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分式 单元测试卷（培优）
（满分100）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）在①，②，③，④中，从左到右的变形正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④
【思路点拨】
此题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质依次判断即可．
【解题过程】
解：①当时，才有，
故该变形错误；
②∵分式中，
∴，
故该变形正确；
③当时，才有，
故该变形错误；
④∵，
∴，
故该变形正确；
综上，正确的有②④．
故选：B
2．（23-24八年级下·河南鹤壁·期中）若，的值均扩大到原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可．
【解题过程】
解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，选项C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
3．（23-24八年级下·山西临汾·期中）当时，代数式的值为（ ）
A．-6 B．6 C．-12 D．12
【思路点拨】
此题考查了分式的化简求值，先计算先把分母分解因式，再利用乘法分配律进行计算，再进行加法运算，整体代入即可得答案．
【解题过程】
解：
∵，
∴
∴原式
故选：B
4．（2024·山东·一模）已知，则的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
本题考查了分式的加减和二元一次方程组的解法，先对等号右边的分式进行加减，根据等号左右两边相等，得到关于的二元一次方程组，求解即可，根据分式方程的左右两边相等，得到关于的方程组是解题的关键．
【解题过程】
解：∵，
又∵，
∴，
∴，
解得：，
故选：A．
5．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【思路点拨】
解分式方程，根据“解为正数”得到，解不等式，求出范围，令，求出增根，进而求出对应的的值，即可求解，
本题考查了，解分式方程，解不等式，分式方程的增根，解题的关键是：熟记分式方程的增根．
【解题过程】
解：
去分母，得：，
解得：，
解为正数，
，
，
解得：，
，
，
，
，
的取值范围是且，
故选：．
6．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知，则的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【思路点拨】
将，进行变形得到：，，，利用整体思想，将变形为：，再代值计算即可．
【解题过程】
解：∵，
∴，，
∴
；
∵，当时，，方程不成立，
∴，
∴方程两边同除以得：，
∴，
∴，即：；
故选B．
7．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为和．则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．是的倍
【思路点拨】
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．先利用平均数的定义得到，，再计算和，从而可得到正确答案．
【解题过程】
解：根据题意得，，
，
，
，
，
即，所以选项正确；
，
，所以选项错误．
故选：．
8．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知实数，、满足，有下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确个数有（ ）个．
A． B． C． D．
【思路点拨】
根据所给条件，对各项进行变形，利用整体代入、解方程、通分、完全平方式进行计算即可验证．
【解题过程】
解：
①当时，，故结论正确；
②当时，
解得：，
，故②结论正确；
③，
，故③结论正确；
④当，
则
，故④结论正确；
综上所述，正确的结论有个；
故选：．
9．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（ ）
A．277 B．240 C．272 D．256
【思路点拨】
此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案．
【解题过程】
解：∵，，
∴，
两边都乘以，得
，
解得，且，；，
∴且，
解得：，，
∵正整数使关于的分式方程的解为整数，
∴，
∴或15或39或65或195，
即或5或29或55或185，
其中不符合题意，
∴，
故选C．
10．（23-24八年级上·山东泰安·期中）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（ ）
A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7
【思路点拨】
本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定的取值，进而解决此题．
【解题过程】
解：解不等式组，得，
不等式组无解，
，
，
分式方程，
方程的两边同时乘，
得，，
整理得，，
，
方程有整数解，
或或或，
或或或或或或或，
，，
，
或或，
故选：D．
评卷人 得 分
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（22-23八年级上·山东淄博·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ．
【思路点拨】
分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．
【解题过程】
解：（1）为原方程的增根，
此时有，即，
解得；
（2）为原方程的增根，
此时有，即，
解得．
（3）方程两边都乘，
得，
化简得：．
当时，整式方程无解．
综上所述，当或或时，原方程无解．
故答案为：10或或3．
12．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）有一项工程，若甲、乙合作10天可以完成；若甲单独工作13天，且乙单独工作3天也可完成，则甲的工作效率与乙的工作效率的比是 ．
【思路点拨】
