上海市金山中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷(含解析）

2023-2024学年上海市金山中学高一年级下学期
5月月考数学试卷
2024.5
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.已知集合，则______.
2.已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______.
3.不等式的解集为______.
4.函数的最小正周期为______.
5.在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则的值为______.
6.已知复数为虚数单位，若的模为20，实数的值为______.
7.方程的解______.
8.已知复数满足，为虚数单位，则的最小值为______.
9.若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围是______.
10.已知点，将绕坐标原点逆时针方向旋转至，再将延长至，使，则点的坐标为______.
11.已知正的边长为2，所在平面内有一动点，满足，则的最小值为______.
12.函数的最大值为______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.方程的一个根为，其中为虚数单位，则实数的值为　　
A． B．10 C．6 D．8
14.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（ ）
A. B. C. D.
15.已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则　　
A． B． C． D．
16.已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A. B. C.2 D.
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知向量与的夹角为，且
（1）求的值
（2）若，求实数的值
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知复数为虚数单位，其中是实数
（1）若是实数，求的值
（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围。
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
设三个内角、、所对的边分别为、、，已知，．
（1）求角的大小；
（2）如图，在内取一点，使得，过点分别作直线、的垂线、，垂足分别是、．设，求四边形的面积的最大值及此时的值．
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分）
在平面直角坐标系中，以轴的正半轴为始边作锐角和钝角，它们的终边分别与单位圆交于两点
（1）当时，求的值
（2）当时，求角的值
（3）当时，记角，求满足等式的所有的值
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数，若对于任意的实数都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”
（1）记在上的最大值、最小值分别为，试判断“”是“为上的“完美三角形函数””的什么条件？不需要证明
（2）设向量，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围；
（3）已知函数为（为正的实常数）上的“完美三角形函数”。函数的图像上，是否存在不同的三个点，它们在以轴为实轴，轴为虚轴的复平面上所对应的复数分别为，满足，且？若存在，请求出相应的复数，若不存在，请说明理由。
2023-2024学年上海市金山中学高一年级下学期
5月月考数学试卷参考答案
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.已知集合，则______.
【答案】
【解析】
2.已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______.
【答案】4
【解析】根据扇形的弧长公式可得，
根据扇形的面积公式可得．
3.不等式的解集为______.
【答案】
【解析】，即，
则且，解得，
故不等式的解集为
4.函数的最小正周期为______.
【答案】
【解析】
5.在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则的值为______.
【答案】
【解析】如图，在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，
，且，
根据平面向量基本定理得，
6.已知复数为虚数单位，若的模为20，实数的值为______.
【答案】
【解析】7.方程的解______.
【答案】
【解析】，
，
，或（舍
8.已知复数满足，为虚数单位，则的最小值为______.
【答案】
【解析】复数满足，则复平面内，复数对应的点在以为圆心，以1为半径的圆上，
如图：
则的最小值为
9.若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意知有两个交点
函数的图像如图所示
则
10.已知点，将绕坐标原点逆时针方向旋转至，再将延长至，使，则点的坐标为______.
【答案】
【解析】设的终边对应的角为，，则的终边对应的角为
11.已知正的边长为2，所在平面内有一动点，满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】以为坐标原点，为轴，过与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，
12.函数的最大值为______.
【答案】
【解析】
当时上式等号成立
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.方程的一个根为，其中为虚数单位，则实数的值为　　
A． B．10 C．6 D．8
【答案】B
【解析】方程的一个根为，
程的另一个根为，
．
故选：．
14.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，则，则
故选C
15.已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，在函数与的交点中，
，
令，即，
不妨取，
即，
因为三个相邻的交点构成一个等腰直角三角形，
则，即，
所以．
故选：．
16.已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A. B. C.2 D.
【答案】B
【解析】
设，以为原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的坐标系
由，得点在以为圆心，以1为半径的圆上
又非零向量与的夹角为，设的起点为原点，则的终点在不含端点的两条射线上，设
的最小值为
表示点到和的距离之和的最小值的倍
则最小值为
故选B
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知向量与的夹角为，且
（1）求的值
（2）若，求实数的值
【答案】（1）6；（2）
【解析】
（1）
（2）
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知复数为虚数单位，其中是实数
（1）若是实数，求的值
（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围。
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）
因为是实数，则
（2）
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，则
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
设三个内角、、所对的边分别为、、，已知，．
（1）求角的大小；
（2）如图，在内取一点，使得，过点分别作直线、的垂线、，垂足分别是、．设，求四边形的面积的最大值及此时的值．
【答案】（1）；（2）时，四边形的面积取得最大值．
【解析】
（1）由及正弦定理可得：，即，
又，，
有或，
又，得，与矛盾，
，
；
（2）由题设，得在中，，
在中，，，
，
，
，，从而有，，
即，，
于是，当，即时，四边形的面积取得最大值．
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分）
在平面直角坐标系中，以轴的正半轴为始边作锐角和钝角，它们的终边分别与单位圆交于两点
（1）当时，求的值
（2）当时，求角的值
（3）当时，记角，求满足等式的所有的值
【答案】（1）；（2）；（3）或
【解析】
（1）由题意知
（2）
（3）当时，，故
所以
故，从而
由，知
由，得，即
故且
即或
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数，若对于任意的实数都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”
（1）记在上的最大值、最小值分别为，试判断“”是“为上的“完美三角形函数””的什么条件？不需要证明
（2）设向量，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围；
（3）已知函数为（为正的实常数）上的“完美三角形函数”。函数的图像上，是否存在不同的三个点，它们在以轴为实轴，轴为虚轴的复平面上所对应的复数分别为，满足，且？若存在，请求出相应的复数，若不存在，请说明理由。
【答案】（1）必要非充分条件；（2）；（3）不存在
【解析】
（1）必要非充分条件
（2）
①当时，
由，得
②当时，，满足题意
③当时，
由，得
综上，实数的取值范围是
（3）
由，得，故
假设存在满足题意的点
且，则
而
故
事实上，由
得
从而，矛盾
故不存在点满足题意