2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之圆(二)
一、选择题
1．（2022·旌阳模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且 被水面截得弦 长为4米， 半径长为3米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦 所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C． 米 D． 米
2．（2022九上·义乌期中）如图，是的直径，点D，C在上，连接，，，如果，那么的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
3．（2024·宁波模拟）如图，已知内接于，，点为的重心若，当点到的距离最大时，线段的长为( )
A． B．
C． D．
4．（2024九下·武汉月考） 如图，在中，，，，点O以的速度在边上沿的方向运动，以点O为圆心，半径为作，运动过程中，与三边所在直线第一次相切和第三次相切的时间间隔是（ ）s
A． B．4 C． D．
5．（2023·潜江）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·滁州模拟）如图，四边形是的内接正方形，直线且平分，交于点，若，则阴影部分面积为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·德阳）如图，的直径，是弦，，，，的延长线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点，连接．下列结论中正确的个数是（ ）
①；
②是的切线；
③B，E两点间的距离是；
④．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023九下·婺城月考）如图，是的内接三角形，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点D.若，，则的半径长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021九上·尧都期末）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
A．CD+DF=4 B．CD DF=2 3
C．BC+AB=2+4 D．BC AB=2
10．（2021九上·蜀山期末）如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024九下·渝中模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．且∠ADE＝30°，AD＝6，则阴影部分的面积为 ．
12．（2023九上·长兴月考）如图，为的直径，长为，以为边作矩形，点在圆上，连接，分别交于点．若为3，为2，则的长为 ．
13．（2023九上·南浔月考）如图，点在一直线上，，在直线同侧，，，，当时，外接圆的半径为 ．
14．（2023九上·曾都月考）如图，中，四边形内接于圆，是直径，，若，则 ．
15．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为底边向外作高为AC，BC长的等腰三角形ACM，等腰三角形BCN，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ=12，AC+BC=15，则AO的长是 .
16．（2023九上·乐清期中）如图，点P是线段AB上一动点(不包括端点)，过点P作PQ⊥AB交以AB为直径的半圆O于点Q，连结AQ，过点P作PC∥AQ交该半圆于点C，连结CB．当△PCB是以PC为腰的等腰三角形时，为
三、实践探究题
17．（2024·台州模拟）【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角.
（1）【概念理解】当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数.
（2）【性质探究】如图1，△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角，
求证：.
（3）【拓展应用】如图2，AB是⊙O的直径，且AB=13，点C，D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E，连接AD，BD，△ACE是和美三角形.
①当BC=5时，求AD的长.
②当△BCD是和美三角形时，直接写出的值.
18．内接于，且，是劣弧BC上一点，分别交AD，BD于点G，F，交于点.
（1）如图，连接AF，当AF经过圆心时.
①求证：AF平分；
②求的值；
（2）考生注意：本题有三小题，第①题2分，第②题3分，第③题4分，如图，请根据自己的认知水平，选做其中一题.
①连接CD，求证：；
②连接AE，求证：；
③连接BE，若，求BE的长.
19．（2024九上·湖南期末） 定义：当点P在射线OA上时，把的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．
例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为．
（1）在△OAB中，
①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；
②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；
③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形．
其中真命题有 ▲ ．
．①②．①③．②③．①②③
（2）已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以〇为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O上任意点．
①如图2，若点B在射线OA上的射影值为．求证：直线BC是⊙O的切线；
②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式为 ．
20．（2023九上·长春期中）有关阿基米德折弦定理的探讨与应用
（1）[问题呈现]
阿基术德折弦定理：如图①，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线AB-BC是圆的一条折弦），BC> AB，点M是的中点，则从点M向BC作垂线，垂足D是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA．
下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程.
证明：如图②，在CD上截取CE=AB，连接MA、MB、MC和ME.
∵M是的中点，∴MA=MC.
……
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分.
（2）[理解运用]
如图③，△ABC内接于⊙O，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点E，过点E作EF⊥AC于点F.若AC=10，BC=4，则CF的长为
（3）[实践应用]
如图④，等边△ABC内接于⊙O，点D是上一点，且∠ABD= 45°，连接CD.若AB=2，则△BDC的周长为
四、综合题
21．（2024·宁波模拟）如图，，是的两条直径，，点是上一点，连接，，分别交，于点，，连接，，．
（1）若，求的度数．
（2）求证：．
（3）设，的面积为，的面积为，求证：．
22．（2024·余姚模拟）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC交BD于点G，，点F在线段BD上，且AF=AD.
（1）若∠ADB=，请用的代数式表示∠ADC；
（2）求证：BF=CD；
（3）如图2，延长AF交⊙O于点M，连结FC.
①若AM为⊙O的直径，AM=13，tan∠DAC=，求AF的长；
②若FG=2GD，猜想∠AFC的度数，并证明你的结论.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC交AB于点E.
由题意OC⊥AB，
∴AE=BE= AB=2（米），
在Rt△AEO中， （米），
∴CE=OC-OE= （米）.
故答案为：C.
【分析】连接OC交AB于点E，由题意OC⊥AB，根据垂径定理可得AE=BE=AB=2米，根据勾股定理求出OE，然后根据CE=OC-OE进行计算.
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD.
∵是的直径，
∴.
∵，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据同弧所对的圆周角相等得∠ABD=65°，最后根据直角三角形的两锐角互余即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆的综合题；锐角三角函数的定义；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：由题知，当点A在BC的垂直平分线与⊙O的交点处时，点A到BC的距离最大， 如图：
∵AM⊥BC，
∴，∠BOC=2∠BOM，
又∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOM=∠BAC，
在Rt△BOM中，，，
∴，，
∴，
∵点P为△ABC的重心，
∴，
∴；
故答案为：B.
【分析】先根据点A到BC的距离最大，得出点A在BC的垂直平分线上，根据等腰三角形的底边上的中点和底边上的高、顶角的角平分线三线合一可得∠BOC=2∠BOM，根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半可推得∠BOM=∠BAC，根据三角函数表示出线段OM、OB、AM的长度，根据三角形重心的到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍，即可求解.
4．【答案】A
【知识点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，与三边所在直线第一次与AC相切，第二次与BC相切，第三次与AB相切，
∵，，，
∴AB=10cm，
当与三边所在直线第一次相切时，作OD⊥AC于点D，如图，
∵∠C=90°，∴BC⊥AC，
∴OD//BC，
∴，
∴，
∵OD=2cm，
∴，
即cm；
当与三边所在直线第三次相切时，作OE⊥AB于点E，如图，
∵∠C=∠OEB=90°，∠B=∠B，
∴，
∴，
∵OD=2cm，
∴，
即cm；
∴与三边所在直线第一次相切和第三次相切的时间间隔是
故答案为：A.
【分析】根据题意，与三边所在直线第一次与AC相切，第二次与BC相切，第三次与AB相切，求出AB的长度，当与三边所在直线第一次相切时，作OD⊥AC于点D，求出AO的长，当与三边所在直线第三次相切时，作OE⊥AB于点E，求出BO的长，进而即可得到答案.
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ交于点O，连接OA、OB、OC，则点O为△ABC外接圆的圆心.
