2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之线段最值（一）
一、选择题
1．（2023·安徽）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为
2．（2024八下·宜宾月考）如图，已知直线分别交轴、轴于点B、A两点，，D、E分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·乌鲁木齐期末）如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·游仙模拟）如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2024九上·苍溪期末）如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点即P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．4
6．（2023八上·济南开学考）如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是OA，OB上的动点，P为∠AOB内一点，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，MN的长为（ ）
A．6 B．12-18 C．18-18 D．12
7．（2024八上·杭州期末）如图，在四边形刚好是中点，P、Q分别是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
8．（2023·天河模拟）如图：等边三角形中，，、分别是边、上的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023八下·花都期末）如图，在边长为10的正方形对角线上有E，F两个动点，且，点P是中点，连接，则最小值为（ ）
A． B． C． D．10
10．（2023八下·庐江期末）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024八下·台州开学考）如图，在中，，，，点E在边BC上，并且，点F为边AC上的动点，将沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
12．（2020八上·三台期中）如图，正方形 的面积为 ， 是等边三角形，点 在正方形 内，在对角线 上有一点 ，使 的和最小，则这个最小值为（ ）．
A． B． C． D．
13．（2023七下·清新期中）如图：点在轴上，是轴上的动点，将线段绕点逆时针旋转得线段，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·齐齐哈尔模拟）如图，中，，，于点，若点是线段上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023九上·铜梁月考） 如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF．若AD＝4，则EG2+CG2的最小值为（ ）
A．52 B．60 C．68 D．76
16．（2023·四川模拟）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（ ）
A． B．36 C． D．
二、填空题
17．（2024八下·经开期中） 如图，在矩形中，为的中点，若为边上的两个动点，且，则线段的最小值为 ．
18．（2024·深圳模拟）如图，在直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为一边向下作等边，连接，则的最小值为 ．
19．（2021九上·开福月考）如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，则的最小值为 .
20．（2024八下·浙江期中）如图，中，，点为边上的中点，为边上的两个动点，且，则五边形的周长最小值为
21．（2024九上·乌鲁木齐期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为 ．
22．（2024九下·西安开学考）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝5，BC＝4，点D为CB延长线上一点．当点D在CB延长线上运动时，AD-BD的最小值为 ．
23．（2023九上·石家庄期中）如图，已知点坐标为，为轴正半轴上一动点，则度数为 ，在点运动的过程中的最小值为 ．
24．（2023九上·苍南模拟）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，AE为∠BAD的平分线，F为AE上一动点，点M为DF的中点，连接BM，则BM的最小值是 .
25．（2023九上·阿城期中）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以为圆心，1为半径的圆上一动点，连接．则面积的最大值与最小值的差为 ．
26．（2023八上·武汉月考）如图，CD为等腰的高，其中，E，F分别为线段CD，AC上的动点，且，当取最小值时，的度数为 ．
27．（2024九上·盘州期末）如图，正方形的边长为8，点为边上一点，且，点为边上的一个动点，连接，以为一条直角边向右侧作等腰，且使，连接，则的最小值是 ．
三、解答题
28．（2023九上·晋州期中）数学课上，老师给出题目：如图所示，在中，，点D，E分别是边和边上的动点，且，连接，．请探究是否存在最小值？并说明理由．
嘉淇的想法是把和转移到某处，并使它们“接在一起”，然后利用“两点之间，线段最短”尝试探索，并成功解决了问题．以下是她的探索思路，请你按要求补充具体解题过程．
（1）在射线上取点F，使，把绕点A顺时针旋转，使点D落在点F处，点C落在点G处．
①请你运用尺规作图（保留作图痕迹，不用给出证明），作出，并连接；
②求证：．
（2）在（1）的基础上，请你通过探索，求出的最小值，并直接写出此时的长度．
29．（2023九下·宿迁开学考）【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求的最小值.
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以，得所以.
又因为，所以最小值为 ▲ .
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值.
【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求的最小值.
【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ▲ .
四、实践探究题
30．（2023八上·南山月考）【阅读材料】说明代数式的几何意义，并求它的最小值．
解：，如图1，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是求PA＋PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA＝PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB＝3，所以，即原式的最小值为．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）【基础训练】代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和；（填写点B的坐标）
（2）【能力提升】求代数式的最小值为 ；
（3）【拓展升华】如图2，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且．当AM＋BN的值最小时，求CM的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图1所示，延长AD、BE相交于点M，∵△ADE和△BCE都是等边三角形，∴∠DAE=∠CBE=60°，∴△MAB是等边三角形。
A、过点P作直线l∥AB，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'，BA'与直线l相较于点p，此时PA+PB的长度最小，且PA+PA=PA'+PB=A'B，又∠DEA=∠MBA=60°，∠DAE=∠CEB=60°，∴DE∥MB，CE∥MA，∴四边形DECM是平行四边形，所以点P既是CD的中点，又是ME的中点，又∵点E在AB上移动，∴点P在直线l上移动，所以点M到l的距离等于点P到AB的距离，又知AB=4，∴等边三角形ABC的高为，所以M到l的距离=点P到AB的距离=，又A和A'关于l对称，∴AA'=，且∠A'AB=90°，∴所以PA+PB的最小值为不正确，A符合题意；
B、因为四边形DECM是平行四边形，∴PE=PM，∴PE+PF=PM+PF，所以当MPE三点在同一直线上时，PM+PF的值最小，因为点F是AB的中点，∴此时最小值为等边△MAB的高。即PM+PF的值最小为，∴PE+PF的最小值为正确，所以B不符合题意；
C、如图2所示，分别过点D、C作AB的垂线，垂足分别为点K、T，∵△ADE和△BCE都是等边三角形，∴∴CD≥2，∵CD+DE+CE=CD+AE+BE，∴CD+DE+CE≥2+4，即△CDE的周长≥6，∴△CDE的周长的最小值为6正确，所以C不符合题意；
D、如图2所示，设AE=2a，则BE=4-2a，∴KE=a，TE=2-a，DK=，CT=，∴四边形ABCD的面积为：S△ADK+S△CBK+S梯形DKTC==，∴当a=1时，四边形ABCD的面积最小，最小值为，所以D正确，不符合题意。
故答案为：A。
图1 图2
【分析】A、如图1，根据轴对称的性质，可得PA+PB的最小值为A'B的长度，根据勾股定理即可；
B、如图1，根据两点之间，线段最短，可知当M、P、F三点共线时，PE+PF的值最小，此时的最小值就是等边△MAB的高；
C、如图2，△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+AE+BE=CD+4，所以当CD取最小值时，周长最小，当CD垂直CT时，CD最小，此时CD=KT=2，可求得周长的最小值；
D、设设AE=2a，根据四边形ABCD的面积为=S△ADK+S△CBK+S梯形DKTC，从而得到四边形ABCD的面积关于a的二次函数关系式，根据二次函数的最小值，求得四边形ABCD的面积的最小值。
根据计算结果，判断正确与错误，选出正确选项即可。
2．【答案】A
【知识点】全等三角形的应用；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意，，，，
取点，连接．
，，，
，，，，
，，，
，，
，的最小值为线段的长，
当B，E，F共线时，的值最小，
直线的解析式为：，，
当的值最小时，则H点的坐标为（0，4），
故选：A．
【分析】首先证明AB=AC=8，取点 F (3，8)，连接CF，EF，BF.由△ECF=△DAB(SAS)，推出BD=EF ，推出BD+BE=BE+EF，因为BE+EF≥BF ，推出BD+BE的最小值为线段BF的长，推出当B，E ， F共线时，BD+BE的值最小，求出直线BF的解析式即可解决问题．
3．【答案】A
【知识点】弧长的计算；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：由于是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求最小值即可
作点关于对称的对称点，连接与直线交于点，则
， ，此时为最小值
连接，
平分，，
，
在中，，
，
阴影部分周长的最小值为．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称的性质，确定当点移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为的长与的长度和，分别进行计算即可．
4．【答案】D
【知识点】矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】如图，过点B作BH⊥AC于点H，连接EH，
根据题意可得：∠BEF=∠BHF=90°，
∴点E、B、F、H四点共圆，
∴∠EHB=∠EFB，
∵∠AHE+∠EHB=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠AHE=∠EBF，
∵∠EBF=∠ACD，
∴∠AHE=∠ACD且为定值，
∴点E在射线HE上运动，
当AE⊥EH时，AE的值最小，
∵矩形ABCD，
∴AB=CD=6，BC=AD=8，∠D=90°，
∴AC=，
∴，
∴S△ACB=×AB×CB=×AC×BH，
∴，
再根据勾股定理可得AH=，
∴AE的最小值=，
故答案为：D.
