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全等三角形的综合（压轴题专项）
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。
一、全等图形的判定
判定方法 解释 图形
边边边 (SSS) 三条边对应相等的两个三角形全等
边角边 (SAS) 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
角边角 (ASA) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
角角边 (AAS) 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
二、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等.（另外全等三角形的周长、面积相等，对应边上的中线、角平分线、高线均相等）
【典例1】【初步探索】
（1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ．
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数．
【思路点拨】
（1）延长到点G，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论；
（2）延长到点G，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出；
（3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，利用，推导出的度数，即可得出结论．
【解题过程】
解：（1），理由如下：
如图1，延长到点G，使，连接，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：；
（2）上述结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长到点G，使，连接，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
；
（3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
即，
，，
，
．
1．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点下列判断正确的有（ ）
①≌；②；③；④
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【思路点拨】
利用为等腰直角三角形得到，，则，则可根据“”判断≌，从而对进行判断；再利用证明，则可对进行判断；由于，，而得到，所以，于是可对进行判断；由≌得到，由得到，所以，从而可对进行判断．
【解题过程】
解：，点是线段的中点，
，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，所以正确；
，
，
，所以正确；
．
而，
，
，
而，
，
，
，所以错误；
≌，
，
，
，
，
，所以正确．
故选：C．
2．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答．
【解题过程】
解：在正方形和中，，，
，即，
在和中，，，
，
，故①正确；
设相交于点N，
，
，
，
，
，故②正确；
过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示：
，
，
，
，
，
在和中，
，，
，
，故④正确；
同理可得，
，
在和中，
，，
，
，
是的中线，故③正确．
综上所述，①②③④结论都正确，共4个．
故选：D．
3．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，，的外角平分线CD与内角平分线BE的延长线交于点D，过点D作交BC的延长线于点F，连接AD，点E为BD中点，下列结论：①；②；③；④其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路点拨】
在直角三角形中，由内角平分线和外角平分线可得，由此可证；根据三角形的三边关系可知错误；如图所示（见详解），过点作于，可证，，由此可知，．
【解题过程】
解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
又∵是的外角，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵点为中点，
∴，
在中，，三角形中，两边之和大于第三边，
∴，故②错误；
如图所示，过点作于，
∵，
∴，
点是中点，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，为公共边，
∴，
∴，
∴，即，故③正确；
如图所示，过点作于，
由结论④可知，，，
∴，，，
在中，点是中点，
∴，
∴，故④正确．
综上所述，正确的有①③④，共3个
故选：B．
4．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒．
①若．则点运动路程始终是点运动路程的2倍；
②当、两点同时到达点时，：
③若，，时，；
④若与全等，则或．
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【思路点拨】
此题考查了动点问题，全等三角形的性质和判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置．本题根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断①；首先求出点P到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，可判断③，分2种情况求出x的值可判断④．
【解题过程】
解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为 t 秒，
∴点P运动路程为，
若，则点Q运动路程为，
∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确；
②当P点到达A点时，秒，
∵P、Q两点同时到达A点，
∴，故②正确；
③如图所示，
当，时，
点P运动的路程为，点Q运动的路程为，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴和不全等，故③错误；
④当时，则，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，则，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴若与全等，则或，故④正确．
综上所述，正确的选项为①②④．
故选：C．
5．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，锐角中，平分平分与相交于点，则下列结论①；②连接，则；③；④若，则．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．③④
【思路点拨】
本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、全等三角形的常见辅助线-截长补短等知识点，解题关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．①根据即可判断；②假设，可推出得到，即可判断；③在上取一点，使得，证、即可判断；④作，证 ，设，根据即可判断．
【解题过程】
解：∵
∴
∵平分平分
∴
∴，故①正确；
如图1所示：
∵平分平分
∴
若，
则
∴
∴
∵，
∴，与题目条件不符，故②错误；
在上取一点，使得，如图1所示：
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴，故③正确；
作，如图2所示：
∵，，
∴
∴
∵，，
∴
∴
即：
∴
设，则
∵
∴
∵
∴
解得：
∴，故④正确；
故选：C
6．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论序号都填上）
【思路点拨】
本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，利用全等三角形的判定和性质，可以证明，由此即可一一判断．
【解题过程】
解：在和中，
，
∴，
∴，
，
∴，故①②正确，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确，
在和中，
，
∴，故③正确，
故答案为：①②③④．
7．（23-24八年级上·广东中山·期中）如图，点C在线段上，，，，且，，，，连接，，则 ．
【思路点拨】
根据等腰三角形的性质推出，求出即可求出答案．
【解题过程】
解：连接，
∵
∴，
在和中，
，
∴
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
故答案为：．
8．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，等腰中，，，为内一点，且，，则 .
