第5章 分式与分式方程（单元测试·拔尖卷）（含解析）

第5章 分式与分式方程（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
2．若有意义，则字母x的取值范围是( )
A．x≥1 B．x≠2 C．x≥1且x＝2 D．.x≥-1且x≠2
3．若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（ ）
A．1 B．x C． D．4
4．已知，则代数式的值为（ ）
A．2021 B．2024 C．2027 D．2030
5．对于任意的x值都有，则M，N值为（　　）
A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4
6．若分式，则分式的值等于（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
7．已知关于的分式方程的解是非负数，那么的取值范围是（　　　）
A． B． C．且 D．且
8．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（ ）
A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7
9．关于x的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息：
如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（　　）
A．13小时 B．13小时 C．14小时 D．14小时
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若，则的值是 ．
12．设，则的值为 ．
13．关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是 ．
14．已知，一次函数的图象过点，则一次函数的解析式是 ．
15．若以x为未知数的方程无解，则 .
16．某中学假期后勤中的一项工作是请名木工制作把椅子和张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作把椅子或张课桌，将这名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配 人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短．
17．已知．即当为于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，．计算的结果为 ．
18．若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）解关于的分式方程？
20．（8分）若
(1)化简A；
(2)若 ，且 ，求A的最小值；
(3)若a， b为正整数， 且 ，当A，B均为正整数时，求的值．
21．（10分）（1）已知其中，化简求值；
（2）已知，探究m与n的关系．
22．（10分）阅读材料，下列关于的方程：
的解为：，； 的解为：，；
的解为：，； 的解为：，；
根据这些材料解决下列问题：
(1)方程的解是____________；
(2)方程的解是____________；
(3)解方程：．
23．（10分）某超市购进A，B两种水果，费用分别为2400元和2000元，其中A种水果的数量是B种水果数量的2倍，已知B种水果每箱的单价比A种水果每箱的单价多80元．
(1)求A，B两种水果每箱的单价；
(2)根据市场需求，该超市决定再次购进A，B两种水果共18箱，设购进A种水果x（x为正整数）箱，求所需费用W（元）与x之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，超市计划本次购进B种水果的数量不少于A种水果数量的2倍，若A，B两种水果每箱的单价均不变，则如何购买才能使得所需费用最少？最少费用为多少元？
24．（12分）观察下列各式：，
，
，
请利用你所发现的规律．
(1)写出第4个式子______；
(2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）．
(3)计算．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】先化简分式，若的值为整数即的值为整数，故（x-2）为4的因数，由此确定整数x的值.
【详解】原式＝，
因为x为整数，分式的值也为整数，且x≠-2，
所以分式的值分别为﹣2、﹣4、4、2、1时，得
X=0、1、3、4、6，
所以所有符合条件的x的值有5个．
故选：B．
【点拨】此题考查分式的化简，分式有意义的条件，根据分式的值为0确定分母的值，由此得出x的值，注意分母中虽约去了（x+2），但是要考虑到x≠-2，避免错误.
2．D
【分析】直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案．
【详解】有意义，则x+1≥0且x-2≠0，
解得：x≥-1且x≠2．
故选D．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．
3．C
【分析】将1，x，-x，4，逐一代替“○”，分解因式后可以约分化简的不合题意，不可以约分化简的符合题意．
【详解】A．，可以进行约分化简，“○”可以是1，不合题意；
B．，可以进行约分化简，“○”可以是x，不合题意；
