重庆市名校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·重庆市期中）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024高二下·重庆市期中）为了了解全国观众对2024年春晚语言类节目的满意度，某网站对2024年春晚的3000名观众，按性别比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，已知这3000名观众中男、女人数之比为，若样本容量为300，则不同的抽样结果共有（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二下·重庆市期中）已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高二下·重庆市期中）现有两种不同的颜色要对如图形中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
5．（2024高二下·重庆市期中）的展开式中，的系数为（ ）
A．20 B．15 C．6 D．3
6．（2024高二下·重庆市期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·重庆市期中）现将《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》、《诗经》5本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《论语》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（ ）
A．50 B．80 C．120 D．150
8．（2024高二下·重庆市期中）已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2024高二下·重庆市期中）甲、乙、丙等5人排成一列，下列说法正确的有（ ）
A．若甲和乙相邻，共有48种排法
B．若甲不排第一个共有96种排法
C．若甲与丙不相邻，共有36种排法
D．若甲在乙的前面，共有60种排法
10．（2024高二下·重庆市期中）小明在超市购买大米，共有包装相同的10袋大米，其中一级大米有4袋，二级大米有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到一级大米”，用B表示事件“第二次取到二级大米”，则（ ）
A． B．
C． D．事件相互独立
11．（2024高二下·重庆市期中）定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”。根据定义可得（ ）
A．在上是“弱减函数”
B．在上是“弱减函数”
C．若在上是“弱减函数”，则
D．若在上是“弱减函数”，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·重庆市期中）除以7余数是 ．
13．（2024高二下·重庆市期中）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，记事件“第一次掷出的点数小于3”，事件“两次点数之和大于4”，则 ．
14．（2024高二下·重庆市期中）已知对任意，且当时，都有：，则的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·重庆市期中）已知展开式中，第三项的二项式系数与第四项的二项式系数比为．
（1）求的值；
（2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答）
16．（2024高二下·重庆市期中）已知函数在时取得极值．
（1）求实数的值；
（2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
17．（2024高二下·重庆市期中）第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中男子100米比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中．
（1）甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大？
（2）在的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列．
18．（2024高二下·重庆市期中）已知函数在定义域上有两个极值点．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求的值．
19．（2024高二下·重庆市期中）设函数．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）当时，设，且轴，求两点间的最短距离；
（3）若时，函数的图像恒在的图像上方，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
故选：C.
【分析】求出f(x)的导函数，把代入求值即可.
2．【答案】B
【知识点】分层抽样方法；分类加法计数原理
【解析】【解答】解：∵ 3000名观众中男、女人数之比为，
∴男观众1000人，女观众2000人，
样本容量为300，
男人占100人，女人占200人，
故不同的抽样结果有 ，
故选：B.
【分析】结合分层抽样的定义，求解即可.
3．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
函数的图象在点处的切线方程为 ：y-1=，
故选：D.
【分析】求出 的导函数，代入求出斜率，写出切线方程即可.
4．【答案】B
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：根据题意可知一共有种情况，
其中任意有公共边的两块着不同颜色的有2种情况，1、3涂一种颜色，2涂一种颜色一共2种情况，
概率为
【分析】把所有情况求出来，把任意有公共边的两块着不同颜色的有2种情况，求出概率即可.
5．【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：∵，
∴
当r=2时，
的系数为 15.
故选：B.
【分析】利用二项式的展开式求出结果.
6．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
函数在区间上单调递增，
∴，
即，
单调递减，
当x=1时取最大值，，
实数的取值范围
故选：Ａ．
【分析】求出导函数，令导函数大于等于0，求出ｋ的取值范围即可．
7．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：第一类1，1，3的情况：
若甲分1本，已分得书籍，则另两人一人1本，1人3本，共有种，
若甲分3本，即再取2本，则剩余2本书分给乙丙，一人一本，则共有种，
故第一类情况共有+=20种；
第二类1，2，2情况：若甲分1本，已分得书籍，另两人各2本，共有种，
若甲分2本，另两人一人1本，1人2本，共有种，
故第二类情况共有+=30种；
所以不同的分发方式种数共30+20=50.
故答案为：A.
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5本不同的书籍分为3组，每组至少1本，②将《论语》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，由分步计数原理计算可得答案.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设g(x) = f(x) - 2x+1，
∵f(2) = 3，
∴g(2) = f(2)-3=0，
∵g'(x) = f'(x) - 2，
又∵f'(x) > 2，
∴9'(x) > 0，
∴函数g(x) = f(x)- 2x+1是实数集上的增函数，
∴f(x)> 2x-1即g(x) > 0= g (2)
可得 x > 2.
