2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之圆(一)
一、选择题
1．（2023·河北模拟）如图，是半圆O的直径，C、D、E三点依次在半圆O上，若，，则与之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接、、，
四边形为圆内接四边形，
，
，
，
，
，
为直径，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】连接、、，由圆内接四边形的性质及，可得，即得，由AB为直径可得∠ACB=90°，根据即可求解.
2．（2023·苏州）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
∵弧CD=弧BD，
∴∠A=∠COD=∠BOD，
∵S1∶S2=2∶3，
∴（AO·CH）∶（OB·BE）=2∶3，
∴CH∶BE=2∶3，
∵∠A=∠BOE，∠AHC=∠B=90°，
∴△ACH∽△OEB，
∴AH∶OB=CH∶BE=2∶3，
设AH=2m，则OB=OA=OC=3m，
∴OH=OA-AH=m，
Rt△COH中，由勾股定理得，CH=，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
∴tan∠ACO=tan∠A=CH∶AH=.
故答案为：A.
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，由圆周角定理得∠A=∠COD=∠BOD，根据等底三角形的面积之比等于高之比得CH∶BE=2∶3，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ACH∽△OEB，由相似三角形对应边成比例可得AH∶OB=CH∶BE=2∶3，设AH=2m，则OB=OA=OC=3m，OH=OA-AH=m，Rt△COH中，由勾股定理表示出CH，由等边对等角及等角的同名三角函数值相等可求出答案.
3．（2023·广西） 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：设弧AB的圆心为O，连接OA，OC，
∵点C，D分别是弦AB，弧AB的中点，
∴点O，C，D在同一直线上，
∴OC垂直平分AB，
∴AC=AB=18.5，
AC2+OC2=AO2即18.52+（R-7）2=R2，
解之：R≈28.
故答案为：B
【分析】设弧AB的圆心为O，连接OA，OC，利用垂径定理可证得点O，C，D在同一直线上，OC垂直平分AB，可求出AC的长，利用勾股定理可得到关于R的方程，解方程求出R的值.
4．（2024·昭通模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠ABC＝114°，则∠AOC的度数为（ ）
A．134° B．132° C．76° D．66°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝114°，
∴∠D=180°-∠ABC=180°-114°=66°，
∴∠AOC=2∠D=2×66°=132°，
故答案为：B.
【分析】先利用圆内接四边形的性质求出∠D=180°-∠ABC=180°-114°=66°，再利用圆周角的性质可得∠AOC=2∠D=2×66°=132°.
5．（2024·浙江模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在BC上取点F，使得CF＝CE，连结AF交CD于点G，连结AD．若CG＝GF，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图：
连接AC，
∵AB是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴AC=AD，∠CEB=∠CEA=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，∠ABC+∠BCE=90°，
∴∠BAC=∠BCE，
∴△BCE∽△BAC，
∴.
∴.
同理可得：.
∵ CG=GF，
∴∠FCG=∠CFG，
又∵∠ACF=∠BEC=90°，CF=CE.
∴△ACF≌△BEC（ASA）.
∴AC=BE.
∴，
即
解得：(舍负).
∴.
∴
∵CD⊥AB ，
∴AC=AD.
∴.
故答案为：A.
【分析】证明得△BCE∽△BAC，根据相似三角形性质得，同理证得.再根据CG=GE，得∠FCG=∠CFG，可利用ASA证△ACF≌△BEC，得到AC=BE. 在中将AE替换成AB－BE，代入AC，解得，于是可得AE长，即可求的值 .
6．（2022·威宁模拟）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，设AC=x，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠BCA=90°，
∵，
∴，
根据勾股定理得
，
即，
解得，，
∴，
∴，
∴AE=，
∵BC为折痕，点D与点D'对称，
∴∠CBA=∠CBD'，，
∴，
∴CD=AC，
∵CE⊥AD，
∴DE=AE=2，AD=4，
∴弓形AC=弓形DC，
∴S阴影=S△ACD=．
故答案为：C．
【分析】连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，设AC=x，根据直径时圆周角性质可知∠BCA=90°，运用锐角三角函数的定义结合勾股定理可求得，，然后运用面积桥计算求得CE与AE，从而根据折叠的性质得到∠CBA=∠CBD'， ，可得AC=CD，结合等腰三角形的性质求得AE=DE=2，最后运用弓形AC=弓形DC进行面积转化即可求解。
7．（2024九上·义乌期末）如图，正方形的边长为4，点是边上的一点，将沿着折叠至，若、恰好与正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为（ ）
A． B．5 C． D．以上都不对
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OC，如图，
∵ 点O为正方形ABCD的中心，
∴ ∠DCO=∠BCO，
∵ CF，CE与 相切 ，
∴ ∠FCO=∠ECO，
∴ ∠DCO-∠FCO=∠BCO-∠ECO，
即∠DCF=∠BCE，
∵沿着折叠至，
∴ ∠BCE=∠FCE，
∴ ∠DCF=∠BCE=∠FCE=30°，
设CE为2x，则BE为x，
在Rt△BCE中，BC2+BE2=CE2，
即42+x2=4x2，
解得，x=，
则CE=2x=.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可得∠DCO=∠BCO，根据切线长定理可得 ∠FCO=∠ECO，进而可得∠DCF=∠BCE，根据折叠的性质可得 ∠BCE=∠FCE，可推出∠DCF=∠BCE=∠FCE=30°，再根据30°的直角三角形的性质可得2BE=CE，再根据勾股定理列方程即可求得CE的长.