本题考查的是分式方程的应用，设甲单独工作x天可以完成工程，以单独工作y天可以完成工程．由甲、乙合作10天可以完成；若甲单独工作13天，且乙单独工作3天也可完成，再建立方程组即可．
【解题过程】
解：设甲单独工作x天可以完成工程，以单独工作y天可以完成工程．
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴甲的工作效率与乙的工作效率的比是．
故答案是：
13．（2024八年级·全国·竞赛）已知非0实数a，b，c满足．则 ．
【思路点拨】
用第一个括号里的算式分别乘以第二个括号里的三个分式，结合化简，所得三部分合并再化简，结合二数和完全立方式展开变形，代入化简即得．
【解题过程】
解：∵，
同理，，，
∴原式，
又，即，
则，
故原式．
故答案为：9．
14．（2024八年级·全国·竞赛）若实数都是整数，且，则 ．
【思路点拨】
本题考查分式的方程的应用，熟练解分式方程是正确解决本题的关键．利用已知条件建立分式方程，并全面地进行分类讨论即可得出．
【解题过程】
解：当时，，
，
不是整数，与题设矛盾，
，
令，
由题设m、n为正整数，
设，
由①得，
代入②，整理得，
是正整数，
或2或3，
又，
或，
当时，
由①②解得，（不合题意，舍去），
当时，
由①②解得，，
．
故答案为：8.
15．（2023·湖北荆门·一模）已知．即当为于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，．计算的结果为 ．
【思路点拨】
先找到规律的值每6个一循环，再求出，由，可得．
【解题过程】
解：，
，
，
，
，
，
，
…，
∴的值每6个一循环，
∵
，
∵，
∴，
故答案为：．
评卷人 得 分
三、解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（4分）（23-24八年级下·江苏扬州·期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【思路点拨】
本题主要考查了分式的混合计算，分式的乘除法计算，分式的加法计算：
（1）根据同分母分式减法计算法则求解即可；
（2）根据分式乘法计算法则求解即可；
（3）把除法变成乘法后约分化简即可；
（4）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
17．（4分）（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）解下列分式方程：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键：
（1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1并检验即可求得方程的解．
（2）首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可．解本题的关键在于充分利用运算规律计算．
【解题过程】
解：（1）去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
检验：当时，，
∴分式方程无解．
（2）
，
，
，
，
，
，
，
，
，
检验：是原分式方程的解，
∴原方程的解为．
18．（4分）（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）先化简，再求值：，其中a为不等式组的整数解．
【思路点拨】
先通分，利用平方差公式，完全平方公式计算，然后进行除法运算，最后进行减法运算可得化简结果，解一元一次不等式组得整数解，根据分式有意义的条件确定值，最后代入求解即可．
【解题过程】
解：
；
，
解，得，，
解，得，，
∴，
∴整式解为，，，
∵，
∴，
∴，
当时，原式．
19．（6分）（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）某工厂计划在规定时间内生产个零件．若每天比原计划多生产个零件，则在规定时间内可以多生产个零件．
（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；
（2）为了提前完成生产任务：工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比个工人原计划每天生产的零件总数还多．按此测算，恰好提前两天完成个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
【思路点拨】
（1）设原计划每天生产零件个，根据相等关系原计划生产个零件所用时间实际生产个零件所用的时间可列方程，解出即为原计划每天生产的零件个数，再代入即可求得规定天数；
（2）设原计划安排的工人人数为人，根据“组机器人生产流水线每天生产的零件个数原计划每天生产的零件个数规定天数零件总数个”可列方程% ，解得的值即为原计划安排的工人人数．
【解题过程】
（1）解：设原计划每天生产零件个，由题意得，
，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意．
规定的天数为天．
答：原计划每天生产零件个，规定的天数是天；
（2）设原计划安排的工人人数为人，由题意得，
解得，．
经检验，是原方程的根，且符合题意．
答：原计划安排的工人人数为人．
20．（6分）（23-24八年级下·福建泉州·期中）若
（1）化简A；
（2）若 ，且 ，求A的最小值；
（3）若a， b为正整数， 且 ，当A，B均为正整数时，求的值．
【思路点拨】
（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；
（2）把代入A，得到，再根据得到，然后即可求解；
（3）由题意可得，根据A，B均为正整数，可得a，b的值，再根据A，B均为正整数即可求解．
【解题过程】
（1）解：原式
（2）解：由（1）得：
把代入得：
∵
∴
∴
∴
∴
∴A的最小值为；
（3）∵A，B均为正整数
∴
当时，
，解得：
当时
或，解得：或
经检验，是原方程的解
∵a， b为正整数，
∴
∴
21．（6分）（23-24八年级上·山东烟台·期中）用数学的眼光观察：
同学们，在学习中，你会发现“”与“”有着紧密的联系，请你认真观察等式：，．
用数学的思维思考并解决如下问题：
（1）填空：______；
（2）计算：
①若，求的值；
②若，求的值；
③已知，求的值．
【思路点拨】
本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
（1）根据题干提供的信息，利用完全平方公式进行计算即可；