【分析】先证出当AE⊥EH时，AE的值最小，再求出，利用勾股定理求出AH的长，最后利用解直角三角形的方法求出AE的最小值=即可。
5．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OQ，
∵PQ且圆O于点Q，
∴∠OQP=90°，
∵PQ=，
∵OQ为定值1，
∴当OP最小时，PQ的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，此时，
∵在中，，，，
∴tan60°=，
∴OB=2，
∴AB=，
∴，
∴OP=3，
∴PQ==.
故答案为：A。
【分析】连接OQ，根据切线的性质可得∠OQP=90°，从而根据勾股定理可得PQ=，根据圆的半径OQ为定值，可得出当当OP最小时，PQ的值最小，然后根据垂线段最短即可得出op的最小值，进一步求得此时PQ的长度，也就是PQ的最小值。
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA，PN=DN，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=6，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=6，
∵∠POC=∠POD，
∴OP⊥CD，OQ=6×，
∴PQ=，
设MQ=x，则PM=CM=3-x，
∴（3-x）2-x2=（6-）2，
解得：x=，
∴MN=2x=12-18，
故答案为：B.
【分析】先作出图象，证出△COD是等边三角形，可得CD=OC=OD=6，再求出PQ=，设MQ=x，则PM=CM=3-x，利用勾股定理可得（3-x）2-x2=（6-）2，求出x的值，再求出MN的长即可.
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF、EF，则EB=EF，
∵∠B+∠C=150°，
∴∠BEC=180°-（∠B+∠C）=30°，
∵点B与点F关于EC对称，
∴∠BEC=∠FEC=30°，
∴∠BEF=60°，
∴△BEF是等边三角形；
连接BP、PF、PQ，则BP=FP，
∴BP+QP=FP+PQ，
∴当F、P、Q在同一直线上，且FQ⊥EB时，则BP+PQ最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A点重合，
∵DA⊥AB，DA=6cm，
∴AE=cm，
在Rt△QEF中，cm，
∴BP+PQ的最小值为18cm.
故答案为：D.
【分析】作点B关于CE的对称点F，连接BF、EF，则EB=EF，由三角形的内角和定理得∠BEC=30°，由轴对称性质及角的和差得∠BEF=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△BEF是等边三角形；连接BP、PF、PQ，则BP=FP，当F、P、Q在同一直线上，且FQ⊥EB时，则BP+PQ最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A点重合，根据含30°角直角三角形的性质得AE=cm，，可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取BC、CF的中点D、G，连接AD、DG，
∴，，，
，
∴BF+2CE的最小值转化为求DG+CE的最小值，
在等边三角形ABC中，AB= 1，
∴AB=BC=AC=1，∠BAC=60°，
∴，∠CAD= 30°，
∵CF= 2BE，
∴BE= CG，
∴AE= AG；
过A作AM⊥AC，且AM = AD，连接ME、CE，
则∠MAE= 90°-∠BAC = 30°= ∠CAD，
∴△AME≌△ADG(SAS)，
∴ME= DG，
∴DG十CE=ME+CE，
∴当点E在线段CM上时，ME+CE取得最小值，且最小值为线段CM的长，
，
在Rt△AMC中，由勾股定理得：
，
∴BF+2CE的最小值= DG +CE= ME+CE=.
故答案为：C.
【分析】取BC、CF的中点D、G，连接AD、DG，则可得，，因此转而求DG十CE的最小值；过A作AM⊥AC，且AM= AD，连接ME、CE，可证明△AME≌△ADG，则有ME = DG，进而转化为求ME+CE的最小值，当点E在线段CM上时，取得最小值，在Rt△AMC中由勾股定理即可求得最小值，从而求得BF十2CE的最小值.
9．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；正方形的性质；图形的平移；数学思想
【解析】【解答】解：如图，取CD的中点为Q，连结PQ，QE.
∵P、Q分别为CB、CD的中点
∴PQ为△CDB的中位线
∴PQ∥BD，且
∵正方形边长为10
∴
∴
又∵
∴PQ=EF
∴四边形PQEF为平行四边形
∴PF=QE
∴AE+PF=AE+QE
当AE和QE在同一直线上是，AE+QE最小，即为线段AQ
∴
故答案为：A.
【分析】求两条线段和的最小值，常见于“将军饮马”模型，图形基本特征是两定（点）和一动（点）.因此首先需要将图中的两条线段AE和PF连结起来，方法是通过作CD的中点Q，形成中位线PQ，计算发现PQ和EF的位置关系平行，数量关系相等，因此四边形EFPQ为平行四边形，所以PF=QE，即将PF转化为QE线段.此时，AE+PF转化为AE+QE，AE+QE即满足了两定（点）和一动（点）的特征，当Q、E、A共线时，求Rt△QDA的斜边AQ的值，即为AE+PF的最小值.
10．【答案】C
【知识点】矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接BP，如图，
在矩形ABCD中，AD//BC，AD=BC，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，DP//BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB//DQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∵BE=2AB=12，BC=AD=5，
∴CE=，
∴PC+PB的最小值为13，
故答案为：C.
【分析】先证出四边形DPBQ是平行四边形，可得PB=DQ，再利用轴对称的性质可得PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，最后利用勾股定理求出CE的长即可.
11．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图：
过点P作PM⊥AB于点M.
由折叠可得：PE=CE=2.
故点P的轨迹为以E为圆心，以CE为半径的圆弧，
故当E，P，M三点共线时PM最小.
此时ME⊥AB，
∵，，
∴BE=BC-CE=5.
∵，，
∴.
∴PM=ME-PE=0.5
故答案为：A.
【分析】过点P作PM⊥AB于点M，根据P的运动轨迹，知道当EP⊥AB，即E，P，M三点共线时PM最小.利用含30° 的直角三角形的性质，可求出EM的长，从而求出PM的长.
12．【答案】C
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】连接 、 、 关于 AC 对称．
∴ ．
∴ ，当 、 、 三点共线得 最小．
∴ ，选C．
【分析】连接 、 ，由于 关于 对称，可得PB=PD，由于，可得当 、 、 三点共线得 最小，最小值等于BE的长，据此解答即可.