8．如图，AD是的外角平分线，与的外接圆交于点，连结BD交AC于点，且，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：AD是△ABC的外角平分线，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAD=∠DCB，∠DAC=∠DBC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵BC=CF，
∴∠FBC=∠CFB，
∴∠CDB=∠BCF，
∵∠ADB=∠BCA，
∴∠ADB=∠CDB．
故A正确，
设∠DCB=α，∠CDB=β，则∠ADB=∠ACB=β，∠ABD=∠ACD=α-β，
∴2α+β=180°，
∴3∠ACB+∠ACD=3β+（α-β）=α+2β≠180°，
故B错误；
3∠BDC+2∠ABD=3β+2∠ACD=3β+2（α-β）=2α+β=180°，
故C正确；
3∠BAD+∠ABD=3（180°-α）+（α-β）=540°-（2α+β）=540°-180°=360°，
故D正确；
故答案为：B．
【分析】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角，且运用圆周角定理以及角度之间的等量转化可得出答案.
9．（2024九上·绵阳期末）如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（ ）
A．或5 B．5或6 C．或6 D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：如图所示：设 与x轴相切与点K，连接MK，MC，过点M作y轴的垂线交y轴与点H，
与x轴相切，
，
∠KOM=∠OHM=90°，
四边形OKMH是矩形，
M在一次函数的图象上，
设点M的坐标为，
OK=MH=a，CM=MK=，
CM=MH，
，
在中，，
即，
解得：a=5或，
MK=6或MK=.
故答案为：C.
【分析】设 与x轴相切与点K，连接MK，MC，过点M作y轴的垂线交y轴与点H，先证四边形OKMH是矩形，设点M的坐标为，利用等腰三角形的性质及矩形的性质分别表示出CM、CH、MH的长，再利用勾股定理求出a的值，进而得到圆的半径.
10．如图，等边三角形ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心；圆的面积；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，AD和BE交于点O，如图：
通过观察可知黑色部分刚好是一个半圆，圆心为点O，
∵圆O是△ABC的内切圆，
∴∠ABO=∠OBD=30°，
OA=OB=2OD，BD=OD，
S△ABC=·AD·BC=（OA+OD）·2BD=OD2
S黑色部分=
∴.
故答案为：A.
【分析】通过观察可以发现黑色部分刚好是一个半圆，所以面积就是圆的一半，根据内切圆的特点可得到∠ABO=∠OBD=30°，从而可以知道OB及BD与半径OD的关系，根据三角形的面积公式和圆的面积公式可以求出答案.
二、填空题
11．（2024九下·浙江期中）如图，四边形是的内接四边形，对角线相交于点，且，过点作交延长线于点．若．则的面积为
【答案】3
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：作于，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴和都是等腰直角三角形，
∵，
∴，
在中，有，
即，
解得：（负值已舍去），
∴，，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：3．
【分析】作于点，连接，证明、和是等腰直角三角形，求出和的长，然后计算的面积，再证，利用相似三角形的性质求解即可．
12．（2024·贵州模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，点是三角形的外接圆上一点，交线段于点，若，则点的坐标为 .
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；圆的综合题
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作AC的垂线交AC于点F，
点，，的坐标分别为，，，
OA=OB=1，OC=2，
是等腰直角三角形，即∠BAO=45°，
，
∠BEC=∠BAO=45°，
，
是等腰直角三角形，
CB=CE，∠BCE=90°，
∠OBC+∠OCB=∠FCE+∠OCB=90°，
∠OBC=∠FCE，
在和中，
∠OBC=∠FCE，∠BOC=∠CFE=90°，CB=CE，
，
FC=OB=1，EF=OC=2，
OF=OC-FC=2-1=1，
点E的坐标为（1，2），
设直线BE的表达式为y=kx+b（k≠0），将B（0，-1），E（1，2）代入y=kx+b
得：，解得，
直线BE的表达式为y=3x-1，
当y=0时，解得，
点D的坐标为.
故答案为：.
【分析】过点E作AC的垂线交AC于点F，根据点，，的坐标得出OA=OB=1，OC=2，得到是等腰直角三角形，得到∠BAO=45°，再根据圆周角定理得到∠BEC=45°，推出是等腰直角三角，得出CB=CE，再证，根据全等的性质求出点E的坐标，再根据点B点E的坐标，利用待定系数法求出直线BE的表达式，再求直线BE与x轴交点的横坐标即得到答案.
