中小学教育资源及组卷应用平台
不等式与不等式组章末八大题型总结（拔尖篇）
【题型1 根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】 1
【题型2 不等式组的有解或无解问题】 1
【题型3 根据不等式的整数解个数求参数取值范围】 2
【题型4 根据不等式组的整数解个数求参数取值范围】 2
【题型5 利用不等式求最值】 3
【题型6 不等式中的新定义问题】 3
【题型7 解绝对值不等式】 4
【题型8 方程与不等式（组）的实际应用】 6
【题型1 根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】
【例1】（2023上·浙江金华·七年级校考期中）已知不等式的负整数解恰好是，，，那么满足条件（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023下·湖北武汉·七年级期末）关于的不等式组的最小整数解为1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【变式1-2】（2023下·江苏南通·七年级统考期末）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023下·安徽亳州·七年级校考期中）若关于的不等式组的所有整数解的和为7，则整数的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型2 不等式组的有解或无解问题】
【例2】（2023下·河南洛阳·七年级偃师市实验中学校考阶段练习）若不等式组无解，则不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
【变式2-1】（2023下·四川成都·七年级校考期中）已知不等式组有解，则的取值范围为 ．
【变式2-2】（2023下·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）对于不等式组，以下结论中：①若，则不等式组的解集为；②若，则不等式组无解；③若不等式组无解，则；④若不等式组只有一个整数解，则．其中正确的结论是： （将正确结论的序号填在横线上）．
【变式2-3】（2023下·重庆渝北·七年级礼嘉中学校考期末）若关于x的一元二次方程有解，且关于y的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【题型3 根据不等式的整数解个数求参数取值范围】
【例3】（2023下·甘肃酒泉·七年级统考期末）关于的不等式的解集中只有三个正整数，则的取值范围是 ．
【变式3-1】（2023下·广西贺州·七年级统考期末）若关于x的不等式只有2个正整数解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023下·河北邯郸·七年级统考期末）已知不等式的负整数解只有5个，则m的取值范围是 ．
【变式3-3】（2023下·安徽亳州·七年级校考期中）已知关于的不等式．
（1）当时，该不等式的解集为 ；
（2）若该不等式的负整数解有且只有四个，则 的取值范围是 ．
【题型4 根据不等式组的整数解个数求参数取值范围】
【例4】（2023·湖北襄阳·校联考一模）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023下·上海虹口·七年级校考期中）已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的值为 ．
【变式4-2】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·浙江·模拟预测）已知关于的不等式组恰好有四个整数解，则实数的取值范围是 ．
【题型5 利用不等式求最值】
【例5】（2023下·河南许昌·七年级统考期末）已知非负实数a，b，c满足，设，S的最大值为m，最小值为n，则的值为 ．
【变式5-1】（2023下·山东济宁·七年级统考期末）非负数x，y满足，记，W的最大值为m，最小值n，则（ ）
A．6 B．7 C．14 D．21
【变式5-2】（2023下·福建泉州·七年级统考期末）已知实数，，．若，则的最大值为 ．
【变式5-3】（2023下·福建泉州·七年级泉州七中校考期中）已知x，y，z为3个非负数，且满足，，若，则S的最小值为 ，最大值为 ．
【题型6 不等式中的新定义问题】
【例6】（2023下·江苏淮安·七年级统考期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，．
(1)填空：______，______；
(2)若，则x的取值范围为______；
(3)已知，求x的取值范围．
【变式6-1】（2023下·吉林长春·七年级校考期末）定义：规定，例如：，．
(1)______；
(2)解不等式组；
(3)若关于x的不等式组恰好有三个整数解，则a的取值范围为______．
【变式6-2】（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．
例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．
问题解决：
(1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是______（填序号）；
(2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
(3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，试求m的取值范围．
【变式6-3】（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）定义运算：，已知，．
(1)直接写出：______，______；
(2)若关于的不等式组无解，求的取值范围；
(3)若的解集为，求不等式的解集．
【题型7 解绝对值不等式】
【例7】（2023下·河南鹤壁·七年级统考期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题．
例：解绝对值方程：．
解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得；
②当时，原方程可化为，解得．
所以原方程的解为或．
根据材料，解下列绝对值方程：
(1)理解应用：；
(2)拓展应用：不等式的解集为______．
【变式7-1】（2023下·宁夏银川·七年级校考期末）请阅读求绝对值不等式和的解集的过程．
对于绝对值不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；
对于绝对值不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．