13．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，以AO为边作等边△AOD，连接BD、OC，
∴AD=AO，∠DAO=∠AOD=60°，
由旋转知AC=AB，∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠OAC，
∴△DAB≌△OAC（SAS），
∴BD=OC，
欲求OC的最小值，求BD的最小值即可，
过点D作DH⊥x轴，则DH的长即为BD的最小值，
∵A（0，2）
∴OD=OA=2，
∵∠DOH=∠AOH-∠AOD=30°，
∴DH=OD=1，
∴OC的最小值为1；
故答案为：B.
【分析】以AO为边作等边△AOD，连接BD、OC，根据SAS证明△DAB≌△OAC，可得BD=OC，
欲求OC的最小值，求BD的最小值即可，过点D作DH⊥x轴，则DH的长即为BD的最小值，利用直角三角形的性质求出DH即可.
14．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；解直角三角形的其他实际应用；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，作，，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
当、、三点共线的时候，有最小值，即 ，
的最小值为，
故答案为：A.
【分析】利用三角函数可知等于EF，再通过垂线段最短可知的最小值等于CG的长.
15．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；配方法的应用；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点G作于H，过G作交的延长线于M，交的延长线于N，则四边形和四边形均为矩形，
设，
∵正方形中，E是边中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，即，
∴的最小值为，
故答案为：B．
【分析】过点G作于H，过G作交的延长线于M，交的延长线于N，证四边形和四边形都是矩形，根据AAS证明，利全等三角形的性质，结合勾股定理和配方法求解即可．
16．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，如图所示，
∵取、中点，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∵等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时最小，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：A.
【分析】分别以CP、CB为边在下方构造等边△PCQ、△DBC，分别取CQ、CD的中点E、F，连接EF、QD、PE，则EF=QD，PE=PC，PC=QC，DC=BC，∠DCB=60°，CF=DC，利用SAS证明△BPC≌△DQC，得到PB=QD，推出EF=QD=PB，则PA+PB+PC=AP+PE+EF≥AF，故当A、P、F三点共线时，4PA+2PB+PC=4AF最小，据此求解.
17．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，连接，过A点作的平行线交于一点，即为P点，过G点作的平行线交的延长线于H点．
，，
四边形是平行四边形，
∴，
∵E为边的中点，
∴，
F点与点G关于对称，
垂直平分，
，
∴，，，
∴，
线段的最小值为，
故答案为：．
【分析】在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，则此时最小，据此求解即可．
18．【答案】2
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：以直线OA为对称轴构造等边三角形△AEF，点E和点F都在y轴上，作过点F和C的直线交x轴于点G.如图：
∵，
∴OA=4.
∵等边三角形AEF，
∴AE=AF=EF，∠AEF=∠AFE=60°.
∴.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°.
∴∠EAF－∠BAF=∠BAC－∠BAF，
即∠EAB=∠FAC.
∴△AEB≌△AFC(SAS).
∴∠AEB=∠AFC=60°.
∴∠OFC=120°，为定值.
∴点C在直线FG上运动.
故当OC⊥FG时，OC的值最小.
∵∠OFG=180°－∠OFC=60°.
∴∠OGF=30°.
∴.
∴
故答案为：2.
【分析】以OA为对称轴作等边△AEF，由“SAS"可证△AEB≌△AFC，可得∠AEB=∠AFC=60°.则点C在FG上移动，当OC⊥FG时， OC有最小值. 由直角三角形的性质可求∠OGF=30°，，即可求得OC的最小值.
19．【答案】15
【知识点】两点之间线段最短；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，在BC上截取BE＝3，连接BP，PE，
∵正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，
∴BC＝12＝CD，BP＝6，EC＝9，
∵ ，且∠PBE＝∠PBC，
∴△PBE∽△CBP，
∴ ，
∴PE＝PC，
∴PD+PC＝PD+PE，
∴当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，
∴PD+PC最小值为DE＝＝15，
故答案为：15.
【分析】在BC上截取BE=3，连接BP， PE，由正方形的性质求出BC的长，再证明△PBE∽△CBP，列比例式得出PE＝PC，当点D，P，E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，结合最小值为DE，利用勾股定理求DE长即可.
20．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解： 过点F作FQ∥CG交BC于点Q，作点E关于直线AD的对称点P，连接FP，PQ，PA，PE，延长PE交BC于点M，如图：
则PF=EF，PA=AE，
又∵AF=AF，
∴△AFP≌△AFE，
∴∠PAF=∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵FG∥CQ，FQ∥CG，
∴四边形CGFQ是平行四边形，
∴CQ=FG=1，FQ=CG，
五边形BCGFE的周长为BC+CG+GF+FE+EB=BC+FQ+FG+PF+BE，
在△PFQ中，FQ+PF＞PQ，
当P、F、Q三点共线时，五边形BCGFE的周长最小值为BC+FG+EB+PQ，
∵点E是AB的中点，∠B=45°，
∴，∠PAF=∠BAD=180°-45°=135°，
∴∠EAP=90°，
∴∠APE=∠AEP=∠BEM=45°， ，
∴∠PMB=∠PMQ=90°，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴，
故PM=PE+EM=3，
∵BQ=BC-CQ=5，QM=BQ-BM=4，
在Rt△PQM中，，
∴，
即五边形BCGFE的周长最小值为；
故答案为：.
【分析】 过点F作FQ∥CG交BC于点Q，作点E关于直线AD的对称点P，连接FP，PQ，PA，PE，延长PE交BC于点M，根据三条边分别对应相等的两个三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等可得∠PAF=∠EAF，根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等可得CQ=FG=1，FQ=CG，结合三角形三边关系可求得五边形BCGFE的周长最小值为BC+FG+EB+PQ，结合直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出EM和PQ的值，即可求解.
21．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；求特殊角的三角函数值；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠CAB=∠ACB=60°
在ABE和 ACF中，
AB=AC
∠BAC=∠ACB
AE=CF
∴
∴∠ABE=∠CAF
∴∠BPF-∠PAB+∠ABP=∠CAP+∠B
AP=60°
∴∠APB=120°
如图，过点A，点P，点B作连接CO，PO
∴点P在上运动，
∵AO=OP=OB，
∴∠OAP=∠OPA，∠OPB=∠OBP，∠OAB=∠OBA
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OPA-∠OPB-∠OBP=120°
∴∠OAB=30°
∴∠CAO=90°
∵AC=BC，OA=OB
∴CO垂直平分AB
∴∠ACO=30°
∴
∴CO=，AO=
在中，CP≥ CO-OP，
∴当点P在CO上时，CP有最小值，CP的最小值=
故答案为.
【分析】由”SAS“可证 ，可得 ∠ABE=∠CAF，可求∠APB=120°，过点A、点P、点B作，则点P在上运动，利用锐角三角函数可求CO，AO的长，即可求解。
22．【答案】
【知识点】三角形三边关系；含30°角的直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作平分，交于点F，过点D作交于点E
，
∴在中，，
过点A作于点G
根据三角形三边关系可得：
即：
在中，，
即：的最小值为．
故答案为：.