13．（2024九下·杭州月考）已知：是的外接圆，是的直径，的平分线交于点，过点作，垂足为点
① ， ，则
②若，则 ；
【答案】；2
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定（ASA）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：①∵是的直径，的平分线交于点，
∴，，
∴，，
∴，
②连接，过点B作于点F，
∵是的直径，的平分线交于点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；2.
【分析】①是的直径，的平分线交于点，得到，，，计算即可；
②连接，过点B作于点F，先证明，再，结合，解答即可.
14．（2024九下·番禺月考）如图，内接于，已知是直径，，，点D在直径上方的半圆上运动，连接交于点E，则的长度为 ，的最大值为 ．
【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
分别过点C，D作CF⊥AB于点F，DG⊥AB于点G，
则
∵，
，
所以当DG取最大值时，的值最大，
当点D位于的中点时，DG取最大值为1，
所以的值最大值为．
故答案为：，．
【分析】由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，进而根据∠ABC的余弦函数定义及特殊锐角三角函数值可求出BC的长；分别过点C，D作CF⊥AB于点F，DG⊥AB于点G，由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得DG∥CF，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△DGE∽△CFE，由相似三角形对应边成比例建立方程可得，从而得出当DG取最大值时，的值最大，而当点D位于的中点时，DG取最大值为1，从而可得答案.
15．（2024九上·娄底期末）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin（α+β）＝ ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形；正多边形的性质；解直角三角形—两锐角关系
【解析】【解答】解：连接DE，如图所示：
在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，
∴∠α=30°，
同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α．
又∵∠AEC=60°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．
设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60° a=a，
∴AD=a，
∴sin（α+β）= =．
故答案为：．
【分析】连接DE，先求出∠CDE=∠CED=30°=∠α．再求出∠AED=∠AEC+∠CED=90°，设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60° a=a，利用勾股定理求出AD的长，最后利用正弦的定义求出sin（α+β）= =即可.
16．如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将D沿弦折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F.已知∠AOB=120°，OA=6，则的度数为 ，折痕CD的长为 .
【答案】60°；
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设折叠后弧的圆心为O'，连接O'E，O'F，OO'，O'C，OO'交CD于点H，
∴OO'⊥CD，CH=DH，O'C=OA=6，
∵ 将沿CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F.
∴∠O'EO=∠O'FO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠EO'F=60°，∠OO'C=60°，则 的度数为 60°，
∵EO'⊥OA，EO'=6，∠EO'O=30°，
∴OO'=4，
∴O'H=2，
∴CH==
∴CD=2CH=.
故答案为： 60°，.
【分析】设折叠后弧的圆心为O'，连接O'E，O'F，OO'，O'C，OO'交CD于点H，求出∠EO'F的度数，即得 的度数，根据切线的性质可求EO'⊥OA，∠EO'O=30°，从而求出OO'的长，再利用对称性质及勾股定理求出O'H，CH的长，由CD=2CH即得结论.
三、解答题
17．（2024·高州模拟）如图，在中，，以为直径作，交于点，连接并延长，分别交于两点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）求的正切值．
【答案】（1）证明：在中
是直角三角形
是的的直径
是的切线；
（2）证明：是直径，
（公共角）
即；
（3）解：由（2）得
即
解这个方程，得或（舍去）
连结
与都是的直径，
与互相平分
四边形为平行四边形，
在中
．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，从而根据切线的判定定理得出结论；
（2）由直径所对的圆周角是直角得∠EBD=90°，由同角的余角相等得∠EBO=∠CBD，结合等边对等角可推出∠E=∠CBD，结合公共角∠BCD=∠BCE，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△BCD∽△ECB，由相似三角形对应边可得结论；
（3）根据（2）的结论可求出CD的长，再由相似三角形对应边得，连接AE、AD，由对角线互相平分得四边形是平行四边形得四边形AEBD是平行四边形，由平行四边形的对边相等得AE=BD，最后在Rt△ABE中，根据正切函数的定义及等量代换可求出∠ABE的正切值.
18．（2024·沙田模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝12，AC＝16时，求CD和DP的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠BAC＝90°，
∵DP∥BC，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴PD⊥OD，
∵OD是⊙O半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）证明：∵PD∥BC，
∴∠ACB＝∠P，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠P，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCP＝180°，
∴∠DCP＝∠ABD，
∴△ABD∽△DCP，
（3）解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝20cm，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BOD＝∠COD，
∴BD＝CD，
在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，
∴BD＝CD＝BC＝10，
∵△ABD∽△DCP，
∴，
∴CP＝．
过点C作CE⊥DP，
∵∠CDE=45°
∴CE=DE=CD=10，
∵CP=，CE=DE=CD=10
∴根据勾股定理可得PE=，
∴DP=
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先由直径所对的圆周角是直角得∠BAC=90°，根据角平分线定义得，再由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得，得出即可得出结论；
（2）先根据二直线平行，同位角相等及同弧所对的圆周角相等判断出，再根据圆内接四边形的对角互补及同角的补角相等判断出，从而根据有两组角对应相等得两个三角形相似即可得出结论；
（3）先求出BC，再判断出，利用勾股定理求出BD＝CD＝BC＝10，最后用得出比例式求解即可得出结论.
