2024 年宝鸡市高考模拟检测（三）
数学（理科）参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A D B C B C D A A C B D
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．
6 5
2
13. 25 14. 2 15. 2 2 16. e
，
4
三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17-21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
1
17. 【详解】（1）由题意知 x (1 2 3 4 5) 3 ， …………………1 分
5
1
y (0.8 1 1.3 1.7 2.2) 1.4 ， …………………3 分
5
5
x y 5xyi i
24.5 5 3 1.4 3.5 3.5
所以 r i 1 0.986 …5
5 5
2 2 10 1.26 12.6 3.55
x x y yi i
i 1 i 1
分，
因为 r 与 1 非常接近，故可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系．…………………6 分
5
x y 5xyi i
3.5（2）b i 1 0.35 ， …………………8 分
5
2 10
x xi
i 1
a y b x 1.4 0.35 3 0.35， …………………10 分
{#{QQABAYCEggAAAJJAARgCAQ3gCgMQkAEACAoGxAAMoAAACBNABCA=}#}
所以 y 关于 x 的回归直线方程为 y 0.35x 0.35． …………………11 分
当 x 7 时， y 0.35 7 0.35 2.8 ，
由此预测当年份序号为 7 时该校的招生人数为 2.8 千人． …………12 分
18.【详解】（1）设等差数列 a 的公差为d d 0n ，由题意可知，
a1 3d 5
, 2 ……………2 分
a a a3 1 7
a 2
解得 1 ， ……………4 分
d 1
所以a n 1n ； ……………6 分
a π n 1 π
（2）由（1）可知，b a cos n n 1 cos ， n n ……………8 分
2 2
对于任意 k N*，有b 4k 2,b 0,b 4k ,b 04k 3 4k 2 4k 1 4k ， ……………9 分
所以b b b b 24k 3 4k 2 4k 1 4k ， ……………10 分
故数列 bn 的前 2024 项和为
.
（b1 b2 b3 b4 ) (b5 b6 b7 b8 ) (b2021 b2022 b2023 b2024) 1012
……………12 分
19.【详解】(1)
（1）取棱 A A1 中点 D，连接BD，因为 AB A B ，所以BD AA1 1
因为三棱柱 ABC A B C1 1 1 ，所以 AA / /BB1 1， …………1 分
所以BD BB1 ，所以BD 3
{#{QQABAYCEggAAAJJAARgCAQ3gCgMQkAEACAoGxAAMoAAACBNABCA=}#}
因为 AB 2 ，所以 AD 1， AA 21 ；
2 2 2
因为 AC 2， AC 2 2 ，所以 AC AA A C1 1 ，所以 AC AA1 ， 1 ………2 分
同理 AC AB ，
因为 AA AB A1 ，且 AA1 ， AB 平面 A ABB1 1 ，所以 AC 平面 A ABB1 1 ，
因为 AC 平面 ABC ，
所以平面 A ABB 1 1 平面 ABC ； …………4 分
(2)
取 AB 中点 O，连接 A O1 ，取 BC 中点 P，连接OP ，则OP / / AC ，
由（1）知 AC 平面 A ABB1 1 ，所以OP 平面 A ABB1 1 因为 A O 平面 A ABB1 1 1 ， AB
平面 A ABB ，所以OP A O1 1 1 ，OP AB ，
因为 AB A A A B ，则 A O AB1 1 1 …………6 分
以 O为坐标原点，OP ，OB ，OA1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空
间直角坐标系O xyz，
则 A(0, 1, 0) ， A (0,0, 3) ，
1 B (0, 2, 3)，C(2, 1,0) ， 1 …………7 分
可设点 N a, 0, 3 ， 0 a 2 ，
A B 0, 2,0 ， A C 2, 1, 31 1 1 ， AN (a,1, 3) ，
{#{QQABAYCEggAAAJJAARgCAQ3gCgMQkAEACAoGxAAMoAAACBNABCA=}#}
n A B 0 2y1 1
设面 A B C 的法向量为n (x, y, z)，得 ， 1 1
n A C 0 2x y 3z1
取 x 3 ，则 y 0 ， z 2 ，所以 n ( 3, 0, 2) …………9 分
设直线 AN 与平面 A B C1 1 所成角为 ，
n AN 3 a 2
则 sin cos n, AN
n AN 7 2a 4
2
a 2 23 3 a 4a 4
…………10 分
2 2
7 a 4 7 a 4
21
若 a 0 ，则 sin ，
7
3 4 3 4 42