C．，不可以进行约分化简，“○”不可以是-x，合题意；
D．， 可以进行约分化简，“○”可以是4，不合题意．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了分式的乘法，解决问题的关键是熟练掌握分解因式，约分化简．
4．D
【分析】先对原代数式的分子进行因式分解，然后再约分，最后再整体代入求值．
【详解】
∵
∴
∴
即原式的值为2030．
故选：D．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是对分式中的分子进行复杂的因式分解，以达到约分的目的．
5．B
【分析】先计算= ,根据已知可得关于M、N的二元一次方程组 ，解之可得．
【详解】解：
=
=
∴=
∴，
解得：，
故选B．
【点拨】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减法则，并根据已知等式得出关于M、N的方程组．
6．B
【详解】试题分析：根据已知条件，将分式整理为y﹣x=2xy，再代入则分式中求值即可．
解：整理已知条件得y﹣x=2xy；
∴x﹣y=﹣2xy
将x﹣y=﹣2xy整体代入分式得
=
=
=
=．
故答案为B．
考点：分式的值．
7．C
【分析】先解分式方程，再根据方程的解为非负数，列不等式组可以求得a的取值范围．
【详解】解：，
方程两边同乘2（x﹣2），得2（x﹣a）＝x﹣2，
去括号，得2x﹣2a＝x﹣2，
移项、合并同类项，得x＝2a﹣2，
∵关于x的分式方程的解为非负数，x﹣2≠0，
∴，
解得a≥1且a≠2．
故选：C．
【点拨】本题考查解一元一次不等式组、分式方程的解，解答本题的关键是明确解分式方程的方法，注意：分式方程分母不能为0．
8．D
【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定的取值，进而解决此题．
【详解】解不等式组，得，
不等式组无解，
，
，
分式方程，
方程的两边同时乘，
得，，
整理得，，
，
方程有整数解，
或或或，
或或或或或或或，
，，
，
或或，
故选：D．
9．D
【分析】由于可化为，由题中可得规律：方程 （其中为正整数）的解为，，根据这个规律即中得方程的解．
【详解】∵
∴
∴上述方程有解及
即及
所以原方程的解为，
故选：D
【点拨】本题主要考查了一类特殊方程的解，这是一个规律性的问题，要从所给的前面几个方程的解，归纳出一般性的结论，再所得的一般性结论，求出所给方程的解，体现了由特殊到一般再到特殊的思维过程，这是数学中常用的方法；这里也用到了整体思想，即要分别把、看成一个整体，才能符合题中所给方程的结构，否则无法完成．
10．C
【分析】设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时；根据信息二提供的信息列出方程并解答；根据信息三得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间．
【详解】解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，则
．
解得x＝20．
经检验x＝20是原方程的根，且符合题意．
∴x=20是所列方程的解．
∴x-5=15．
∴甲的工作效率是，乙的工作效率是，
则丙的工作效率是．
∴一轮的工作量为：．
∴4轮后剩余的工作量为：．
∴还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为：．
∴丙还需要工作小时．
故一共需要的时间是：3×4+2+ ＝14 小时．
故选：C．
【点拨】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
11．0或-2
【分析】设已知比例的比值为k，之后分别用含有k的式子来表示题中的a、b、c、d，进一步整理，求得k值，即可求解本题．
【详解】设，则，，，．
故，．
若，则；
若，则．
【点拨】本题是比例的考查，我们在解题的时候，要逐步梳理a、b、c、d，求得比值是本题的解题关键．
12．
【分析】此题考查了分式的混合运算-化简求值，直接利用混合运算法则化简，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】，
，
，
，
，，
∴
，
∴
，
∴原式，
故答案为：．
13．且.
【分析】去分母，化成整式，计算分母为零时，a的值，计算方程的解，根据解是正数，转化为不等式，确定a的范围，最后将分母为零时的a值除去即可.
【详解】解：∵，去分母，得
-1+a-1=2（1-x）,
当x=1时，解得a=2；
当x≠1时，解得x=，
∵方程的解为正数，
∴＞0，
∴a＜4，
∴a＜4且a≠2，
故答案为a＜4且a≠2.
【点拨】本题考查了分式方程的解，探解时，熟练把解转化为相应的不等式，同时，把分母为零对应的值扣除是解题的关键.
14．/
【分析】本题考查了分式的定义，待定系数法求一次函数解析式等知识．根据得到，，，求出．结合一次函数的图象过点，即可求出一次函数解析式．
【详解】解：∵，
∴，，，
得，
∵，
∴．
∵一次函数的图象过点，
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为．
故答案为：．
15．或或.
【分析】首先解方程求得x的值，方程无解，即所截方程的解是方程的增根，应等于1或2，据此即可求解a的值．
【详解】去分母得，
整理得，①
当时，方程①无解，此时原分式方程无解；
当时，原方程有增根为或.
当增根为时，，解得；
当增根为时，，解得.
综上所述，或或.