19．（2024·威远模拟）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E、D，连接EC、CD．
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）求证：；
（3）若，⊙O的半径为3，求OA的长．
【答案】（1）解：AB与⊙O相切，连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∵点C在⊙O上，
∴AB与⊙O相切；
（2）证明：连接OC，
∵OC⊥AB，
∴∠OCB=90°即∠1+∠3=90°，
又∵DE为⊙O的直径，
∴∠ECD=90°即∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵OE=OC，
∴∠E=∠2，
∴∠1=∠E，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BEC，
∴，
∴BC2=BD BE；
（3）解：∵，∠ECD=90°，
∴，
∵⊙O的半径为3，
∴OC=OE=3，
∵△BCD∽△BEC，
∴，设BC=x，
∴，
∴OB=2x-3，
∵∠OCB=90°，
∴OC2+BC2=OB2，
∴9+x2=（2x-3）2，
∴x1=0（舍去），x2=4，
∴OA=OB=5．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接OC，先根据等腰三角形的性质结合题意得到OC⊥AB，再根据切线的判定即可求解；
（2）连接OC，先根据题意结合圆周角定理得到∠1=∠2，进而证明∠1=∠E，再根据相似三角形判定与性质即可求解；
（3）先根据题意解直角三角形得到，从而得到OC=OE=3，再根据相似三角形的判定与性质设BC=x，从而结合题意运用勾股定理即可求解。
20．（2024九上·阜平期末）如图1，将的顶点C放在上，边与相切于点C，边与交于点D．已知，，，的直径为8．
（1）如图1，过点O作于点M，求的长度；
（2）从图1的位置开始，将绕点C顺时针旋转，设旋转角为（）．
①如图2，当时，边与的另一交点为E，求的长度；
②如图3，当经过圆心O时，试判断与之间的位置关系，并说明理由；
③在旋转过程中，直接写出点O到边的距离h的取值范围．
【答案】（1）解：连接，
∵边与相切于点C，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
（2）解：①如图，连接、，
时，，
∵，
∴，
∴，
∴的长度为；
②与相切，理由为：
过点O作于点F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与相切；
③h的取值范围为
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解析】解：③如图，当点、、三点共线时，h最大，这时；
如图，当点在上时，h最小，这时；
∴在旋转过程中，h取值范围为．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCB=90°，进而得到∠OCM=30°，利用30°直角三角形的性质，结合勾勾股定理即可求出CM的长；
（2）①计算出的圆心角，代入弧长公式求解即可；
②过点O作，根据切线的性质和30°角的直角三角形的性质可以得到OF=OC，即可得到结论；
③由旋转可以找到距离最大和最小位置，然后计算即可．
21．（2024九上·义乌期末）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点、、、．
（1）与相似吗？为什么？
（2）如图2，弦交轴于点，且，求；
（3）如图3，过点作的切线，交轴于点．点是上的动点，问比值是否变化？若不变，请求出比值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）解：相似，理由如下：
∵以点为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点、、、，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，如图2，
∵点M的坐标为，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，，
∴，
∴
（3）解：不变；
如图3，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
当G点与A点重合时，；
当G点与B点重合时，；
当G点，不与重合时：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上：的值不变，为
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得∠ADC=∠ABC，即可求证；
（2）连接，根据M的坐标和半径求得OA，再根据勾股定理求得OD和AD，根据圆周角定理可得∠PEB=∠PAD，∠PBE=∠PDA，从而证明△PBE∽△PDA得到BE，再根据勾股定理求得AE，最后计算tan∠EDA，即可求得；
（3）连接，根据相似三角形的判定与性质可得OQ，分情况讨论：当G与A点重合时，可得；当G与B点重合时，可得；当G点，不与重合时，根据相似三角形的判定得△MOD∽△MDQ可得推出，从而判定△MOG∽△MGQ，即可求得.
22．（2024·湖南模拟）已知四边形内接于，直径于点F．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，若平分，过点D作于点H，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点G，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形内接于，，
∴，
∴；
（2）证明：过点作，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，设交于点，过点作，
设，则：，
由（2）知：，
∴，
∵直径于点F，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
即：，
解得：（负值舍掉）；
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴
设的半径为，则：，
由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴．
【知识点】一元二次方程的其他应用；三角形全等及其性质；勾股定理；圆内接四边形的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）先根据圆内接四边形的性质得到，进而即可求解；
（2）过点作，先根据角平分线的性质结合题意得到，，进而得到，，再根据三角形全等的性质得到，，进而运用三角形全等的判定结合题意证明即可得到，从而即可求解；
（3）连接，设交于点，过点作，设，则：，由（2）知：，根据垂径定理即可得到，从而运用勾股定理即可列出一元二次方程，解出x，再根据角平分线的性质得到，进而根据三角形的面积公式结合锐角三角函数的定义即可得到，设的半径为，则：，根据勾股定理求出r，进而结合题意运用锐角三角函数的定义、勾股定理即可求解。
1 / 12024年中考数学考前20天终极冲刺专题之圆(一)
一、选择题
1．（2023·河北模拟）如图，是半圆O的直径，C、D、E三点依次在半圆O上，若，，则与之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·苏州）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广西） 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·昭通模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠ABC＝114°，则∠AOC的度数为（ ）
A．134° B．132° C．76° D．66°
5．（2024·浙江模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在BC上取点F，使得CF＝CE，连结AF交CD于点G，连结AD．若CG＝GF，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·威宁模拟）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
7．（2024九上·义乌期末）如图，正方形的边长为4，点是边上的一点，将沿着折叠至，若、恰好与正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为（ ）
A． B．5 C． D．以上都不对
8．如图，AD是的外角平分线，与的外接圆交于点，连结BD交AC于点，且，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九上·绵阳期末）如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（ ）
A．或5 B．5或6 C．或6 D．5
10．如图，等边三角形ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024九下·浙江期中）如图，四边形是的内接四边形，对角线相交于点，且，过点作交延长线于点．若．则的面积为
12．（2024·贵州模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，点是三角形的外接圆上一点，交线段于点，若，则点的坐标为 .
