第五章分式与分式方程小结与复习课件-北师大版八年级数学下册

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小结与复习
第五章 分式与分式方程
一、分式
1. 分式的概念：
一般地，如果 A，B 都表示整式，且 B 中含有字母，那么称 为分式.其中 A 称为分式的分子，B 称为分式的分母.
2. 分式有意义的条件：
对于分式 ：
当_______时分式有意义；
当_______时无意义.
B≠0
B = 0
3. 分式值为零的条件：
当______________时，分式 的值为零.
A = 0 且 B≠0
4. 分式的基本性质：
分式的符号法则：
5. 分式的约分：
约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.
最简分式的定义
分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式.
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
约分的基本步骤
(1) 若分子，分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
(2) 若分子，分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子，分母所有的公因式．
6. 分式的通分：
分式的通分的定义
根据分式的基本性质，使分子，分母同乘适当的整式（即最简公分母），把分母不相同的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式的通分.
最简公分母
通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母.
二、分式的运算
1. 分式的乘除法则：
2. 分式的乘方法则：
3. 分式的加减法则：
(1) 同分母分式的加减法则：
(2) 异分母分式的加减法则：
4. 分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式.
三、分式方程
1. 分式方程的定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
2. 分式方程的解法
(1) 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
(2) 解这个整式方程；
(3) 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，那么整式方程的解就是原分式方程的解，否则须舍去. （必须要检验）
3. 分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤
(1) 审：审清题意，找出相等关系；
(2) 设：设出未知数；
(3) 列：列出方程；
(4) 解：解这个分式方程；
(5) 验：验根（包括两方面：①是否是分式方程的根；②是否符合题意）；
(6) 答：写答案.
专题一 分式的有关概念
例1 当x为何值时，分式 有意义？当x为何值时，分式 无意义？
分析 分式有意义应满足的条件是分母不为0；
分式无意义的原因是分母的值为0.
考点一 分式的有关概念
例1 如果分式 的值为 0，那么 x 的值为 .
【解析】根据分式值为 0 的条件：分子为 0 而分母不为 0，列出关于 x 的方程，求出 x 的值，并检验当 x 的取值时分式的分母的对应值是否为零.由题意可得：x2 - 1 = 0，解得 x = ±1. 当 x = -1时，x + 1 = 0；当 x = 1 时，x + 1≠0.
1
分式有意义的条件是分母不为 0，分式无意义的条件是分母的值为 0；分式的值为 0 的条件是：分子为 0 而分母不为 0.
归纳总结
针对训练
2. 如果分式 的值为零，那么 a 的值为 .
2
1. 若分式 无意义，则 的值为 .
-3
例2 如果把分式　　　中的 x 和 y 的值都变为原来的 3 倍，那么分式的值（　　）
考点二 分式的性质及有关计算
B
A. 变为原来的 3 倍　 B. 不变　
C. 变为原来的　 D. 变为原来的
针对训练
3. 下列变形正确的是 ( )
C
例3 已知x= ，y= ，求 值.
【解析】本题中给出字母的具体取值，因此要先化简分式再代入求值.
把 x = ，y = 代入得
解：原式=
原式=
对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求出分式的值.但对于某些分式的求值问题，却没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件，这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的方法.
归纳总结
4. 有一道题：“先化简，再求值： ，其中 ”. 小玲做题时把 错抄成 ，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事.
针对训练
解：
∴ 结果与 x 的符号无关.
例3 若x2-x-2017=0，求分式 的值.
解 ∵ x2-x-2017=0，
∴x2-x=2017.
两边同乘x，得x3-x2=2017x，
∴
例4
解析：本题若先求出 a 的值，再代入求值，显然现在解不出 a 的值，如果将 的分子、分母颠倒过来，即求 的值，再利用公式变形求值就简单多了．
小技巧：
先求倒数
利用互为倒数的关系，构造已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简捷．
归纳总结
5. 已知 x2 - 5x + 1 = 0，求出 的值.
解：∵ x2 - 5x + 1 = 0， 得 即
∴
针对训练
考点三 分式方程的解法
例5 解下列分式方程：
【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方
程的解得到 x 的值，经检验即可确定出分式方程的解．
解：(1) 去分母得 x + 1 + x - 1 = 0，解得 x = 0.
经检验，x = 0 是分式方程的解.
(2) 去分母得 x - 4 = 2x + 2 - 3，解得 x = -3.
