2023-2024学年湖南省长沙市浏阳市重点校联考高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市浏阳市重点校联考高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.已知角的终边上有一点，则的值为( )
A. B. C. D.
4.设，是两条直线，，是两个平面，则的一个充分条件是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
5.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆柱的轴截面为正方形，为上底面圆弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知，，均为单位向量，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图为函数的图象，，，为图象与轴的三个交点，为函数图象在轴右侧部分上的第一个最大值点，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下结论正确的有( )
A. 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
B. 等底面积、等高的两个柱体，体积相等
C. 经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大
D. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台
10.以下命题正确的是( )
A.
B.
C. 若复数满足，则对应的点在第四象限
D. 是复数为纯虚数的必要不充分条件
11.的内角，，的对边分别为，，，则下列命题正确的有( )
A. 若，则
B. 若，，，则有一解
C. 已知的外接圆的圆心为，，，为上一点，且有，
D. 若为斜三角形，则
12.如图，在正方体中，点是的中点，点是直线上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 是直角三角形
B. 异面直线与所成的角为
C. 当的长度为定值时，三棱锥的体积为定值
D. 平面平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量与的夹角为，，，则______．
14.已知向量，则向量在向量的方向上的投影向量为______结果用坐标表示
15.已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是______．
16.如图，有一圆柱形的开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形，是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，的面积为，求．
18.本小题分
已知向量，．
若向量，且，求的坐标；
若向量与互相垂直，求实数的值．
19.本小题分
已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为．
求圆锥的底面积；
在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积．
20.本小题分
如图，有一直径为米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是，点，的直径上，且．
若，求的长；
设，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
21.本小题分
已知函数是定义域为的奇函数．
求的值；
若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
如图，在三棱台中，，，，．
求证：平面平面；
若直线与平面所成角为，求平面和平面所成角的正切值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
求出集合，利用交集定义能求出结果．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
则的虚部是．
故选：．
结合复数的四则运算进行化简，然后结合复数的基本概念即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算及基本概念，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：依题意得，
则．
故选：．
首先求出的值，然后将所求的式子利用诱导公式进行化简，然后可得答案．
本题主要考查了三角函数定义及诱导公式的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间中线线、线面与面面的位置关系，属于基础题．
根据线线、线面与面面的位置关系的性质定理与判定定理一一判断即可．
【解答】
解：对于，，，，则与可能平行或异面，故A不符合题意；
对于，，，，可得，故B不符合题意；
对于，，，，则与可能平行，相交或异面，故C不符合题意；
对于，，，，则，故D符合题意．
故选D．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量的基本运算，属于基础题．
根据题意得：，结合向量加法的平行四边形法则及平面向量的基本运算可求．
【解答】
解：根据题意得：，
又，，
所以．
故选D．
6.【答案】
【解析】解：设上下底面圆的圆心分别为和，连接，，，则，
设轴截面正方形边长为，则，，
在中，，所以，
因为，所以或其补角即为异面直线与所成的角，
在中，，，，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
设上下底面圆的圆心分别为和，连接，，，由，知或其补角即为所求，再由平面几何知识，推出即可．
本题考查异面直线夹角的求法，利用平移思想，找出异面直线所成角是解题的关键，考查空间立体感和运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由于、、均为单位向量，则，
由可得，所以，
即，所以，
由，可得，所以，
即，所以，
由，可得，所以，
即，所以，
则
．
故选：．
由得出，可得出，可计算出的值，同理求得，再根据结合数量积的运算律即可得解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设的中点为，的中点为，
中，令，解得，所以；
令，解得，所以；
同理，；
所以，，；
所以
．
故选：．
设的中点为，的中点为，求出点、、的坐标，
用坐标表示向量，再计算的值．