13．（2024九下·杭州月考）已知：是的外接圆，是的直径，的平分线交于点，过点作，垂足为点
① ， ，则
②若，则 ；
14．（2024九下·番禺月考）如图，内接于，已知是直径，，，点D在直径上方的半圆上运动，连接交于点E，则的长度为 ，的最大值为 ．
15．（2024九上·娄底期末）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin（α+β）＝ ．
16．如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将D沿弦折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F.已知∠AOB=120°，OA=6，则的度数为 ，折痕CD的长为 .
三、解答题
17．（2024·高州模拟）如图，在中，，以为直径作，交于点，连接并延长，分别交于两点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）求的正切值．
18．（2024·沙田模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝12，AC＝16时，求CD和DP的长．
19．（2024·威远模拟）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E、D，连接EC、CD．
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）求证：；
（3）若，⊙O的半径为3，求OA的长．
20．（2024九上·阜平期末）如图1，将的顶点C放在上，边与相切于点C，边与交于点D．已知，，，的直径为8．
（1）如图1，过点O作于点M，求的长度；
（2）从图1的位置开始，将绕点C顺时针旋转，设旋转角为（）．
①如图2，当时，边与的另一交点为E，求的长度；
②如图3，当经过圆心O时，试判断与之间的位置关系，并说明理由；
③在旋转过程中，直接写出点O到边的距离h的取值范围．
21．（2024九上·义乌期末）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点、、、．
（1）与相似吗？为什么？
（2）如图2，弦交轴于点，且，求；
（3）如图3，过点作的切线，交轴于点．点是上的动点，问比值是否变化？若不变，请求出比值；若变化，请说明理由．
22．（2024·湖南模拟）已知四边形内接于，直径于点F．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，若平分，过点D作于点H，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点G，若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接、、，
四边形为圆内接四边形，
，
，
，
，
，
为直径，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】连接、、，由圆内接四边形的性质及，可得，即得，由AB为直径可得∠ACB=90°，根据即可求解.
2．【答案】A
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
∵弧CD=弧BD，
∴∠A=∠COD=∠BOD，
∵S1∶S2=2∶3，
∴（AO·CH）∶（OB·BE）=2∶3，
∴CH∶BE=2∶3，
∵∠A=∠BOE，∠AHC=∠B=90°，
∴△ACH∽△OEB，
∴AH∶OB=CH∶BE=2∶3，
设AH=2m，则OB=OA=OC=3m，
∴OH=OA-AH=m，
Rt△COH中，由勾股定理得，CH=，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
∴tan∠ACO=tan∠A=CH∶AH=.
故答案为：A.
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，由圆周角定理得∠A=∠COD=∠BOD，根据等底三角形的面积之比等于高之比得CH∶BE=2∶3，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ACH∽△OEB，由相似三角形对应边成比例可得AH∶OB=CH∶BE=2∶3，设AH=2m，则OB=OA=OC=3m，OH=OA-AH=m，Rt△COH中，由勾股定理表示出CH，由等边对等角及等角的同名三角函数值相等可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：设弧AB的圆心为O，连接OA，OC，
∵点C，D分别是弦AB，弧AB的中点，
∴点O，C，D在同一直线上，
∴OC垂直平分AB，
∴AC=AB=18.5，
AC2+OC2=AO2即18.52+（R-7）2=R2，
解之：R≈28.
故答案为：B
【分析】设弧AB的圆心为O，连接OA，OC，利用垂径定理可证得点O，C，D在同一直线上，OC垂直平分AB，可求出AC的长，利用勾股定理可得到关于R的方程，解方程求出R的值.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝114°，
∴∠D=180°-∠ABC=180°-114°=66°，
∴∠AOC=2∠D=2×66°=132°，
故答案为：B.
【分析】先利用圆内接四边形的性质求出∠D=180°-∠ABC=180°-114°=66°，再利用圆周角的性质可得∠AOC=2∠D=2×66°=132°.