故选： B.
【分析】构造函数g(x)，利用函数的单调性求出不等式的解集.
9．【答案】A,B,D
【知识点】简单计数与排列组合；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A：若甲和乙相邻，利用捆绑法可得，共有48种排法，选项正确；
B：5人全排，甲排第一有，甲不排第一个共有96种排法，选项正确；
C：甲丙之外其余三人全排列，把甲丙插孔排列有种，一种有共有72种排法，选项错误；
D：甲在乙的前面和乙排在甲前面，概率相同，共有60种排法，选项正确；
故选：ＡBＤ．
【分析】根据题意，利用排列组合的逐项判断即可．
10．【答案】A,C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解： A：，选项正确；
B：，选项错误；
C：，选项正确；
D：事件不是相互独立，选项错误；
故答案为：AC.
【分析】根据古典概率事件和条件概率公式计算即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A：在在上是减函数，是增函数，在上是“弱减函数”，选项正确；
B：在上是减函数，不是增函数，在上不是“弱减函数”，选项错误；
C：若单调递减则，，若在上是“弱减函数”，则，选项正确；
D：须满足即可，令，解得，即解得，若在上是“弱减函数”，则，选项正确；
故选：ACD.
【分析】利用弱减函数的的概念逐项判断即可.
12．【答案】1
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：根据题意可得，，
余数为，
故答案为：1.
【分析】把 改成利用二项式定理求解即可.
13．【答案】
【知识点】条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：先后两次掷一枚质地均匀的骰
子，一共有36种结果，
事件A ={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)}，共12个样本点，
事件AB ={(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)}，共7个样本点，
，
∴
故填：。
【分析】利用条件概率公式求解.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
即
设，
当时函数单调递减，
，
即，
当且仅当，
∴
故填：.
【分析】由已知不等式可转化为，构造函数，x ∈(0，+∞)，结合函数单调性的定义可知，f(x)在(0，+∞)上递减，结合导数与单调性关系即可求解.
15．【答案】（1）解：依题意，展开式的通项公式，显然第三项的二项式系数为，第四项的二项式系数系数为，
因此，解得，
所以的值为6
（2）解：由（1）知，当时，对应的项是有理项，
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为
当时，展开式中对应的有理项为
所以展开式中有理项的系数之和为
【知识点】二项式定理
【解析】【分析】 (1)根据二项式定理表示出第三项的二项式系数与第四项的二项式系数，再求解即可.
(2) 根据二项式定理当时，对应的项是有理项，求出即可.
16．【答案】（1）解：易知，
依题意，解得，
此时，
当或时，；当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
因此函数在时取得极值，
所以
（2）解：由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增；
所以，
由题意可得，解得，
所以的取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)求出导函数，时导函数为0，解得m.
(2)由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增求出的最小值，解不等式即可确定n的取值范围.
17．【答案】（1）解：甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为，
丙进入决赛的概率为，
因为，所以，
显然，乙进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大
（2）解：当时，丙进入决赛的概率为，
所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分布为，
根据题意，得到随机变量的可能取值为0，1，2，3，
可得；
，
，
则，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】(1)分别标出 甲、乙、丙三人的概率，进行比较即可.
(2)先求出甲、乙、丙三人进入决赛的概率，再根据题意，得到随机变量的可能取值为0，1，2，3，求出 求的分布 .
18．【答案】（1）解：由已知，因为函数在定义域上有两个极值点，
所以解得，
所以实数的取值范围为；
（2）解：由（1）得，
即两个极值点为方程的两根，
则，
所以
代入得
，其中，
则，得，
设，
则，当时，，
即在上单调递增，又，
所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)根据题意列出不等式，求出a的取值范围即可.
(2)由（1）得，两个极值点为方程的两根，构造函数，根据单调性求出a.
19．【答案】（1）解：当时，，则
，则
所以函数在点处的切线方程为
（2）解：当时，且轴，由得：，
所以．
令，当的时恒成立．
所以时，的最小值为
所以
（3）解：令
因为在时恒成立
所以函数在上单调递增
所以在上恒成立
因此函数在上单调递增，在上恒成立
当时在上单调递增，即
故当时，恒成立
当时，，又因为在上单调递增，总存在
使得在区间上，导致在上单调递减，而
所以当时，，这与在恒成立矛盾，
所以不符合题意
综上所述，的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)、当时，代入求出，再求出，表示出切线方程.
(2)、 当时，且轴，由，构造函数根据单调性求出极值.
