将军饮马模型（知识梳理与考点分类讲解）（含解析）

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将军饮马模型（知识梳理与考点分类讲解）
【模型一 两点交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
图1
【模型二 两点一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小
图2
【模型三 一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小
图3
【模型四 两点两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。
图4
【模型五 一定两动型（垂线段最短）】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小
图5
【模型六：一定两动，找对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小
图6
【考点1】两定一动型； 【考点2】一定两动型；
【考点3】两定两动型； 【考点4】一定两动（垂线段最短）型；
【考点5】一定两动（垂线段最短）转化型；.
【考点1】两定一动型；
【例1】如图，在中，，是边的中点，垂直平分边，动点在直线上，若，，则线段的最小值为 ．
【变式】如图，在中，，，，垂直平分，点D为直线上的任意一点，则周长的最小值是 ．
【考点2】一定两动型；
【例2】如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140 ° B．100° C．80° D．50°
【变式】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　）
A．110° B．112° C．114° D．116°
【考点3】两定两动型；
【例1】如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点4】一定两动型（垂线段最短）；
【例4】如图，在中，，，，，点P、Q分别是边、上的动点，则的最小值等于（ ）
A．4 B． C．5 D．
【变式】如图，在直角三角形中，，，，．D、E分别是边、上的动点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．3
【考点5】一定两动（垂线段最短）转化型；
【例4】如图，∠AOB＝45°，点E、F分别在射线OA、OB上，EF＝8，S△OEF＝24，点P是直线EF上的一个动点，点P关于OA的对称的点为P1，点P关于OB的对称点为P2，当点P在直线EF上运动时，的最小值为（　　）
A．8 B．16 C．18 D．36
【变式】如图，在中，，，，，是的平分线．若点P，Q分别是和上的动点，则的最小值是
解析
【考点1】两定一动型；
【例1】如图，在中，，是边的中点，垂直平分边，动点在直线上，若，，则线段的最小值为 ．
【答案】14
【分析】根据三角形的面积公式得到AD=14，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论．
解：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
又∵BC=12，S△ABC=84，
∴×12×AD=84，
∴AD=14，
∵EF垂直平分AB，
∴PA=PB，
∴PB+PD=PA+PD，
∴当A，P，D在同一直线上时，PB+PD=PA+PD=AD，
即AD的长度=PB+PD的最小值，
∴PB+PD的最小值为14，
故答案为：14．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
【变式】如图，在中，，，，垂直平分，点D为直线上的任意一点，则周长的最小值是 ．
【答案】10
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题的应用，垂直平分线的性质，准确找出点D的位置是解答本题的关键．根据垂直平分线的性质可知，点B与点C关于对称，故当点D与点P重合时，的值最小，最小值等于的长，由此即可得到答案．
解：垂直平分，
点B与点C关于对称，
如图，设与相较于点P，
当点D与点P重合时，的值最小，最小值等于的长，
，，
周长的最小值是，
故答案为：10．
【考点2】一定两动型；
【例2】如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140 ° B．100° C．80° D．50°
【答案】B
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN＝∠OPM＋∠OPN＝∠OP1M＋∠OP2N＝100°．
解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，
则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则
△PMN的周长的最小值＝P1P2，
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°，
∴∠MPN＝∠OPM＋∠OPN＝∠OP1M＋∠OP2N＝100°，
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称 最短路线问题，正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
【变式】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　）
A．110° B．112° C．114° D．116°
【答案】D
【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案．
解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求．
∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，
∴∠ADC＝180°﹣32°，
由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，
在△PDQ中，
∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC
＝180°﹣（180°﹣32°）
＝32°，
∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°，
∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）
＝180°﹣32°-32°
＝116°．
故选：D．
【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短线路问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出E，F的位置是解题的关键．
【考点3】两定两动型；
【例1】如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，易知，，，，，由此即可解决问题．
解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，
由轴对称的性质得，，，，，
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【考点4】一定两动型（垂线段最短）；
【例4】如图，在中，，，，，点P、Q分别是边、上的动点，则的最小值等于（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】作过于的对称点，过点作，交于点，交于点，根据对称可得：，得到当三点共线时，最小，再根据垂线段最短，得到时，最小，进行求解即可．
解：作过于的对称点，过点作，交于点，交于点，
∵，
∴当三点共线时，最小，
∵垂线段最短，
∴时，最小，
连接，
∵关于对称，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴；
故选B．
【点拨】本题考查利用轴对称求线段和最小问题．熟练掌握通过构造轴对称，解决线段和最小，以及点到直线，垂线段最短，是解题的关键．
【变式】如图，在直角三角形中，，，，．D、E分别是边、上的动点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，等积法求高，作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接，得到此时有最小值，再根据求出的长，即可得到答案．
解：如图，作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接，
由对称的性质可知，，，，
，此时有最小值，
，，，
，
，
，即的最小值为，
故选：A
【考点5】一定两动（垂线段最短）转化型；
【例4】如图，∠AOB＝45°，点E、F分别在射线OA、OB上，EF＝8，S△OEF＝24，点P是直线EF上的一个动点，点P关于OA的对称的点为P1，点P关于OB的对称点为P2，当点P在直线EF上运动时，的最小值为（　　）
A．8 B．16 C．18 D．36
【答案】C
【分析】连接OP，过点O作交EF的延长线于点H，先用三角形面积公式求出OH，再证明是等腰直角三角形，当OP最小时，的面积最小．
解：如图所示，连接OP，过点O作交EF的延长线于点H，
∵EF=8，，
∴OH=6，
∵点P关于OA对称的点，点P关于OB对称点为，
∴，，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴最小时，的面积最小，
根据垂线段最短可知，OP的最小值为6，
∴的面积最小值为：，
故选C．
【点拨】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是构造出三角形OEF的高，掌握轴对称的性质和垂线段最短．
【变式】如图，在中，，，，，是的平分线．若点P，Q分别是和上的动点，则的最小值是
【答案】
【分析】在上截取，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案．
解：如图，在上截取，连接，，
是的平分线，
在与中
点和点关于对称，连接，与交于点，连接，
此时，
是动点，
也是动点，当与垂直时，最小，即最小．
此时，由面积法得．
故答案为：．
【点拨】本题考查利用轴对称求最短距离，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．