人教版八年级下册18.2.3 正方形 课件（23张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下册18.2.3 正方形 课件（23张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-22 14:14:59 | ||
图片预览
文档简介
(共23张PPT)
18.2.3 正方形
年 级：八年级
学 科：初中数学（人教版）
平行四边形
菱形
一组邻边相等
一个角是直角
矩形
？
？
（ ？ ）
（ ？）
我们已经学过哪些特殊的平行四边形？请同学们回顾一下什么是矩形？
什么是菱形？矩形还能够特殊吗？是什么图形？有特殊的菱形吗？
是什么图形？
问题驱动
特殊的矩形
数学小实验
矩形
一组邻边相等
正方形
正方形判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形。
在矩形ABCD中，
∵AB=AD,
∴矩形ABCD是正方形.
几何语言：
A
B
C
D
新知探究 形成概念
特殊的菱形
数学小实验
一个角是直角
正方形
菱形
正方形判定2：有一个角是直角的菱形是正方形。
在菱形ABCD中，
∵∠A=90°
∴菱形ABCD是正方形.
几何语言：
A
B
C
D
探究新知 形成概念
特殊的平行四边形
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形的定义：
数学小实验
平行四边形
菱形
一组邻边相等
一个角是直角
矩形
一组邻边相等
有一个直角
正方形
一组邻边相等，并且有一个角是直角
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间转化图
新知探究 形成概念
（1）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。（ ）
（2）如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形。（ ）
（3）如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形。（ ）
（4）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形。（ ）
×
下列说法对吗？为什么？
√
√
√
平行四边形+对角线相等→矩形，既是菱形又是矩形→正方形
平行四边形+对角线垂直→菱形，既是矩形又是菱形→正方形
四条边相等→菱形，菱形+一个直角→正方形
请你来判断
例1 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，
DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E，F .
求证：四边形CFDE是正方形.
思路分析：矩形+一组邻边相等→正方形
新知应用 深入理解
例1 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，
DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E，F .
求证：四边形CFDE是正方形.
证明：∵DE⊥BE，DF⊥AC，
∴∠DEC=∠DFC=90°.
又∵∠ACB=90°，
∴四边形CFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）
又∵CD是∠ACB的平分线，
∴DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等）
∴四边形CFDE是正方形.
新知应用 深入理解
正方形有哪些性质呢？请你把它们写下出来，并和同学们做一下交流，然后证明其中的一些结论。
新知探究 形成概念
边
四条边都相等，对边平行。
角
四个角都是直角。
对角线
对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
对称性
既是中心对称图形，也是轴对称图形。
菱形的性质
菱形的性质
矩形的性质
矩形的性质
菱形、矩形
的性质
正方形性质
新知探究 形成概念
正方形的面积
正方形ABCD的面积= ×AC×BD
正方形的面积等于对角线乘积的一半.
新知探究 形成概念
例2 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC,BD相交于点O。
求证：△ABO,△BCO，△COD，△DOA是全等的等腰直角三角形。
思路分析：直角可以由正方形的对角线互相垂直得到。 证三角形全等用到的对应边相等
以及证明等腰都可以由正方形对角线相等且互相平分得到。
新知应用 深入理解
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD,AC=BD,AO=OC，BO=OD.（正方形的对角线相等，且互相垂直平分）
∴AO=OC=BO=OD,
∴ △ABO≌△BCO ≌ △COD ≌ △DOA（SAS）,并且它们都是等腰直角三角形。
新知应用 深入理解
思考：图中共有多少个等腰直角三角形呢？
答：8个,分别是△ABO,△BCO,△COD,△DOA,
△ADC,△DCB,
△CBA,△BAD.
新知应用 深入理解
思考：正方形、菱形、矩形、平行四边形之间
有什么包含关系？
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
新知探究 深入理解
1. 如图，ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知，EC=30m，EB=10m,这块场地的面积和对角线长分别是多少？
解：∵∠B=Rt∠，
∴BC2+BE2=EC2，
∴BC2=EC2-BE2=302-102=800
∴正方形ABCD的面积为800平方米。
∵AC2=BC2+AB2=800+800=1600, ∴对角线AC=40m。
评析：此题计算正方形面积直接用边长的平方，利用勾股定理求对角线的长。
新知应用 深入理解
2.已知，如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点，GE⊥CD，GF⊥BC，E、F分别为垂足，连结AG，EF. 求证：AG=EF
新知应用 深入理解
证明：连结CG.
在△AGD和△CGD中，
∠ADG=∠CDG（正方形的对角线平分一组对角）
DG=DG, AD=CD（正方形的四条边相等）
∴△AGD≌△CGD（SAS）
∴ AG=CG,
∵ GE⊥CD, GF⊥BC,
∴ ∠GFC= ∠GEC =90°
又∵ ∠BCD =90°
∴ 四边形FCEG是矩形∴ EF=CG(矩形的两条对角线相等）
∴ AG=EF
评析：此题巧妙利用矩形的对角线相等，把EF转化成GC，再利用正方
形的性质，证全等得GC=AG，从而AG=EF。
新知应用 深入理解
正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形判定2：有一个角是直角的菱形是正方形。
正方形判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形。
正方形
四个角都是直角，四条边相等。
对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
性质
中心对称图形，轴对称图形
知识梳理 提高升华
同学们 再见
18.2.3 正方形
年 级：八年级
学 科：初中数学（人教版）
平行四边形
菱形
一组邻边相等
一个角是直角
矩形
？
？
（ ？ ）
（ ？）
我们已经学过哪些特殊的平行四边形？请同学们回顾一下什么是矩形？
什么是菱形？矩形还能够特殊吗？是什么图形？有特殊的菱形吗？
是什么图形？
问题驱动
特殊的矩形
数学小实验
矩形
一组邻边相等
正方形
正方形判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形。
在矩形ABCD中，
∵AB=AD,
∴矩形ABCD是正方形.