(3)、构造函数 令，求出导函数，求出函数在上单调递增，分情况讨论当时、当时，求出即可.
1 / 1重庆市名校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·重庆市期中）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
故选：C.
【分析】求出f(x)的导函数，把代入求值即可.
2．（2024高二下·重庆市期中）为了了解全国观众对2024年春晚语言类节目的满意度，某网站对2024年春晚的3000名观众，按性别比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，已知这3000名观众中男、女人数之比为，若样本容量为300，则不同的抽样结果共有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分层抽样方法；分类加法计数原理
【解析】【解答】解：∵ 3000名观众中男、女人数之比为，
∴男观众1000人，女观众2000人，
样本容量为300，
男人占100人，女人占200人，
故不同的抽样结果有 ，
故选：B.
【分析】结合分层抽样的定义，求解即可.
3．（2024高二下·重庆市期中）已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
函数的图象在点处的切线方程为 ：y-1=，
故选：D.
【分析】求出 的导函数，代入求出斜率，写出切线方程即可.
4．（2024高二下·重庆市期中）现有两种不同的颜色要对如图形中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：根据题意可知一共有种情况，
其中任意有公共边的两块着不同颜色的有2种情况，1、3涂一种颜色，2涂一种颜色一共2种情况，
概率为
【分析】把所有情况求出来，把任意有公共边的两块着不同颜色的有2种情况，求出概率即可.
5．（2024高二下·重庆市期中）的展开式中，的系数为（ ）
A．20 B．15 C．6 D．3
【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：∵，
∴
当r=2时，
的系数为 15.
故选：B.
【分析】利用二项式的展开式求出结果.
6．（2024高二下·重庆市期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
函数在区间上单调递增，
∴，
即，
单调递减，
当x=1时取最大值，，
实数的取值范围
故选：Ａ．
【分析】求出导函数，令导函数大于等于0，求出ｋ的取值范围即可．
7．（2024高二下·重庆市期中）现将《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》、《诗经》5本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《论语》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（ ）
A．50 B．80 C．120 D．150
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：第一类1，1，3的情况：
若甲分1本，已分得书籍，则另两人一人1本，1人3本，共有种，
若甲分3本，即再取2本，则剩余2本书分给乙丙，一人一本，则共有种，
故第一类情况共有+=20种；
第二类1，2，2情况：若甲分1本，已分得书籍，另两人各2本，共有种，
若甲分2本，另两人一人1本，1人2本，共有种，
故第二类情况共有+=30种；
所以不同的分发方式种数共30+20=50.
故答案为：A.
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5本不同的书籍分为3组，每组至少1本，②将《论语》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，由分步计数原理计算可得答案.
8．（2024高二下·重庆市期中）已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设g(x) = f(x) - 2x+1，
∵f(2) = 3，
∴g(2) = f(2)-3=0，
∵g'(x) = f'(x) - 2，
又∵f'(x) > 2，
∴9'(x) > 0，
∴函数g(x) = f(x)- 2x+1是实数集上的增函数，
∴f(x)> 2x-1即g(x) > 0= g (2)
可得 x > 2.
故选： B.
【分析】构造函数g(x)，利用函数的单调性求出不等式的解集.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2024高二下·重庆市期中）甲、乙、丙等5人排成一列，下列说法正确的有（ ）
A．若甲和乙相邻，共有48种排法
B．若甲不排第一个共有96种排法
C．若甲与丙不相邻，共有36种排法
D．若甲在乙的前面，共有60种排法
【答案】A,B,D
【知识点】简单计数与排列组合；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A：若甲和乙相邻，利用捆绑法可得，共有48种排法，选项正确；
B：5人全排，甲排第一有，甲不排第一个共有96种排法，选项正确；
C：甲丙之外其余三人全排列，把甲丙插孔排列有种，一种有共有72种排法，选项错误；
D：甲在乙的前面和乙排在甲前面，概率相同，共有60种排法，选项正确；
故选：ＡBＤ．
【分析】根据题意，利用排列组合的逐项判断即可．
10．（2024高二下·重庆市期中）小明在超市购买大米，共有包装相同的10袋大米，其中一级大米有4袋，二级大米有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到一级大米”，用B表示事件“第二次取到二级大米”，则（ ）
A． B．
C． D．事件相互独立
【答案】A,C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解： A：，选项正确；
B：，选项错误；
C：，选项正确；
D：事件不是相互独立，选项错误；
故答案为：AC.
【分析】根据古典概率事件和条件概率公式计算即可.