由图可得：OA2=12+22=5，OC2=12+22=5，AC2=12+32=10，
∴OA2+OC2=AC2，
∴△OAC为等腰直角三角形，且∠AOC=90°，
∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC-S△ABC=-××-×2×1=-.
故答案为：D.
【分析】作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ交于点O，连接OA、OB、OC，则点O为△ABC外接圆的圆心，由勾股定理逆定理可得△OAC为等腰直角三角形，且∠AOC=90°，然后根据S阴影=S扇形AOC-S△AOC-S△ABC进行计算.
6．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OE、OB设EF交OA于点M
∵直线且平分OA，
∴OE=AE
∵OA，OE为的半径
∴OA=OE
∴OA=AE=OE=1
∴△OAE为等边三角形
∴∠AOE=60°
∴EM=OE×sin∠AOE=OE×sin60°=
∴
∴
∵四边形ABCD是的内接四边形
∴∠AOB=90°
∴
∴
∴
故答案为：A
【分析】本题考查正多边形与圆、利用扇形的面积公式求阴影部分的面积，根据正方形内接于圆，可得出圆心角∠AOB＝90°，可求出和，进而求得，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得出AE=OE，从而等到△AOE为等边三角形，利用解直角三角形得出高EM的长，从而求出和，得出，，用即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆的综合题；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 连接 、 、 ，过点 作 交 延长线于 ， 于 ，如图所示：
的直径 ， ，
， ，
∴ ， ，
是弦， ， ，
，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
，
，①正确；
， ，
，
，
平分 ，
是 的中垂线，
，
，
，
，
，即 ，
是弦，
是锐角，
是钝角，
是钝角， ，
不垂直 ， 不是 的切线，②不正确；
，
，
又 ，
，
，
， 于 ，
，
，
，
，
∴ ，③正确；
， ，
， ，
，
， ，
，
设 ，则 ，
∴ ， ，
，
，
∴ ，
，
解得 ，
，④不正确；
综上所述，①和③结论正确，
故答案为：B
【分析】连接 、 、 ，过点 作 交 延长线于 ， 于 ，根据题意结合垂径定理、圆内接四边形的性质即可得到，进而根据垂直定理结合题意即可得到 不是 的切线，再证明 ，结合题意运用勾股定理即可得到③； 设 ，则 ，根据题意即可得到 ，进而结合题意代入即可求出a。
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，设折叠后的所在的圆心是O'，连接O'A，O'D，
∴，
连接OA，OB，
同理，，
∴.
∵和是等圆，
∴.
设圆O的半径是r，过点O作OG⊥AB于点G.
∵，，
∴，，
∴，
∴.
过点A作AM⊥BC于点M，
∵，
设，则.
∵D是BC的中点，
∴，
∴.
∵，，
∴.
在中，，
∴，
解得，
∴，.
在中，.
∵，
∴.
故答案为：D.
【分析】设折叠后的所在的圆心是O'，连接O'A，O'D，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AO'D=2∠ACB=120°，连接OA，OB，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOB=120°，设圆O的半径是r，过点O作OG⊥AB于点G，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠OAB=∠OBA=30°，AB=2AG，由含30°角直角三角形的性质得OG=r，根据勾股定理AB=r；过点A作AM⊥BC于点M，根据等腰三角形的三线合一得BM=DM=x，则BD=2x，根据按30°角直角三角形的性质MC=AC=3，据此建立方程可求出x的值，进而再根据勾股定理算出AM、AB，结合AB=r即可建立方程，求解即可.
9．【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，
利用AAS易证△OMG≌△GCD，
所以OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．
又因AB=CD，
所以BC AB=2．
设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，
⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b-c），
所以c=a+b-2．
在Rt△ABC中，
由勾股定理可得，
整理得2ab-4a-4b+4=0，
又因BC AB=2即b=2+a，
代入可得2a（2+a）-4a-4（2+a）+4=0，
解得，
所以，即可得BC+AB=2+4．
再设DF=x，在Rt△ONF中，FN=，OF=x，ON=，
由勾股定理可得，
解得，
CD DF=，CD+DF=．
综上只有选项A符合题意，
故答案为：A．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
10．【答案】A
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°
∵O是EF的中点，
∴OB=OE=OF
∵∠EGF=90°，O是EF的中点，
∴OG=OE=OF
∴OB=OG=OE=OF
∴B，E，G，在以O为圆心的圆上，
∴∠EBG=∠EFG，
∵∠EGF=90°， EG=FG，
∴∠GEF=∠GFE=45°
∴∠EBG=45°
∴BG平分∠ABC，
∴点G在∠ABC的平分线上，
当CG⊥BG时，CG最小，
此时，如图2，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠GBC=∠ABC=45°，
∵CG⊥BG
∴△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠BGC=90°
∴BG=CG
∵∠EGF=∠BGC=90°
∴∠EGF-∠BGF=∠BGC-∠BGF，
∴∠EGB=∠FGC，
在△EGB和△FGC中，
∴△EGB≌△FGC(SAS)，
∴BE=CF
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC
设AB=m
∵BE∶AB=1∶3
∴CF=BE=m，
在Rt△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠ACB =30°
∴AC =2AB= 2m
∴BC= ，
∴AD=m，
∴
故答案为：A．
【分析】结合图形，利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
11．【答案】π
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
【分析】连接，先根据平行线四边形的性质结合平行线的性质得到，，进而根据等腰三角形的性质结合题意证明，从而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，，再结合等边三角形的判定与性质即可得到，，从而结合三角形的面积公式、扇形的面积公式即可求解。
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∵AE=3，，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠DAB=90°，
∵∠EAB+∠EAD=90°，∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠EAD=∠ABE，
∵∠ADF=∠BEA，∠EAD=∠ABE，
∴△ADF∽△BED，
∴，
即，
∴；
故答案为：.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠AEC=90°，根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方求得BE的值，根据矩形的四个角都是直角可得∠D=∠DAB=90°，推得∠EAD=∠ABE，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可得△ADF∽△BED，根据相似三角形的对应边之比相等求出AF的值，即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图：过点B作于H，过点C作交BH的延长线于点O，过点O作于T，∵，
∴BH垂直平分线段AE，同理可得CO垂直平分线段DE，故点O为的外接圆圆心，又∵∴则OB=OC,∵，∴BT=CT=5，∵在中：
∴又∵由勾股定理得： 外接圆的半径为.
故答案为：.
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形的外心,过点B作于H，过点C作交BH的延长线于点O，过点O作于T，根据题意可得H垂直平分线段AE，同理可得CO垂直平分线段DE，故点O为的外接圆圆心，然后根据等腰三角形的性质进行求解即可.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过A点作，交的延长线与点E，
，
为的直径，
，
，
，
，
由圆周角定理得：，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】过A点作，交的延长线与点E，由等腰直角三角形的性质及圆周角定理，推出，从而得到四边形的面积等于的面积，根据三角形的面积公式即可求出的长度．
15．【答案】
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连结OP、OQ，分别交AC、BC于点H、J，
∵P，Q分别是，的中点，
∴则根据垂径定理可得：H、J分别为AC、BC的中点，∵AM=CM，
∴则M、P、H、O四点共线，同理可得O、J、Q、N四点共线，故根据中位线定理可得：
又∵∴故
故答案为：.