【思路点拨】
此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长交 的角平分线于点，连结，根据等腰三角形的性质及角平分线定义求出，，进而得出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，，根据角的和差及三角形内角和定理求出，结合平角定义求出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的性质及角的和差求解即可．
【解题过程】
解：如图，延长交 的角平分线于点，连接．
平分，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
9．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在直角三角形中，，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确的结论是 ．（只填写序号）
【思路点拨】
根据角平分线的定义、三角形外角的性质与直角三角形性质可以判断①是否正确；延长交于H，通过证明，，利用全等的性质来判断③是否正确；通过证明，利用性质判断②是否正确；根据同高的两个三角形的面积比等于它们的底边长之比，直接判断④是否正确，从而得解．
【解题过程】
解：∵的角平分线、相交于点O，
∴，，
，
故①正确；
延长交于H，如图所示：
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故③正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
故②错误；
∵同高的两个三角形面积之比等于底边长之比，
∴，
故④正确；
因此正确的有：①③④．
故答案为：①③④．
10．（22-23八年级上·江西赣州·期末）如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作于E，于F．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为 ．
【思路点拨】
先求出点从点出发到达点和点所需要的时间，点从点出发到达点和点所需要的时间，然后根据、所在的位置分类讨论，分别画出对应的图形，找出全等三角形的对应边并用时间表示，然后列出方程即可得出结论．
【解题过程】
解：由题意知，点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为：
点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为：
当，点在上，点在上，如图所示：
此时
要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等
（不符合题意，舍去）；
当，点在上，点在上，如图所示：
要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等
和重合，和重合
（符合题意）
当，点在上，点在上，如图所示：
要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等
（符合题意）；
当，点在上，点与点重合，如图所示：
要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等
（符合题意）；
要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则或或
故答案为：或6或8 .
11．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图．在中，．，分别平分，．
（1）求的度数；
（2）求证：．
【思路点拨】
本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义、三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质．
（1）先由得，然后根据三角形内角和得到，所以；
（2）在上截取，连接，先证明，得；再证明，得，所以．
【解题过程】
（1）解：，
，
，分别平分，，
，，
，
，
的度数是；
（2）在上截取，连接，
在和中，
，
，
；
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
12．（22-23七年级下·重庆南岸·期末）在点，过点分别作，，垂足分别为，．且，点，分别在边和上．
（1）如图1，若，请说明
（2）如图2，若，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
【思路点拨】
（1）由，，可得，结合，，可证，即可求解，
（2）在上取点，使，通过证明，，即可求解，
本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是：通过辅助线构造全等三角形．
【解题过程】
（1）解：，，
，
，，
，
，
（2）解：在上取点，使，
，，
，
，，
，
，，
，，
，
，即，
，
，即：，
．
13．（23-24八年级上·吉林·期末）（1）如图1，在中，，，直线m经过点A，直线m．直线m，垂足分别为D，E．求证：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线m上，且有，其中为任意钝角，请问结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【思路点拨】
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）由直角三角形的性质及平角的定义得出，可证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可；
（2）与（1）类似，可证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵直线m，直线m，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴，，
∴．
（2）成立．证明如下：
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，，
∴．
14．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围；
（2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．
【思路点拨】
（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案；
（2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论；
（3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论．
【解题过程】
解：（1）如图①，延长到点E，使，连接，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
延长至点M，使，连接，如图②所示．
同（1）得：，
∴，
∵，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：
，
∴；
（3），理由如下：
如图③，延长交于点G，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴
∴，
∴，
∵，
∴ ．
15．（2023八年级上·全国·专题练习）（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：；
（2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【思路点拨】
本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）延长到G，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可；
（2）先证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论；