(1)绝对值不等式的解集为______．
(2)求绝对值不等式的解集．
(3)已知绝对值不等式的解集为，求的值．
【变式7-2】（2023下·上海·七年级上海市进才实验中学校考期中）阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．
例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为；
例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)的解为____________；
(2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________；
(3)不等式的解集为____________．
【变式7-3】（2023下·重庆·七年级期末）阅读下面材料：
材料一：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离．
材料二：绝对值符号中含有未知数的不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式的解集．
小华同学的思路如下：根据绝对值的定义，当时，，把和2在数轴上分别表示为点，，如图所示，观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：
点左边的点表示的数的绝对值大于2；
点，之间的点表示的数的绝对值小于2；
点右边的点表示的数的绝对值大于2
因此，小华得出结论，绝对值不等式的解集为：或．
参照小华的思路，解决下列问题：
(1)请你直接写出下列绝对值不等式的解集．
①的解集是 ；
②的解集是 ；
(2)求绝对值不等式的整数解；
(3)直接写出绝对值不等式的解集是 ．
【题型8 方程与不等式（组）的实际应用】
【例8】（2023下·福建厦门·七年级统考期末）根据国家医保局数据显示，近年来医保药品目录累计新增了种药品，涵盖多数医疗领域，使患者用较低的价格用上疗效更好的药品．某药企在年研发一款特效新药，未纳入医保前，该种药物利润为元/盒，售价是其成本的倍．年经过医保局谈判，将该种药纳入医保，制药成本不变，但价格大幅度下调，该药企为了解该药品价格与销售量的关系，在甲乙两家药店进行调研，结果如下：
①第一个月，甲乙两家药店均按纳入医保后的价格出售，当月共售出盒；
②第二个月，甲药店按纳入医保后的价格出售盒，乙药店按纳入医保后的价格打九折出售，该月两家药店销售该款药品的总收入为元，且两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加；
③第三个月，甲药店按纳入医保后的价格打八五折出售，乙药店按纳入医保后的价格出售，该月两家药店销售该款药品总销量比第一个月增加；
④第四个月，两家药店均按纳入医保后的价格打八五折出售，该月两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加；
⑤若该药品的价格不变，则销量基本保持稳定．
(1)求该药品在未纳入医保前的售价与成本；
(2)①求该药品纳入医保后的售价；
②该药企在年的销量为万盒．为惠及更多患者并有足够的利润用于新药研发，该药企计划在年继续下调该药品的价格，希望年的年销量超过万盒，且盈利不低于．根据以上调研结果，请你为该药企设定该药品价格的范围，并说明理由．
【变式8-1】（2023下·湖北宜昌·七年级统考期末）某研学基地为激发来研学学生参与活动的积极性，经常组织竞赛活动，并购买保温杯和台灯作为奖品奖励学生．该基地在某超市购买保温杯、台灯若干次，其中前两次购买时，均按标价购买；成为老顾客后，从第三次购买开始，保温杯、台灯同时以相同折扣数的打折价购买．前三次购买保温杯、台灯的数量及费用如下表所示：
购买保温杯的数量/个 购买台灯的数量/个 购买总费用/元
第一次购买 5 4 800
第二次购买 3 7 940
第三次购买 9 8 912
(1)求保温杯、台灯的标价；
(2)某日，甲、乙两校师生同时来到该基地研学，基地为两校组织了一次陶泥制作比赛，并颁发奖品20个保温杯和10个台灯（均按打折价购买），甲、乙两校各获得15个奖品，甲校所获奖品的购买金额不低于800元，乙校所获奖品的购买金额不低于750元，求甲、乙两校分别获得保温杯和台灯各多少个？
【变式8-2】（2023下·江西景德镇·七年级统考期末）为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低40元，且用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍．
(1)求甲、乙两种品牌温度枪的单价．
(2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过元．设购买甲品牌温度枪m个，则该校共有几种购买方案？
(3)在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？
【变式8-3】（2023下·安徽合肥·七年级统考期末）某厂租用、两种型号的车给零售商运送货物．已知用2辆型车和1辆型车装满可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨；厂家现有21吨货物需要配送，计划租用、两种型号车6辆一次配送完货物，且车至少1辆．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮助厂家设计租车方案完成一次配送完21吨货物；
(3)若型车每辆需租金80元每次，型车每辆需租金100元每次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．中小学教育资源及组卷应用平台
不等式与不等式组章末八大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
【题型1 根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】 1
【题型2 不等式组的有解或无解问题】 3
【题型3 根据不等式的整数解个数求参数取值范围】 6
【题型4 根据不等式组的整数解个数求参数取值范围】 8
【题型5 利用不等式求最值】 10
【题型6 不等式中的新定义问题】 13
【题型7 解绝对值不等式】 18
【题型8 方程与不等式（组）的实际应用】 24
【题型1 根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】
【例1】（2023上·浙江金华·七年级校考期中）已知不等式的负整数解恰好是，，，那么满足条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出不等式的解集，根据不等式的负整数解得到关于的不等式组，从而求出的取值范围.