【分析】本题主要考查垂径定理、中位线的性质，连结OP、OQ，分别交AC、BC于点H、J，根据题意可得利用垂径定理可得：H、J分别为AC、BC的中点，再根据中位线定理可得：的长度，再根据线段的和差关系得到：长度，再根据进行求解即可.
16．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图1，当时，作，连接、，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
；
如图2，当时，连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：或.
【分析】利用等腰三角形的性质进行分类讨论：当CP=BC时，作，利用平行线和等腰三角形的性质证得，进而得到，接着通过AAS判定得到PQ=CD，再通过AAS判定，证得，故可得；当PC=PB时，连接AC，利用圆周角定理得到，进而可证得，再通过等腰三角形的性质与判定证得AP=PC=PB，故.
17．【答案】（1）解：设和美角的度数为x，则钝角的度数为90°+x，
根据题意可得：x+90°+x+x=180°，
解得：x=30°，
∴和美角的度数为30°.
（2）证明：如图1，过点B作BD⊥AB，交AC于点D，
∴∠ABD=90°，
∵△ABC是和美三角形，∠ABC是钝角，∠A是和美角，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°+∠DBC=90°+∠A，
∴∠DBC=∠A，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
∵，
∴.
（3）解：①∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=13，BC=5，
∴，
如图3，当∠EAC为和美角时，过点C作CF⊥AB于点F，
由（2）得：，
∴CE=BC=5，
∴∠CEB=∠CBA，
∵∠CEB=∠AED，∠ADC=∠ABC，
∴∠CDA=∠AED，
∴AD=AE，
∵CE=CB，CF⊥AB，
∴，
∴∠ACB=∠CFB=90°，∠CBA=∠CBF，
∴△ABC∽△CBF，
∴，
即，
∴，
∴.
如图4，当∠ACE为和美角时，过点D作CH⊥AB于点H，
∵，，
∴∠ACD=∠ABD，∠DCB=∠DAB，
即∠EBD为和美角，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
由（2）得：，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠AED=∠CEB=∠DCB，
∴BE=BC=5，
∴，
∴∠ADB=∠AHD=90°，∠DAH=∠DAB，
∴△ADH∽△ABD，
∴，
即，
∴；
综上，AD的长或.
②设∠CAB=α，则∠ACO=α，
∴∠COG=2α ，
∵，
∴∠CAB=∠CDB=α ，
当∠CAB与∠CDB为和美角时，如图：连接OC，OD，过点C作CG⊥AB于点G，
∵∠AEC=90°+α ，
∴∠CEB=90°-α ，
由（2）得：，
即CE=BC，
∴∠CEB=∠CBE=90°-α ，
∴∠ABD=∠DBC-∠ABC=90°+α -（90°-α ）=2α ，
∵，
∴∠ACD=∠ABD=2α ，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，
即α +2α+90°+α =180°，
故α =22.5°；
即∠ACD=45°，
故∠AOD=90°，∠COG=45°，
∴CG=OG，
∵OC2=CG2+OG2，
∴，
∵CG∥OD，
∴△CEG∽△DOE，
∴；
当∠CAB与∠DCB为和美角时，如图：连接OC，OD，
则∠ACE=180°-∠CAE-∠AEC=180°-α -（90°+α ）=90°-2α ，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB=90°-∠ACE=90°-（90°-2α ）=2α ，
∴∠CBD=180°-∠CDB-∠DCB=180°-α -2α =180°-3α ，
∵∠DCB为和美角，且∠DCB=2α ，
∴∠CBD=90°+2α ，
即180°-3α =90°+2α ，
∴α=18°，
则∠DCB=∠DAB=36°，∠ACE=54°，∠CBD=108°，
故∠BOD=2∠DAB=72°，∠COB=2∠CAB=36°，∠OCE=∠ACD-∠ACO=36°，∠OED=∠CEB=72°，
即CE=OE，△ODE是黄金三角形，
故，
即；
当∠ACE与∠CDB为和美角时，如图：过点D垂线与AC交于点G，连接GE，
则∠AEC=90°+∠ACE=180°-∠CAB-∠ACE，∠DBC=90°+∠CDB=90°+α ，
故∠ACE=45°-0.5α ，∠AEC=135°-0.5α ，∠DCB=90°-∠ACE=45°+0.5α，
∵∠DCB+∠CDB+∠DBC=180°，
即45°+0.5α+90°+α+α=180°，
故α =18°；
即∠ACE=36°，∠AEC=126°，∠DCB=∠DAB=54°，∠ABC=∠ADC=90°-18°=72°，∠CEB=54°，
即AD=DE，
∵AE⊥DG，
∴∠ADG=∠GDE=36°，GA=GE，
则∠CAD=∠CAB+∠BAD=18°+54°=72°，
即△ODE是黄金三角形，
故，
即；
当∠ACE与∠DCB为和美角时，如图：
则∠AEC=90°+∠ACE=180°-∠CAB-∠ACE，∠DBC=90°+∠DCB=180°-∠CDB-∠DCB，
故∠ACE=45°-0.5α ，∠AEC=135°-0.5α ，∠DCB=45°-0.5α，
∵∠ACE+∠DCB=90°，
即45°-0.5α+45°+0.5α=90°，
∴α =0，故不存在；
综上，的值为或.
【知识点】圆的综合题；三角形的综合
【解析】【分析】（1）设和美角的度数为x，利用和美三角形的定义和三角形的内角和定理列出方程，解方程即可求解；
（2）过点B作BD⊥AB，交AC于点D，根据和美三角形的定义得到∠DBC=∠A，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得，结合锐角三角形的定义即可证明；
（3）①根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方可求得AC=13，当∠EAC为和美角时，过点C作CF⊥AB于点F，结合（2）中结论可得CE=BC，根据等边对等角可得∠CEB=∠CBA，结合同圆中，等弧所对的圆周角相等可推得∠CDA=∠AED，根据等角对等边可得AD=AE，根据等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合可得，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得BF的值，即可求解；当∠ACE为和美角时，过点D作CH⊥AB于点H，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD，∠DCB=∠DAB，结合（2）中结论可得AD=DE，根据等边对等角可得∠DAE=∠AED=∠CEB=∠DCB，根据等角对等边可得BE=BC，根据等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合可得，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得AD的值，即可求解；
②设∠CAB=α，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等可推得∠CAB=∠CDB=α ，分为∠CAB与∠CDB为和美角、∠CAB与∠CDB为和美角、∠CAB与∠DCB为和美角、∠ACE与∠CDB为和美角四种情况进行分析，参照①中方法进行求解即可.
18．【答案】（1）解：①证明：如解图①，连接OB，OC.
②∵AF经过圆心O，交BC于H，
∴AF平分∠BAC，
∴
∵
∴
连接CD，
则AD垂直平分FC，
∴
∴
∵
∴
∴.