5．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图：
连接AC，
∵AB是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴AC=AD，∠CEB=∠CEA=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，∠ABC+∠BCE=90°，
∴∠BAC=∠BCE，
∴△BCE∽△BAC，
∴.
∴.
同理可得：.
∵ CG=GF，
∴∠FCG=∠CFG，
又∵∠ACF=∠BEC=90°，CF=CE.
∴△ACF≌△BEC（ASA）.
∴AC=BE.
∴，
即
解得：(舍负).
∴.
∴
∵CD⊥AB ，
∴AC=AD.
∴.
故答案为：A.
【分析】证明得△BCE∽△BAC，根据相似三角形性质得，同理证得.再根据CG=GE，得∠FCG=∠CFG，可利用ASA证△ACF≌△BEC，得到AC=BE. 在中将AE替换成AB－BE，代入AC，解得，于是可得AE长，即可求的值 .
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，设AC=x，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠BCA=90°，
∵，
∴，
根据勾股定理得
，
即，
解得，，
∴，
∴，
∴AE=，
∵BC为折痕，点D与点D'对称，
∴∠CBA=∠CBD'，，
∴，
∴CD=AC，
∵CE⊥AD，
∴DE=AE=2，AD=4，
∴弓形AC=弓形DC，
∴S阴影=S△ACD=．
故答案为：C．
【分析】连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，设AC=x，根据直径时圆周角性质可知∠BCA=90°，运用锐角三角函数的定义结合勾股定理可求得，，然后运用面积桥计算求得CE与AE，从而根据折叠的性质得到∠CBA=∠CBD'， ，可得AC=CD，结合等腰三角形的性质求得AE=DE=2，最后运用弓形AC=弓形DC进行面积转化即可求解。
7．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OC，如图，
∵ 点O为正方形ABCD的中心，
∴ ∠DCO=∠BCO，
∵ CF，CE与 相切 ，
∴ ∠FCO=∠ECO，
∴ ∠DCO-∠FCO=∠BCO-∠ECO，
即∠DCF=∠BCE，
∵沿着折叠至，
∴ ∠BCE=∠FCE，
∴ ∠DCF=∠BCE=∠FCE=30°，
设CE为2x，则BE为x，
在Rt△BCE中，BC2+BE2=CE2，
即42+x2=4x2，
解得，x=，
则CE=2x=.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可得∠DCO=∠BCO，根据切线长定理可得 ∠FCO=∠ECO，进而可得∠DCF=∠BCE，根据折叠的性质可得 ∠BCE=∠FCE，可推出∠DCF=∠BCE=∠FCE=30°，再根据30°的直角三角形的性质可得2BE=CE，再根据勾股定理列方程即可求得CE的长.
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：AD是△ABC的外角平分线，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAD=∠DCB，∠DAC=∠DBC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵BC=CF，
∴∠FBC=∠CFB，
∴∠CDB=∠BCF，
∵∠ADB=∠BCA，
∴∠ADB=∠CDB．
故A正确，
设∠DCB=α，∠CDB=β，则∠ADB=∠ACB=β，∠ABD=∠ACD=α-β，
∴2α+β=180°，
∴3∠ACB+∠ACD=3β+（α-β）=α+2β≠180°，
故B错误；
3∠BDC+2∠ABD=3β+2∠ACD=3β+2（α-β）=2α+β=180°，
故C正确；
3∠BAD+∠ABD=3（180°-α）+（α-β）=540°-（2α+β）=540°-180°=360°，
故D正确；
故答案为：B．
【分析】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角，且运用圆周角定理以及角度之间的等量转化可得出答案.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：如图所示：设 与x轴相切与点K，连接MK，MC，过点M作y轴的垂线交y轴与点H，
与x轴相切，
，
∠KOM=∠OHM=90°，
四边形OKMH是矩形，
M在一次函数的图象上，
设点M的坐标为，
OK=MH=a，CM=MK=，
CM=MH，
，
在中，，
即，
解得：a=5或，
MK=6或MK=.
故答案为：C.
【分析】设 与x轴相切与点K，连接MK，MC，过点M作y轴的垂线交y轴与点H，先证四边形OKMH是矩形，设点M的坐标为，利用等腰三角形的性质及矩形的性质分别表示出CM、CH、MH的长，再利用勾股定理求出a的值，进而得到圆的半径.
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心；圆的面积；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，AD和BE交于点O，如图：
通过观察可知黑色部分刚好是一个半圆，圆心为点O，
∵圆O是△ABC的内切圆，
∴∠ABO=∠OBD=30°，
OA=OB=2OD，BD=OD，
S△ABC=·AD·BC=（OA+OD）·2BD=OD2
S黑色部分=
∴.
故答案为：A.
【分析】通过观察可以发现黑色部分刚好是一个半圆，所以面积就是圆的一半，根据内切圆的特点可得到∠ABO=∠OBD=30°，从而可以知道OB及BD与半径OD的关系，根据三角形的面积公式和圆的面积公式可以求出答案.