（2）①先利用完全平方公式变形求出，然后求出的值即可；
②先将两边都除以，得，然后求出，再求出结果即可；
③分两种情况：当时，当时，求出结果即可．
【解题过程】
（1）解：
；
故答案为：4．
（2）解：①∵，
∴．
②将两边都除以，得．
∴，
∴．
③当时，此时，则，得，
∵，
∴．
∵，
∴；
∴，
当时，此时，则，得，
∵，故舍去．
综上，的值为．
22．（8分）（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度．
（1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．
由此我们可以得到一个不等式________________；（请用含a、b、m的式子表示）
请用分式的相关知识验证所得不等式；
【数学思考】（2）若，，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子．
【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由．
【思路点拨】
（1）用糖水中糖与糖水的比表示即可；再利用作差法比较与的大小即可；
（2）利用作差法比较与的大小即可；
（3）分甲、乙两船返航时为逆流航行和甲、乙两船返航时为逆流航行两种情况讨论求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，
∴再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．
∵
，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴由此我们可以得到一个不等式，
故答案为：，；
（2）（1）中的不等式不成立，正确式子为：，理由如下：
∵
，
∵，，
∴，，，
∴，
∴；
（3）当甲、乙两船返航时为逆流航行时，
∵，
∴，
由（2）得，，
∴，
∴，
∵，，
∴，甲船先返回A港，
当甲、乙两船返航时为顺流航行时，
∵，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，
∵，，
∴，乙船先返回A港，
综上，当甲、乙两船返航时为逆流航行时，，甲船先返回A港，当甲、乙两船返航时为顺流航行时，，乙船先返回A港．
23．（8分）（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”．
（1）填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；）
（2）分式的“可存异分式”是________；
（3）已知分式是分式A的“可存异分式”．
①求分式A的表达式；
②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；
（4）若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值．
【思路点拨】
（1）根据“可存异分式”的定义进行判断即可；
（2）设的“可存异分式”为，根据定义得出，利用分式混合运算法则求出N即可；
（3）①根据“可存异分式”的定义列式计算即可；
②根据整除的定义进行求解即可；
（4）设关于的分式的“可存异分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，得出，求出，代入求值即可．
【解题过程】
（1）解：∵，
，
∴，
∴分式不是分式的“可存异分式”；
故答案为：不是．
（2）解：设的“可存异分式”为，则，
∴，
∴
．
故答案为：．
（3）①∵分式是分式A的“可存异分式”，
∴，
∴，
∴
；
②∵整数使得分式A的值是正整数，，
∴时，，
时，，
时，，
∴分式A的值是1，3，5；
（4）解：设关于的分式的“可存异分式”为M，则：
，
∴
，
∵关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，
∴，
整理得：，
解得：，
∴
．
24．（9分）（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．
例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．
（1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”．
①（ ）；②（ ）；
③（ ）； ④（ ）；
（2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值；
（3）若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值．
【思路点拨】
本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键．
（1）根据“关联数对”定义分别判断即可；
（2）根据“关联数对”定义计算即可；
（3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可．
【解题过程】
（1）解：当，时，分式方程为，，
∵，
∴①不是关于的分式方程的“关联数对”；
当，时，分式方程为，
解得：，
，
②不是关于的分式方程的“关联数对”；
当，时，分式方程为，
解得，
，
③是关于的分式方程的“关联数对”；
当，时，分式方程为，
此方程无解，
④是关于的分式方程的“关联数对”；
故答案为：①；②；③；④．
（2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”，
，
解得：，
，
解得；
（3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”，
，，
，
解得，
∵可化为，
∴，
解得：，
方程有整数解，
整数，即，
又，，
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分式 单元测试卷（培优）
（满分100）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）在①，②，③，④中，从左到右的变形正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④
2．（23-24八年级下·河南鹤壁·期中）若，的值均扩大到原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·山西临汾·期中）当时，代数式的值为（ ）