11．（2024高二下·重庆市期中）定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”。根据定义可得（ ）
A．在上是“弱减函数”
B．在上是“弱减函数”
C．若在上是“弱减函数”，则
D．若在上是“弱减函数”，则
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A：在在上是减函数，是增函数，在上是“弱减函数”，选项正确；
B：在上是减函数，不是增函数，在上不是“弱减函数”，选项错误；
C：若单调递减则，，若在上是“弱减函数”，则，选项正确；
D：须满足即可，令，解得，即解得，若在上是“弱减函数”，则，选项正确；
故选：ACD.
【分析】利用弱减函数的的概念逐项判断即可.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·重庆市期中）除以7余数是 ．
【答案】1
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：根据题意可得，，
余数为，
故答案为：1.
【分析】把 改成利用二项式定理求解即可.
13．（2024高二下·重庆市期中）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，记事件“第一次掷出的点数小于3”，事件“两次点数之和大于4”，则 ．
【答案】
【知识点】条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：先后两次掷一枚质地均匀的骰
子，一共有36种结果，
事件A ={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)}，共12个样本点，
事件AB ={(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)}，共7个样本点，
，
∴
故填：。
【分析】利用条件概率公式求解.
14．（2024高二下·重庆市期中）已知对任意，且当时，都有：，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
即
设，
当时函数单调递减，
，
即，
当且仅当，
∴
故填：.
【分析】由已知不等式可转化为，构造函数，x ∈(0，+∞)，结合函数单调性的定义可知，f(x)在(0，+∞)上递减，结合导数与单调性关系即可求解.
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·重庆市期中）已知展开式中，第三项的二项式系数与第四项的二项式系数比为．
（1）求的值；
（2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答）
【答案】（1）解：依题意，展开式的通项公式，显然第三项的二项式系数为，第四项的二项式系数系数为，
因此，解得，
所以的值为6
（2）解：由（1）知，当时，对应的项是有理项，
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为
当时，展开式中对应的有理项为
所以展开式中有理项的系数之和为
【知识点】二项式定理
【解析】【分析】 (1)根据二项式定理表示出第三项的二项式系数与第四项的二项式系数，再求解即可.
(2) 根据二项式定理当时，对应的项是有理项，求出即可.
16．（2024高二下·重庆市期中）已知函数在时取得极值．
（1）求实数的值；
（2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：易知，
依题意，解得，
此时，
当或时，；当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
因此函数在时取得极值，
所以
（2）解：由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增；
所以，
由题意可得，解得，
所以的取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)求出导函数，时导函数为0，解得m.
(2)由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增求出的最小值，解不等式即可确定n的取值范围.
17．（2024高二下·重庆市期中）第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中男子100米比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中．
（1）甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大？
（2）在的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列．
【答案】（1）解：甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为，
丙进入决赛的概率为，
因为，所以，
显然，乙进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大
（2）解：当时，丙进入决赛的概率为，
所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分布为，
根据题意，得到随机变量的可能取值为0，1，2，3，
可得；
，
，
则，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】(1)分别标出 甲、乙、丙三人的概率，进行比较即可.
(2)先求出甲、乙、丙三人进入决赛的概率，再根据题意，得到随机变量的可能取值为0，1，2，3，求出 求的分布 .
18．（2024高二下·重庆市期中）已知函数在定义域上有两个极值点．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：由已知，因为函数在定义域上有两个极值点，
所以解得，
所以实数的取值范围为；
（2）解：由（1）得，
即两个极值点为方程的两根，
则，
所以
代入得
，其中，
则，得，
设，
则，当时，，
即在上单调递增，又，
所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)根据题意列出不等式，求出a的取值范围即可.
(2)由（1）得，两个极值点为方程的两根，构造函数，根据单调性求出a.
19．（2024高二下·重庆市期中）设函数．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）当时，设，且轴，求两点间的最短距离；
（3）若时，函数的图像恒在的图像上方，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，则
，则
所以函数在点处的切线方程为
（2）解：当时，且轴，由得：，
所以．
令，当的时恒成立．
所以时，的最小值为
所以
（3）解：令
因为在时恒成立
所以函数在上单调递增
所以在上恒成立
因此函数在上单调递增，在上恒成立
当时在上单调递增，即
故当时，恒成立
当时，，又因为在上单调递增，总存在
使得在区间上，导致在上单调递减，而
所以当时，，这与在恒成立矛盾，
所以不符合题意
综上所述，的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)、当时，代入求出，再求出，表示出切线方程.
(2)、 当时，且轴，由，构造函数根据单调性求出极值.
(3)、构造函数 令，求出导函数，求出函数在上单调递增，分情况讨论当时、当时，求出即可.
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