【分析】作平分，交于点F，过点D作交于点E，过点A作于点G，根据角平分线的定义及含30度角的直角三角形性质得出，根据三角形三边关系及垂线段最短可得，再次根据根据含30度角的直角三角形性质求出的值，即可得解．
23．【答案】30°；
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图所示， 点坐标为
故第一空填：30°
过点A作AC x轴，并延长到D点，使AC=DC，过D作DEOA于E，交x轴于F
由作图知，点D是A关于x轴的对称点
又在直角三角形AED中
当点B与F重合时，
故填：
【分析】根据点坐标和正切函数的意义，计算出正切函数值是个特殊角的函数值，这个特殊角是30°；根据轴对称求最短距离即将军饮马模型，作辅助线；有30°角和OB，很容易将二者联系起来思考，将AB和OB转化到一条直线上来，且垂线段最短可知DE即为所求，再根据三角形函数计算求得最小值。
24．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵点M为DF的中点
∴当F与A重合时，点M落在AD中点M1处；当F与E重合时，点M落在DE中点M2处；
∴连接M1M2，则M1M2是△ADE的中位线，M1M2 //AE，点M在M1M2 上运动
∴当BM⊥M1M2 上时， BM的值最小
∵矩形ABCD中，AB=1，BC=AD=2
∴AB=AM1，∠AM1B=45°
∵AE为∠BAD的平分线，M1M2//AE
∴∠BAE=∠DAE=M2M1D=45°
∴∠BM1M2=90°，即点M在M1处时BM⊥M1M2，BM最小=
故答案为：.
【分析】由题目已知，点M为DF中点，取AD、DE中点M1、M2，可知M1M2 是△ADE的中位线，M1M2 //AE，点M在M1M2 上运动，当BM⊥M1M2 上时， BM的值最小.根据已知数据，易得∠BM1M2 =90°，点M在M1处时BM⊥M1M2，BM最小=.
25．【答案】5
【知识点】点与圆的位置关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点 ，∴点A(4，0)，点B（0，-3），则设点P到直线的距离为d，则的面积：设点C到直线AB的距离为根据圆性质可得d的最大值为最小值为则面积的最大值与最小值的差为
故答案为：5.
【分析】本题主要直线的坐标轴的交点，圆上的点到直线的距离，根据题意可得设点P到直线的距离为d，则的面积：可得的面积最大小是由d决定的，设点C到直线AB的距离为根据圆性质可得d的最大值为最小值为从而可得则面积的最大值与最小值的差.
26．【答案】103
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图1，作AH⊥BA，使AH=AB，连接BH、FH，则AH∥CD，
∵△ABC是等腰三角形，CD⊥AB，AC=BA，∠CAB=58°，
∴∠ACD=32°
∴∠CAH=∠ACD=32°，AC=AB=AH，
∵AF=CE，
∴△AEC≌△HFA（SAS），
∴AE=FH，BF+AE=BF+FH，
当F为AC与BH的交点时，如图，BF+AE的值最小，此时∠FBA=45°，∠CAB=58°，
∴∠CFB=103°.
故答案为：103.
【分析】作AH⊥BA，使AH=AB，连接BH、FH，证明△AEC≌△HFA（SAS），可得AE=FH，BF+AE=BF+FH，当F为AC与BH的交点时，BF+AE的值最小，求出此时∠CFB的度数即可.
27．【答案】
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】过点G作GP⊥AB于点P，GQ⊥BC于点Q，连接BD，如图所示：
根据题意可得：∠ABC=90°，∠PGQ=90°，
∴∠PGF+∠FGQ=∠QGE+∠FGQ=90°，
∴∠PGF=∠QGE，
∵△EFG是等腰直角三角形，且∠FGE=90°，
∴GF=GE，
在△GPF与△GQE中，
，
∴△GPF≌△GQE（AAS），
∴GP=GQ，∠GBP=∠GBE=∠ABC，
∴点G在BD所在的直线上运动，
∵F为AB边上的一个动点，如图所示：
当点F与点B重合时，点G的位置如图所示，
当点F与点A重合时，记点G的位置为G''，
∴点G的运动轨迹为线段GG''，
过点C作CG'⊥BD于点G'，
∴CG的最小值=CG'=BD，
∵正方形的边长为8，
∴BD=，
∴的最小值是BD=，
故答案为：.
【分析】先利用“AAS”证出△GPF≌△GQE，可得GP=GQ，∠GBP=∠GBE=∠ABC，再证出点G的运动轨迹为线段GG''，过点C作CG'⊥BD于点G'，可得CG的最小值=CG'=BD，再结合BD=，求出的最小值是BD=即可.
28．【答案】（1）解：①尺规作图的结果如图所示；
②证明：∵
∴
又∵，共用，
∴
∴．
（2）
【知识点】三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（2）∵，．
∴，．
由旋转的过程，可知，，．
∴．
连接，交于点F'，由B，G均为固定点，则．
当F与F'重合时，．
则的最小值为．
此时所有点均为定点，还原大致示意图如下，
设AH=FH=a，则AH=AF=a，
在Rt△BHF和Rt△BAG中，
有tan∠ABG=，
∴BH=a，
∴AB=BH+AH=a+a=2，解得a=4-2，
此时，．
【分析】（1）①根据题意及要求作出图象即可；
②先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）连接，交于点F'，由B，G均为固定点，则，当F与F'重合时，利用勾股定理求出BG的长，再从定三角形中求出AF的值，此处方法多样，为便于书写利用特殊角45°角作垂线，进而利用三角函数找出边之间的关系解方程即可.
29．【答案】解：[问题解决]；
[尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连接PO，PC，AC
，，
，
，
，，
，
过点C作于D，
sin，
，，
在中，，
最小值为；
[能力提升]
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：[问题解决]如图，在中，，
的最小值为，
故答案为：；
[能力提升]在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则CE=2，CF=4，
，，
，
，
连接DE，DF，
由，
点E，F到BD，CD的距离相等，
DE，DF是△BDC的内，外角平分线，
，
点D是平面内任意一点，
点D在以EF为直径的圆O上，
过点O作DG⊥AB交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时△ABD的面积最大，
，EO=3，
在中，，
，
，
，
△ABD面积的最大值为，
故答案为：.
【分析】（1） [问题解决] 在OA上取一点C，使OC=1，则，又∠COP=∠POA，得△COP ∽△POA，则，得，故，又
从而利用勾股定理算出答案；
（2） [尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连接PO，PC，AC ，利用两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△POC∽△BOP，根据相似三角形对应边成比例得 ， 故可得， 过点C作CD⊥OA于D， 由正弦函数定义求的CD的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AC的长即可得出答案；
（3） [能力提升] 在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则CE=2，CF=4，易得；连接DE，DF，根据同高三角形面积之比等于底之比可得点E，F到BD，CD的距离相等，根据角平分线定理得DE，DF是△BDC的内，外角平分线，则可得∠EDF=90°，根据圆周角定理得点D在以EF为直径的圆O上，过点O作DG⊥AB交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时△ABD的面积最大，在Rt△BOG中，由正弦函数的定义求出OG，最后根据三角形面积计算公式算出△ABD的面积即可.
30．【答案】（1）（3，4），（3，－4）
（2）10
（3）解：过点C作CE⊥CB，使得CE＝AC，连接EM，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝AC＝CE，∠BAN＝∠ECM＝90°，AN＝CM，
∴△BAN≌△ECM（SAS），
∴BN＝EM，
∴AM＋BN＝AM＋ME，
∴当A，M，E共线时，AM＋BN的值最小，
∵AD∥EC，
∴
∴CM＝
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）∵可化为 ，
∴ 代数式可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（3，4）或（3，-4）的距离之和 ；
故答案为：（3，4），（3，－4）.
（2）∵ = ，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，如图所示：设点A关于x轴的对称点A'（0，-7），则PA=PA'，
∴PA+PB的最小值为线段A'B的长，
∴A'B==10，
∴ 代数式的最小值为10.
故答案为：10.
【分析】（1）将原式化为，根据题中例子解答即可；
（2）将原式化为，可得所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，根据题中例子解答即可；
（3）过点C作CE⊥CB，使得CE＝AC，连接EM，过点A作AD⊥BC于点D．怎么△BAN≌△ECM（SAS），可得BN＝EM，从而得出AM＋BN＝AM＋ME，可知当A，M，E共线时，AM＋BN的值最小，再利用平行线分线段成比例求出此时CM的长即可.
