广西桂林市国龙外国语学校2024届高三5月适应性考试数学试卷（含答案）

5月20日桂林国龙外国语学校2024届高三高考适应性考试
数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．等差数列前三项最大的一项是1，公差满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数，复数使得，则复数的共轭复数的模的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．把数字1，2，3，4，5，6任意顺序排成一排，则其中成等比数列的几个数互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知定义域为的函数是奇函数，且，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知函数（，），且，当取最小的可能值时，（ ）
A． B． C． D．
6．已知，为异面直线，直线与，都垂直，则下列说法不正确的是（ ）
A．若平面，则，
B．存在平面，使得，，
C．有且只有一对互相平行的平面和，其中，
D．至少存在两对互相垂直的平面和，其中，
7．数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计算山脉的形状、婲述星系的形态、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数（其中，为非零常数，）来表示，当取到最小值为2时，下列说法正确的是（ ）
A．此时 B．此时的最小值为2
C．此时的最小值为2 D．此时的最小值为0
8．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．6 D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知集合，，则有（ ）
A． B． C． D．
10．掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据这5次的统计结果，下列选项中有可能出现点数1的是（ ）
A．中位数：3，众数：2 B．平均数：4，中位数：5
C．极差：4，平均数：2 D．平均数：4，众数：5
11．已知定义在的函数满足：①对恒有；②对任意的正数，恒有．则下列结论中正确的有（ ）
A．
B．过点的切线方程；
C．对，不等式恒成立；
D．若为函数的极值点，则；
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分；第13题第一个空2分，第二个空3分）
12．二项式的展开式中前三项的系数和为，则_________；
13．直线：与轴交于点，与圆：交于、两点，则_________；若，其中为坐标原点，为圆的圆心，则_________．
14．正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的内接圆柱的侧面积的最大值是_________；
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（满分13分）已知的内角，，所对的边分别为，，，，．
（1）求的大小；
（2）请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并解决问题：
为内一点，的延长线交于点，求的面积．
①为的外心，；
②为的垂心，；
③为的内心，．
16．（满分15分）
在三棱台中，底面是等边三角形，侧面是等腰梯形，是的中点，是两异面直线和的公垂线，且，．
（1）证明：侧面平面；
（2）若，且与平面之间的距离为1，求二面角的正切值．
17．（满分15分）
在平面直角坐标系中，点，，四边形的对角线交于点，且，，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于，两点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，试判断、、三点是否共线？说明理由．
18．（满分17分）
已知函数，．
（1）若的最小值为0，求；
（2）设函数，若是增函数，求的取值范围．
19．（满分17分）
某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查出某种细菌感染性疾病．抽样化验显示，当前携带该细菌的人约占，若逐个化验需化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机按人一组进行分组，将各组个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，则说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别化验一次．
（1）若每人单独化验一次花费10元，个人混合化验一次花费元．问为何值时，化验费用的数学期望最小？（注：当时，）
（2）该疾病主要是通过人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是40岁以上．细菌进入人体后有潜伏期．潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染给他人的可能性越高．现对已发现的90个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期的平均数为7.2，方差为．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：
年龄/人数 长期潜伏 非长期潜伏
40岁以上 15 50
40岁及40岁以下 10 15
①是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关？
②假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．为防止该疾病的传播，现要求感染者的密接者居家观察14天，请用概率的知识解释其合理性．
附：，
0.1 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
若，则，，．
桂林国龙外国语学校2024届高三5月高考适应性考试
数学试卷参考答案
一、选择题（每小题5分）
BDBA DACB
7．C
【详解】函数，，为非零常数，，，由取到最小值为2，得，，
对于A，，则，当且仅当，
即时取等号，此时，，A错误；
对于B，，当且仅当取等号，B错误；
对于C，，当且仅当取等号，C正确；
对于D，，当且仅当取等号，D错误．
故选：C
8．B
【详解】由条件知
由椭圆定义得，所以；
由双曲线定义知：，所以；
故，所以
所以
故选：B
二、多选题
BC BCD ACD
10．BCD
对于A，中位数是3，则这5个数从小到大排列后，第3个数是3，第1、2个数是2才能使众数为2，故第1个数不是1，故A不正确，
对于B，有可能出现点数1，例如1，2，5，6，6；
对于C，有可能出现点数1，例如1，1，1，2，5；
对于D，有可能出现点数1，例如1，4，5，5，5；
故选BCD．
11．ACD［由条件①结合导数的运算法则可设，再由条件②，求得，选项A，B易判断；对C，构造函数，利用导数证明即可；对D，利用导数判断极值点的范围，即可得证．
恒有，，
可设（其中为常数），
又对任意的正数，恒有，
对任意的正数，恒有，
，
，，即，
对于A，由上式可得，故A正确；
对于B，，设切点为，则切线斜率为，
，化简得，解得，
所以点就是切点，所以切线方程为，故B错误；
对于C，令，，则，
令，可得，，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，，对恒成立，故C正确；
对于D，设，
在上单调递增，且，，
所以使在上单调递减，在上单调递增，
为函数的极小值点且满足，，
，故D正确．］
三、填空题
或； 8，；
四、解答题
15．（1）． （2）
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
又因为，，
所以，整理得．
在中，由余弦定理得，所以，
即，
又因为，所以．
（2）选①，
设的外接圆半径为，则在中，由正弦定理得，即，
因为为外心，所以，与盾，故不能选①．
选②，
因为为的垂心，所以，
又，所以在中，，
同理可得，
又因为，所以，
即，
又因为在中，，
所以，因此，
故，为方程两根，即，
因为，，所以，所以为等边三角形，
所以．
选③，
因为为的内心，所以，
由，得，
因为，所以，即，
由（1）可得，即，所以，
即，又因为，所以，
所以．
16．（1）见解析 （2）
【详解】：证明：（1）因为是两异面直线与的公垂线
所以，
又是等边三角形，是的中点，所以
所以平面
又平面，所以，所以平面
又平面，所以侧面平面；
（2）因为，所以四边形是平行四边形
所以，且，由（1）知平面
所以线段的长为直线与平面的距离，即
在平面内，过作直线于，连
则，为二面角的平面角；
因为，，所以，
所以，
故所求二面角的正切值为
17（15分）
（1）如图1，因为，所以，
因为，所以，
又，所以，所以，
所以，
所以点的轨迹是以，为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（不含点）．
又，，故，，
所以的方程为．
（2），，三点共线，理由如下：
如图2，设，，，，直线的方程为，则，故．
由得，
所以，，
所以，
所以，
同理可得，，
，
，
因为，，三点共线，所以，
所以，所以，，三点共线．
18．（1） （2）
【详解】（1）因为，，所以，
又的最小值为0，所以为的一个极值点，
又因为，所以，解得，
检验：当时，，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，满足题意，
综上，．
（2）因为函数是增函数，
所以，
即，
令，则，
所以方程有解，
由（1）可知，，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以当时，，当且仅当时，等号成立，
所以，解得，所以的取值范围为．
19．（1）
（2）①是；②答案见解析
【详解】（1）要使化验费用的数学期望最小，只需每个人的化验费用期望最小．
设每人的化验费用为元，若混合血样呈阴性，
则，若混合血样是阳性，则，
所以，，
每位职工的化验费用为：，
当且仅当，即时取等号，
故时，每位职工化验费用的期望最小．
（2）（i）零假设为：“长期潜伏”与年龄无关．
根据列联表中的数据，经计算得到，，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为“长期潜伏”与年龄无关．
（ii）若潜伏期，
由，
得知潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的．