（2）解：若选择①：证明：如解图②，
，
图②
又
若选择②：证明：如解图③，连接BE，AF，CD则.
图③
由(2)①得，
又
，
垂直平分，
平分，
，
，
垂直平分BF，
平分，
，
；
若选择③：如解图④，连接AE，CD，
，
由(2)②得AD垂直平分FC，
图④
【知识点】三角形全等及其性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）①连接OB，OC，利用"SSS"证明得到：进而即可求证；
②连接CD，根据题意得到：然后根据垂直平分线的性质得到：进而证明得到；
（2）①利用"ASA"证明然后根据全等三角形的性质即可求解；
②连接BE，AF，CD，则，根据全等三角形的性质和垂直平分线的性质可得到：，进而即可求解；
③连接AE，CD，即可求出EG，EF的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求解.
19．【答案】（1）C
（2）解：①如图2，作BH⊥OC于点H，
∵点B在射线OA上的射影值为，
∴，，CA＝OA＝OB＝1，
∴，
又∵∠BOH＝∠COB，
∴△BOH∽△COB，
∴∠BHO＝∠CBO＝90°，
∴BC⊥OB，
∴直线BC是⊙O的切线；
②y＝0（x）或y＝2x（x）．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）②图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上及OC上方部分的情形．过点D作DM⊥OC，作DN⊥OB，
当∠DOB＜90°时，设DM＝h，
∵D为线段BC的中点，
∴S△OBD＝S△ODC，
∴OB×DNOC×DM，
∴DN＝2h，
∵在Rt△DON和Rt△DOM中，
OD2＝DN2+ON2＝DM2+OM2，
∴4h2+y2＝h2+x2，
∴3h2＝x2﹣y2①，
∵BD2＝CD2，
∴4h2+（1﹣y）2＝h2+（2﹣x）2②，
①②消去h得：y＝2x．
如图，当∠BOD＝90°时，过点D作DM⊥OC于点M，
∵D为线段BC的中点，
∴S△OBD＝S△ODC，
∴OB×DOOC×DM，
∵CA＝OA＝OB＝1，
∴OD＝2DM，
∴sin∠DOM，
∴∠DOM＝30°，
设DM＝h，则OD＝2h，OMh，
∴h21+4h2，
∴h，
∴OM，
当点B在OC上时，OD，
综上所述，当x时，y＝0；当x时，y＝2x．
故答案为：y＝0（x）或y＝2x（x）．
【分析】（1）利用锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义及真命题的定义逐项分析判断即可；
（2）①作BH⊥OC于点H，先证出△BOH∽△COB，可得∠BHO＝∠CBO＝90°，即可证出直线BC是⊙O的切线；
②分类讨论：第一种情况：当∠DOB＜90°时，先画出图象，再利用勾股定理列出方程求解即可；第二种情况：当∠BOD＝90°时，过点D作DM⊥OC于点M，设DM＝h，则OD＝2h，OMh，先画出图象，再利用勾股定理列出方程求解即可.
20．【答案】（1）解：∵∠A=∠C，MB=CE，
∴△MAB≌△MCE，
∴MB=ME，
∵MD⊥BC，
∴BD=DE，
∴CE+DE=AB+BD，
∴CD=DB+BA.
（2）3
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；垂径定理；圆的综合题
【解析】【解答】解：（2）∵OD⊥AB，
∴，
∴点E是的中点，
∵BC=4，AC=10，
∴BC＜AC，
∵EF⊥AC，
∴，
∴CF=AC-AF=3，
故答案为：3；
（3）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，
∴，
∴点A是的中点，
∵CD＜BD，
如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，
∴BE=DE+CD=，
∵∠ABD= 45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴，
∴BE=，
∴BD+CD=2BE=，
∴△BDC的周长为：BD+CD+BC=，
故答案为：.
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据垂径定理求出，再求出，最后计算求解即可；
（3）根据等边三角形的性质求出AB=AC=BC=2，再求出△ABE是等腰直角三角形，最后求三角形的周长即可。
21．【答案】（1）解：，是的两条直径，，
，
，
又，
，
，
（2）证明：，，
，
又，
∽，
，
．
（3）证明：，，
由知，
，
，
，
．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，结合垂直平分线上的点到两边的距离相等，等边对等角可得∠D=∠E=∠ACD=∠BAC=45°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠DAE=15°，根据等弧所对的圆周角相等可得∠DCE=∠DAE=15°，即可求解；
（2）先推出∠ACG=∠AFC，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等即可证明；
（3）由三角形面积公式推得S△ACD=S四边形ACGF，则S△ACD-S△ACO=S四边形ACGF-S△ACO，推得S△AFD=S△CGF，即可求解.
22．【答案】（1）解：∵，
∴.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-
（2）证明：∵AF=AD，
∴∠AFD=∠ADB=
∴∠AFB=180°-∠AFD=180°-，
∴∠AFB=∠ADC.
∵∠ABD，∠ACD是AD所对圆周角，
∴∠ABD=∠ACD.
在△ABF与△ACD中，
∴△ABF≌△ACD(AAS)
∴BF=CD.
（3）解：①连结BM
∵AM是直径，
∴∠ABM=90°，MB=MC
∵△ABF≌△ACD，
∴∠BAM=∠DAC，
∴∠BAM=∠MBP=∠DAC=∠DBC
∵AB=AC，
∴AM⊥BC且AM平分BC，
∵tan∠DAC=，
∴，，
∴BP=6，MP=4，AP=9，
∴PF=MP=4，
∴AF=AP-PF=9-4=5
②猜想∠AFC=90°.
连结BM，CM，过点F作FQ∥BM交MC于点Q.
∵AB=AC，AF=AD，
∴∠1=∠2=∠4=∠5=∠7，
∵∠3，∠6是CD所对的圆周角，
∴∠3=∠6.
∴△ADG∽△BFP，△AFG∽△BMP，
∴，，
∵FG=2GD，
∴MP=2PF，
∵∠2=∠7，
∴BD//MC.
∴△BFP∽△CMP，四边形BMOF是平行四边形.
∴
∴∠4=∠5，
∴BM=BF，
∴四边形BMOF是菱形.
∴BF=MO=FQ，
∴MO=FQ=QC，
∴∠7=∠MFO，∠MCF=∠OFC
∵∠7+∠MFP+∠MCF+∠PFC=180°.
∴∠MFC=90°.
∴∠AFC=90°
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等得到，根据圆内接四边形的性质即可得到答案；
（2）分别得到∠AFD=∠ADB=，∠AFB=∠ADC，进而证明△ABF≌△ACD(AAS)，根据全等三角形的性质即可得到答案；
（3） ① 连结BM，根据已知条件得到∠BAM=∠DAC，再根据AB=AC得到AM⊥BC且AM平分BC，利用tan∠DAC=求出BP=6，MP=4，AP=9，进而得到答案；
②连结BM，CM，过点F作FQ∥BM交MC于点Q，根据题意证明△ADG∽△BFP，△AFG∽△BMP，得到，，求出FG=2GD，进而证明△BFP∽△CMP，四边形BMOF是平行四边形，即可知四边形BMOF是菱形，进而得到答案。
1 / 12024年中考数学考前20天终极冲刺专题之圆(二)
一、选择题
1．（2022·旌阳模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且 被水面截得弦 长为4米， 半径长为3米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦 所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C． 米 D． 米
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC交AB于点E.
