2023-2024学年浙江省A9协作体高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省A9协作体高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数其中是虚数单位对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知平面向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是( )
A. ，，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，，
4.在中，角，，的对边分别是，，若，，，则角等于( )
A. B. C. D.
5.在平行四边形中，，，则用，表示向量和分别是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
6.已知圆台的上、下半径分别为，，若一个球与圆台上、下底面及侧面均相切，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.在锐角中，角，，的对边分别为，，若，，则边上中线的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.折扇深受各阶层人民喜爱古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”折扇平面图为如图的扇形，其中，，，动点在弧上含端点，连接交扇形的弧于点，且，则下列说法错误的是( )
A. 若，则 B.
C. D. 若，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如果，是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是( )
A. B. C. D.
10.对于，有如下判断，其中正确的是( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则为等腰或直角三角形
C. 若，则
D. 若，则
11.已知棱长为的正方体的棱切球与正方体的各条棱都相切为球，则下列说法正确的是( )
A. 球的体积为
B. 球内接圆柱的侧面积的最大值为
C. 球在正方体外部的体积小于
D. 球在正方体外部的面积大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，求复数的共轭复数 ______．
13.已知平面向量，，不共线，且两两所成角相等，若，，，则的值为______．
14.如图，年元宵节在浙江桐乡凤凰湖举行“放孔明灯”活动为了测量孔明灯的高度，在地上测量了一根长为米的基线，在点处测量这个孔明灯的仰角为，在处测量这个孔明灯的仰角为，在基线上靠近的四等分点处有一点，在处测量这个孔明灯的仰角为，则这个孔明灯的高度 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，，是虚数单位．
若复数是纯虚数，求的值；
若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围．
16.本小题分
如图，在正方体中，是的中点．
求证：平面；
求直线与直线所成角的余弦值．
17.本小题分
如图，在平行四边形中，为的中点，为上一点且满足，，．
试用向量，表示，；
若，，求向量，夹角的余弦值．
18.本小题分
在正方体中，面对角线，上各有一个动点，，使得直线平面．
当，为对角线，的中点，为的中点时，证明：平面平面；
当正方体棱长为时，求线段长度的最小值．
19.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，若，．
若为锐角三角形时，求边的取值范围；
求面积的最大值；
在的条件下，若，分别为，的中点，连接，交于点，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，其对应的点位于第一象限．
故选：．
结合复数的四则运算，复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：平面向量，，若，
则，解得．
故选：．
结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，“，”应该是“，”，错误；
对于，“”应该是“”，错误；
对于，正确；
对于，“”应该是“”，错误．
故选：．
根据题意，由空间点，线，面的位置关系的表示方法依次分析选项，综合可得答案．
本题考查空间点，线，面的位置关系的表示方法，注意符号语言的运用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，，，
由正弦定理得，，
所以，
因为，
所以，
所以．
故选：．
由已知结合正弦定理及三角形的大边对大角即可求解．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为平行四边形中，，，设与交于点，
则，
故选：．
由已知结合向量加法的三角形法则即可求解．
本题主要考查了向量加法的三角形法则的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：如图，
设圆台上、下底面圆心分别为，，则圆台内切球的球心一定在的中点处，
设球与母线切于点，所以，所以，
所以与全等，所以，同理，所以，
过作，垂足为，则，，
所以，所以，
所以，
所以该球的表面积为．
故选：．
根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解球的半径，然后代入球的表面积公式求解即可．
本题考查了圆台内切球的表面积计算，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为是边上的中线，所以，
则，
由正弦定理得，可得，，
所以，
而，
，
所以
，
因为为锐角三角形，，所以角，
可知：当时，取得最大值，的最小值大于，
所以的最大值为，最小值大于，即的取值范围为
故选：．
利用向量加法运算及数量积模的运算，推导出，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式，将表示为角的三角函数表达式，结合正弦函数的性质算出的取值范围．
本题主要考查平面向量数量积的定义与运算性质、正弦定理、三角恒等变换公式及其应用、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：对于，当为的中点时，连接，交于点，则，可得，
若，则，可得，所以，，故A项正确；
对于，，故B项正确；