sin 1 1
若 a 0 ，则 7 4 4 7 ， …………11 分 a 7
a
4
当且仅当 a ，即a 2时，等号成立，所以直线 AN 与平面 A B C1 1 所成角的正弦值
a
42
的最大值 . …………12 分
7
20. 【详解】（1）设椭圆焦距为2c，
由题意可得 c=1，有 2 2a b 1① …………1 分
x y
又因为直线 AB 方程为 1
a b
ab 2 21
所以 d ② …………2 分
2 2
a b 7
联立①②解得： 2 2a 4,b 3
{#{QQABAYCEggAAAJJAARgCAQ3gCgMQkAEACAoGxAAMoAAACBNABCA=}#}
2 2
x y
故椭圆方程为 1 …………4 分
4 3
S AF a c 1
（2）①当 l 斜率不存在时，易知 AMF ； …………6 分
S DNF DF a c 3
②当 l 斜率存在时，设 l : x ty 1(t 0)，M (x , y )(y 0), N (x , y )(y 0) 1 1 1 2 2 2
x ty 1
由 2 2 2 2 2 2x y ，得 (3t 4) y 6ty 9 0 ，显然 36t 36(3t 4) 0 ，
1
4 3
6t 9
所以 y1 y2 ， y y 2 1 2 ， 2 …………8 分 3t 4 3t 4
1 3 1 1
因为 S DF y ( y ), S AF y y , DNF 2 2 AMF 1 1
2 2 2 2
所以 …………9 分
2
36t
2 2 2 2 2 2 2
因为 ( y y )1 2 (3t 4) 4t 4 4
( y y ) y 2 y y y y y
1 2 1 1 2 2 1 2
，又 2，
2
y y 9 3t 4 4 3 y y y y y y
1 2 3 1 2 1 2 2 1
2 2
3t 4 t
y
1 4 1 1设 k ，则 k 0 ， k 2 0 ，解得 3 k 且 k 1，
y
2 3 k 3
所以 …………11 分
1
综上可得 的取值范围为 ( ,1) ． …………12 分
9
2 2
21.【详解】:（1）由a 得 f (x) cos x …………1 分
2 2
当 ( 2k , 2k ), k Z ，时， f x 0， …………3 分
4 4
所以， f x 的单调递增区间是 ( 2k , 2k ), k Z …………4 分
4 4
{#{QQABAYCEggAAAJJAARgCAQ3gCgMQkAEACAoGxAAMoAAACBNABCA=}#}
（2）不等式恒成立等价于 ax cos x sin x 1 0 在 x 0,π 上恒成立，
h 0 0
2
令 h x ax cos x sin x 1，则由 h π 0 可得，a …………5 分
π
π
h 0
2
∵ y ax cos x sin x 1可以看作是关于 a 的一次函数，单调递增，
2 2
∴令 x x cos x sin x 1，对于 a ， x 0,π ，h x x 恒成立.
π π
2 2 2 π
只需证明 x x cos x sin x 1 0 即可. x sin x cos x 2 sin x
π π π 4
π π
①当 x 0, ， sin x cos x 2 sin x 1, 2 ，
2 4
2 2 π
则 x sin x cos x 1 0 ， x 在 0, 上单调递减，又 0 0，
π π 2
所以此时 x 0恒成立. …………6 分
3π 2 2 π
②当 x , π 时， x sin x cos x 2 sin x 0 恒成立，所以 x 在
4 π π 4
3π
, π 上单调递增，又 0，所以此时 x 0 恒成立. …………7 分
4
π 3π 2 2 π
③当 x , 时， x sin x cos x 2 sin x 单调递增，
2 4 π π 4
π 3π π 3π
0， 0 ，所以在 , 上存在唯一的 x0 ，使得 x0 0 ，
2 4 2 4
当 x 0, x 时， x 0，当 x x ,π 时， x 00 0 ，
所以 x 在 x 0, x0 时单调递减，在 x x ,π0 时单调递增.
∴ 0 0， π 0， x 00
∴ x 0恒成立，故h x x 0恒成立， …………8 分
{#{QQABAYCEggAAAJJAARgCAQ3gCgMQkAEACAoGxAAMoAAACBNABCA=}#}
2
∴ a . …………9 分
π
2 π 2
（3）由（2）可知sin x cos x x 1 2 sin x x 1
π 4 π
π 2 2
sin x x …………10 分
4 π 2
π kπ 4k 15
令 g x sin x， x ， x π， k 1，2，…，8，
4 15 60
kπ 2 4k 15可得到
π 2 2
sin 4k 15 ， …………11 分
15 π 60 2 60
8 kπ 2 8 2 8 1 8 2 2
从而 sin 4k 15 0 4 15 8 ，
k 1 15 60 k 1 60 2 5
即
π 2π 3π 8π 2 2
g g g g 得证. …………12 分
15 15 15 15 5
22．【详解】（1）曲线C1 的普通方程为
2 2
x (y a) 4 ，表示一个以 0, a 为圆心，
2 为半径的圆： …………2 分
曲线C 的极坐标方程可化为 2 2 ，故对应的直角坐标方程为 22 cos sin y x .