1 / 12024年中考数学考前20天终极冲刺专题之线段最值（一）
一、选择题
1．（2023·安徽）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图1所示，延长AD、BE相交于点M，∵△ADE和△BCE都是等边三角形，∴∠DAE=∠CBE=60°，∴△MAB是等边三角形。
A、过点P作直线l∥AB，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'，BA'与直线l相较于点p，此时PA+PB的长度最小，且PA+PA=PA'+PB=A'B，又∠DEA=∠MBA=60°，∠DAE=∠CEB=60°，∴DE∥MB，CE∥MA，∴四边形DECM是平行四边形，所以点P既是CD的中点，又是ME的中点，又∵点E在AB上移动，∴点P在直线l上移动，所以点M到l的距离等于点P到AB的距离，又知AB=4，∴等边三角形ABC的高为，所以M到l的距离=点P到AB的距离=，又A和A'关于l对称，∴AA'=，且∠A'AB=90°，∴所以PA+PB的最小值为不正确，A符合题意；
B、因为四边形DECM是平行四边形，∴PE=PM，∴PE+PF=PM+PF，所以当MPE三点在同一直线上时，PM+PF的值最小，因为点F是AB的中点，∴此时最小值为等边△MAB的高。即PM+PF的值最小为，∴PE+PF的最小值为正确，所以B不符合题意；
C、如图2所示，分别过点D、C作AB的垂线，垂足分别为点K、T，∵△ADE和△BCE都是等边三角形，∴∴CD≥2，∵CD+DE+CE=CD+AE+BE，∴CD+DE+CE≥2+4，即△CDE的周长≥6，∴△CDE的周长的最小值为6正确，所以C不符合题意；
D、如图2所示，设AE=2a，则BE=4-2a，∴KE=a，TE=2-a，DK=，CT=，∴四边形ABCD的面积为：S△ADK+S△CBK+S梯形DKTC==，∴当a=1时，四边形ABCD的面积最小，最小值为，所以D正确，不符合题意。
故答案为：A。
图1 图2
【分析】A、如图1，根据轴对称的性质，可得PA+PB的最小值为A'B的长度，根据勾股定理即可；
B、如图1，根据两点之间，线段最短，可知当M、P、F三点共线时，PE+PF的值最小，此时的最小值就是等边△MAB的高；
C、如图2，△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+AE+BE=CD+4，所以当CD取最小值时，周长最小，当CD垂直CT时，CD最小，此时CD=KT=2，可求得周长的最小值；
D、设设AE=2a，根据四边形ABCD的面积为=S△ADK+S△CBK+S梯形DKTC，从而得到四边形ABCD的面积关于a的二次函数关系式，根据二次函数的最小值，求得四边形ABCD的面积的最小值。
根据计算结果，判断正确与错误，选出正确选项即可。
2．（2024八下·宜宾月考）如图，已知直线分别交轴、轴于点B、A两点，，D、E分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】全等三角形的应用；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意，，，，
取点，连接．
，，，
，，，，
，，，
，，
，的最小值为线段的长，
当B，E，F共线时，的值最小，
直线的解析式为：，，
当的值最小时，则H点的坐标为（0，4），
故选：A．
【分析】首先证明AB=AC=8，取点 F (3，8)，连接CF，EF，BF.由△ECF=△DAB(SAS)，推出BD=EF ，推出BD+BE=BE+EF，因为BE+EF≥BF ，推出BD+BE的最小值为线段BF的长，推出当B，E ， F共线时，BD+BE的值最小，求出直线BF的解析式即可解决问题．
3．（2024九上·乌鲁木齐期末）如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】弧长的计算；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：由于是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求最小值即可
作点关于对称的对称点，连接与直线交于点，则
， ，此时为最小值
连接，
平分，，
，
在中，，
，
阴影部分周长的最小值为．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称的性质，确定当点移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为的长与的长度和，分别进行计算即可．
4．（2023·游仙模拟）如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】如图，过点B作BH⊥AC于点H，连接EH，
根据题意可得：∠BEF=∠BHF=90°，
∴点E、B、F、H四点共圆，
∴∠EHB=∠EFB，
∵∠AHE+∠EHB=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠AHE=∠EBF，
∵∠EBF=∠ACD，
∴∠AHE=∠ACD且为定值，
∴点E在射线HE上运动，
当AE⊥EH时，AE的值最小，
∵矩形ABCD，
∴AB=CD=6，BC=AD=8，∠D=90°，
∴AC=，
∴，
∴S△ACB=×AB×CB=×AC×BH，
∴，
再根据勾股定理可得AH=，
∴AE的最小值=，
故答案为：D.
【分析】先证出当AE⊥EH时，AE的值最小，再求出，利用勾股定理求出AH的长，最后利用解直角三角形的方法求出AE的最小值=即可。
5．（2024九上·苍溪期末）如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点即P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OQ，
∵PQ且圆O于点Q，
∴∠OQP=90°，
∵PQ=，
∵OQ为定值1，
∴当OP最小时，PQ的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，此时，
∵在中，，，，
∴tan60°=，
∴OB=2，
∴AB=，
∴，
∴OP=3，
∴PQ==.
故答案为：A。
【分析】连接OQ，根据切线的性质可得∠OQP=90°，从而根据勾股定理可得PQ=，根据圆的半径OQ为定值，可得出当当OP最小时，PQ的值最小，然后根据垂线段最短即可得出op的最小值，进一步求得此时PQ的长度，也就是PQ的最小值。
6．（2023八上·济南开学考）如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是OA，OB上的动点，P为∠AOB内一点，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，MN的长为（ ）
A．6 B．12-18 C．18-18 D．12
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA，PN=DN，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=6，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=6，
∵∠POC=∠POD，
∴OP⊥CD，OQ=6×，
∴PQ=，
设MQ=x，则PM=CM=3-x，
∴（3-x）2-x2=（6-）2，
解得：x=，
∴MN=2x=12-18，
故答案为：B.
【分析】先作出图象，证出△COD是等边三角形，可得CD=OC=OD=6，再求出PQ=，设MQ=x，则PM=CM=3-x，利用勾股定理可得（3-x）2-x2=（6-）2，求出x的值，再求出MN的长即可.
7．（2024八上·杭州期末）如图，在四边形刚好是中点，P、Q分别是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF、EF，则EB=EF，
∵∠B+∠C=150°，
∴∠BEC=180°-（∠B+∠C）=30°，
∵点B与点F关于EC对称，
∴∠BEC=∠FEC=30°，
∴∠BEF=60°，
∴△BEF是等边三角形；
连接BP、PF、PQ，则BP=FP，
∴BP+QP=FP+PQ，
∴当F、P、Q在同一直线上，且FQ⊥EB时，则BP+PQ最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A点重合，
∵DA⊥AB，DA=6cm，
∴AE=cm，
在Rt△QEF中，cm，
∴BP+PQ的最小值为18cm.
故答案为：D.
【分析】作点B关于CE的对称点F，连接BF、EF，则EB=EF，由三角形的内角和定理得∠BEC=30°，由轴对称性质及角的和差得∠BEF=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△BEF是等边三角形；连接BP、PF、PQ，则BP=FP，当F、P、Q在同一直线上，且FQ⊥EB时，则BP+PQ最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A点重合，根据含30°角直角三角形的性质得AE=cm，，可求出答案.