几何语言：
A
B
C
D
新知探究 形成概念
特殊的菱形
数学小实验
一个角是直角
正方形
菱形
正方形判定2：有一个角是直角的菱形是正方形。
在菱形ABCD中，
∵∠A=90°
∴菱形ABCD是正方形.
几何语言：
A
B
C
D
探究新知 形成概念
特殊的平行四边形
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形的定义：
数学小实验
平行四边形
菱形
一组邻边相等
一个角是直角
矩形
一组邻边相等
有一个直角
正方形
一组邻边相等，并且有一个角是直角
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间转化图
新知探究 形成概念
（1）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。（ ）
（2）如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形。（ ）
（3）如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形。（ ）
（4）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形。（ ）
×
下列说法对吗？为什么？
√
√
√
平行四边形+对角线相等→矩形，既是菱形又是矩形→正方形
平行四边形+对角线垂直→菱形，既是矩形又是菱形→正方形
四条边相等→菱形，菱形+一个直角→正方形
请你来判断
例1 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，
DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E，F .
求证：四边形CFDE是正方形.
思路分析：矩形+一组邻边相等→正方形
新知应用 深入理解
例1 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，
DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E，F .
求证：四边形CFDE是正方形.
证明：∵DE⊥BE，DF⊥AC，
∴∠DEC=∠DFC=90°.
又∵∠ACB=90°，
∴四边形CFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）
又∵CD是∠ACB的平分线，
∴DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等）
∴四边形CFDE是正方形.
新知应用 深入理解
正方形有哪些性质呢？请你把它们写下出来，并和同学们做一下交流，然后证明其中的一些结论。
新知探究 形成概念
边
四条边都相等，对边平行。
角
四个角都是直角。
对角线
对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
对称性
既是中心对称图形，也是轴对称图形。
菱形的性质
菱形的性质
矩形的性质
矩形的性质
菱形、矩形
的性质
正方形性质
新知探究 形成概念
正方形的面积
正方形ABCD的面积= ×AC×BD
正方形的面积等于对角线乘积的一半.
新知探究 形成概念
例2 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC,BD相交于点O。
求证：△ABO,△BCO，△COD，△DOA是全等的等腰直角三角形。
思路分析：直角可以由正方形的对角线互相垂直得到。 证三角形全等用到的对应边相等
以及证明等腰都可以由正方形对角线相等且互相平分得到。
新知应用 深入理解
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD,AC=BD,AO=OC，BO=OD.（正方形的对角线相等，且互相垂直平分）
∴AO=OC=BO=OD,
∴ △ABO≌△BCO ≌ △COD ≌ △DOA（SAS）,并且它们都是等腰直角三角形。
新知应用 深入理解
思考：图中共有多少个等腰直角三角形呢？
答：8个,分别是△ABO,△BCO,△COD,△DOA,
△ADC,△DCB,
△CBA,△BAD.
新知应用 深入理解
思考：正方形、菱形、矩形、平行四边形之间
有什么包含关系？
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
新知探究 深入理解
1. 如图，ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知，EC=30m，EB=10m,这块场地的面积和对角线长分别是多少？
解：∵∠B=Rt∠，
∴BC2+BE2=EC2，
∴BC2=EC2-BE2=302-102=800
∴正方形ABCD的面积为800平方米。
∵AC2=BC2+AB2=800+800=1600, ∴对角线AC=40m。
评析：此题计算正方形面积直接用边长的平方，利用勾股定理求对角线的长。
新知应用 深入理解
2.已知，如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点，GE⊥CD，GF⊥BC，E、F分别为垂足，连结AG，EF. 求证：AG=EF
新知应用 深入理解
证明：连结CG.
在△AGD和△CGD中，
∠ADG=∠CDG（正方形的对角线平分一组对角）
DG=DG, AD=CD（正方形的四条边相等）
∴△AGD≌△CGD（SAS）
∴ AG=CG,
∵ GE⊥CD, GF⊥BC,
∴ ∠GFC= ∠GEC =90°
又∵ ∠BCD =90°
∴ 四边形FCEG是矩形∴ EF=CG(矩形的两条对角线相等）
∴ AG=EF
评析：此题巧妙利用矩形的对角线相等，把EF转化成GC，再利用正方
形的性质，证全等得GC=AG，从而AG=EF。
新知应用 深入理解
正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形判定2：有一个角是直角的菱形是正方形。
正方形判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形。
正方形
四个角都是直角，四条边相等。
对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
性质
中心对称图形，轴对称图形
知识梳理 提高升华
同学们 再见