由题意OC⊥AB，
∴AE=BE= AB=2（米），
在Rt△AEO中， （米），
∴CE=OC-OE= （米）.
故答案为：C.
【分析】连接OC交AB于点E，由题意OC⊥AB，根据垂径定理可得AE=BE=AB=2米，根据勾股定理求出OE，然后根据CE=OC-OE进行计算.
2．（2022九上·义乌期中）如图，是的直径，点D，C在上，连接，，，如果，那么的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD.
∵是的直径，
∴.
∵，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据同弧所对的圆周角相等得∠ABD=65°，最后根据直角三角形的两锐角互余即可得出答案.
3．（2024·宁波模拟）如图，已知内接于，，点为的重心若，当点到的距离最大时，线段的长为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆的综合题；锐角三角函数的定义；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：由题知，当点A在BC的垂直平分线与⊙O的交点处时，点A到BC的距离最大， 如图：
∵AM⊥BC，
∴，∠BOC=2∠BOM，
又∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOM=∠BAC，
在Rt△BOM中，，，
∴，，
∴，
∵点P为△ABC的重心，
∴，
∴；
故答案为：B.
【分析】先根据点A到BC的距离最大，得出点A在BC的垂直平分线上，根据等腰三角形的底边上的中点和底边上的高、顶角的角平分线三线合一可得∠BOC=2∠BOM，根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半可推得∠BOM=∠BAC，根据三角函数表示出线段OM、OB、AM的长度，根据三角形重心的到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍，即可求解.
4．（2024九下·武汉月考） 如图，在中，，，，点O以的速度在边上沿的方向运动，以点O为圆心，半径为作，运动过程中，与三边所在直线第一次相切和第三次相切的时间间隔是（ ）s
A． B．4 C． D．
【答案】A
【知识点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，与三边所在直线第一次与AC相切，第二次与BC相切，第三次与AB相切，
∵，，，
∴AB=10cm，
当与三边所在直线第一次相切时，作OD⊥AC于点D，如图，
∵∠C=90°，∴BC⊥AC，
∴OD//BC，
∴，
∴，
∵OD=2cm，
∴，
即cm；
当与三边所在直线第三次相切时，作OE⊥AB于点E，如图，
∵∠C=∠OEB=90°，∠B=∠B，
∴，
∴，
∵OD=2cm，
∴，
即cm；
∴与三边所在直线第一次相切和第三次相切的时间间隔是
故答案为：A.
【分析】根据题意，与三边所在直线第一次与AC相切，第二次与BC相切，第三次与AB相切，求出AB的长度，当与三边所在直线第一次相切时，作OD⊥AC于点D，求出AO的长，当与三边所在直线第三次相切时，作OE⊥AB于点E，求出BO的长，进而即可得到答案.
5．（2023·潜江）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ交于点O，连接OA、OB、OC，则点O为△ABC外接圆的圆心.
由图可得：OA2=12+22=5，OC2=12+22=5，AC2=12+32=10，
∴OA2+OC2=AC2，
∴△OAC为等腰直角三角形，且∠AOC=90°，
∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC-S△ABC=-××-×2×1=-.
故答案为：D.
【分析】作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ交于点O，连接OA、OB、OC，则点O为△ABC外接圆的圆心，由勾股定理逆定理可得△OAC为等腰直角三角形，且∠AOC=90°，然后根据S阴影=S扇形AOC-S△AOC-S△ABC进行计算.
6．（2023·滁州模拟）如图，四边形是的内接正方形，直线且平分，交于点，若，则阴影部分面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OE、OB设EF交OA于点M
∵直线且平分OA，
∴OE=AE
∵OA，OE为的半径
∴OA=OE
∴OA=AE=OE=1
∴△OAE为等边三角形
∴∠AOE=60°
∴EM=OE×sin∠AOE=OE×sin60°=
∴
∴
∵四边形ABCD是的内接四边形
∴∠AOB=90°
∴
∴
∴
故答案为：A
【分析】本题考查正多边形与圆、利用扇形的面积公式求阴影部分的面积，根据正方形内接于圆，可得出圆心角∠AOB＝90°，可求出和，进而求得，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得出AE=OE，从而等到△AOE为等边三角形，利用解直角三角形得出高EM的长，从而求出和，得出，，用即可求出答案.
7．（2023·德阳）如图，的直径，是弦，，，，的延长线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点，连接．下列结论中正确的个数是（ ）
①；
②是的切线；
③B，E两点间的距离是；
④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆的综合题；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 连接 、 、 ，过点 作 交 延长线于 ， 于 ，如图所示：
的直径 ， ，
， ，
∴ ， ，
是弦， ， ，
，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
，
，①正确；
， ，
，
，
平分 ，
是 的中垂线，
，
，
，
，
，即 ，
是弦，
是锐角，
是钝角，
是钝角， ，
不垂直 ， 不是 的切线，②不正确；
，
，
又 ，
，
，
， 于 ，
，
，
，
，
∴ ，③正确；
， ，
， ，
，
， ，
，
设 ，则 ，
∴ ， ，
，
，
∴ ，
，
解得 ，
，④不正确；
综上所述，①和③结论正确，
故答案为：B
【分析】连接 、 、 ，过点 作 交 延长线于 ， 于 ，根据题意结合垂径定理、圆内接四边形的性质即可得到，进而根据垂直定理结合题意即可得到 不是 的切线，再证明 ，结合题意运用勾股定理即可得到③； 设 ，则 ，根据题意即可得到 ，进而结合题意代入即可求出a。
8．（2023九下·婺城月考）如图，是的内接三角形，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点D.若，，则的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，设折叠后的所在的圆心是O'，连接O'A，O'D，
∴，
连接OA，OB，
同理，，
∴.
∵和是等圆，
∴.
设圆O的半径是r，过点O作OG⊥AB于点G.
∵，，
∴，，
∴，
∴.
过点A作AM⊥BC于点M，
∵，
设，则.
∵D是BC的中点，
∴，
∴.
∵，，
∴.
在中，，
∴，
解得，
∴，.
在中，.
∵，
∴.
故答案为：D.
【分析】设折叠后的所在的圆心是O'，连接O'A，O'D，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AO'D=2∠ACB=120°，连接OA，OB，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOB=120°，设圆O的半径是r，过点O作OG⊥AB于点G，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠OAB=∠OBA=30°，AB=2AG，由含30°角直角三角形的性质得OG=r，根据勾股定理AB=r；过点A作AM⊥BC于点M，根据等腰三角形的三线合一得BM=DM=x，则BD=2x，根据按30°角直角三角形的性质MC=AC=3，据此建立方程可求出x的值，进而再根据勾股定理算出AM、AB，结合AB=r即可建立方程，求解即可.