11．【答案】3
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：作于，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴和都是等腰直角三角形，
∵，
∴，
在中，有，
即，
解得：（负值已舍去），
∴，，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：3．
【分析】作于点，连接，证明、和是等腰直角三角形，求出和的长，然后计算的面积，再证，利用相似三角形的性质求解即可．
12．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；圆的综合题
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作AC的垂线交AC于点F，
点，，的坐标分别为，，，
OA=OB=1，OC=2，
是等腰直角三角形，即∠BAO=45°，
，
∠BEC=∠BAO=45°，
，
是等腰直角三角形，
CB=CE，∠BCE=90°，
∠OBC+∠OCB=∠FCE+∠OCB=90°，
∠OBC=∠FCE，
在和中，
∠OBC=∠FCE，∠BOC=∠CFE=90°，CB=CE，
，
FC=OB=1，EF=OC=2，
OF=OC-FC=2-1=1，
点E的坐标为（1，2），
设直线BE的表达式为y=kx+b（k≠0），将B（0，-1），E（1，2）代入y=kx+b
得：，解得，
直线BE的表达式为y=3x-1，
当y=0时，解得，
点D的坐标为.
故答案为：.
【分析】过点E作AC的垂线交AC于点F，根据点，，的坐标得出OA=OB=1，OC=2，得到是等腰直角三角形，得到∠BAO=45°，再根据圆周角定理得到∠BEC=45°，推出是等腰直角三角，得出CB=CE，再证，根据全等的性质求出点E的坐标，再根据点B点E的坐标，利用待定系数法求出直线BE的表达式，再求直线BE与x轴交点的横坐标即得到答案.
13．【答案】；2
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定（ASA）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：①∵是的直径，的平分线交于点，
∴，，
∴，，
∴，
②连接，过点B作于点F，
∵是的直径，的平分线交于点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；2.
【分析】①是的直径，的平分线交于点，得到，，，计算即可；
②连接，过点B作于点F，先证明，再，结合，解答即可.
14．【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
分别过点C，D作CF⊥AB于点F，DG⊥AB于点G，
则
∵，
，
所以当DG取最大值时，的值最大，
当点D位于的中点时，DG取最大值为1，
所以的值最大值为．
故答案为：，．
【分析】由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，进而根据∠ABC的余弦函数定义及特殊锐角三角函数值可求出BC的长；分别过点C，D作CF⊥AB于点F，DG⊥AB于点G，由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得DG∥CF，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△DGE∽△CFE，由相似三角形对应边成比例建立方程可得，从而得出当DG取最大值时，的值最大，而当点D位于的中点时，DG取最大值为1，从而可得答案.
15．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形；正多边形的性质；解直角三角形—两锐角关系
【解析】【解答】解：连接DE，如图所示：
在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，
∴∠α=30°，
同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α．
又∵∠AEC=60°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．
设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60° a=a，
∴AD=a，
∴sin（α+β）= =．
故答案为：．
【分析】连接DE，先求出∠CDE=∠CED=30°=∠α．再求出∠AED=∠AEC+∠CED=90°，设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60° a=a，利用勾股定理求出AD的长，最后利用正弦的定义求出sin（α+β）= =即可.
16．【答案】60°；
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设折叠后弧的圆心为O'，连接O'E，O'F，OO'，O'C，OO'交CD于点H，
∴OO'⊥CD，CH=DH，O'C=OA=6，
∵ 将沿CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F.
∴∠O'EO=∠O'FO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠EO'F=60°，∠OO'C=60°，则 的度数为 60°，
∵EO'⊥OA，EO'=6，∠EO'O=30°，
∴OO'=4，
∴O'H=2，
∴CH==
∴CD=2CH=.
故答案为： 60°，.
【分析】设折叠后弧的圆心为O'，连接O'E，O'F，OO'，O'C，OO'交CD于点H，求出∠EO'F的度数，即得 的度数，根据切线的性质可求EO'⊥OA，∠EO'O=30°，从而求出OO'的长，再利用对称性质及勾股定理求出O'H，CH的长，由CD=2CH即得结论.
17．【答案】（1）证明：在中
是直角三角形
是的的直径
是的切线；
（2）证明：是直径，
（公共角）
即；
（3）解：由（2）得
即
解这个方程，得或（舍去）
连结
与都是的直径，
与互相平分
四边形为平行四边形，
在中
．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，从而根据切线的判定定理得出结论；
（2）由直径所对的圆周角是直角得∠EBD=90°，由同角的余角相等得∠EBO=∠CBD，结合等边对等角可推出∠E=∠CBD，结合公共角∠BCD=∠BCE，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△BCD∽△ECB，由相似三角形对应边可得结论；
（3）根据（2）的结论可求出CD的长，再由相似三角形对应边得，连接AE、AD，由对角线互相平分得四边形是平行四边形得四边形AEBD是平行四边形，由平行四边形的对边相等得AE=BD，最后在Rt△ABE中，根据正切函数的定义及等量代换可求出∠ABE的正切值.