【详解】解：，
，
.
不等式的负整数解恰好是，，，
，
，
.
故选：C.
【点睛】本题考查了不等式的整数解，解题的关键在于熟练掌握不等式的性质和确定的取值范围.
【变式1-1】（2023下·湖北武汉·七年级期末）关于的不等式组的最小整数解为1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】分两种情况讨论：①当；②当，利用不等式组的最小整数解为1，分别得到关于的不等式，求解即可得到答案．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当，即时，
此时，不等式组的解集为，
不等式组的最小整数解为1，
，
②当，即时，
此时，不等式组的解集为，
不等式组的最小整数解为1，
，
（不符合题意，舍去），
综上可知，的取值范围是，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式组的整数解，解一元一次不等式，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
【变式1-2】（2023下·江苏南通·七年级统考期末）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先解一元一次不等式可得，再根据不是不等式的整数解，可得，然后根据是关于x的不等式的一个整数解，可得，即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
∵不是不等式的整数解，
∴，
解得．
∵是关于x的不等式的一个整数解，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式1-3】（2023下·安徽亳州·七年级校考期中）若关于的不等式组的所有整数解的和为7，则整数的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】解不等式组用含的式子表示不等式组的解题，根据所有整数解的和为7，写出所有的整数解题即可．
【详解】由，得；
由，得．
因为不等式组的所有整数解的和为7，
所以不等式组的整数解为4，3或4，3，2，1，0，，
所以或，
解得或，
符合条件的整数的值为1，即整数的值有1个，
故选A．
【点睛】本题考查不等式组的整数解问题，能正确确定不等式组的整数解是解题的关键．
【题型2 不等式组的有解或无解问题】
【例2】（2023下·河南洛阳·七年级偃师市实验中学校考阶段练习）若不等式组无解，则不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】C
【分析】根据不等式组无解，得出a＞b，进一步得出3-a＜3-b，即可求出不等式组的解集．
【详解】解：∵不等式组无解，
∴a＞b，
∴-a＜-b，
∴3-a＜3-b，
∴不等式组的解集是．
故选：C
【点睛】本题考查了求不等式组的方法，可以借助口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”求解集．解题的关键是根据已知得到a＞b，进而得出3-a＜3-b．
【变式2-1】（2023下·四川成都·七年级校考期中）已知不等式组有解，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】解两个不等式求得的范围，由不等式组有解可得关于的不等式，解之可得答案．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为：，
不等式组有解，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式2-2】（2023下·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）对于不等式组，以下结论中：①若，则不等式组的解集为；②若，则不等式组无解；③若不等式组无解，则；④若不等式组只有一个整数解，则．其中正确的结论是： （将正确结论的序号填在横线上）．
【答案】①②/②①
【分析】根据一元一次不等式组的解法逐个判断即可得．
【详解】解：①若，则不等式组的解集为，原结论正确；
②若，则不等式组无解，原结论正确；
③若不等式组无解，则的取值范围为，原结论错误；
④若不等式组只有一个整数解，则，原结论错误；
综上，正确的结论的序号是①②，
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
【变式2-3】（2023下·重庆渝北·七年级礼嘉中学校考期末）若关于x的一元二次方程有解，且关于y的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】12
【分析】先运用一元二次方程根的判别式和不等式组的解得情况确定的取值范围，从而得到整数的取值，最后求所有满足条件的整数的值之和即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有解，
∴，解得：且，
将不等式组整理得：，
∵不等式组无解，
∴，
∴a的取值范围为：且，
∴满足条件的整数的值为：5,4,3
∴所有满足条件的整数的值之和是12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、含参数一元一次不等式组的解等知识点，掌握运用一元二次方程根的判别式判定根的情况及明确不等式组解集的取法是解题的关键．
【题型3 根据不等式的整数解个数求参数取值范围】
【例3】（2023下·甘肃酒泉·七年级统考期末）关于的不等式的解集中只有三个正整数，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据不等式只有三个正整数解列出关于m的不等式求解即可；
【详解】解不等式得，
