第5章 分式与分式方程（单元测试·基础卷）（含解析）

第5章 分式与分式方程（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【知识点1】分式的有关概念及性质
1．分式
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
2.分式的基本性质
　　（M为不等于0的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
【知识点2】分式的运算
1．约分　
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　
3．基本运算法则
　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
（2）乘法运算 ，其中是整式，.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算 ，其中是整式，.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算
分式的乘方，把分子、分母分别乘方。
4.分式的混合运算顺序
　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
【知识点3】分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
分式及相关概念的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根.
【知识点4】分式方程的应用
　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若x，y的值均扩大为原来的2倍，下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．小张同学在化简分式时得到的结果为，部分不小心用橡皮擦掉了，请你推测部分的代数式应该是（ ）
A． B． C． D．
4．已知：，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．对于任意的值都有，则，值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．已知关于x的分式方程的解为非正数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
8．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为( )
A． B．
C． D．
9．已知,且，则为（　　）
A． B． C． D．
10．已知三个函数：．下列说法：
①已知，若关于x的方程无解，则；
②若为整数，则满足条件的整数x的值的和为8；
③若，则；
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．化简： ．
13．定义：若一个实数与比它小1的数的乘积为1，则称这两个数互为“异倒数”，若实数a有异倒数，则代数式的值为 ．
14．题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知 ，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．”阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是 ．
解：设甲每小时做个， 由题意得： ……
15．甲、乙两人在果园摘草莓，甲每小时比乙每小时多摘个，乙摘个所用时间比甲摘个所用时间多分钟，求甲摘个草莓、乙摘个草莓时间分别为多少小时．设甲摘个草莓时间为小时，则可列分式方程为 ．
16．我们常用一个大写字母来表示一个代数式，已知，，则化简的结果为 ．
17．已知，是平面直角坐标系中的两点，规定．若，则 ．
18．根据：，计算： ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算：
(1) ； (2) ．
20．（8分）对于代数式，小明说：“其他同学任意报一个的值，我都可以马上说出这个代数式的值”．你能说明小明快速判断的依据吗？请通过计算说明理由．
21．（10分）解方程：
(1)； (2)．
22．（10分）已知：，．
(1) 求与的和；
(2) 若，求的值；
(3) 若关于的方程无解，实数，求的值．
23．（10分）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：______；
(2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明．
24．（12分）某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，且一件A型丝绸的进价比一件B型丝绸的进价多100元．
(1)一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
(2)若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型丝绸的件数不多于B型丝绸的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
求m的取值范围；
已知A型丝绸的售价为800元/件，B型丝绸的售价为600元/件，求销售这批丝绸的最大利润．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数或式子，分式值不变，据此逐个判断即可．
【详解】解：当x，y的值均扩大为原来的2倍，
A.变为，分式值不变，符合题意；
B.变为，分式值改变，不符合题意；
C.变为，分式值改变，不符合题意；
D.变为，分式值改变，不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】本题考查分式的乘除法，先将除法转化为乘法，再根据整式乘法的运算法则计算即可．
【详解】解：，
故选：C．
3．B
【分析】根据分式的性质解答即可，本题考查了分式的性质，熟练掌握分式化简的基本方法是解题的关键.
【详解】将分式化简后得，
.
部分的代数式为，
故选B.