经检验，x = -3 是分式方程的解.
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
归纳总结
解：最简公分母为 (x + 2)(x﹣2)，
去分母得(x﹣2)2 - (x+2)(x﹣2)=16，
整理得 ﹣4x + 8 = 16，解得 x =﹣2，
经检验，x =﹣2 是增根，
故原分式方程无解．
针对训练
考点四 分式方程的应用
例6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是 400 千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍．
(1) 求普通列车的行驶路程；
解析：根据高铁的行驶路程是 400 千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍，两数相乘即可.
解：根据题意得 400×1.3＝520 (千米).
答：普通列车的行驶路程是 520 千米.
(2) 若高铁的平均速度 (千米/时) 是普通列车平均速度 (千米/时) 的 2.5 倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时，求高铁的平均速度．
解析：设普通列车的平均速度是 x 千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时，列出分式方程，然后求解即可．
解：设普通列车的平均速度是 x 千米/时，则高铁的平均速度是 2.5x 千米/时，根据题意得
解得 x＝120，经检验 x＝120 是原方程的解，则高铁的平均速度是 120×2.5＝300(千米/时)．
答：高铁的平均速度是300 千米/时．
专题四 分式方程在生活中的应用
例5 甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同.
（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？
解（1）设乙队单独完成此项任务需 x 天，则甲队单独完成此项任务需（x+10）天，根据题意，得 解得x=20，
经检验， x=20是原方程的解，∴x+10=30(天)
∴甲队单独完成此项任务需30天，乙队单独完成此项任务需20天.
（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队单独继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队需至少再单独施工多少天？
（2）设甲队再单独施工a天，
根据题意，得
解得
∴甲队需至少再单独施工3天.
某超市用3000元购进某种干果进行销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量比第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完.
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）超市销售这种干果共盈利多少元？
解（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元.
由题意，得
解得x=5，经检验，x=5是原方程的解且符合题意.
答：该种干果的第一次进价是每千克5元.
（2）
答：超市销售这种干果共盈利5820元.
7. 某施工队挖掘一条长 90 米的隧道，开工后每天比原计划多挖 1 米，结果提前 3 天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖 x 米，则依题意列出正确的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
C
针对训练
8. 某商店第一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支，第二次又用 600 元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了 30 支.求第一次每支铅笔的进价是多少元？
解：设第一次每支铅笔进价为 x 元，根据题意列方程，得
解得 x = 4.
经检验，故 x = 4 原分式方程的解.
答：第一次每支铅笔的进价为 4 元.
考点五 本章数学思想和解题方法
主元法
例7 已知： ，求 的值.
【解析】由已知可以变形为用 b 来表示 a 的形式，可得 ，代入约分即可求值.
解：∵ ，∴ .
∴
已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含有一个字母的代数式来表示另一个字母，然后把这个关系式代入到分式中即可求值.这种方法即是主元法. 它可以起到化繁入简，化难为易的作用.
归纳总结
解：由 ，得 ，
把 代入可得原式 =
9. 已知 ，求 的值.
本题还可以由已知条件设 x = 2m，y = 3m.
针对训练
随堂练习
1.如果代数式 有意义，那么x的取值范围是（ ）.
A. x ≥ 0
B. x ≠ 1
C. x ＞0
D. x ≥ 0 且 x ≠ 1
D
2.下列运算错误的是（ ）.
A.
B.
C.
D.
D
3.已知x+y=xy，求 的值.
解 ∵ x+y=xy，
∴
1. 解分式方程：
分析 解分式方程的思路是将分式方程转化为整式方程来解.需要注意的是解分式方程会产生增根，因此解分式方程的检验步骤必不可少.
作业本上完成
解 去分母，得x(x-1)=(x-1)(x+3)+2(x+3).解这个整式方程，得
检验：当 时，
故 是原方程的根.
2.
解 去分母，得x(x+2)-1=x2-4.
去括号，得x2+2x-1=x2-4
解得
经检验， 是原方程的解.
作业本上完成
2.先化简，再求值： ，其中a=-2，b=5.
解
当a=-2，b=5时，原式
分式
分式
分式的定义及有意义的条件等
分式方程
分式方程的应用
步骤
一审二设三列四解五检六答，尤其不要忘了验根
类型
行程问题、工程问题、销售问题等
分式的运算及化简求值
分式方程的定义
分式方程的解法