∵只有三个正整数，
∴，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了根据一元一次不等式的整数解求参数，准确计算是解题的关键．
【变式3-1】（2023下·广西贺州·七年级统考期末）若关于x的不等式只有2个正整数解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出一元一次不等式的解集为，再根据不等式只有两个正整数解得到，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵关于x的不等式只有2个正整数解，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，正确得到是解题的关键．
【变式3-2】（2023下·河北邯郸·七年级统考期末）已知不等式的负整数解只有5个，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】解不等式得，由于只有5个负整数解，故可判断的取值范围，再解不等式组求出m的取值范围．
【详解】解：去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
∵不等式的负整数解只有5个，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键．
【变式3-3】（2023下·安徽亳州·七年级校考期中）已知关于的不等式．
（1）当时，该不等式的解集为 ；
（2）若该不等式的负整数解有且只有四个，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】（1）把代入，根据不等式的性质求解即可；
（2）根据不等式的性质得出，根据该不等式的负整数解有且只有四个，得出，求解即可．
【详解】解：（1）当时，，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）由不等式，得．
∵该不等式的负整数解有且只有四个，
∴这四个负整数解为，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．
【题型4 根据不等式组的整数解个数求参数取值范围】
【例4】（2023·湖北襄阳·校联考一模）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据题意得到必定有整数解0，再根据恰有3个整数解分类讨论，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解：
解不等式①得，解不等式②得，
由于不等式组有解，则，必定有整数解0，
∵，
∴三个整数解不可能是．
若三个整数解为，则不等式组无解；
若三个整数解为0，1，2，则；
解得．
故选：B
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．难度较大，理解题意，根据已知条件得到必定有整数解0，再分类讨论是解题关键．
【变式4-1】（2023下·上海虹口·七年级校考期中）已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的值为 ．
【答案】
【分析】先求于的不等式组的解集，根据整数解的个数求的取值范围，然后根据关于的不等式的解集求的取值范围，最后作答即可．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∵不等式组有5个整数解，
∴，
解得，，
，
移项合并得，，
∵关于的不等式的解集为，
∴，
∴，
综上，，
∴的值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式4-2】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】不等式组整理后，表示出解集，根据整数解共有3个，确定出a的取值范围即可．
【详解】解：不等式组整理得：，
∴，
∵不等式组的整数解共有3个，
∴整数解为，，0，
则a的取值范围是．
故选：A．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
【变式4-3】（2023·浙江·模拟预测）已知关于的不等式组恰好有四个整数解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解：解不等式组得，则，
∵该不等式组的解集恰好有四个整数解，
∴四个整数解为4、5、6、7，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查解不等式组及不等组的整数解，难度中等，正确解出不等式组的解集，确定a的范围是解决本题的关键．
【题型5 利用不等式求最值】
【例5】（2023下·河南许昌·七年级统考期末）已知非负实数a，b，c满足，设，S的最大值为m，最小值为n，则的值为 ．
【答案】
【分析】设，则，，；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求．
【详解】解：设，则，，，
∴．
∵a，b，c为非负实数，
∴，
解得：，
∴，
∴，．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式组，设是解题的关键．
【变式5-1】（2023下·山东济宁·七年级统考期末）非负数x，y满足，记，W的最大值为m，最小值n，则（ ）
A．6 B．7 C．14 D．21
【答案】D
【分析】设 ，用t表示出x、y的值，再由x，y为非负数即可求出t的取值范围，把所求代数式用t的形式表示出来，根据t的取值范围即可求解．
【详解】解：设 ，
则x=2t+1，y=2-3t，
∵x≥0，y≥0，
∴2t+1≥0，2-3t≥0，
