北京市第二十四中学人教A版高中数学选修1-1教案：2.2.1双曲线及其标准方程
文档属性
| 名称 | 北京市第二十四中学人教A版高中数学选修1-1教案：2.2.1双曲线及其标准方程 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 95.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-12-01 14:34:16 | ||
图片预览
文档简介
教学设计
课题名称
2.2.1双曲线及其标准方程
科目
数学
教学对象
高二文科
课时
1
设计者
梁霄
一、教材内容分析
“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”“椭圆及其标准方程”之后，学习的又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何的学习中最重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术等领域有着广泛的应用，也是大纲中明确要求学生必须熟练掌握的重要内容。
二、教学目标
[课标要求]
⑴了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
⑵经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程，掌握它的定义，标准方程，几何图形及简单性质；
⑶进一步体会数形结合的思想。
[具体分析教学目标]
（1）知识技能：
①掌握双曲线的定义，几何图形，明确焦点的意义；
②会推导双曲线的标准方程；
③能根据已知条件求双曲线的标准方程。
（2）过程方法：
在与椭圆的类比中，掌握双曲线的标准方程的推导方法，增强合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力。
（3）情感、态度、价值观：
发挥类比的作用，与椭圆形成对比，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，通过引入b2,使方程形式更对称、简洁，无疑会让学生感到数学的特殊魅力，增强学生学习数学的浓厚兴趣。
三、学情分析
学生已经学习了椭圆的有关知识，能从日常生活中抽象出圆锥曲线，并初步学会了对圆锥曲线方程的推导和使用，可以作一些理性的探索和研究。
学生对用几何画板研究动点轨迹很有兴趣，并可以做出严格证明。
四、教学过程
资源准备、教师活动、预计时间
学生活动、预计时间
设计意图
（复习引入）（4分钟） 椭圆的定义：
教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞|F1F2|．
把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？
几何画板探究轨迹
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
几何画板探究轨迹（6分钟）
通过提出问题，
让学生讨论问题，并尝试解决问题。让学
生通过几何画
板感受曲线，解
读演示得到的图
形是双曲线。
一、双曲线的定义（5分钟）
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
通常情况下，我们把|F1F2|记为2c（c>0)； 常数记为2a(a>0).
定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？
定义中为什么强调常数要小于|F1F2|（即0<2a<2c）？
①若2a=2c,则轨迹是什么？
②若2a>2c,则轨迹是什么？
学生总结定义
此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
此时轨迹不存在
类比椭圆定义，再通过几何画板的演示，不断补充，纠正和完善定义
二、双曲线标准方程的推导（4分钟）
（1）建系设点：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴
设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．
(2)点的集合
由定义可知，双曲线就是集合：
P={M||MF1|-|MF2||=2a}
(3)代数方程
(4)化简方程(由学生演板)
类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？
这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在y轴上，焦点是 F1(0，-c)，F2(0，c).
化简方程（6分钟）
将上述方程化为：
移项两边平方后整理得：
两边再平方后整理得：
两边同时除以 得：
(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)
由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0．
设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：
b2x2-a2y2=a2b2．
这就是双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0).
和椭圆类似，引导学生建立坐标系，并在必要时给予提示，完善化简步骤。
对圆锥曲线标准方程的推导，可提高学生个人的实际操作和计算能力，同时又加强学生间的团结合作精神。
三.双曲线两种标准方程的比较（5分钟）
四、双曲线与椭圆之间的区别与联系
列表（5分钟）
(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；
(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．
(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．
学生填表
理解新知，注意归纳总结环节。
例1、判断下列方程是否表示双曲线？
若是，求出 a,b,c及焦点坐标。（5分钟）
例2、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程。
五、小结（2分钟）
学生总结发言。
题后反思：先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。
题后反思：
求标准方程要做到先定型，后定量。
梳理本节内容，总结数学知识的及数学思想。
板书设计：
复习引入
一、双曲线定义： 方
二、双曲线的标准方程的推导 程
三、双曲线两种标准方程的比较 推
四、双曲线与椭圆的区比联系 导
例题演练 例题板演
课堂小结（PPT）
课堂小结：
知识整理，形成系统（由学生归纳，教师完善）
(1)双曲线的定义（与椭圆的区别）
(2)标准方程（两种形式）
(3)焦点位置的判断（与椭圆的区别）
(4)a、b、c的关系（与椭圆的区别）
五、教学流程图
引出问题
学生实验操作
明确双曲线定义
推导双曲线标准方程
总结归纳
例题解析
小结
六、教学评价设计
1.学生动手操作画图形：组内理解力，执行度，变通能力，效果如何？
2.给出双曲线定义：语言组织能力；
3.双曲线方程推导：观察能力（建系好），计算能力；
4.双曲线与椭圆的联系总结：简练，扼要，有效；
5.例题解析：速度快正确率高（先定位后定量）；
6.小结：知识回顾，有所收获（数学知识，数学思想）。
七、教学反思
在“双曲线的标准方程”的引入与推导中，充分利用几何画板演示，并运用“实验—观察—类比—证明—应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理。这样安排符合学生的认识规律，揭示了知识的发生、发展过程；也符合现代教育理论的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点。