（3）在上截取，使连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论．
【解题过程】
证明：延长到G，使，连接．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵
∴．
∴．
∵．
∴
（2）（1）中的结论仍然成立．
，
，
在与中，
，
，
，
，
即
在与中
，
，
即，
；
（3）结论不成立，应当是．
证明：在上截取，使连接．
∵，
∴．
∵
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
16．（23-24八年级上·吉林辽源·期末）在中，，，．是经过点的直线，于，于．
（1）求证：
（2）若将绕点旋转，使与相交于点（如图，其他条件不变，求证：．
（3）在（2）的情况下，若的延长线过的中点（如图，连接，求证：．
【思路点拨】
（1）首先证明，再证明，然后根据全等三角形的性质可得；
（2）首先证明，再证明，根据全等三角形对应边相等可得；
（3）首先证明，然后再证明，再根据全等三角形对应角相等可得，再根据等量代换可得结论．
【解题过程】
（1）如图1，，，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
；
（2）如图2，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）如图3，过作交于，
，
，
，
，
由（2）得：，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
17．（22-23八年级上·广西南宁·期末）综合与实践：
【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：．
【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点．
【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系．
【思路点拨】
本题考查了全等三角形的综合问题，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）利用证得，即可求证结论；
（2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论；
（3）过点作于，由（2）得，，，再根据数量关系即可求解；
【解题过程】
解：（1）证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：过作于，如图：
由（1）得：，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
，，
是的中点；
（3），理由如下：
过点作于，如图：
由（2）得：，，，
，
，，
，
，
，
．
18．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题
（1）【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则______；
（2）【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接，则的面积为______．
【思路点拨】
本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键．
（1）由，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到；
（2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由中，即可得到三者的数量关系；
（3）延长，过点C作于P，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点C作于F，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案．
【解题过程】
（1）解：，，，
，，
；
故答案为：9．
（2）解：
理由：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
．
（3）解：延长，过点C作于P，如图所示：
，，
，
，，
，
，，
，
延长，过点C作于F，如图所示：
，，
，
，，
，
由平行线间的平行线段相等可得，
，
故答案为：10．
19．（23-24七年级上·山东烟台·期末）【阅读材料】
“截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法，是指在长线段中截取一段等于已知线段，常用于解答线段间的数量关系，当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长法”构造全等三角形来进行解题．
【问题解决】
（1）如图①，在中，为的角平分线，在上截取，连接．请直接写出线段之间的数量关系；
【拓展延伸】
（2）如图②，在中，为的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由；
（3）如图③，在中，为的补角的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由．
【思路点拨】
（1）在上截取，连接，可证明，得，，则，由，求得，则，所以，即可证明；
（2）在上截取，连接，可证明，得，，由，，得，则，所以，即可证明；
（3）在的延长线上取一点，使，连接，可证明，得，，所以，而，可推导出，则，所以．
【解题过程】
解：（1），
理由：如图①，在上截取，连接，
为的角平分线，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（2），
理由：如图②，在上截取，连接，
为平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
（3），
理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
20．（2023·广西南宁·二模）如图，在中，为高，．点为上的一点，，连接，交于，若．
（1）猜想线段与的位置关系，并证明；
（2）有一动点从点出发沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在的值，使得的面积为27？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）条件下，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒，点是直线上一点，且，当与全等时，求的值．
【思路点拨】
（1）由全等三角形的性质得，再由三角形内角和定理得，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得，再求出，，①当时，在线段上，然后由三角形面积公式得，即可求解；
②当时，在射线上，由三角形面积公式得，即可求解；
（3）①当点在线段延长线上时，证，当时，，此时，求解即可；
②当点在线段上时，证，当时，，此时，求解即可．
【解题过程】
（1），理由如下：
在中，为高，
，
又，
，
，，
，
；
（2）存在的值，使得的面积为27，理由如下：
，，
，
，
，，
由（1）可知，，
，
分两种情况：
当时，在线段上，如图1，
，
解得：（舍去）；
当时，在射线上，如图2，
，
解得：，
此时与重合；
综上所述，存在的值，使得的面积为27，的值为；
（3）由（1）可知，，
，
当点在线段延长线上时，如图3，
，
，
，
当时，，
此时，，
解得：；
当点在线段上时，如图4，
，
，
，
当时，，
此时，，
解得：；
综上所述，当与全等时，的值为或．中小学教育资源及组卷应用平台
全等三角形的综合（压轴题专项讲练）
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。
一、全等图形的判定
判定方法 解释 图形
边边边 (SSS) 三条边对应相等的两个三角形全等
边角边 (SAS) 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