解得
∴
∵w=3x+4y，把x=2t+1，y=2-3t，代入得：w=-6t+11，
∴
解得，7≤w≤14，
∴w的最大值是14，最小值是7，
∴m+n=14+7=21．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，通过设参数的方法求出W的取值范围是解答此题的关键．
【变式5-2】（2023下·福建泉州·七年级统考期末）已知实数，，．若，则的最大值为 ．
【答案】6
【分析】由得，与相加得，由及，可得a的最大值为3，从而得出的最大值．
【详解】解：由得，
由得，
及，
解得：，
的最大值为3，
的最大值．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了不等式的性质运用．关键是由已知等式得出的表达式，再求最大值．
【变式5-3】（2023下·福建泉州·七年级泉州七中校考期中）已知x，y，z为3个非负数，且满足，，若，则S的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】 2 3
【分析】先解三元一次方程组得到，，根据x、y、z是三个非负实数，得到，再求出，进而得到，由此即可得到答案．
【详解】解：
得：，解得，
得：，解得，
∵x、y、z是三个非负数，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴S的最小值为2，最大值为3，
故答案为：；
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确求出，是解题的关键．
【题型6 不等式中的新定义问题】
【例6】（2023下·江苏淮安·七年级统考期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，．
(1)填空：______，______；
(2)若，则x的取值范围为______；
(3)已知，求x的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目所给新运算的运算法则进行计算即可；
（2）根据题意可得，求解即可；
（3）分为两种情况，当，即时；当，即时；然后再按照定义的运算分别进行计算，即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴，
∵
∴．
故答案为：，
（2）解：∵
∴
解得：
故答案为：．
（3）解：分两种情况，
当，即时，
由可得：
解得（舍去）；
当，即时，
由可得：
解得
综上所述，x的取值范围．
【点睛】本题考查了一元一次不等式，有理数的混合运算，整式的加减，理解定义的新运算是解题的关键．
【变式6-1】（2023下·吉林长春·七年级校考期末）定义：规定，例如：，．
(1)______；
(2)解不等式组；
(3)若关于x的不等式组恰好有三个整数解，则a的取值范围为______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据、以及的定义即可得；
（2）根据的定义可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得；
（3）先根据的定义可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组可得，再根据不等式组恰好有三个整数解可得，由此即可得．
【详解】（1）解：因为，
所以，
故答案为：．
（2）解：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为．
（3）解：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵这个不等式组有解，
这个不等式组的解集为，
又∵关于的不等式组恰好有三个整数解，
，
解得，
所以的取值范围为．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解的定义，正确得出不等式组是解题关键．
【变式6-2】（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．
例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．
问题解决：
(1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是______（填序号）；
(2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
(3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，试求m的取值范围．
【答案】(1)①
(2)
(3)
【分析】（1）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义即可求得答案．
（2）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组．
（3）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据 “相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：解方程得．
解方程得．
解不等式组，得．
根据“相伴方程”的定义可知，方程①是不等式组的“相伴方程”， 方程②不是不等式组的“相伴方程”．
故答案为：①．
（2）解：解关于的方程，得．
解不等式组，得．
根据“相伴方程”的定义，得
解得．
（3）解：解关于的方程，得．
解关于的方程，得．
解不等式①，得．
解不等式②，得．
根据“相伴方程”的定义，得