在教学的过程中始终本着：数学的学习过程是学生自己的“再创造”的原则，通过教师启发引导，让学生通过实验、观察、思考、类比、推理、交流、合作、反思等过程进行探究，构建新知识，真正做到将传授知识和培养能力融为一体，较好地体现“数学教学主要是教学活动的教学”这一教育思想。
课题名称
2.2.1双曲线及其标准方程
科目
数学
教学对象
高二文科
课时
1
设计者
梁霄
一、教材内容分析
“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”“椭圆及其标准方程”之后，学习的又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何的学习中最重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术等领域有着广泛的应用，也是大纲中明确要求学生必须熟练掌握的重要内容。
二、教学目标
[课标要求]
⑴了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
⑵经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程，掌握它的定义，标准方程，几何图形及简单性质；
⑶进一步体会数形结合的思想。
[具体分析教学目标]
（1）知识技能：
①掌握双曲线的定义，几何图形，明确焦点的意义；
②会推导双曲线的标准方程；
③能根据已知条件求双曲线的标准方程。
（2）过程方法：
在与椭圆的类比中，掌握双曲线的标准方程的推导方法，增强合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力。
（3）情感、态度、价值观：
发挥类比的作用，与椭圆形成对比，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，通过引入b2,使方程形式更对称、简洁，无疑会让学生感到数学的特殊魅力，增强学生学习数学的浓厚兴趣。
三、学情分析
学生已经学习了椭圆的有关知识，能从日常生活中抽象出圆锥曲线，并初步学会了对圆锥曲线方程的推导和使用，可以作一些理性的探索和研究。
学生对用几何画板研究动点轨迹很有兴趣，并可以做出严格证明。
四、教学过程
资源准备、教师活动、预计时间
学生活动、预计时间
设计意图
（复习引入）（4分钟） 椭圆的定义：
教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞|F1F2|．
把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？
几何画板探究轨迹
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
几何画板探究轨迹（6分钟）
通过提出问题，
让学生讨论问题，并尝试解决问题。让学
生通过几何画
板感受曲线，解
读演示得到的图
形是双曲线。
一、双曲线的定义（5分钟）
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
通常情况下，我们把|F1F2|记为2c（c>0)； 常数记为2a(a>0).
定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？
定义中为什么强调常数要小于|F1F2|（即0<2a<2c）？
①若2a=2c,则轨迹是什么？
②若2a>2c,则轨迹是什么？
学生总结定义
此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
此时轨迹不存在
类比椭圆定义，再通过几何画板的演示，不断补充，纠正和完善定义
二、双曲线标准方程的推导（4分钟）
（1）建系设点：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴
设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．
(2)点的集合
由定义可知，双曲线就是集合：
P={M||MF1|-|MF2||=2a}
(3)代数方程
(4)化简方程(由学生演板)
类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？
这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在y轴上，焦点是 F1(0，-c)，F2(0，c).
化简方程（6分钟）
将上述方程化为：
移项两边平方后整理得：
两边再平方后整理得：
两边同时除以 得：
(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)
由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0．
设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：
b2x2-a2y2=a2b2．
这就是双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0).
和椭圆类似，引导学生建立坐标系，并在必要时给予提示，完善化简步骤。
对圆锥曲线标准方程的推导，可提高学生个人的实际操作和计算能力，同时又加强学生间的团结合作精神。
三.双曲线两种标准方程的比较（5分钟）
四、双曲线与椭圆之间的区别与联系
列表（5分钟）
(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；
(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．
(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．
学生填表
理解新知，注意归纳总结环节。
例1、判断下列方程是否表示双曲线？
若是，求出 a,b,c及焦点坐标。（5分钟）
例2、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程。
五、小结（2分钟）
学生总结发言。
题后反思：先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。
题后反思：
求标准方程要做到先定型，后定量。
梳理本节内容，总结数学知识的及数学思想。
板书设计：
复习引入
一、双曲线定义： 方
二、双曲线的标准方程的推导 程
三、双曲线两种标准方程的比较 推
四、双曲线与椭圆的区比联系 导
例题演练 例题板演
课堂小结（PPT）
课堂小结：
知识整理，形成系统（由学生归纳，教师完善）
(1)双曲线的定义（与椭圆的区别）
(2)标准方程（两种形式）
(3)焦点位置的判断（与椭圆的区别）
(4)a、b、c的关系（与椭圆的区别）
五、教学流程图
引出问题
学生实验操作
明确双曲线定义
推导双曲线标准方程
总结归纳
例题解析
小结
六、教学评价设计
1.学生动手操作画图形：组内理解力，执行度，变通能力，效果如何？
2.给出双曲线定义：语言组织能力；
3.双曲线方程推导：观察能力（建系好），计算能力；
4.双曲线与椭圆的联系总结：简练，扼要，有效；
5.例题解析：速度快正确率高（先定位后定量）；
6.小结：知识回顾，有所收获（数学知识，数学思想）。
七、教学反思
在“双曲线的标准方程”的引入与推导中，充分利用几何画板演示，并运用“实验—观察—类比—证明—应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理。这样安排符合学生的认识规律，揭示了知识的发生、发展过程；也符合现代教育理论的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点。
在教学的过程中始终本着：数学的学习过程是学生自己的“再创造”的原则，通过教师启发引导，让学生通过实验、观察、思考、类比、推理、交流、合作、反思等过程进行探究，构建新知识，真正做到将传授知识和培养能力融为一体，较好地体现“数学教学主要是教学活动的教学”这一教育思想。