18．【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠BAC＝90°，
∵DP∥BC，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴PD⊥OD，
∵OD是⊙O半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）证明：∵PD∥BC，
∴∠ACB＝∠P，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠P，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCP＝180°，
∴∠DCP＝∠ABD，
∴△ABD∽△DCP，
（3）解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝20cm，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BOD＝∠COD，
∴BD＝CD，
在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，
∴BD＝CD＝BC＝10，
∵△ABD∽△DCP，
∴，
∴CP＝．
过点C作CE⊥DP，
∵∠CDE=45°
∴CE=DE=CD=10，
∵CP=，CE=DE=CD=10
∴根据勾股定理可得PE=，
∴DP=
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先由直径所对的圆周角是直角得∠BAC=90°，根据角平分线定义得，再由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得，得出即可得出结论；
（2）先根据二直线平行，同位角相等及同弧所对的圆周角相等判断出，再根据圆内接四边形的对角互补及同角的补角相等判断出，从而根据有两组角对应相等得两个三角形相似即可得出结论；
（3）先求出BC，再判断出，利用勾股定理求出BD＝CD＝BC＝10，最后用得出比例式求解即可得出结论.
19．【答案】（1）解：AB与⊙O相切，连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∵点C在⊙O上，
∴AB与⊙O相切；
（2）证明：连接OC，
∵OC⊥AB，
∴∠OCB=90°即∠1+∠3=90°，
又∵DE为⊙O的直径，
∴∠ECD=90°即∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵OE=OC，
∴∠E=∠2，
∴∠1=∠E，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BEC，
∴，
∴BC2=BD BE；
（3）解：∵，∠ECD=90°，
∴，
∵⊙O的半径为3，
∴OC=OE=3，
∵△BCD∽△BEC，
∴，设BC=x，
∴，
∴OB=2x-3，
∵∠OCB=90°，
∴OC2+BC2=OB2，
∴9+x2=（2x-3）2，
∴x1=0（舍去），x2=4，
∴OA=OB=5．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接OC，先根据等腰三角形的性质结合题意得到OC⊥AB，再根据切线的判定即可求解；
（2）连接OC，先根据题意结合圆周角定理得到∠1=∠2，进而证明∠1=∠E，再根据相似三角形判定与性质即可求解；
（3）先根据题意解直角三角形得到，从而得到OC=OE=3，再根据相似三角形的判定与性质设BC=x，从而结合题意运用勾股定理即可求解。
20．【答案】（1）解：连接，
∵边与相切于点C，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
（2）解：①如图，连接、，
时，，
∵，
∴，
∴，
∴的长度为；
②与相切，理由为：
过点O作于点F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与相切；
③h的取值范围为
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解析】解：③如图，当点、、三点共线时，h最大，这时；
如图，当点在上时，h最小，这时；
∴在旋转过程中，h取值范围为．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCB=90°，进而得到∠OCM=30°，利用30°直角三角形的性质，结合勾勾股定理即可求出CM的长；
（2）①计算出的圆心角，代入弧长公式求解即可；
②过点O作，根据切线的性质和30°角的直角三角形的性质可以得到OF=OC，即可得到结论；
③由旋转可以找到距离最大和最小位置，然后计算即可．
21．【答案】（1）解：相似，理由如下：
∵以点为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点、、、，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，如图2，
∵点M的坐标为，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，，
∴，
∴
（3）解：不变；
如图3，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
当G点与A点重合时，；
当G点与B点重合时，；
当G点，不与重合时：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上：的值不变，为
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得∠ADC=∠ABC，即可求证；
（2）连接，根据M的坐标和半径求得OA，再根据勾股定理求得OD和AD，根据圆周角定理可得∠PEB=∠PAD，∠PBE=∠PDA，从而证明△PBE∽△PDA得到BE，再根据勾股定理求得AE，最后计算tan∠EDA，即可求得；
（3）连接，根据相似三角形的判定与性质可得OQ，分情况讨论：当G与A点重合时，可得；当G与B点重合时，可得；当G点，不与重合时，根据相似三角形的判定得△MOD∽△MDQ可得推出，从而判定△MOG∽△MGQ，即可求得.
22．【答案】（1）证明：∵四边形内接于，，
∴，
∴；
（2）证明：过点作，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，设交于点，过点作，
设，则：，
由（2）知：，
∴，
∵直径于点F，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
即：，
解得：（负值舍掉）；
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴
设的半径为，则：，
由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴．
【知识点】一元二次方程的其他应用；三角形全等及其性质；勾股定理；圆内接四边形的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）先根据圆内接四边形的性质得到，进而即可求解；
（2）过点作，先根据角平分线的性质结合题意得到，，进而得到，，再根据三角形全等的性质得到，，进而运用三角形全等的判定结合题意证明即可得到，从而即可求解；
（3）连接，设交于点，过点作，设，则：，由（2）知：，根据垂径定理即可得到，从而运用勾股定理即可列出一元二次方程，解出x，再根据角平分线的性质得到，进而根据三角形的面积公式结合锐角三角函数的定义即可得到，设的半径为，则：，根据勾股定理求出r，进而结合题意运用锐角三角函数的定义、勾股定理即可求解。
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