8．（2023·天河模拟）如图：等边三角形中，，、分别是边、上的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取BC、CF的中点D、G，连接AD、DG，
∴，，，
，
∴BF+2CE的最小值转化为求DG+CE的最小值，
在等边三角形ABC中，AB= 1，
∴AB=BC=AC=1，∠BAC=60°，
∴，∠CAD= 30°，
∵CF= 2BE，
∴BE= CG，
∴AE= AG；
过A作AM⊥AC，且AM = AD，连接ME、CE，
则∠MAE= 90°-∠BAC = 30°= ∠CAD，
∴△AME≌△ADG(SAS)，
∴ME= DG，
∴DG十CE=ME+CE，
∴当点E在线段CM上时，ME+CE取得最小值，且最小值为线段CM的长，
，
在Rt△AMC中，由勾股定理得：
，
∴BF+2CE的最小值= DG +CE= ME+CE=.
故答案为：C.
【分析】取BC、CF的中点D、G，连接AD、DG，则可得，，因此转而求DG十CE的最小值；过A作AM⊥AC，且AM= AD，连接ME、CE，可证明△AME≌△ADG，则有ME = DG，进而转化为求ME+CE的最小值，当点E在线段CM上时，取得最小值，在Rt△AMC中由勾股定理即可求得最小值，从而求得BF十2CE的最小值.
9．（2023八下·花都期末）如图，在边长为10的正方形对角线上有E，F两个动点，且，点P是中点，连接，则最小值为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；正方形的性质；图形的平移；数学思想
【解析】【解答】解：如图，取CD的中点为Q，连结PQ，QE.
∵P、Q分别为CB、CD的中点
∴PQ为△CDB的中位线
∴PQ∥BD，且
∵正方形边长为10
∴
∴
又∵
∴PQ=EF
∴四边形PQEF为平行四边形
∴PF=QE
∴AE+PF=AE+QE
当AE和QE在同一直线上是，AE+QE最小，即为线段AQ
∴
故答案为：A.
【分析】求两条线段和的最小值，常见于“将军饮马”模型，图形基本特征是两定（点）和一动（点）.因此首先需要将图中的两条线段AE和PF连结起来，方法是通过作CD的中点Q，形成中位线PQ，计算发现PQ和EF的位置关系平行，数量关系相等，因此四边形EFPQ为平行四边形，所以PF=QE，即将PF转化为QE线段.此时，AE+PF转化为AE+QE，AE+QE即满足了两定（点）和一动（点）的特征，当Q、E、A共线时，求Rt△QDA的斜边AQ的值，即为AE+PF的最小值.
10．（2023八下·庐江期末）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接BP，如图，
在矩形ABCD中，AD//BC，AD=BC，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，DP//BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB//DQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∵BE=2AB=12，BC=AD=5，
∴CE=，
∴PC+PB的最小值为13，
故答案为：C.
【分析】先证出四边形DPBQ是平行四边形，可得PB=DQ，再利用轴对称的性质可得PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，最后利用勾股定理求出CE的长即可.
11．（2024八下·台州开学考）如图，在中，，，，点E在边BC上，并且，点F为边AC上的动点，将沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图：
过点P作PM⊥AB于点M.
由折叠可得：PE=CE=2.
故点P的轨迹为以E为圆心，以CE为半径的圆弧，
故当E，P，M三点共线时PM最小.
此时ME⊥AB，
∵，，
∴BE=BC-CE=5.
∵，，
∴.
∴PM=ME-PE=0.5
故答案为：A.
【分析】过点P作PM⊥AB于点M，根据P的运动轨迹，知道当EP⊥AB，即E，P，M三点共线时PM最小.利用含30° 的直角三角形的性质，可求出EM的长，从而求出PM的长.
12．（2020八上·三台期中）如图，正方形 的面积为 ， 是等边三角形，点 在正方形 内，在对角线 上有一点 ，使 的和最小，则这个最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】连接 、 、 关于 AC 对称．
∴ ．
∴ ，当 、 、 三点共线得 最小．
∴ ，选C．
【分析】连接 、 ，由于 关于 对称，可得PB=PD，由于，可得当 、 、 三点共线得 最小，最小值等于BE的长，据此解答即可.
13．（2023七下·清新期中）如图：点在轴上，是轴上的动点，将线段绕点逆时针旋转得线段，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，以AO为边作等边△AOD，连接BD、OC，
∴AD=AO，∠DAO=∠AOD=60°，
由旋转知AC=AB，∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠OAC，
∴△DAB≌△OAC（SAS），
∴BD=OC，
欲求OC的最小值，求BD的最小值即可，
过点D作DH⊥x轴，则DH的长即为BD的最小值，
∵A（0，2）
∴OD=OA=2，
∵∠DOH=∠AOH-∠AOD=30°，
∴DH=OD=1，
∴OC的最小值为1；
故答案为：B.
【分析】以AO为边作等边△AOD，连接BD、OC，根据SAS证明△DAB≌△OAC，可得BD=OC，
欲求OC的最小值，求BD的最小值即可，过点D作DH⊥x轴，则DH的长即为BD的最小值，利用直角三角形的性质求出DH即可.
14．（2023·齐齐哈尔模拟）如图，中，，，于点，若点是线段上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；解直角三角形的其他实际应用；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，作，，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
当、、三点共线的时候，有最小值，即 ，
的最小值为，
故答案为：A.
【分析】利用三角函数可知等于EF，再通过垂线段最短可知的最小值等于CG的长.
15．（2023九上·铜梁月考） 如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF．若AD＝4，则EG2+CG2的最小值为（ ）
A．52 B．60 C．68 D．76
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；配方法的应用；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点G作于H，过G作交的延长线于M，交的延长线于N，则四边形和四边形均为矩形，
设，
∵正方形中，E是边中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，即，
∴的最小值为，
故答案为：B．
【分析】过点G作于H，过G作交的延长线于M，交的延长线于N，证四边形和四边形都是矩形，根据AAS证明，利全等三角形的性质，结合勾股定理和配方法求解即可．
16．（2023·四川模拟）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（ ）
A． B．36 C． D．
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，如图所示，
∵取、中点，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∵等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时最小，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：A.
【分析】分别以CP、CB为边在下方构造等边△PCQ、△DBC，分别取CQ、CD的中点E、F，连接EF、QD、PE，则EF=QD，PE=PC，PC=QC，DC=BC，∠DCB=60°，CF=DC，利用SAS证明△BPC≌△DQC，得到PB=QD，推出EF=QD=PB，则PA+PB+PC=AP+PE+EF≥AF，故当A、P、F三点共线时，4PA+2PB+PC=4AF最小，据此求解.
二、填空题
17．（2024八下·经开期中） 如图，在矩形中，为的中点，若为边上的两个动点，且，则线段的最小值为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，连接，过A点作的平行线交于一点，即为P点，过G点作的平行线交的延长线于H点．
，，
四边形是平行四边形，
∴，
∵E为边的中点，
∴，
F点与点G关于对称，
垂直平分，
，
∴，，，
∴，
线段的最小值为，
故答案为：．
【分析】在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，则此时最小，据此求解即可．
18．（2024·深圳模拟）如图，在直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为一边向下作等边，连接，则的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：以直线OA为对称轴构造等边三角形△AEF，点E和点F都在y轴上，作过点F和C的直线交x轴于点G.如图：
∵，
∴OA=4.
∵等边三角形AEF，
∴AE=AF=EF，∠AEF=∠AFE=60°.
∴.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°.
∴∠EAF－∠BAF=∠BAC－∠BAF，
即∠EAB=∠FAC.
