第5章 分式与分式方程（单元测试·综合卷）（含解析）

第5章 分式与分式方程（单元测试·综合卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．函数中自变量的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
2．若把分式中的和同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的2倍
C．保持不变 D．缩小为原来的倍
3．若运算的结果不是分式，则“（ ）”内的式子可能是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，计算的值是（ ）
A． B．1 C．3 D．
5．若化简的最终结果为整数，则“△”代表的式子可以是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则 的值为（ ）
A．负数 B．非负数 C．0 D．正数
7．若关于x的分式方程 有增根，则a的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
8．如图是某同学分式化简的部分计算过程，其中“”不小心被老师擦去了，则被擦去的部分是（ ）
A． B． C． D．
9．为了进一步落实国务院《关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》的精神，某校计划为学生购买一些篮球和跳绳．调查了某商店的价格情况后，已知一个篮球的价格比一根跳绳的价格的4倍多50元，分别表示购买篮球和跳绳所需费用w（元）与数量n（单位：个或根）的关系，如图所示．若设一根跳绳的单价为x元，则可列方程为（ ）

A． B． C． D．
10．有依次排列的两个不为零的代数式，用除以，可以得到代数式；再用除以，可以得到…以此类推，那么以下结论中，正确的个数为（ ）
① ②若，则的值为2
③对于任意正整数都成立
④若的值为整数，则满足条件的正整数共有6个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．化简： ．
12．已知，则 ．
13．如果对于自然数成立，则 ， ．
14．如果，则的值是
15．若关于x的分式方程，会产生增根，则m的值为 ．
16．数学课上，老师讲了分式的除法，放学后，小刚回到家中拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：化简，其中“”处被墨迹盖住了，但他知道这道题化简的结果为，则“”所表示的式子为 ．
17．式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为，则二阶行列式 ．
18．如图，在边长为6的等边三角形中，点P是的中点，点M在的延长线上，点N在上且满足，记，若关于x的方程的解是正数，则n的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算：
(1) ； (2)
20．（8分）先化简，然后在中选一个你喜欢的值，代入求值．
21．（10分）解方程
(1) ； (2) .
22．（10分）观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明．
23．（10分）如果一个正整数的倒数可以分解成两个正整数均不为倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为的“最大倒分解”，这个最大的差记为：．例：12的倒分解为或，因为，所以最大倒分解为，所以．
(1)填空：写出8的一种倒分解：______；
(2)计算的值；
(3)若的最大倒分解为，且，求的值．
24．（12分）为了扎实推进“四好农村路”建设，打造推进乡村振兴“快车道”，我市某区不断优化以乡镇为中心、村组为网点的农村公路交通网络，积极解决农村公路基础设施不足的问题，强化农村公路管养水平，以交通发展全面助推农村经济高质量发展．现需改造一段连接三个村镇的农村公路，其中两村镇间的公路长度比两村镇间的公路长度长1200米．甲施工队计划每天施工300米，恰好可以用24天完成全部公路的改造工程．
(1)求两个村镇间的公路长度为多少米；
(2)实际施工时，由甲施工队负责两村镇间的公路改造工程，同时乙施工队负责两村镇间的公路改造工程．甲施工队施工2天后，施工速度变为乙施工队施工速度的，结果仍比乙施工队晚5天完成公路改造工程．乙施工队每天施工多少米？
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了求自变量的取值范围，在数轴上表示不等式的解集，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得，求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示出来即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
解得，
∴自变量的取值范围在数轴上可表示为，
故选：．
2．C
【分析】本题考查了分式的性质，根据分式中的和同时扩大为原来的2倍，得出，再整理得，即可作答．
【详解】解：∵分式中的和同时扩大为原来的2倍，
则扩大后的分式为，
∴则分式的值保持不变，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查分式的乘除法和整式，根据分式的乘除法的运算法则进行解题即可得到答案．
【详解】解：
∵运算的结果为不是分式，
∴“（ ）”内的式子一定有a的单项式，
∴只有A项符合，
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了分式的化简求值，
首先由得到，然后根据分式的混合运算化简，进而求解即可．
【详解】∵
∴
．
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了分式混合运算，先通分括号内，再运算除法，得，结合“最终结果为整数”，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：
∴A、不是整数，故该选项是错误的；
B、不是整数，故该选项是错误的；
C、不是整数，故该选项是错误的；
D、是整数，故该选项是正确的；
故选：D
6．D
【分析】本题考查分式的减法运算，先通分，计算后，根据条件判断值的符号即可．
【详解】解：原式；
∵，
∴，
∴，
∴；
即：的值为正数；
故选D．
7．D
【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解．
【详解】解：
方程两边同乘得：，
∵方程有增根，
∴满足
解得：
故选：D．
8．B
【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
【详解】解：被擦去的部分是
，
故选B．
9．A
【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；
根据题意设一根跳绳的单价为x元，一个篮球的价格为元，根据图象得出，即可解答；
【详解】若设一根跳绳的单价为x元，一个篮球的价格为元，
根据图象可知，与数量n是正比例函数，
，
根据题意可得，
故，
故选：A．
10．C
【分析】本题考查分式的运算，式子的规律．理解题意，掌握的计算方法，找出规律是解题的关键．
先计算出，，，，……，发现每6个是一个循环．计算出即可判断结论①；根据得到，解方程即可判断结论②；根据的计算方法化简，即可判断结论③；根据规律可求得，根据该式子的值为整数，可得到52能被整除，从而求得整数可能的取值，从而判断结论④
【详解】解：由题意可得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
……
由此可发现，每6个是一个循环．
由上面式子可得，故①正确；
若，则，
解得，
经检验，是该分式方程的解．故②错误；
对于任意正整数n，
，故③正确；
∵，
∴，，，
∴，
∵的值为整数，
∴正整数，
即，共6个．故④正确；
综上所述，正确的结论共3个．
故选：C
11．
【分析】本题考查了分式的化简，先分别将分子分母因式分解，再进行化简即可．
【详解】
故答案为：．
12．0
【分析】此题考查了分式的求值，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键，原式化简得，代入计算即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴，，，
．
故答案为：0.
13．
【分析】根据分式的加减运算，即可通分计算.
【详解】解：，
由题意可知：
∴，，
故答案为,．
【点睛】此题主要考查分式的加减，解题的关键是分式的运算法则.
14．2
【分析】本题考查了完全平方公式的应用以及已知式子的值求代数式的值，算术平方根，先将方程进行化简，化成含，再整理得出，然后代入，进行开方运算，即可作答．
【详解】解：当时，则
故
则两边同时除以，
得
∴
∴
∴
则
故答案为：2
15．
【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确∶(1)化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或据此求出的值，代入整式方程求出的值即可
【详解】解∶去分母，得∶
由分式方程有增根，得到或，即，，，
把代入整式方程，可得∶，解得
当时，，方程的解为，没有产生增根，
不符合题意；
把代入整式方程，可得∶，解得；
把代入整式方程，可得∶，无解；
综上，可得若关于x的分式方程会产生增根，则的值为
故答案为∶ ．
16．
【分析】此题考查了分式的除法计算，根据题意列得分式除法计算式子，计算可得答案，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
∴，
故答案为．
17．
【分析】本题考查了分式的混合运算和新定义，能正确根据运算法则进行化简是解此题的关键．
先根据题意进行变形，再根据分式的乘法法则和整式的乘法法则算乘法，最后算减法即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
18．且
【分析】过点P作，交于点E，先证明是等边三角形，继而证明，可得，再分别表示出，并求出t的值，解分式方程，再根据分式方程的解为正数和方程的解有意义的条件求解即可．
【详解】过点P作，交于点E，