A．-6 B．6 C．-12 D．12
4．（2024·山东·一模）已知，则的值分别为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
6．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知，则的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
7．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为和．则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．是的倍
8．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知实数，、满足，有下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确个数有（ ）个．
A． B． C． D．
9．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（ ）
A．277 B．240 C．272 D．256
10．（23-24八年级上·山东泰安·期中）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（ ）
A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7
评卷人 得 分
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（22-23八年级上·山东淄博·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ．
12．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）有一项工程，若甲、乙合作10天可以完成；若甲单独工作13天，且乙单独工作3天也可完成，则甲的工作效率与乙的工作效率的比是 ．
13．（2024八年级·全国·竞赛）已知非0实数a，b，c满足．则 ．
14．（2024八年级·全国·竞赛）若实数都是整数，且，则 ．
15．（2023·湖北荆门·一模）已知．即当为于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，．计算的结果为 ．
评卷人 得 分
三、解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（4分）（23-24八年级下·江苏扬州·期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
17．（4分）（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）解下列分式方程：
（1）；
（2）．
18．（4分）（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）先化简，再求值：，其中a为不等式组的整数解．
19．（6分）（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）某工厂计划在规定时间内生产个零件．若每天比原计划多生产个零件，则在规定时间内可以多生产个零件．
（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；
（2）为了提前完成生产任务：工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比个工人原计划每天生产的零件总数还多．按此测算，恰好提前两天完成个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
20．（6分）（23-24八年级下·福建泉州·期中）若
（1）化简A；
（2）若 ，且 ，求A的最小值；
（3）若a， b为正整数， 且 ，当A，B均为正整数时，求的值．
21．（6分）（23-24八年级上·山东烟台·期中）用数学的眼光观察：
同学们，在学习中，你会发现“”与“”有着紧密的联系，请你认真观察等式：，．
用数学的思维思考并解决如下问题：
（1）填空：______；
（2）计算：
①若，求的值；
②若，求的值；
③已知，求的值．
22．（8分）（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度．
（1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．
由此我们可以得到一个不等式________________；（请用含a、b、m的式子表示）
请用分式的相关知识验证所得不等式；
【数学思考】（2）若，，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子．
【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由．
23．（8分）（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”．
（1）填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；）
（2）分式的“可存异分式”是________；
（3）已知分式是分式A的“可存异分式”．
①求分式A的表达式；
②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；
（4）若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值．
24．（9分）（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．
例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．
（1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”．
①（ ）；②（ ）；
③（ ）； ④（ ）；
（2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值；
（3）若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值．