9．（2021九上·尧都期末）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
A．CD+DF=4 B．CD DF=2 3
C．BC+AB=2+4 D．BC AB=2
【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，
利用AAS易证△OMG≌△GCD，
所以OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．
又因AB=CD，
所以BC AB=2．
设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，
⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b-c），
所以c=a+b-2．
在Rt△ABC中，
由勾股定理可得，
整理得2ab-4a-4b+4=0，
又因BC AB=2即b=2+a，
代入可得2a（2+a）-4a-4（2+a）+4=0，
解得，
所以，即可得BC+AB=2+4．
再设DF=x，在Rt△ONF中，FN=，OF=x，ON=，
由勾股定理可得，
解得，
CD DF=，CD+DF=．
综上只有选项A符合题意，
故答案为：A．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
10．（2021九上·蜀山期末）如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°
∵O是EF的中点，
∴OB=OE=OF
∵∠EGF=90°，O是EF的中点，
∴OG=OE=OF
∴OB=OG=OE=OF
∴B，E，G，在以O为圆心的圆上，
∴∠EBG=∠EFG，
∵∠EGF=90°， EG=FG，
∴∠GEF=∠GFE=45°
∴∠EBG=45°
∴BG平分∠ABC，
∴点G在∠ABC的平分线上，
当CG⊥BG时，CG最小，
此时，如图2，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠GBC=∠ABC=45°，
∵CG⊥BG
∴△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠BGC=90°
∴BG=CG
∵∠EGF=∠BGC=90°
∴∠EGF-∠BGF=∠BGC-∠BGF，
∴∠EGB=∠FGC，
在△EGB和△FGC中，
∴△EGB≌△FGC(SAS)，
∴BE=CF
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC
设AB=m
∵BE∶AB=1∶3
∴CF=BE=m，
在Rt△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠ACB =30°
∴AC =2AB= 2m
∴BC= ，
∴AD=m，
∴
故答案为：A．
【分析】结合图形，利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
二、填空题
11．（2024九下·渝中模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．且∠ADE＝30°，AD＝6，则阴影部分的面积为 ．
【答案】π
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
【分析】连接，先根据平行线四边形的性质结合平行线的性质得到，，进而根据等腰三角形的性质结合题意证明，从而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，，再结合等边三角形的判定与性质即可得到，，从而结合三角形的面积公式、扇形的面积公式即可求解。
12．（2023九上·长兴月考）如图，为的直径，长为，以为边作矩形，点在圆上，连接，分别交于点．若为3，为2，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∵AE=3，，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠DAB=90°，
∵∠EAB+∠EAD=90°，∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠EAD=∠ABE，
∵∠ADF=∠BEA，∠EAD=∠ABE，
∴△ADF∽△BED，
∴，
即，
∴；
故答案为：.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠AEC=90°，根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方求得BE的值，根据矩形的四个角都是直角可得∠D=∠DAB=90°，推得∠EAD=∠ABE，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可得△ADF∽△BED，根据相似三角形的对应边之比相等求出AF的值，即可得出答案.
13．（2023九上·南浔月考）如图，点在一直线上，，在直线同侧，，，，当时，外接圆的半径为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图：过点B作于H，过点C作交BH的延长线于点O，过点O作于T，∵，
∴BH垂直平分线段AE，同理可得CO垂直平分线段DE，故点O为的外接圆圆心，又∵∴则OB=OC,∵，∴BT=CT=5，∵在中：
∴又∵由勾股定理得： 外接圆的半径为.
故答案为：.
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形的外心,过点B作于H，过点C作交BH的延长线于点O，过点O作于T，根据题意可得H垂直平分线段AE，同理可得CO垂直平分线段DE，故点O为的外接圆圆心，然后根据等腰三角形的性质进行求解即可.
14．（2023九上·曾都月考）如图，中，四边形内接于圆，是直径，，若，则 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过A点作，交的延长线与点E，
，
为的直径，
，
，
，
，
由圆周角定理得：，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】过A点作，交的延长线与点E，由等腰直角三角形的性质及圆周角定理，推出，从而得到四边形的面积等于的面积，根据三角形的面积公式即可求出的长度．
15．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为底边向外作高为AC，BC长的等腰三角形ACM，等腰三角形BCN，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ=12，AC+BC=15，则AO的长是 .
【答案】
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连结OP、OQ，分别交AC、BC于点H、J，
∵P，Q分别是，的中点，
∴则根据垂径定理可得：H、J分别为AC、BC的中点，∵AM=CM，
∴则M、P、H、O四点共线，同理可得O、J、Q、N四点共线，故根据中位线定理可得：
又∵∴故
故答案为：.
【分析】本题主要考查垂径定理、中位线的性质，连结OP、OQ，分别交AC、BC于点H、J，根据题意可得利用垂径定理可得：H、J分别为AC、BC的中点，再根据中位线定理可得：的长度，再根据线段的和差关系得到：长度，再根据进行求解即可.
16．（2023九上·乐清期中）如图，点P是线段AB上一动点(不包括端点)，过点P作PQ⊥AB交以AB为直径的半圆O于点Q，连结AQ，过点P作PC∥AQ交该半圆于点C，连结CB．当△PCB是以PC为腰的等腰三角形时，为
【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图1，当时，作，连接、，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
；
如图2，当时，连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：或.
【分析】利用等腰三角形的性质进行分类讨论：当CP=BC时，作，利用平行线和等腰三角形的性质证得，进而得到，接着通过AAS判定得到PQ=CD，再通过AAS判定，证得，故可得；当PC=PB时，连接AC，利用圆周角定理得到，进而可证得，再通过等腰三角形的性质与判定证得AP=PC=PB，故.
三、实践探究题
17．（2024·台州模拟）【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角.
（1）【概念理解】当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数.
（2）【性质探究】如图1，△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角，
求证：.
（3）【拓展应用】如图2，AB是⊙O的直径，且AB=13，点C，D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E，连接AD，BD，△ACE是和美三角形.
①当BC=5时，求AD的长.
②当△BCD是和美三角形时，直接写出的值.
【答案】（1）解：设和美角的度数为x，则钝角的度数为90°+x，
根据题意可得：x+90°+x+x=180°，
解得：x=30°，
∴和美角的度数为30°.
（2）证明：如图1，过点B作BD⊥AB，交AC于点D，
∴∠ABD=90°，
∵△ABC是和美三角形，∠ABC是钝角，∠A是和美角，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°+∠DBC=90°+∠A，
∴∠DBC=∠A，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
∵，
∴.
（3）解：①∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=13，BC=5，
∴，
如图3，当∠EAC为和美角时，过点C作CF⊥AB于点F，
由（2）得：，
∴CE=BC=5，
∴∠CEB=∠CBA，
∵∠CEB=∠AED，∠ADC=∠ABC，
∴∠CDA=∠AED，
∴AD=AE，
∵CE=CB，CF⊥AB，
∴，
∴∠ACB=∠CFB=90°，∠CBA=∠CBF，
∴△ABC∽△CBF，
∴，
即，
∴，
∴.