∴△AEB≌△AFC(SAS).
∴∠AEB=∠AFC=60°.
∴∠OFC=120°，为定值.
∴点C在直线FG上运动.
故当OC⊥FG时，OC的值最小.
∵∠OFG=180°－∠OFC=60°.
∴∠OGF=30°.
∴.
∴
故答案为：2.
【分析】以OA为对称轴作等边△AEF，由“SAS"可证△AEB≌△AFC，可得∠AEB=∠AFC=60°.则点C在FG上移动，当OC⊥FG时， OC有最小值. 由直角三角形的性质可求∠OGF=30°，，即可求得OC的最小值.
19．（2021九上·开福月考）如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，则的最小值为 .
【答案】15
【知识点】两点之间线段最短；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，在BC上截取BE＝3，连接BP，PE，
∵正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，
∴BC＝12＝CD，BP＝6，EC＝9，
∵ ，且∠PBE＝∠PBC，
∴△PBE∽△CBP，
∴ ，
∴PE＝PC，
∴PD+PC＝PD+PE，
∴当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，
∴PD+PC最小值为DE＝＝15，
故答案为：15.
【分析】在BC上截取BE=3，连接BP， PE，由正方形的性质求出BC的长，再证明△PBE∽△CBP，列比例式得出PE＝PC，当点D，P，E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，结合最小值为DE，利用勾股定理求DE长即可.
20．（2024八下·浙江期中）如图，中，，点为边上的中点，为边上的两个动点，且，则五边形的周长最小值为
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解： 过点F作FQ∥CG交BC于点Q，作点E关于直线AD的对称点P，连接FP，PQ，PA，PE，延长PE交BC于点M，如图：
则PF=EF，PA=AE，
又∵AF=AF，
∴△AFP≌△AFE，
∴∠PAF=∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵FG∥CQ，FQ∥CG，
∴四边形CGFQ是平行四边形，
∴CQ=FG=1，FQ=CG，
五边形BCGFE的周长为BC+CG+GF+FE+EB=BC+FQ+FG+PF+BE，
在△PFQ中，FQ+PF＞PQ，
当P、F、Q三点共线时，五边形BCGFE的周长最小值为BC+FG+EB+PQ，
∵点E是AB的中点，∠B=45°，
∴，∠PAF=∠BAD=180°-45°=135°，
∴∠EAP=90°，
∴∠APE=∠AEP=∠BEM=45°， ，
∴∠PMB=∠PMQ=90°，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴，
故PM=PE+EM=3，
∵BQ=BC-CQ=5，QM=BQ-BM=4，
在Rt△PQM中，，
∴，
即五边形BCGFE的周长最小值为；
故答案为：.
【分析】 过点F作FQ∥CG交BC于点Q，作点E关于直线AD的对称点P，连接FP，PQ，PA，PE，延长PE交BC于点M，根据三条边分别对应相等的两个三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等可得∠PAF=∠EAF，根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等可得CQ=FG=1，FQ=CG，结合三角形三边关系可求得五边形BCGFE的周长最小值为BC+FG+EB+PQ，结合直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出EM和PQ的值，即可求解.
21．（2024九上·乌鲁木齐期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；求特殊角的三角函数值；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠CAB=∠ACB=60°
在ABE和 ACF中，
AB=AC
∠BAC=∠ACB
AE=CF
∴
∴∠ABE=∠CAF
∴∠BPF-∠PAB+∠ABP=∠CAP+∠B
AP=60°
∴∠APB=120°
如图，过点A，点P，点B作连接CO，PO
∴点P在上运动，
∵AO=OP=OB，
∴∠OAP=∠OPA，∠OPB=∠OBP，∠OAB=∠OBA
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OPA-∠OPB-∠OBP=120°
∴∠OAB=30°
∴∠CAO=90°
∵AC=BC，OA=OB
∴CO垂直平分AB
∴∠ACO=30°
∴
∴CO=，AO=
在中，CP≥ CO-OP，
∴当点P在CO上时，CP有最小值，CP的最小值=
故答案为.
【分析】由”SAS“可证 ，可得 ∠ABE=∠CAF，可求∠APB=120°，过点A、点P、点B作，则点P在上运动，利用锐角三角函数可求CO，AO的长，即可求解。
22．（2024九下·西安开学考）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝5，BC＝4，点D为CB延长线上一点．当点D在CB延长线上运动时，AD-BD的最小值为 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；含30°角的直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作平分，交于点F，过点D作交于点E
，
∴在中，，
过点A作于点G
根据三角形三边关系可得：
即：
在中，，
即：的最小值为．
故答案为：.
【分析】作平分，交于点F，过点D作交于点E，过点A作于点G，根据角平分线的定义及含30度角的直角三角形性质得出，根据三角形三边关系及垂线段最短可得，再次根据根据含30度角的直角三角形性质求出的值，即可得解．
23．（2023九上·石家庄期中）如图，已知点坐标为，为轴正半轴上一动点，则度数为 ，在点运动的过程中的最小值为 ．
【答案】30°；
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图所示， 点坐标为
故第一空填：30°
过点A作AC x轴，并延长到D点，使AC=DC，过D作DEOA于E，交x轴于F
由作图知，点D是A关于x轴的对称点
又在直角三角形AED中
当点B与F重合时，
故填：
【分析】根据点坐标和正切函数的意义，计算出正切函数值是个特殊角的函数值，这个特殊角是30°；根据轴对称求最短距离即将军饮马模型，作辅助线；有30°角和OB，很容易将二者联系起来思考，将AB和OB转化到一条直线上来，且垂线段最短可知DE即为所求，再根据三角形函数计算求得最小值。
24．（2023九上·苍南模拟）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，AE为∠BAD的平分线，F为AE上一动点，点M为DF的中点，连接BM，则BM的最小值是 .
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵点M为DF的中点
∴当F与A重合时，点M落在AD中点M1处；当F与E重合时，点M落在DE中点M2处；
∴连接M1M2，则M1M2是△ADE的中位线，M1M2 //AE，点M在M1M2 上运动
∴当BM⊥M1M2 上时， BM的值最小
∵矩形ABCD中，AB=1，BC=AD=2
∴AB=AM1，∠AM1B=45°
∵AE为∠BAD的平分线，M1M2//AE
∴∠BAE=∠DAE=M2M1D=45°
∴∠BM1M2=90°，即点M在M1处时BM⊥M1M2，BM最小=
故答案为：.
【分析】由题目已知，点M为DF中点，取AD、DE中点M1、M2，可知M1M2 是△ADE的中位线，M1M2 //AE，点M在M1M2 上运动，当BM⊥M1M2 上时， BM的值最小.根据已知数据，易得∠BM1M2 =90°，点M在M1处时BM⊥M1M2，BM最小=.
25．（2023九上·阿城期中）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以为圆心，1为半径的圆上一动点，连接．则面积的最大值与最小值的差为 ．
【答案】5
【知识点】点与圆的位置关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点 ，∴点A(4，0)，点B（0，-3），则设点P到直线的距离为d，则的面积：设点C到直线AB的距离为根据圆性质可得d的最大值为最小值为则面积的最大值与最小值的差为
故答案为：5.
【分析】本题主要直线的坐标轴的交点，圆上的点到直线的距离，根据题意可得设点P到直线的距离为d，则的面积：可得的面积最大小是由d决定的，设点C到直线AB的距离为根据圆性质可得d的最大值为最小值为从而可得则面积的最大值与最小值的差.