角边角 (ASA) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
角角边 (AAS) 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
二、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等.（另外全等三角形的周长、面积相等，对应边上的中线、角平分线、高线均相等）
【典例1】【初步探索】
（1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ．
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数．
【思路点拨】
（1）延长到点G，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论；
（2）延长到点G，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出；
（3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，利用，推导出的度数，即可得出结论．
【解题过程】
解：（1），理由如下：
如图1，延长到点G，使，连接，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：；
（2）上述结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长到点G，使，连接，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
；
（3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
即，
，，
，
．
1．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点下列判断正确的有（ ）
①≌；②；③；④
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
2．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，，的外角平分线CD与内角平分线BE的延长线交于点D，过点D作交BC的延长线于点F，连接AD，点E为BD中点，下列结论：①；②；③；④其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒．
①若．则点运动路程始终是点运动路程的2倍；
②当、两点同时到达点时，：
③若，，时，；
④若与全等，则或．
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
5．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，锐角中，平分平分与相交于点，则下列结论①；②连接，则；③；④若，则．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．③④
6．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论序号都填上）
7．（23-24八年级上·广东中山·期中）如图，点C在线段上，，，，且，，，，连接，，则 ．
8．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，等腰中，，，为内一点，且，，则 .
9．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在直角三角形中，，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确的结论是 ．（只填写序号）
10．（22-23八年级上·江西赣州·期末）如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作于E，于F．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为 ．
11．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图．在中，．，分别平分，．
（1）求的度数；
（2）求证：．
12．（22-23七年级下·重庆南岸·期末）在点，过点分别作，，垂足分别为，．且，点，分别在边和上．
（1）如图1，若，请说明
（2）如图2，若，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
13．（23-24八年级上·吉林·期末）（1）如图1，在中，，，直线m经过点A，直线m．直线m，垂足分别为D，E．求证：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线m上，且有，其中为任意钝角，请问结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
14．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围；
（2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．
15．（2023八年级上·全国·专题练习）（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：；
（2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
16．（23-24八年级上·吉林辽源·期末）在中，，，．是经过点的直线，于，于．
（1）求证：
（2）若将绕点旋转，使与相交于点（如图，其他条件不变，求证：．
（3）在（2）的情况下，若的延长线过的中点（如图，连接，求证：．
17．（22-23八年级上·广西南宁·期末）综合与实践：
【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：．
【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点．
【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系．
18．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题
（1）【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则______；
（2）【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接，则的面积为______．
19．（23-24七年级上·山东烟台·期末）【阅读材料】
“截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法，是指在长线段中截取一段等于已知线段，常用于解答线段间的数量关系，当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长法”构造全等三角形来进行解题．
【问题解决】
（1）如图①，在中，为的角平分线，在上截取，连接．请直接写出线段之间的数量关系；
【拓展延伸】
（2）如图②，在中，为的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由；
（3）如图③，在中，为的补角的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由．
20．（2023·广西南宁·二模）如图，在中，为高，．点为上的一点，，连接，交于，若．
（1）猜想线段与的位置关系，并证明；
（2）有一动点从点出发沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在的值，使得的面积为27？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）条件下，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒，点是直线上一点，且，当与全等时，求的值．