解得．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组和一元一次方程相结合的问题，能根据题目中的已知条件构建一元一次不等式组是解题的关键．
【变式6-3】（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）定义运算：，已知，．
(1)直接写出：______，______；
(2)若关于的不等式组无解，求的取值范围；
(3)若的解集为，求不等式的解集．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值；
（2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围；
（3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
，
解得：，
故答案为：；；
（2）把，代入得，
∴不等式组可转化为，
解得：，
∵关于的不等式组无解，
∴，
解得：，
∴的取值范围是；
（3）不等式转化为，
整理，得：，
∵的解集为，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴，
解得：，
不等式转化为，
整理，得：，
∴，
∴，
∴，
∴不等式的解集为．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法．掌握二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
【题型7 解绝对值不等式】
【例7】（2023下·河南鹤壁·七年级统考期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题．
例：解绝对值方程：．
解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得；
②当时，原方程可化为，解得．
所以原方程的解为或．
根据材料，解下列绝对值方程：
(1)理解应用：；
(2)拓展应用：不等式的解集为______．
【答案】(1)①；②或
(2)或
【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可；
（2）分为两种情况：①当时，②当时，分情况求出即可．
【详解】（1）解：分情况讨论：
①当时，
原方程可化为，解得；
②当时，
原方程可化为：，
解得：，
所以原方程的解为或；
（2）解：分情况讨论：
①当时，
解得：；
②当时，
解得：，
所以不等式解集为或．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程及一元一次不等式的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想．
【变式7-1】（2023下·宁夏银川·七年级校考期末）请阅读求绝对值不等式和的解集的过程．
对于绝对值不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；
对于绝对值不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．
(1)绝对值不等式的解集为______．
(2)求绝对值不等式的解集．
(3)已知绝对值不等式的解集为，求的值．
【答案】(1)或
(2)或
(3)9
【分析】（1）根据题干提供的信息，结合绝对值的意义进行解答即可；
（2）由绝对值的几何意义即可得出答案；
（3）由知，据此得出，再结合可得出关于a、b的方程组，解之即可求出a、b的值，从而得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴或．
故答案为：或．
（2）解：根据绝对值的定义得：或，
解得：或；
（3）解：，
，
解得，
解集为，
，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式和不等式组的基本步骤．
【变式7-2】（2023下·上海·七年级上海市进才实验中学校考期中）阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．
例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为；
例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)的解为____________；
(2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________；
(3)不等式的解集为____________．
【答案】(1)或
(2)，，，0，1，2
(3)或
【分析】（1）根据材料定义，理解为数轴上到3的距离为2的点即为表示的数，从而求解；
（2）根据材料定义，理解为数轴上到2的距离与到的距离之和为5点即为表示的数，由此结合数轴求解即可；
（3）在（2）的基础上，求出数轴上到2的距离与到的距离之和大于7的的范围即可．
【详解】（1）解：，
或，
∴或，
故答案为：或；
（2）解：要使得，
即：数轴上到2的距离与到的距离之和为5，
∵数轴上和2之间的距离恰好为5，
∴，
∵为整数，
∴，，，0，1，2，
故答案为：，，，0，1，2；
（3）解：要使得，
即：数轴上到2的距离与到的距离之和大于7，
首先在数轴上找出的解（如图），
由（2）可知数轴上和2之间的距离恰好为5，
∴要使得到2的距离与到的距离之和等于7，则或，
∴的解集为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，以及利用绝对值的几何意义解方程和不等式，熟练利用绝对值的几何意义和数轴分析是解题关键．
【变式7-3】（2023下·重庆·七年级期末）阅读下面材料：