【点拨】本题主要考查了方程增根产生的条件，如果方程有增根，则增根一定是能使方程的分母等于0的值．
16．
【分析】设制作课桌的工人为名，则制作椅子的工人有名，分别表示出制作椅子和课桌所需要的时间，列出分式方程求解．
【详解】解：设制作课桌的工人为名，则制作椅子的工人有名，
则制作把椅子所需时间，
制作张课桌所用的时间为，
令，
当值最小时，表示工人分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短，
当时，即，
解得不符合实际，
当时，，
当时，，
即当时，完成此项工作时间最短．
故答案是：13．
【点拨】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找出等量关系列出分式方程求解．
17．
【分析】先找到规律的值每6个一循环，再求出，由，可得．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
…，
∴的值每6个一循环，
∵
，
∵，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每6个一循环是解题的关键．
18．2
【分析】根据已知不等式的解集确定出的范围，再由分式方程有整数解，确定出的值，即可得到答案．
【详解】解：对于不等式组，整理可得，
∵不等式组的解集为，
∴，
分式方程去分母，得，
则，
∵分式方程有整数解，
∴，即，
解得，
∵分式方程有整数解，且，即，
∴或或，
解得或或或或，
∵且，
∴符合条件的整数的值有、3、0、2四个，
∴符合条件的所有整数的和为．
故答案为：2．
【点拨】此题主要考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则，求得的取值范围以及解分式方程是解本题的关键．
19．，
【分析】将原方程变形为，得到或，进行计算并检验即可得到答案．
【详解】解：方程两边同乘以2，得，
方程两边同减3，得，
即，
或，
解得：，，
经检验，，均是原分式方程的解，
原分式方程的解为：，．
【点拨】本题考查了解分式方程，解本题的关键是将变形为．
20．(1)
(2)A的最小值为；
(3)
【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；
（2）把代入A，得到，再根据得到，然后即可求解；
（3）由题意可得，根据A，B均为正整数，可得a，b的值，再根据A，B均为正整数即可求解．
【详解】（1）解：原式
（2）解：由（1）得：
把代入得：
∵
∴
∴
∴
∴
∴A的最小值为；
（3）∵A，B均为正整数
∴
当时，
，解得：
当时
或，解得：或
经检验，是原方程的解
∵a， b为正整数，
∴
∴
【点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（1）；（2）
【分析】（1）根据分数运算化简，再由二次根式混合运算代入求值即可得到答案；
（2）利用平方差公式及完全平方公式恒等变形，最后由配方法求解即可得到答案．
【详解】解：（1）
，
，
原式；
（2）
，
，即，
，
，即，
．
【点拨】本题考查分式化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握分式运算及二次根式运算是解决问题的关键．
22．(1)，
(2)，
(3)，
【分析】（1）根据所给材料的解题方法即可求解；
（2）根据材料中方程的解法求解即可；
（3）先将方程化为，再利用材料中的解法求解即可．
【详解】（1）解：方程 的解为，
故答案为：，
（2）由方程可得或，
解得，，
故答案为：，
（3）将方程变形为，
可得或，
解得，
【点拨】此题考查了解分式方程，解题的关键是将方程化为的形式求解．
23．(1)A种水果每箱的单价为120元，B种水果每箱的单价为200元
(2)W＝－80x＋3600（0＜x≤18，且x为正整数）
(3)购进A种水果6箱，B种水果12箱，才能使得所需费用最少，最少费用为3120元
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
（2）设再次购买A种水果x箱，则B种水果为（18-x）箱，购买总费用为W，根据：总费用=A种水果单价×A种水果数量+B种水果单价×B种水果数量，列出W关于x的函数关系式；
（3）根据B种水果的箱数不少于A种水果箱数的2倍，可以求得x的取值范围，再根据一次函数的性质即可得到最小值．
【详解】（1）设A种水果每箱的单价为a元，则B种水果每箱的单价为（a＋80）元，
根据题意，得
解得a＝120，经检验，a＝120是原方程的解，且符合题意，
∴a＋80＝200．
答：A种水果每箱的单价为120元，B种水果每箱的单价为200元；
（2）设再次购进A种水果x箱，则购进B种水果（18－x）箱，
根据题意，得W＝120x＋200（18－x）＝－80x＋3600；
∴W＝－80x＋3600（0＜x≤18，且x为正整数）
（3）本次购进B种水果的数量不少于A种水果数量的2倍，18－x≥2x，解得x≤6，
∵W＝－80x＋3600中，k＝－80＜0，
∴W随着x的增大而减小，∴当x＝6时，W取得最小值，
∴W＝－80x＋3600＝－80×6＋3600＝3120，∴18－x＝12．
答：本次购进A种水果6箱，B种水果12箱，才能使得所需费用最少，最少费用为3120元．
【点拨】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式和分式方程，利用一次函数的性质求最值．
24．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】本题考查了分式，二次根式的运算以及配方法，熟练掌握分式和二次根式的运算性质，配方法，理解题干中的规律并且证明其规律是解题的关键．
（1）根据题干给的规律，可直接写出结果；
（2）根据题干给的规律，可直接写出第个式子；要证明等式成立，由于左侧是二次根式的形式，右侧是分式的形式，因此考虑对于左侧二次根式的被开方式子凑成完全平方形式，然后可以去掉根号．所以对于左侧二次根式被开方式子通分整理后，得到，由此即可证明等式成立；
（3）根据前面证明所得到的式子，利用，以及化简，即可求得结果；
【详解】（1）解：根据题干中的规律，可得
第4个式子为：；
（2）解：根据题干中的规律，可得
第个式子为：；
证明： 左边
右边，
等式成立；
（3）解： ，，
原式
．