…………4 分
2 2 x ( y a) 4
（2）将两方程联立得 得
2 2
y 1 2a y a 4 0， ………6 分
2 y x
由于两方程表示的曲线均关于 y 轴对称，所以只要关于 y 的方程有两个大于 0 的不等
实根，
2a 4 0
即代表两个曲线有 4 个不同交点，因此有 1 2a 0 …………9 分
2 2
(1 2a) 4 a 4 0
17
解得 2 a . …………10 分
4
{#{QQABAYCEggAAAJJAARgCAQ3gCgMQkAEACAoGxAAMoAAACBNABCA=}#}
2
5x 6, x 3
2
23.【详解】（1）因为m 3，所以 f x 2x 4 3x 2 x 2, x 2 …2 分
3
5x 6, x 2
2 2
当 x 时， f x 8可化为 5x 6 8，解得 x ，
3 5
2
当 x 2 时， f x 8可化为 x 2 8 ，无解，
3
14
当 x 2 时， f x 8可化为5x 6 8，解得 x ， …………4 分
5
2 14
综上：不等式解集为 , , ； …………5 分
5 5
（2）因为 f x 3 x 2 在 1, 2 上恒成立，即 2x 4 mx 2 3 x 2 任 1, 2 上恒
成立，因为 x 1,2 ，所以2 x 0 ，
故原不等式可化为 mx 2 2 x ， …………7 分
4 4
即mx 2 2 x 或mx 2 x 2，即m 1或m 1，所以只需m 1 或
x x max
m 1，
4
因为 x 1,2 ，所 1 3， ………9 分
x max
所以 m ,1 3, …………10 分
{#{QQABAYCEggAAAJJAARgCAQ3gCgMQkAEACAoGxAAMoAAACBNABCA=}#}第Ⅱ卷（非选择题共90分)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分
13,围棋起源于中国，据先漆典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千
多年历史，蕴含者中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的
5位棋手参加比赛，他们分成三个小组，则甲和乙在同一个小组的概率为★
14.抛物线y2=2x(p>0)过点A(2,2),则点A到抛物线准线的距离为★一
15.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中c=4,∠C为为锐角，△ABC
的外接圆半径为2√2，且满足2sim(B+=c-2V3cosA,则边a等于★一，
16.己知函数f(x)=x·e+k·x3在(0，+∞)上只有两个零点，则实数k的取值范围为女
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答、第22、23题为选考题，考生根据要求作答
(一)必考题：共60分，每题满分12分.
17.某学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人
数的数据如下表：
年份序号x
3.
5
招生人数/千人
0.8
1.3
1.7
2.2
（(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以证明：
(2)求y关于x的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数.。
参考数据：
立y=24.5,2y-列}=1.26,2.6≈3.55
2(x-(-列
参考公式：相关系数r=
回归方程)=bx+a中斜率和截距的
2(-(%-列
2(x-0,-刀2片-两
最小二乘估计公式分别为多=
，a=-b航.
年列
数学（理科）第3页（共4项）
18.已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a4=5，且a,a3,a,成等比数列.
()求数列{口}的通项公式：
(2)设b.=a,cos,求数列{b,}的前2024项和，
19.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，A4与BB,的距离为√5，AB=AC=A,B=2,
AC=BC=22.
(1)证明：平面AABB⊥平面ABC:
(2)若点N在棱AC上，求直线AN与平面A,B,C所成角
的正弦值的最大值，
20、已知椭圆E:,+=1(a>b>0)和圆C:x2+y2=1，C经过E的右焦点F,点，
B为E的右顶点和上顶点，原点0到直线AB的距离为22工
7
(1)求椭圆E的方程：
(②)设D,A是椭圆E的左、右顶点，过F的直线l交E于M,N两点（其中M点在x轴
上方)，求△MAF与△DNF的面积之比的取值范围.
21.已知函数f(x)=sinx-ax+1,
(1)当a-号时，求了闭的单调递增区间：
(2)若f(x)之cosx在xe[0,π]上恒成立，求实数a的取值范围：
g8r22
6)令函数s()-f+m-小，求证：(}}+}+餐)2号
(二)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.若多做，则按所做的第
一题计分，作答时请先涂题号。
x=2cost,
22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
(t为参数).以坐标原点为极
y=2sint+a
点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为pcos20=sin0.
(1)求曲线C的普通方程，和曲线C2的直角坐标方程；
(2)若曲线C和C2共有四个不同交点，求a的取值范围.
23.已知函数f(x)=2x-4+mx-2.
(1)若m=3,求不等式∫(x)>8的解集；
(2)若关于x的不等式在f(x)≥23引x-2在[1,2]上恒成立，求实数m的取值范围.
数学（理科）第4页（共4页)