26．（2023八上·武汉月考）如图，CD为等腰的高，其中，E，F分别为线段CD，AC上的动点，且，当取最小值时，的度数为 ．
【答案】103
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图1，作AH⊥BA，使AH=AB，连接BH、FH，则AH∥CD，
∵△ABC是等腰三角形，CD⊥AB，AC=BA，∠CAB=58°，
∴∠ACD=32°
∴∠CAH=∠ACD=32°，AC=AB=AH，
∵AF=CE，
∴△AEC≌△HFA（SAS），
∴AE=FH，BF+AE=BF+FH，
当F为AC与BH的交点时，如图，BF+AE的值最小，此时∠FBA=45°，∠CAB=58°，
∴∠CFB=103°.
故答案为：103.
【分析】作AH⊥BA，使AH=AB，连接BH、FH，证明△AEC≌△HFA（SAS），可得AE=FH，BF+AE=BF+FH，当F为AC与BH的交点时，BF+AE的值最小，求出此时∠CFB的度数即可.
27．（2024九上·盘州期末）如图，正方形的边长为8，点为边上一点，且，点为边上的一个动点，连接，以为一条直角边向右侧作等腰，且使，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】过点G作GP⊥AB于点P，GQ⊥BC于点Q，连接BD，如图所示：
根据题意可得：∠ABC=90°，∠PGQ=90°，
∴∠PGF+∠FGQ=∠QGE+∠FGQ=90°，
∴∠PGF=∠QGE，
∵△EFG是等腰直角三角形，且∠FGE=90°，
∴GF=GE，
在△GPF与△GQE中，
，
∴△GPF≌△GQE（AAS），
∴GP=GQ，∠GBP=∠GBE=∠ABC，
∴点G在BD所在的直线上运动，
∵F为AB边上的一个动点，如图所示：
当点F与点B重合时，点G的位置如图所示，
当点F与点A重合时，记点G的位置为G''，
∴点G的运动轨迹为线段GG''，
过点C作CG'⊥BD于点G'，
∴CG的最小值=CG'=BD，
∵正方形的边长为8，
∴BD=，
∴的最小值是BD=，
故答案为：.
【分析】先利用“AAS”证出△GPF≌△GQE，可得GP=GQ，∠GBP=∠GBE=∠ABC，再证出点G的运动轨迹为线段GG''，过点C作CG'⊥BD于点G'，可得CG的最小值=CG'=BD，再结合BD=，求出的最小值是BD=即可.
三、解答题
28．（2023九上·晋州期中）数学课上，老师给出题目：如图所示，在中，，点D，E分别是边和边上的动点，且，连接，．请探究是否存在最小值？并说明理由．
嘉淇的想法是把和转移到某处，并使它们“接在一起”，然后利用“两点之间，线段最短”尝试探索，并成功解决了问题．以下是她的探索思路，请你按要求补充具体解题过程．
（1）在射线上取点F，使，把绕点A顺时针旋转，使点D落在点F处，点C落在点G处．
①请你运用尺规作图（保留作图痕迹，不用给出证明），作出，并连接；
②求证：．
（2）在（1）的基础上，请你通过探索，求出的最小值，并直接写出此时的长度．
【答案】（1）解：①尺规作图的结果如图所示；
②证明：∵
∴
又∵，共用，
∴
∴．
（2）
【知识点】三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（2）∵，．
∴，．
由旋转的过程，可知，，．
∴．
连接，交于点F'，由B，G均为固定点，则．
当F与F'重合时，．
则的最小值为．
此时所有点均为定点，还原大致示意图如下，
设AH=FH=a，则AH=AF=a，
在Rt△BHF和Rt△BAG中，
有tan∠ABG=，
∴BH=a，
∴AB=BH+AH=a+a=2，解得a=4-2，
此时，．
【分析】（1）①根据题意及要求作出图象即可；
②先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）连接，交于点F'，由B，G均为固定点，则，当F与F'重合时，利用勾股定理求出BG的长，再从定三角形中求出AF的值，此处方法多样，为便于书写利用特殊角45°角作垂线，进而利用三角函数找出边之间的关系解方程即可.
29．（2023九下·宿迁开学考）【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求的最小值.
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以，得所以.
又因为，所以最小值为 ▲ .
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值.
【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求的最小值.
【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ▲ .
【答案】解：[问题解决]；
[尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连接PO，PC，AC
，，
，
，
，，
，
过点C作于D，
sin，
，，
在中，，
最小值为；
[能力提升]
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：[问题解决]如图，在中，，
的最小值为，
故答案为：；
[能力提升]在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则CE=2，CF=4，
，，
，
，
连接DE，DF，
由，
点E，F到BD，CD的距离相等，
DE，DF是△BDC的内，外角平分线，
，
点D是平面内任意一点，
点D在以EF为直径的圆O上，
过点O作DG⊥AB交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时△ABD的面积最大，
，EO=3，
在中，，
，
，
，
△ABD面积的最大值为，
故答案为：.
【分析】（1） [问题解决] 在OA上取一点C，使OC=1，则，又∠COP=∠POA，得△COP ∽△POA，则，得，故，又
从而利用勾股定理算出答案；
（2） [尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连接PO，PC，AC ，利用两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△POC∽△BOP，根据相似三角形对应边成比例得 ， 故可得， 过点C作CD⊥OA于D， 由正弦函数定义求的CD的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AC的长即可得出答案；
（3） [能力提升] 在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则CE=2，CF=4，易得；连接DE，DF，根据同高三角形面积之比等于底之比可得点E，F到BD，CD的距离相等，根据角平分线定理得DE，DF是△BDC的内，外角平分线，则可得∠EDF=90°，根据圆周角定理得点D在以EF为直径的圆O上，过点O作DG⊥AB交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时△ABD的面积最大，在Rt△BOG中，由正弦函数的定义求出OG，最后根据三角形面积计算公式算出△ABD的面积即可.
四、实践探究题
30．（2023八上·南山月考）【阅读材料】说明代数式的几何意义，并求它的最小值．
解：，如图1，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是求PA＋PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA＝PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB＝3，所以，即原式的最小值为．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）【基础训练】代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和；（填写点B的坐标）
（2）【能力提升】求代数式的最小值为 ；
（3）【拓展升华】如图2，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且．当AM＋BN的值最小时，求CM的长．
【答案】（1）（3，4），（3，－4）
（2）10
（3）解：过点C作CE⊥CB，使得CE＝AC，连接EM，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝AC＝CE，∠BAN＝∠ECM＝90°，AN＝CM，
∴△BAN≌△ECM（SAS），
∴BN＝EM，
∴AM＋BN＝AM＋ME，
∴当A，M，E共线时，AM＋BN的值最小，
∵AD∥EC，
∴
∴CM＝
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）∵可化为 ，
∴ 代数式可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（3，4）或（3，-4）的距离之和 ；
故答案为：（3，4），（3，－4）.
（2）∵ = ，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，如图所示：设点A关于x轴的对称点A'（0，-7），则PA=PA'，
∴PA+PB的最小值为线段A'B的长，
∴A'B==10，
∴ 代数式的最小值为10.
故答案为：10.
【分析】（1）将原式化为，根据题中例子解答即可；
（2）将原式化为，可得所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，根据题中例子解答即可；
（3）过点C作CE⊥CB，使得CE＝AC，连接EM，过点A作AD⊥BC于点D．怎么△BAN≌△ECM（SAS），可得BN＝EM，从而得出AM＋BN＝AM＋ME，可知当A，M，E共线时，AM＋BN的值最小，再利用平行线分线段成比例求出此时CM的长即可.
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