对于，，故C项正确；
对于，若，则，故D项不正确．
故选：．
根据三角形中线的性质与向量的线性运算法则，判断出项的正误；根据平面向量数量积的定义与运算性质，结合扇形的形状，计算出与的范围，判断出、两项的正误；当时，利用向量的线性运算法则与数量积的运算性质，求出，从而判断出项的正误．
本题主要考查平面向量的线性运算、向量数量积的定义与运算性质等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，单位向量是模等于的向量，但不能认为，故A项错误；
对于，两个单位向量的夹角不一定是直角，故B项错误；
对于，因为、是两个单位向量，所以，故C项正确；
对于，只有单位向量、相等时，才有，即不一定成立，故D项错误．
故选：．
根据题意，利用单位向量的定义、向量垂直的条件与数量积的定义，对各项的结论逐一加以验证，可得所求答案．
本题主要考查单位向量的定义、两个向量平行与垂直的条件、平面向量的数量积等知识，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：中，因为，在中，由正弦定理可得，
所以该三角形为等腰三角形，所以A正确；
中，因为，在中，可得或，
即或，可得，
所以为等腰三角形或直角三角形，所以B正确；
中，在三角形中，，，因为在上单调递减，所以，所以C正确；
中，当为钝角，为锐角时，此时时，，所以不正确．
故选：．
中，由正弦定理可得，进而可得，即判断出该三角形的形状，进而判断出的真假；中，由三角形中的角之间的关系，判断出该三角形的形状，判断出的真假；中，由余弦函数的单调性，可得角，的关系，判断出的真假；中，当为钝角，为锐角时，判断出的真假．
本题考查三角形中角之间的关系及余弦函数的单调性的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对选项，根据题意可知：棱长为的正方体的棱切球的直径长为正方体的面对角线长，
即球的半径为，球的体积为，选项错误；
对选项，设球内接圆柱的底面圆的半径为，高为，
则，，
球内接圆柱的侧面积为，
当且仅当时，等号成立，球内接圆柱的侧面积的最大值为，选项正确；
对选项，球在正方体外部的体积小于球体积与正方体内切球体积之差，选项正确；
对选项，球在正方体外部的面积等于正方体外个球冠的表面积，
且每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积，
个球冠的表面积大于，选项正确．
故选：．
根据题意可知：棱长为的正方体的棱切球的直径长为正方体的面对角线长，再针对各个选项分别求解即可．
本题考查正方体的棱切球问题，化归转化思想，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
复数的共轭复数，
故答案为：
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为平面向量，，不共线，且两两所成角相等，所以向量，，两两成角，
由，，设，，，
则，，可得．
故答案为：．
根据题意，向量、、两两成角，结合，，设，，，利用平面向量数量积及其坐标运算法则算出的值．
本题主要考查平面向量数量积及其坐标运算法则等知识，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为底面，
，，平面，
所以，，，
在中，，可得，
在中，，
所以，
在中，，所以，
因为，由题意可得，，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
因为，
可得：，
整理可得：，
解得
故答案为：
由底面及题意可得，，用表示的代数式，分别在和中，由余弦定理可得，的余弦的表达式，再由，可得关于的方程，进而求出的大小．
本题考查余弦定理的应用，互为补角的性质的应用，属于中档题．
15.【答案】解：复数，复数是纯虚数，
则，解得，
故．
复数在复平面内对应的点在第三象限，
则，所以，解得，
故的取值范围为．
【解析】结合纯虚数的定义，即可求解；
结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的概念，以及复数的几何意义，属于基础题．
16.【答案】证明：连接，交于点，由题意可得为的中点，连接，
因为是的中点，
因为，平面，平面，
所以平面；
解：因为，所以等于为直线与直线所成角，
设正方体棱长为，在中，，
，
，
因为，
所以．
所以直线与直线所成角的余弦值为．
【解析】连接，交于点，由题意可得，进而可证得结论；
由可得等于为直线与直线所成角，求出，的值，进而求出的余弦值．
本题考查直线与平面平行的性质定理的应用及异面直线所成的角的求法，属于中档题．
17.【答案】解：根据题意，在平行四边形中，
，
；
根据题意，，
，
，
，
所以．
【解析】根据题意，由平面向量基本定理分析可得答案；
根据题意，由向量数量积的计算公式计算可得答案．
本题考查向量数量积的性质和应用，涉及平面向量基本定理，属于基础题．
18.【答案】证明：因为，分别是线段，的中点，所以，
又，从而，
因为，平面，平面，
所以平面
又平面，，
所以平面平面；
解：过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，连接，
因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，，，平面，
所以平面平面；
因为平面平面，平面平面，
所以，
设，，则，，又棱长为，
则，在梯形中，，
，，
开口向上，对称轴，
所以时，的最小值为，
即线段的最小值为．
【解析】由，分别是线段，的中点，可证得，进而可证得平面，由题意及，可证得结论；
由题意可证得平面平面，在梯形中，可得的表达式，由二次函数的性质，求出它的最小值．
本题考查平面与平面平行的证法及空间中线段的长度的求法，属于中档题．
19.【答案】解：因为，，
由正弦定理可得，
因为为锐角三角形，且，
所以，
从而，
即；
由余弦定理，
又，，
所以，
所以，
，
当，即时，；
因为，为中线，
所以，，
所以
，
又因为，，
所以，
令，则，
所以，
所以令，
所以，，
开口向上，对称轴，函数在单调递增，
所以，
所以，
所以，
即的取值范围为
【解析】由正弦定理可得，由锐角三角形的性质可得的范围；
由余弦定理可得的表达式，进而求出的表达式，代入三角形的面积公式，由二次函数的性质可得该三角形的面积的最大值；
由中线的向量表示，可得，的夹角的余弦值的表达式，进而求出的取值范围．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用及中线的向量表示，二次函数的性质的应用，属于中档题．
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