材料一：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离．
材料二：绝对值符号中含有未知数的不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式的解集．
小华同学的思路如下：根据绝对值的定义，当时，，把和2在数轴上分别表示为点，，如图所示，观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：
点左边的点表示的数的绝对值大于2；
点，之间的点表示的数的绝对值小于2；
点右边的点表示的数的绝对值大于2
因此，小华得出结论，绝对值不等式的解集为：或．
参照小华的思路，解决下列问题：
(1)请你直接写出下列绝对值不等式的解集．
①的解集是 ；
②的解集是 ；
(2)求绝对值不等式的整数解；
(3)直接写出绝对值不等式的解集是 ．
【答案】(1)①或；②
(2)整数解为，0，1，2，3
(3)或
【分析】（1）①利用绝对值的意义解答即可得到答案；
②利用绝对值的意义解答即可得到答案；
（2）根据不等式的性质化简得到，由此得到，求出解集即可得到整数解；
（3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别解不等式即可．
(1)
解：根据阅读材料可知：
①的解集是或；
②的解集是．
故答案为：或；．
(2)
解：，
，
，
，
，
整数解为，0，1，2，3；
(3)
解：①当时，不等式为，
移项、合并得，
系数化为1，得；
②当时，不等式为，
移项、合并得，
不成立；
③当时，不等式为，
移项、合并得，
系数化为1，得．
故不等式的解集是或，
故答案为或．
【点睛】此题考查了解绝对值不等式，理解绝对值的意义，正确解一元一次不等式，解题的关键是理解阅读材料掌握解题的思路及方法．
【题型8 方程与不等式（组）的实际应用】
【例8】（2023下·福建厦门·七年级统考期末）根据国家医保局数据显示，近年来医保药品目录累计新增了种药品，涵盖多数医疗领域，使患者用较低的价格用上疗效更好的药品．某药企在年研发一款特效新药，未纳入医保前，该种药物利润为元/盒，售价是其成本的倍．年经过医保局谈判，将该种药纳入医保，制药成本不变，但价格大幅度下调，该药企为了解该药品价格与销售量的关系，在甲乙两家药店进行调研，结果如下：
①第一个月，甲乙两家药店均按纳入医保后的价格出售，当月共售出盒；
②第二个月，甲药店按纳入医保后的价格出售盒，乙药店按纳入医保后的价格打九折出售，该月两家药店销售该款药品的总收入为元，且两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加；
③第三个月，甲药店按纳入医保后的价格打八五折出售，乙药店按纳入医保后的价格出售，该月两家药店销售该款药品总销量比第一个月增加；
④第四个月，两家药店均按纳入医保后的价格打八五折出售，该月两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加；
⑤若该药品的价格不变，则销量基本保持稳定．
(1)求该药品在未纳入医保前的售价与成本；
(2)①求该药品纳入医保后的售价；
②该药企在年的销量为万盒．为惠及更多患者并有足够的利润用于新药研发，该药企计划在年继续下调该药品的价格，希望年的年销量超过万盒，且盈利不低于．根据以上调研结果，请你为该药企设定该药品价格的范围，并说明理由．
【答案】(1)该药品在未纳入医保前的售价为330元，成本为55元
(2)①该药店纳入医保后的售价为元/盒；②该药企的制定该药品价格范围为，理由见解析
【分析】（1）设该药品在未纳入医保前的售价为元，成本为元,根据利润为元/盒，售价是其成本的倍列二元一次方程组求解即可得解；
（2）①设该药品纳入医保后的售价为元/盒,根据两家药店销售该款药品的总收入为元列方程求解即可；②先根据材料总结药品价格与销量之间的规律：该药品价格每降低，销售量增长率为，设该药品价格定为元，则下降率为，销售增长率为 ，列不等式组求解即可。
【详解】（1）解：设该药品在未纳入医保前的售价为元，成本为元
根据题意，列出方程组：
，
解得：，
答：该药品在未纳入医保前的售价为元，成本为元；
（2）解：①设该药品纳入医保后的售价为元/盒
因为第二个月的总销量比第一个月增加，
所以第二个月的总销量为（）盒
因为第二个月甲药店出售盒，所以乙药店出售盒,
根据题意可列方程：
解得：
所以该药店纳入医保后的售价为元/盒,
②因为该药品的价格不变，则销量基本保持稳定，根据题意可得四个月的销售情况如下：
第一个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，共售出盒
第二个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，共售出盒
第三个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，共售出盒
第四个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，甲乙两家药店共售出盒
由第二个月可发现：乙药店价格下降，乙药店销售量增长率为，即价格每降低，销售量增长率为；
由第三个月可发现：甲药店价格下降，甲药店销售量增长率为，即价格每降低，销售量增长率为；
由第四个月可发现：甲乙两家药店价格下降，甲乙药店总销售量增长率为，即价格每降低，销售量增长率为；
总结规律：该药品价格每降低，销售量增长率为，
设该药品价格定为元，则下降率为，销售增长率为 ，
依题意得：，
解得,
因为盈利不低于，则≥，
解得≥
所以
因此该药企的制定该药品价格范围为
【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，数字规律，一元一次方程的应用以及二院一次方程的应用，明确题意，正确找出相等关系及不等关系是解题的关键.