4．B
【分析】已知等式两边除以，求出的值，再代入即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查分式的混合运算，化简求值，运用了整体代入的思想方法．解题的关键是利用了等式的两边同时除以不为零的数，等式仍然成立．
5．D
【分析】此题考查了分式的加减法和乘法，以及分式的基本性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
各式计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意．
故选：D．
6．B
【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
7．C
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据分式方程的解为非正数且分母不为0得到不等式组，解之可得答案．
【详解】解；
去分母得：，
解得，
∵关于x的分式方程的解为非正数，
∴，
∴且，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了分式方程的应用，设第一次分钱的人数为人，则第二次分钱的人数为人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：设第一次分钱的人数为人，则第二次分钱的人数为人，
依据题意，可得．
故选：C．
9．C
【分析】本题主要考查了数字的变化规律与分式的混合运算，先根据分式的混合运算顺序和运算法则计算出，据此得出其循环规律，再进一步求解可得．
【详解】解：，
，
，
，
这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环，
，
．
故选C．
10．C
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，分式的混合运算．①根据题意可得，再由关于x的方程无解，可得，故①正确；②根据分式的性质，可得，再由为整数，可得x取1或3或9或，故②正确；根据，可得 ，从而得到，进而得到，故③错误，即可．
【详解】解：①∵，，
∴，
即，
∵关于x的方程无解，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵为整数，
∴为整数，
∴取，
∴x取1或3或9或，
∴满足条件的整数x的值的和为，故②正确；
③∵，，
∴
即，
∴，
∵，
∴，
∴
，故③错误；
故选：C
11．且
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不等于0列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
12．/
【分析】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，掌握相关运算法则是解题关键．先计算同分母分式加减法，再结合平方差公式进行约分即可．
【详解】解：，
故答案为：
13．1
【分析】根据题意理解新的运算法则，然后将分式化简进行求解即可；
本题主要考查分式化简，熟练掌握基础知识及新的运算法则是解题的关键．
【详解】∵实数a有异倒数
，
，
，
故答案为：1．
14．乙每小时比甲多做6个
【分析】根据方程中左右两个代数式的含义即可解答．
【详解】解：∵表示甲做30个用的时间，表示乙做45个用的时间，
∴被墨迹弄污的条件乙每小时比甲多做6个，
故答案为：乙每小时比甲多做6个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
15．
【分析】本题考查分式方程的知识，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，即可
【详解】设甲摘个草莓时间为小时，
分钟等于小时，
．
故答案为：．
16．/
【分析】先把除法变成乘法再通分化简即可．
【详解】解：∵，，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的加减乘除运算法则是解题关键．
17．6
【分析】先根据新定义得到，再根据完全平方公式得到，据此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为；6．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求值，新定义，正确得到是解题的关键．
18．
【分析】根据已知等式即可计算求值．
【详解】解：由题意可知，，
当，时，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确理解已知等式是解题关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查分式的运算，掌握乘法公式，分式的性质，分式的加减混合运算是解题的关键．
（1）把前两个分式按照同分母分数的加法运算，第三个分式约分，然后合并解题；
（2）先把括号内的分式通分，然后把除法转化为乘法约分即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
20．任意报一个a的值，小明都可以用这个数加上1，马上说出这个代数式的值；理由见解析．
【分析】
此题考查了分式的化简求值，先化简分式后，再根据题意进行解答即可．
【详解】
解：
∴任意报一个a的值，小明都可以用这个数加上1，马上说出这个代数式的值．
21．(1)
(2)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程：
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可；
（2）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
【详解】（1）解：
方程两边同乘，去分母得，
去括号得：，
移项，合并同类项，得：，
系数化为1得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）解：
方程两边同乘，去分母得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的增根，原分式方程无解．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分式方程的解法及方程无解的涵义，透彻理解方程解存在的意义是解题的关键．
（1）通过通分、合同同类项，得出结果；
（2）根据题意列方程，通分移项、合并同类项，解得答案；
（3）根据题意列方程求出关于x的方程，由于方程无解，即，解得答案．
【详解】（1）解：
故．
（2）若，
则，
解方程得：．
检验：当时，
．
（3），
去分母整理得：；
无解，，
，
解得： （舍去）．
检验：当时，
．
故．
23．(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查了数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的式子．
（1）根据题目中的等式，可以写出第6个等式；
（2）根据题目中的等式，可以写出第n个等式，然后根据分式的减法和除法可以将等号左边的式子化简，从而可以证明结论成立．
【详解】（1）解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
第6个等式：，
（2）由（1）归纳总结可得：
，
左边右边，
等式成立．
24．(1)一件A型丝绸的进价为500元，一件B型丝绸的进价为400元
(2)m的取值范围为：且m为整数；销售这批丝绸的最大利润为12500元
【分析】本题主要考查了一次函数和分式方程的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
（1）设一件B型丝绸的进价为x元，则一件A型丝绸的进价为元，然后列方程求解即可；
（2）根据题意列出不等式求解即可；
设销售这批丝绸的利润为y元，根据题意得，然后利用一次函数的性质求解即可.
【详解】（1）解：设一件B型丝绸的进价为x元，则一件A型丝绸的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，为原方程的解，
，
答：一件A型丝绸的进价为500元，一件B型丝绸的进价为400元．
（2）解：根据题意得：，
解得：，
m的取值范围为：且m为整数．
设销售这批丝绸的利润为y元，
根据题意得：
，
y随m的增大而增大，
当时，（元），
答：销售这批丝绸的最大利润为12500元．