22.8平面向量的加法（第1课时）（教学课件）-八年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

(共33张PPT)
2023-2024学年八年级下册数学同步精品课堂（沪教版）
第 22章 四边形
22.8 平面向量的加法（第1课时）
学习目标
（1）初步掌握向量加法的三角形法则。
（2）学会用作图的方法求两个向量的和向量。
（3）知道向量的加法满足交换律与结合律；并会用它们进行向量的运算。
（4）知道零向量的意义及零向量的特征。
问：长度、面积、体积在确定度量单位后，它们只有大小，可以用一个数来表示.这些量中的同一类量，都可以进行加减运算，而向量不仅有大小，还有方向，两个向量可以相加吗？
这些量称为”数量”又称为“标量”
情景引入
问题1：小明从A地出发向东行走5千米到达B地，再向北又走了5千米到达C地．那么小明这时在A地的什么方向上？到A地的距离是多少？
问1：小明从A地到达B地是不是一次位置移动？从A移动到B的方向是什么？大小又是多少？
是，以A为起点，方向是向东，大小是5千米．
问2：从B地移动到C地是不是又是一次位置移动？方向是什么？大小又是多少？
是，以B为起点，方向是向北，大小是5千米．
根据移动的方向和距离，我们可以把上面的两次移动用向量 和向量 来表示．
如何画有向线段？
（1）定比例尺；（2）取定起点并以它为端点按指定方向画射线；（3）按比例尺截取线段；（4）在线段另一端点画上箭头.
取1:250 000的比例尺，可以画出有向线段来表示向量 和 ，再把起点A和终点C用有向线段连起来，画出有向线段 ．
5千米按比例尺截取线段的长度如何计算？
5千米长度如何在纸上表示？
问3：那么这个向量 表示什么？
表示以A为起点，A地到C地的一次位置移动．
问4：如何计算 的大小和方向？
由图可知：△ABC是直角三角形，∠B=90°AB=BC=5(千米)，于是可得∠A=45°，AC= (千米)，所以，向量 ：东北方向，7千米．
从A地到B地，再从B地到C地这两次位置移动合在一起，其结果就是从A地到C地进行了一次位置移动，用向量来表示，就说“向量 与 合在一起是向量 ”，这时称 为 和 的和向量，可表示为 + = ．
小明从A地出发向东行走5千米到达B地，再向北又走了5千米到达C地．那么小明这时在A地的什么方向上？A地的距离是多少？
A
B
C
北
东
向东行走5千米
向北行走5千米
定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法．
问题2：已知向量 和 ，怎样求这两个向量的和向量？
问：从问题1中我们可以得到启示，当我们把两个位置向量首尾相接时，它们的和向量很容易确定．但是我们如何把这两个向量首尾相接呢？
可以通过平移的方法．
如果 与 是不平行的向量，那么，在平面内任取一点O，作向量 ，使 = ，再作向量 ，以O为起点、B为终点画有向线段 ，则有向线段 所表示的向量 是向量 与向量 的和向量．用算式表示为：
O
B
A
一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点的向量就是和向量．这样的规定叫做向量加法的三角形法则．
起点
第一个向量
终点
和向量的起点
和向量的终点
第二个向量
运用三角形法则的一般步骤：
1、画出表示第一个向量的有向线段；
2、以第一条有向线段的终点作为第二条有向线段的起点（即首尾相接）；
3、以第一条有向线段的起点为起点，第二条有向线段的终点为终点画有向线段．
问：如果不作图，你能否直接求出
能，第一条有向线段的终点恰好是第二条有向线段的起点（即首尾相接）
A
A
探究新知
问：如果给出两个平行的向量 和 ，那么如何求他们的和向量？
两个平行向量也可像上面作图一样，此时，向量 、
、 在一条直线上，我们仍规定 ．
O A
B
O A
B
∴所求
∴所求
问：当 与 有特殊的关系时，它们的和向量是什么？
当 与 是相等向量时， + = + =2 ．
当 与 是互为相反向量时， + = + = ．
0
0是向量吗？
互为相反向量的两个向量的和是特殊的向量．
我们把长度为零的向量叫做零向量，记作 ．规定 的方向可以是任意的（或者说不确定的）； ．于是，
问：0和 的区别是什么？
零向量有大小和方向，零只有大小；零向量的模是零．
对于任意的向量，都有 ， .
1．两个向量相加，结果一定还是向量；
2．零向量 和实数0的区别在于，零向量不仅表示大小是零，它还有方向，它的方向是任意的.
例题1
如图，已知向量 和 ．求作：
(1) (2)
解:（1）在平面内任取一点A，作向量 ， ，再作
∴所求 .