如图4，当∠ACE为和美角时，过点D作CH⊥AB于点H，
∵，，
∴∠ACD=∠ABD，∠DCB=∠DAB，
即∠EBD为和美角，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
由（2）得：，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠AED=∠CEB=∠DCB，
∴BE=BC=5，
∴，
∴∠ADB=∠AHD=90°，∠DAH=∠DAB，
∴△ADH∽△ABD，
∴，
即，
∴；
综上，AD的长或.
②设∠CAB=α，则∠ACO=α，
∴∠COG=2α ，
∵，
∴∠CAB=∠CDB=α ，
当∠CAB与∠CDB为和美角时，如图：连接OC，OD，过点C作CG⊥AB于点G，
∵∠AEC=90°+α ，
∴∠CEB=90°-α ，
由（2）得：，
即CE=BC，
∴∠CEB=∠CBE=90°-α ，
∴∠ABD=∠DBC-∠ABC=90°+α -（90°-α ）=2α ，
∵，
∴∠ACD=∠ABD=2α ，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，
即α +2α+90°+α =180°，
故α =22.5°；
即∠ACD=45°，
故∠AOD=90°，∠COG=45°，
∴CG=OG，
∵OC2=CG2+OG2，
∴，
∵CG∥OD，
∴△CEG∽△DOE，
∴；
当∠CAB与∠DCB为和美角时，如图：连接OC，OD，
则∠ACE=180°-∠CAE-∠AEC=180°-α -（90°+α ）=90°-2α ，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB=90°-∠ACE=90°-（90°-2α ）=2α ，
∴∠CBD=180°-∠CDB-∠DCB=180°-α -2α =180°-3α ，
∵∠DCB为和美角，且∠DCB=2α ，
∴∠CBD=90°+2α ，
即180°-3α =90°+2α ，
∴α=18°，
则∠DCB=∠DAB=36°，∠ACE=54°，∠CBD=108°，
故∠BOD=2∠DAB=72°，∠COB=2∠CAB=36°，∠OCE=∠ACD-∠ACO=36°，∠OED=∠CEB=72°，
即CE=OE，△ODE是黄金三角形，
故，
即；
当∠ACE与∠CDB为和美角时，如图：过点D垂线与AC交于点G，连接GE，
则∠AEC=90°+∠ACE=180°-∠CAB-∠ACE，∠DBC=90°+∠CDB=90°+α ，
故∠ACE=45°-0.5α ，∠AEC=135°-0.5α ，∠DCB=90°-∠ACE=45°+0.5α，
∵∠DCB+∠CDB+∠DBC=180°，
即45°+0.5α+90°+α+α=180°，
故α =18°；
即∠ACE=36°，∠AEC=126°，∠DCB=∠DAB=54°，∠ABC=∠ADC=90°-18°=72°，∠CEB=54°，
即AD=DE，
∵AE⊥DG，
∴∠ADG=∠GDE=36°，GA=GE，
则∠CAD=∠CAB+∠BAD=18°+54°=72°，
即△ODE是黄金三角形，
故，
即；
当∠ACE与∠DCB为和美角时，如图：
则∠AEC=90°+∠ACE=180°-∠CAB-∠ACE，∠DBC=90°+∠DCB=180°-∠CDB-∠DCB，
故∠ACE=45°-0.5α ，∠AEC=135°-0.5α ，∠DCB=45°-0.5α，
∵∠ACE+∠DCB=90°，
即45°-0.5α+45°+0.5α=90°，
∴α =0，故不存在；
综上，的值为或.
【知识点】圆的综合题；三角形的综合
【解析】【分析】（1）设和美角的度数为x，利用和美三角形的定义和三角形的内角和定理列出方程，解方程即可求解；
（2）过点B作BD⊥AB，交AC于点D，根据和美三角形的定义得到∠DBC=∠A，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得，结合锐角三角形的定义即可证明；
（3）①根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方可求得AC=13，当∠EAC为和美角时，过点C作CF⊥AB于点F，结合（2）中结论可得CE=BC，根据等边对等角可得∠CEB=∠CBA，结合同圆中，等弧所对的圆周角相等可推得∠CDA=∠AED，根据等角对等边可得AD=AE，根据等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合可得，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得BF的值，即可求解；当∠ACE为和美角时，过点D作CH⊥AB于点H，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD，∠DCB=∠DAB，结合（2）中结论可得AD=DE，根据等边对等角可得∠DAE=∠AED=∠CEB=∠DCB，根据等角对等边可得BE=BC，根据等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合可得，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得AD的值，即可求解；
②设∠CAB=α，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等可推得∠CAB=∠CDB=α ，分为∠CAB与∠CDB为和美角、∠CAB与∠CDB为和美角、∠CAB与∠DCB为和美角、∠ACE与∠CDB为和美角四种情况进行分析，参照①中方法进行求解即可.
18．内接于，且，是劣弧BC上一点，分别交AD，BD于点G，F，交于点.
（1）如图，连接AF，当AF经过圆心时.
①求证：AF平分；
②求的值；
（2）考生注意：本题有三小题，第①题2分，第②题3分，第③题4分，如图，请根据自己的认知水平，选做其中一题.
①连接CD，求证：；
②连接AE，求证：；
③连接BE，若，求BE的长.
【答案】（1）解：①证明：如解图①，连接OB，OC.
②∵AF经过圆心O，交BC于H，
∴AF平分∠BAC，
∴
∵
∴
连接CD，
则AD垂直平分FC，
∴
∴
∵
∴
∴.
（2）解：若选择①：证明：如解图②，
，
图②
又
若选择②：证明：如解图③，连接BE，AF，CD则.
图③
由(2)①得，
又
，
垂直平分，
平分，
，
，
垂直平分BF，
平分，
，
；
若选择③：如解图④，连接AE，CD，
，
由(2)②得AD垂直平分FC，
图④
【知识点】三角形全等及其性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）①连接OB，OC，利用"SSS"证明得到：进而即可求证；
②连接CD，根据题意得到：然后根据垂直平分线的性质得到：进而证明得到；
（2）①利用"ASA"证明然后根据全等三角形的性质即可求解；
②连接BE，AF，CD，则，根据全等三角形的性质和垂直平分线的性质可得到：，进而即可求解；
③连接AE，CD，即可求出EG，EF的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求解.
