正弦函数的图象和性质可列出不等式组：且，，解不等式可求出的取值范围，进而求出答案.
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2024高一下·六盘水月考）已知，且是第三象限角.
（1）求和的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：因为是第三象限角，所以，
因为，，故，；
（2）解：由（1）可知，，
故
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角正弦公式.
（1）先利用同角三角函数关系结合所在象限可求出，；
（2）先利用二倍角正弦公式将分式进行展开，再将，代入式子可求出答案；
18．（2024高一下·六盘水月考）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点.记，.
（1）请用，表示向量；
（2）若，设，的夹角为，若，求证：.
【答案】（1）解：，由题意得，
所以.
（2）解：由题意，.
∵，，∴.
∴，
∴.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【分析】本题考查平面向量的基本定理，平面向量的数量积.
（1）结合图形，利用向量的减法运算法则可求出，再利用平面向量的加法法则可求出答案；
（2）以，为基底表示出，利用平面向量的数量积进行计算可得，据此可证明结论.
19．（2024高一下·六盘水月考）如图所示，某地夏天从8~14时的用电量变化曲线近似满足函数.
（1）求这一天的最大用电量及最小用电量；
（2）写出这段曲线的函数解析式.
【答案】（1）解：由图像可知最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h
（2）解：观察图象可知从8~14时的图象是的半个周期图象，
∴，.
∵，∴.
∴.
将，代入上式，又∵，∴解得.
∴所求解析式为，
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】本题考查正弦函数的图象和性质，根据三角函数图象求函数解析式.
（1）观察函数图象找出最高点和最低点，据此可求出答案；
（2）观察函数图象可先求出的值，再找出周期进而求出，再将点将，代入函数解析式可求出的值，据此可求出函数解析式.
20．（2024高一下·六盘水月考）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）先将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位后得到函数的图象，求的单调减区间以及在区间上的最值.
【答案】（1）解：
，
则函数的最小正周期为.
（2）解：根据图象变换可得：.
令，
解得：，
则的单调减区间为.
令
则.
因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；
且当时，；当时，；当时，.
所以函数在区间上的最大值为，最小值为
【知识点】简单的三角恒等变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】本题考查辅助角公式，三角函数的变换，正弦函数的图象和性质.
（1）先利用两角和与差的正弦公式、辅助角公式化简解析式可得：；再根据正弦型函数的周期公式可求出周期；
（2）先利用三角函数图象的变换规律可求出函数的解析式；再根据正弦函数的图象和性质可列不等式，解不等式可求出单调递减区间；采用换元法令，求出函数的单调区间，进而求出函数在区间的最值.
21．（2024高一下·六盘水月考）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为（），北岸上的点在点的正北方向.
（1）若游船沿到达北岸点所需时间为6min，求的大小和的值；
（2）当，时，游船航行到北岸的实际航程是多少？
【答案】（1）解：设游船的实际速度为.
由，，得，.
如图所示速度合成示意图，由，得，.
所以的大小为，的值为.
（2）解：当，时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示：
由向量数量积运算得：
.∴.
在中，，从而.
所以.
故游船的实际航程为.
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；向量在物理中的应用
【解析】【分析】本题考查平面向量的基本定理的实际应用，平面向量数量积的实际应用.
（1）设游船的实际速度为，由速度合成得，根据可求出，再利用余弦的定义可求出的值.
（2）设到达北岸点所用时间为，根据，利用平面向量的数量积可求出长度，利用余弦的定义可求出时间t，代入时间t可求出游船的实际航程.
22．（2024高一下·六盘水月考）已知函数（为常数，且，）.请在下面四个函数：①，②，③，④，中选择一个函数作为，使得具有奇偶性.
（1）请写出表达式，并求的值；
（2）当为奇函数时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
（3）当为偶函数时，请讨论关于的方程解的个数.
【答案】（1）解：若选①，，则，该函数的定义域为
若函数为奇函数，则，不合乎题意；
若函数为偶函数，则，
由，可得，化简可得，
则不为常数，即函数不可能为偶函数，不合乎题意；
若选②，的定义域为，所以，函数的定义域为，
此时，函数为非奇非偶函数，不合乎题意；
若选③，，则.
若函数为奇函数，则，不合乎题意；
若函数为偶函数，则，
由，可得，
整理可得，
则不为常数，不合乎题意.
选④，，，
当为奇函数，则，即，可得；
当为偶函数，则，则，可得；
（2）解：当为奇函数时，，，则，
由于函数在上为增函数，函数在为减函数，
所以，函数在上为增函数，则，
若对于任意的，都有成立
，
设，，
任取、，且，即，
则，
∵，则，，可得，即，
所以，函数在上为增函数，所以，，∴.
所以的取值范围是；
（3）解：当为偶函数时，，，
令，当且仅当时，等号成立，
则，，
又在单调递增，所以.
①当，此时方程无解；
②当，存在唯一解，
又因为为偶函数，不妨设，
，
因为，则，，所以，，∴，
所以在单调递增，在单调递减，
（ⅰ）当时，，此时方程有唯一解；
（ⅱ）当时，，此时方程有两个解；
下证必要性：令，该函数的定义域为，
，则为偶函数，在单调递增，
，，
所以在有一个零点，
又因为函数是偶函数，则函数在也有一个零点，
所以当，时原方程一共有两个解.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性；函数恒成立问题；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，恒成立问题，函数的单调性，函数与方程的综合应用.
（1）根据所选条件，求出，利用奇函数和偶函数的定义，可列出关于的方程，解方程可求出对应的实数的值；
（2）由已知条件可得出，参变量分离可得，利用对勾函数的性质可求出函数在区间上的最小值，据此可求出实数的取值范围；
（3）设，参变量分离可得，分析函数在区间上的单调性，分两种情况：当时；当时；讨论在不同取值下方程的解的个数，据此可求出答案.
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