2023-2024学年安徽省县域联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省县域联盟高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数的实部和虚部分别是( )
A. ， B. ， C. D.
3.下列结论正确的是( )
A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥
B. 绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C. 有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台
D. 棱台的所有侧棱所在直线必交于一点
4.在中，“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.一艘轮船从地出发，先沿东北方向航行海里后到达地，然后从地出发，沿北偏西方向航行海里后到达地，则地与地之间的距离是( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
6.已知向量，，若向量，的夹角，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数在上的值域为，则( )
A. B. C. D.
8.已知为第一象限角，若函数的最大值是，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论正确的是( )
A. 的图象关于直线对称
B.
C. 当时，的值域是
D. 当时，
11.对任意两个非零的平面向量和，定义：；若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个棱台至少有______个面．
13.已知，，且，则的最小值是______；当取得最小值时，的最小值是______．
14.如图，在扇形中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点不包含端点，则平行四边形的周长的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，．
若是纯虚数，求的值；
若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．
16.本小题分
已知向量，的夹角为，且．
求向量在向量上的投影向量；
若，求的值．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，且，．
求的值；
若，，求的面积．
18.本小题分
在中，点，分别在边，上，且，，是，的交点设，．
用，表示，；
求的值．
19.本小题分
如图，在平面四边形中，，，，．
若为锐角，且，求的面积；
求四边形面积的最大值；
当时，在四边形所在平面内，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则．
故选：．
解出一元二次方程，再利用交集含义即可．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，则实部和虚部分别是，．
故选：．
化简复数，可得的实部和虚部．
本题考查复数的运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，各侧面都是全等的等腰三角形，且底面为正多边形的棱锥是正棱锥，A错误；
对于，绕直角三角形的一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，B错误；
对于，若几何体中，有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形，不能保证侧棱的延长线交于一点，该几何体不一定为棱台，C错误；
对于，由棱台的定义，棱台的所有侧棱所在直线必交于一点，D正确．
故选：．
根据题意，由棱锥的定义分析，由圆锥的定义分析，由棱台的定义分析和，综合可得答案．
本题考查棱柱、棱台、棱锥的结构特征，注意常见几何体的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：时，，充分性满足，
当时，，必要性不满足，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据充分必要条件的定义判断．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意知，海里，海里，，
由余弦定理得，，
所以海里．
故选：．
先将实际问题转化为数学模型，再利用余弦定理，求解即可．
本题考查解三角形的实际应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由 ，得 ，
因为，
所以，等价于，
解得或，
所以的取值范围是．
故选：．
根据平面向量夹角的余弦公式得到不等式组，求解即可．
本题考查了向量夹角的余弦公式应用问题，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：的对称轴为，
则，解得，
则在上单调递增，
所以，即，
所以，为方程的两个根，
即，为方程的两个根，所以．
故选：．
首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可．
本题主要考查函数的值域，考查转化能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
则，解得，
又为第一象限角，所以，
所以
．
故选：．
利用三角恒等变换整理得，结合最大值，解得，代入运算求得结果．
本题主要考查三角恒等变换，三角函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，
，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：．
由题意先计算出，再结合对各选项一一判断即可．
本题考查了复数的运算，共轭复数的概念．是基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，则关于直线对称，
则，因为函数是定义在上的偶函数，
则，则，则B正确，
则
则的图象关于直线对称，故A正确；
对，因为函数是定义在上的偶函数，则当时，的值域与时值域相同，
当时，，显然其为增函数，则的值域为，即，故C错误；
对，当时，，则，
当时，，根据的周期为，
则，故D正确．
故选：．
根据原式得到其对称性，结合偶函数则得到其周期性，再利用其偶函数性质并结合其的解析式即可判断．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查转化能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：，设向量和的夹角为，则：，
因为，所以，所以，所以，
故
当时，，又，所以，符合题意；
当时，，又，所以，符合题意，
所以或．
故选：．
根据条件得出，，并且，，然后即可验证是否等于和，从而得解．
本题考查了向量数量积的计算公式，基本不等式，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：易知面数最少的棱台是三棱台，
而三棱台有个面，
则一个棱台至少有个面．
故答案为：．
由题意，根据面数最少的棱台是三棱台，即可求解．
本题考查棱台的结构特征，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由，，，得，
则，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值；
当时，，，当且仅当时取等号，
所以时，取得最小值．
故答案为：；．
根据给定条件，利用基本不等式、二次函数分别求出最小值即得．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：连接、，设，则，，所以；
在中，由正弦定理得，，则；
在中，由正弦定理得，，则，
所以平行四边形的周长为：
，
因为，所以，所以，所以，所以，
所以，即平行四边形的周长取值范围是．
故答案为：．
连接、，设，求出和，，利用正弦定理求出和，再计算平行四边形的周长取值范围．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数求值问题，是中档题．
15.【答案】解：由题意可得，
解得；
由题意可得，
因为在复平面内对应的点位于第二象限，
所以，
解得，
故的取值范围为．
【解析】结合纯虚数的定义，即可求解；
结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．
16.【答案】解：由向量，的夹角为，且，得，
所以向量在向量上的投影向量为．
由知，，由，得，即，
整理得，解得或，
所以的值是或．
【解析】求出，再利用投影向量的意义求解即可．
利用向量数量积的运算律建立方程求解即得．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
17.【答案】解：在中，由及正弦定理，得，
整理得，由余弦定理得，
于是，而，即，又，
所以．
由知，，由余弦定理，得，
整理得，而，解得，
所以的面积．
【解析】利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得．
由的结论求出，再利用余弦定理及三角形面积公式求解即得．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：因为，所以是的中点，
则，
因为，所以，
则；
因为，所以，
因为，，三点共线，
所以，
因为，，三点共线，所以，
则解得，
故．
【解析】利用向量的线性运算求解即可；
利用，，三点共线，可得，，，三点共线，所以，进而可得，求解即可求得结论．
本题考查平面向量基本定理的应用，属中档题．
19.【答案】解：连接，
因为为锐角，且，所以，
在中，由余弦定理得，，即，
在中，由余弦定理得，，即，
所以，即，
所以，解得，
因为，所以，
故的面积为．
四边形的面积，
所以，
由知，
所以，
联立得，，
所以，
当且仅当时，四边形的面积取得最大值．
将绕点旋转，使得，分别与，重合，连接，，
则，，，，即是等边三角形，
所以，且，
所以，
在中，由余弦定理知，，
所以，
由图可知，当且仅当，，，四点共线时，等号成立，
故的最小值是．
【解析】连接，分别在和中，运用余弦定理，可得，从而求出和的值，再利用三角形的面积公式，求解即可；
结合中所得与三角形的面积公式，推出，再由余弦函数的性质，即可得解；
将绕点旋转，使得，分别与，重合，连接，，结合旋转的性质，推出是等边三角形，且，再在中，利用余弦定理求得，然后由，当且仅当，，，四点共线时，等号成立，即可得解．
本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理，三角形的面积公式，两角和的余弦公式，旋转的性质等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
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