A
B
C
例题1
如图，已知向量 和 ．求作：
(1) (2)
解:（2）在平面内任取一点D，作向量 ， ，再作
∴所求 .
此题运用向量加法的三角形法则.还有其他做法吗？
D
E
F
例题1
如图，已知向量 和 ．求作：
(1) (2)
解法2:（2）以AB，BC为邻边，作平行四边形ABCD，再作向量 、 ．
∴所求 .
为什么？
∵ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC；DC//AB；DC=AB．
∴
得
由此我们发现： = ，向量的加法满足交换律．
A
B
C
D
例题2
如图，已知向量 ，求作：
（1） ；
（2）
解：（1）在平面内任取一点O，作向量 ， ，得 ；再作 ，然后作向量 ，则
.
请同学先试一试！
（2）作向量 ，得 ，则 .
由此我们发现： ，向量的加法满足结合律．
O
A
B
C
你能先在题1的图形上找到 的和向量吗？
由向量加法的交换律和结合律，可知三个向量相加，运算时可先将其中任意两个向量相加，所得的和向量再与第三个向量相加．
三个向量 、 、 相加，可表示为
.
课本练习
2．如图，已知平行四边形ABCD，在图中作出下列两个向量的和向量．
（1） ， ；（2） .
（1）
（2）
∴ 是所求作的向量
如何首尾相接？
∴ 是所求作的向量
运用向量加法的交换律
∴ 是所求作的向量
E
3、填空：
1.下列判断中，不正确的是( ____ )
A. = B. =
C.如果| |=| |，那么 D. +( )=( )
【解析】
解：∵ = ， ， ，
∴A、B、D正确，
C
随堂检测
∵| |=| |，
∴ 或 ，
故C错误，
故选：C．
2.在矩形ABCD中， ， ，则向量 的长度为( ____ )
A.2 B.4 C. D.
【解析】解：在矩形ABCD中， ， ，
∴AB= ，BC=1，
∴AC= =2，
A
∵ ，
∴向量 的长度为2，
故选：A．
3.已知正方形ABCD的边长为1，设 ，那么 的模为( ____ )
A. B. C. D.2
【解析】解：在正方形ABCD中，AB=BC=1，∠B=90°，则由勾股定理，得AC= = ．
C
所以 = ．
故选：C．
4.如果 是非零向量，那么下列等式正确的是( ____ )
A. = B.| |=| |
C. + =0 D.| |+| |=0
【解析】解：∵ 是非零向量，
∴| |=| |，
故选：B．
B
5.点C是线段AB的中点，则 等于( ____ )
A. B. C.0 D.
【解析】解：∵点C是线段AB的中点，
∴AC=CB．
∴ = ．
D
∴ = + = ．
故选：D．
6.已知正方形ABCD的边长为1，设 ，那么 的模为( ____ )
A. B.1 C. D.2
【解析】解：在正方形ABCD中，AB=BC=1，∠B=90°，则由勾股定理，得AC= = ．
所以 = ．
C
故选：C．
7.下列等式中错误的是( ____ )
A. + = B. + = + =
C. +(- )=0 D.( )+ =( )+
【解析】解：A、 + = ，正确．本选项不符合题意；
B、 + = + = ，正确．本选项不符合题意；
C、 + = ，错误，本选项符合题意；
C
D、( + )+ =( + )+ ，正确，本选项不符合题意．
故选：C．
8.已知 ， 非零向量，且| + |=| |+| |，则一定有( ____ )
A. = B. ∥ ，且 ， 方向相同
C. =- D. ∥ ，且 ， 方向相反
【解析】解：∵ ， 非零向量，且| + |=| |+| |，
∴平方得| |2+| |2+2 =| |2+| |2+2| | | |，
B
即 =| | | |，
∴| | | |cos＜ ， ＞=| | | |，
则cos＜ ， ＞=1，即 ∥ ，且 ， 方向相同．
故选：B．
9.在 ABCD中， + 等于( ____ )
A. B. C. D.
【解析】解：在 ABCD中，∵AD∥BC，AD=BC，
∴ = ．
∴ + = + = ．
B
故选：B．
10.| |= ____ ．
【解析】解：| |
=| |
=0．
故答案为：0．
0
11.已知：四边形ABCD，AC与BD交与点O，AO＝OC，BO＝OD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
A
B
C
D
O
∵AO＝OC、BO＝OD
得AD∥BC、AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形
证明：作向量AO、OC、BO、OD
又　AO与OC同向、BO与OD同向
∴AO＝OC、BO＝OD
∵AO＋OD=AD, BO+OC＝BC
∴AD＝BC
课堂小结
1、三角形法则画向量的加法．
2、向量的加法也有交换律和结合律．
3、零向量和零是有区别的．