本题考查了平面向量的数量积与三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：对选项，侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，选项正确；
对选项，根据柱体的体积公式可得：等底面积、等高的两个柱体，体积相等，选项正确；
对选项，当圆锥的轴截面面积是顶角为钝角的等腰三角形时，轴截面面积不是最大，
此时当经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面为等腰直角三角形时，截面面积最大，选项错误；
对选项，当其余四个面的等腰梯形的所有腰的延长线不交于同一点时，不是棱台，选项错误．
故选：．
根据棱柱的概念，柱体的体积公式，圆锥的截面问题，棱台的概念，即可分别判断．
本题考查棱柱的概念，柱体的体积公式，圆锥的截面问题，棱台的概念，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：虚数不能比较大小，故A错误；
，故B正确；
复数满足，对应的点在第二象限，故C错误；
当，时，为纯虚数，
故是复数为纯虚数的必要不充分条件，故D正确．
故选：．
对于，虚数不能比较大小；对于，结合复数的运算法则，即可判断；对于，结合复数的几何意义，即可判断；对于，结合纯虚数的定义，即可判断．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：在三角形中，当，由三角形的性质可知，，
由正弦定理可知，，整理可得，故A正确；
，又因为，所以有两解，B错误；
因为的外接圆的圆心为，所以，
同理可得，
又因为，
所以，故C错误；
因为，得，且为斜三角形，
则，
所以，故D正确．
故选：．
根据正弦定理即可判断、选项；根据三角形外接圆性质，结合向量基本定理将项中数量积展开计算即可判断；根据三角形内角和代入项中计算即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：连接，，可得为的中点，且为等边三角形，可得，即为直角三角形，故A正确；
由，且，可得四边形为平行四边形，即有，则异面直线与所成的角为，故B正确；
当的长度为定值时，的面积为定值，由，平面，平面，则平面，可得到平面的距离，
即到平面的距离为定值，则三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，故C正确；
若平面平面，设与交于点，连接，可得为平面和平面的交线，过作，垂足为，
由面面垂直的性质定理可得平面，而三棱锥为正三棱锥，在底面上的射影为等边三角形的中心，显然矛盾，故D错误．
故选：．
由等边三角形的性质可判断；由异面直线所成角的定义可判断；由等积法和棱锥的体积公式可判断；由面面垂直的性质定理和正棱锥的性质可判断．
本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，以及异面直线所成角和棱锥的体积，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为向量与的夹角为，，，
所以，所以，，即，
解得．
故答案为：．
由数量积的运算及性质即可求解．
本题主要考查向量数量积的性质及其运算，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
，，
则向量在向量的方向上的投影向量．
故答案为：．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，，，，
在上递减，，
．
故答案为：．
由，，分离参数可得，再由函数单调性可求的取值范围．
本题考查函数单调性相关知识，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：侧面展开后得矩形，其中，问题转化为在上找一点，
使最短作关于的对称点，连接，
令与交于点，则得的最小值就是为．
故答案为：．
画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出的最小值就是的长，求解即可．
本题考查求曲面上最短路程问题，通常考虑侧面展开，考查转化思想，计算能力，是基础题．
17.【答案】解：由题干条件可知，，
由正弦定理得，
因为，，
所以．
因为，
所以或；
由可得，
所以，
解得，而，
所以；
当时，
由余弦定理得，
可得．
可得，
所以，则，与题干矛盾，舍去，
当时，由余弦定理得，
可得．
综上．
【解析】根据正弦定理即可求出结果；
利用面积公式和余弦定理即可求出结果．
本题考查余弦定理及正弦定理的应用，分类讨论的思想，属于中档题．
18.【答案】解：向量，，向量，且，
可设，，求得，
或．
向量与互相垂直，，
实数．
【解析】本题主要考查两个向量平行的性质，两个向量垂直的性质，属于基础题．
由题意利用两个向量平行的性质，用待定系数法求出向量的坐标．
由题意利用两个向量垂直的性质，用待定系数法求出的值．
19.【答案】解：如图，设，在半圆中，，
弧长，则，
所以，
故圆锥的底面积为．
设圆柱的高，，
在中，，
≌，
所以 ，即 ，，
，
所以，当，时，圆柱的侧面积最大，
此时．
【解析】设，利用展开图是半圆，求解，然后求解底面积．
设圆柱的高，，通过≌，推出 ，求解与，然后求解圆柱的体积的最大值即可．
本题考查结合体问题，结合体的体积的最值，圆锥的展开与圆锥的底面半径的关系，是中档题．
20.【答案】解：由题意，中，，，，
，
或；
由题意，，．
在中，由正弦定理得，；
在中，由正弦定理得，，
该空地产生最大经济价值时，的面积最大，
，
，，
时，取最大值为，该空地产生最大经济价值．
【解析】本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
利用余弦定理，即可求的长；
设，求出，，利用，计算面积，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
21.【答案】解：由函数为奇函数且定义为，，
当时，可得，故，
则，得，
经检验，符合题意，
故；
由可知，函数在上为减函数，
由，
得，
所以，
设，，则，
又函数图象是一条抛物线，开口向下，对称轴为，
所以在上，，
所以，得，
故实数的取值范围．
【解析】根据奇函数的性质可得，计算即可求出；
利用函数的奇偶性和单调性解原不等式可得，设，，根据换元法和二次函数的性质即可求解．
本题考查函数的奇偶性和函数恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
22.【答案】证明：，，如图：
作，，则，，，
则，则，
由勾股定理，可得，又，
平面，，又，即，
平面，平面平面；
由知直线与平面所成角为，，，
设平面和平面的交线为，易知，
过点作于，平面，，
再过点作于，连结，即为所求角，
，
．

【解析】证明平面，平面即可；平面，即为所求角，再求边的长度即可．
本题考查线面垂直，面面垂直，考查二面角，属于中档题．
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