∴，
∵是等边三角形，且边长为6，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，解得，
∵关于x的方程的解是正数，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解分式方程，解不等式等，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟悉通分、约分的法则是解题的关键．
（1）根据同分母分式的减法法则计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
20．，
【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．
先将原式小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后根据分式有意义的条件选取合适的x的值代入求值．
【详解】解：原式，
当时，原式．
21．(1)
(2)原方程无解．
【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；
（1）先去分母，把方程化为整式方程，再检验即可；
（2）先去分母，把方程化为整式方程，再检验即可；
【详解】（1）解：，
去分母得：，
整理得：，
∴，
经检验：是原方程的根，
∴原方程的解为：；
（2），
∴，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
经检验：是方程的增根，
∴原方程无解．
22．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式，不难得出第n个等式为：，通过对等式的左边的运算即可证明．
本题主要考查数字的变化规律，列代数式，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
【详解】（1）由题给出的等式可得第5个等式为：，
故答案为：；
（2）猜想：第n个等式为：，
证明：等式左边右边，
故猜想成立．
第n个等式为：．
23．(1)
(2)
(3)0
【分析】本题考查了有理数的混合运算，新型定义运算的运用以及分式方程的应用，在解答时找出新运算法则,以及分类讨论思想的应用是关键．
（1）8的倒数为，直接根据“倒分解”的定义写出即可；
（2）先根据“倒分解”的定义写出36的所有“倒分解”，然后找出两个乘数差最大的一种分解，即可求出；
（3）根据的最大倒分解为，讨论当时，当时，分别求出的值，再验证是否符合题意即可求解；
【详解】（1）解： 8的倒数为，，
8的一种倒分解为．
（2）解：的倒分解为：或或或
其中最大的倒分解，
（3）的最大倒分解为：
① 当时，，
解得：经检验，是原方程的根，
当时，，最大倒分解为，故不合题意，舍去；
② 当时，，
解得经检验，是原方程的根，且符合题意，综上可得，的值为0．
24．(1)两个村镇间的公路长度为4200米
(2)乙施工队每天施工500米
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程以及分式方程是解此题的关键．
（1）设两个村镇间的公路长度为米，则两个村镇间的公路长度为米．根据“甲施工队计划每天施工300米，恰好可以用24天完成全部公路的改造工程”列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）设乙施工队每天施工米，根据“甲施工队施工2天后，施工速度变为乙施工队施工速度的，结果仍比乙施工队晚5天完成公路改造工程”列出分式方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：设两个村镇间的公路长度为米，则两个村镇间的公路长度为米．
由题意，得，
解得．
答：两个村镇间的公路长度为4200米．
（2）解：设乙施工队每天施工米．
由题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解且符合题意．
答：乙施工队每天施工500米．