19．（2024九上·湖南期末） 定义：当点P在射线OA上时，把的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．
例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为．
（1）在△OAB中，
①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；
②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；
③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形．
其中真命题有 ▲ ．
．①②．①③．②③．①②③
（2）已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以〇为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O上任意点．
①如图2，若点B在射线OA上的射影值为．求证：直线BC是⊙O的切线；
②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】（1）C
（2）解：①如图2，作BH⊥OC于点H，
∵点B在射线OA上的射影值为，
∴，，CA＝OA＝OB＝1，
∴，
又∵∠BOH＝∠COB，
∴△BOH∽△COB，
∴∠BHO＝∠CBO＝90°，
∴BC⊥OB，
∴直线BC是⊙O的切线；
②y＝0（x）或y＝2x（x）．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）②图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上及OC上方部分的情形．过点D作DM⊥OC，作DN⊥OB，
当∠DOB＜90°时，设DM＝h，
∵D为线段BC的中点，
∴S△OBD＝S△ODC，
∴OB×DNOC×DM，
∴DN＝2h，
∵在Rt△DON和Rt△DOM中，
OD2＝DN2+ON2＝DM2+OM2，
∴4h2+y2＝h2+x2，
∴3h2＝x2﹣y2①，
∵BD2＝CD2，
∴4h2+（1﹣y）2＝h2+（2﹣x）2②，
①②消去h得：y＝2x．
如图，当∠BOD＝90°时，过点D作DM⊥OC于点M，
∵D为线段BC的中点，
∴S△OBD＝S△ODC，
∴OB×DOOC×DM，
∵CA＝OA＝OB＝1，
∴OD＝2DM，
∴sin∠DOM，
∴∠DOM＝30°，
设DM＝h，则OD＝2h，OMh，
∴h21+4h2，
∴h，
∴OM，
当点B在OC上时，OD，
综上所述，当x时，y＝0；当x时，y＝2x．
故答案为：y＝0（x）或y＝2x（x）．
【分析】（1）利用锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义及真命题的定义逐项分析判断即可；
（2）①作BH⊥OC于点H，先证出△BOH∽△COB，可得∠BHO＝∠CBO＝90°，即可证出直线BC是⊙O的切线；
②分类讨论：第一种情况：当∠DOB＜90°时，先画出图象，再利用勾股定理列出方程求解即可；第二种情况：当∠BOD＝90°时，过点D作DM⊥OC于点M，设DM＝h，则OD＝2h，OMh，先画出图象，再利用勾股定理列出方程求解即可.
20．（2023九上·长春期中）有关阿基米德折弦定理的探讨与应用
（1）[问题呈现]
阿基术德折弦定理：如图①，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线AB-BC是圆的一条折弦），BC> AB，点M是的中点，则从点M向BC作垂线，垂足D是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA．
下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程.
证明：如图②，在CD上截取CE=AB，连接MA、MB、MC和ME.
∵M是的中点，∴MA=MC.
……
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分.
（2）[理解运用]
如图③，△ABC内接于⊙O，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点E，过点E作EF⊥AC于点F.若AC=10，BC=4，则CF的长为
（3）[实践应用]
如图④，等边△ABC内接于⊙O，点D是上一点，且∠ABD= 45°，连接CD.若AB=2，则△BDC的周长为
【答案】（1）解：∵∠A=∠C，MB=CE，
∴△MAB≌△MCE，
∴MB=ME，
∵MD⊥BC，
∴BD=DE，
∴CE+DE=AB+BD，
∴CD=DB+BA.
（2）3
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；垂径定理；圆的综合题
【解析】【解答】解：（2）∵OD⊥AB，
∴，
∴点E是的中点，
∵BC=4，AC=10，
∴BC＜AC，
∵EF⊥AC，
∴，
∴CF=AC-AF=3，
故答案为：3；
（3）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，
∴，
∴点A是的中点，
∵CD＜BD，
如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，
∴BE=DE+CD=，
∵∠ABD= 45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴，
∴BE=，
∴BD+CD=2BE=，
∴△BDC的周长为：BD+CD+BC=，
故答案为：.
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据垂径定理求出，再求出，最后计算求解即可；
（3）根据等边三角形的性质求出AB=AC=BC=2，再求出△ABE是等腰直角三角形，最后求三角形的周长即可。
四、综合题
21．（2024·宁波模拟）如图，，是的两条直径，，点是上一点，连接，，分别交，于点，，连接，，．
（1）若，求的度数．
（2）求证：．
（3）设，的面积为，的面积为，求证：．
【答案】（1）解：，是的两条直径，，
，
，
又，
，
，
（2）证明：，，
，
又，
∽，
，
．
（3）证明：，，
由知，
，
，
，
．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，结合垂直平分线上的点到两边的距离相等，等边对等角可得∠D=∠E=∠ACD=∠BAC=45°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠DAE=15°，根据等弧所对的圆周角相等可得∠DCE=∠DAE=15°，即可求解；
（2）先推出∠ACG=∠AFC，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等即可证明；
（3）由三角形面积公式推得S△ACD=S四边形ACGF，则S△ACD-S△ACO=S四边形ACGF-S△ACO，推得S△AFD=S△CGF，即可求解.
22．（2024·余姚模拟）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC交BD于点G，，点F在线段BD上，且AF=AD.
（1）若∠ADB=，请用的代数式表示∠ADC；
（2）求证：BF=CD；
（3）如图2，延长AF交⊙O于点M，连结FC.
①若AM为⊙O的直径，AM=13，tan∠DAC=，求AF的长；
②若FG=2GD，猜想∠AFC的度数，并证明你的结论.
【答案】（1）解：∵，
∴.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-
（2）证明：∵AF=AD，
∴∠AFD=∠ADB=
∴∠AFB=180°-∠AFD=180°-，
∴∠AFB=∠ADC.
∵∠ABD，∠ACD是AD所对圆周角，
∴∠ABD=∠ACD.
在△ABF与△ACD中，
∴△ABF≌△ACD(AAS)
∴BF=CD.
（3）解：①连结BM
∵AM是直径，
∴∠ABM=90°，MB=MC
∵△ABF≌△ACD，
∴∠BAM=∠DAC，
∴∠BAM=∠MBP=∠DAC=∠DBC
∵AB=AC，
∴AM⊥BC且AM平分BC，
∵tan∠DAC=，
∴，，
∴BP=6，MP=4，AP=9，
∴PF=MP=4，
∴AF=AP-PF=9-4=5
②猜想∠AFC=90°.
连结BM，CM，过点F作FQ∥BM交MC于点Q.
∵AB=AC，AF=AD，
∴∠1=∠2=∠4=∠5=∠7，
∵∠3，∠6是CD所对的圆周角，
∴∠3=∠6.
∴△ADG∽△BFP，△AFG∽△BMP，
∴，，
∵FG=2GD，
∴MP=2PF，
∵∠2=∠7，
∴BD//MC.
∴△BFP∽△CMP，四边形BMOF是平行四边形.
∴
∴∠4=∠5，
∴BM=BF，
∴四边形BMOF是菱形.
∴BF=MO=FQ，
∴MO=FQ=QC，
∴∠7=∠MFO，∠MCF=∠OFC
∵∠7+∠MFP+∠MCF+∠PFC=180°.
∴∠MFC=90°.
∴∠AFC=90°
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等得到，根据圆内接四边形的性质即可得到答案；
（2）分别得到∠AFD=∠ADB=，∠AFB=∠ADC，进而证明△ABF≌△ACD(AAS)，根据全等三角形的性质即可得到答案；
（3） ① 连结BM，根据已知条件得到∠BAM=∠DAC，再根据AB=AC得到AM⊥BC且AM平分BC，利用tan∠DAC=求出BP=6，MP=4，AP=9，进而得到答案；
②连结BM，CM，过点F作FQ∥BM交MC于点Q，根据题意证明△ADG∽△BFP，△AFG∽△BMP，得到，，求出FG=2GD，进而证明△BFP∽△CMP，四边形BMOF是平行四边形，即可知四边形BMOF是菱形，进而得到答案。
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