【变式8-1】（2023下·湖北宜昌·七年级统考期末）某研学基地为激发来研学学生参与活动的积极性，经常组织竞赛活动，并购买保温杯和台灯作为奖品奖励学生．该基地在某超市购买保温杯、台灯若干次，其中前两次购买时，均按标价购买；成为老顾客后，从第三次购买开始，保温杯、台灯同时以相同折扣数的打折价购买．前三次购买保温杯、台灯的数量及费用如下表所示：
购买保温杯的数量/个 购买台灯的数量/个 购买总费用/元
第一次购买 5 4 800
第二次购买 3 7 940
第三次购买 9 8 912
(1)求保温杯、台灯的标价；
(2)某日，甲、乙两校师生同时来到该基地研学，基地为两校组织了一次陶泥制作比赛，并颁发奖品20个保温杯和10个台灯（均按打折价购买），甲、乙两校各获得15个奖品，甲校所获奖品的购买金额不低于800元，乙校所获奖品的购买金额不低于750元，求甲、乙两校分别获得保温杯和台灯各多少个？
【答案】(1)保温杯、台灯的标价为80元和100元
(2)甲校分别获得保温杯和台灯个和个，乙校分别获得保温杯和台灯个和个
【分析】（1）设保温杯、台灯的标价为x元和y元，根据表中给的数量关系列出二元一次方程组解答即可；
（2）求出第三次商品购进的打折数，然后利用不等式组解题即可．
【详解】（1）解：设保温杯、台灯的标价为x元和y元，
，解得，
答：保温杯、台灯的标价为80元和100元．
（2）解：第三次购买的打折数为：折，
设甲校获得保温杯a个，则
,
解得，
又∵a为整数，
∴，
∴甲校分别获得保温杯和台灯个和个，乙校分别获得保温杯和台灯个和个．
【点睛】本题考查二元一次方程组和不等式组解应用题，理解题意找出数量关系是解题的关键．
【变式8-2】（2023下·江西景德镇·七年级统考期末）为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低40元，且用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍．
(1)求甲、乙两种品牌温度枪的单价．
(2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过元．设购买甲品牌温度枪m个，则该校共有几种购买方案？
(3)在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？
【答案】(1)甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为：元，元；
(2)该校共有两种购买方案：方案一：购买甲种个，乙种个；方案二：购买甲种个，乙种个；
(3)购买甲种个，乙种个费用最低，最低为元．
【分析】（1）设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为元，根据用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍列方程即可得到答案；
（2）根据总费用不超过15000元及乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍列不等式组求解即可得到答案；
（3）根据（2）代入求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为元，由题意可得，
，
解得：，
经检验是原方程的解，
则，
答：甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为：元，元；
（2）解：由题意可得，
且m为整数，
解得：，且m为整数，
∴m为：或，
∴该校共有两种购买方案，
方案一：购买甲种个，乙种个；
方案二：购买甲种个，乙种个；
（3）解：由（2）得，
方案一费用为：（元），
方案二费用为： （元），
∵，
∴方案二：购买甲种个，乙种个费用最低，最低为元．
【点睛】本题考查分式方程解决应用题，不等式组择优方案选取问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式及不等关系式．
【变式8-3】（2023下·安徽合肥·七年级统考期末）某厂租用、两种型号的车给零售商运送货物．已知用2辆型车和1辆型车装满可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨；厂家现有21吨货物需要配送，计划租用、两种型号车6辆一次配送完货物，且车至少1辆．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮助厂家设计租车方案完成一次配送完21吨货物；
(3)若型车每辆需租金80元每次，型车每辆需租金100元每次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】(1)1辆型车装满货物一次可运货3吨，1辆型车装满货物一次可运货4吨
(2)共有3种租车方案，方案1：租用型车1辆，型车5辆；方案2：租用型车2辆，型车4辆；方案3：租用型车3辆，型车3辆．
(3)方案3最省钱，即租用型车3辆，型车3辆，最少租车费为540元．
【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用m辆A型车，则租用（6m）辆B型车，根据“租用的A型车至少1辆，且能一次配送完21吨货物”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金=每辆车的租金×租车数量，即可求出选择各租车方案所需租车费，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设1辆型车装满货物一次可运货吨，1辆型车装满货物一次可运货吨，
依题意，得：，
解得：．
答：1辆型车装满货物一次可运货3吨，1辆型车装满货物一次可运货4吨．
（2）解：设租用辆型车，则租用辆型车，
依题意，得：，
解得：．
∵为正整数，
∴可以取1，2，3，
∴共有3种租车方案，方案1：租用型车1辆，型车5辆；方案2：租用型车2辆，型车4辆；方案3：租用型车3辆，型车3辆．
（3）解：方案1的租车费为（元）；
方案2的租车费为（元）；
方案3的租车费为（元）．
∵，
∴方案3最省钱，即租用型车3辆，型车3辆，最少租车费为540元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用总租金=每辆车的租金×租车数量，求出选择各租车方案所需租车费．
