2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之折叠问题
一、选择题
1．（2021七下·蒙阴期末）如图1是长方形纸带，∠DEF＝10°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是多少（ ）
A．160° B．150° C．120° D．110°
2．（2024八下·从江期中）如图所示，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C'处.若AB=6，BC=9，则BF的长为( )
A．4 B．3 C．4.5 D．5
3．（2022八下·长沙月考）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF.若EF＝2，则BF2＝（ ）
A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4
4．（2024七下·安州月考）如图，将沿直线折叠，使点A落在边上的点F处，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八下·南召开学考）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE=1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE=BF；②AD=3DF；③；④GE=0.2，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①③
6．（2022·济宁）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·威宁模拟）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
8．（2024八上·宁波期末）如图，在中，，，，点为上一点，点分别是点关于的对称点，则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．2
9．（2024八上·上城期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，首先沿着CD折叠，点B落在点E处，然后沿着FG折叠，使得点A与点E重合，则下列说法中（ ）
①EF⊥CE；②若BC＝3，AC＝4，那么．
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
10．（2024九上·义乌期末）如图，正方形的边长为4，点是边上的一点，将沿着折叠至，若、恰好与正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为（ ）
A． B．5 C． D．以上都不对
11．（2021八上·长沙期末）如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
12．如图，将矩形ABCD沿GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB⑤△COF∽△CEG.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
13．如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD=5.OA：OD=1∶4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（-1，2） C．（-1，2） D．（1-，2）
14．（2023九上·长清期中）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF为交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE∽△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ GD，正确的是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①④ D．①②③④
15．（2023八上·瑞安期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C′处，两条折痕与斜边BC分别交于E，F．以下四个结论正确的是（ ）
①∠EAF＝45°；②FC′＝BE；③EC＝3BE；④FC＝(－1)AE．
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
16．（2024·武侯模拟） 如图，在矩形中，，，点E是边上一点，，分别在边上取点M，N，将矩形沿直线翻折，使得点B的对应点恰好落在射线上，点A的对应点是，那么折痕的长为 ；连接，线段的最小值为 ．
17．（2024·海曙模拟） 如图，在平行四边形中，，点，分别为边上异于端点的动点，且，连接，将四边形沿着折叠得到四边形．当点落在平行四边形的边上时，的长为 ．
18．（2024九下·广州月考）如图，平分等边的面积，折叠得到，分别与，相交于，两点．若，，则的长是 ．
19．（2024·深圳模拟）如图，在正方形的对角线上取一点，使得，连接，将沿翻折得到，连接．若，则的长为 ．
20．（2024九下·萧山月考）如图，在中，D为斜边的中点，点E在边上，将沿叠至． 若的延长线经过点D，平分，，则的值为 ，的长为 ．
21．（2024八上·南山期末）如图，在中，，，点是边上一点（点不与点，重合），将沿翻折，点的对应点为点，交于点，若，则点到线段的距离为 ．
22．（2023九上·丰城月考）如图，腰长为22的等腰ABC中，顶角∠A＝45°，D为腰AB上的一个动点，将ACD沿CD折叠，点A落在点E处，当CE与ABC的某一条腰垂直时，BD的长为 ．
23．（2023九上·安庆月考）如图，将矩形折叠，使得点落在边的三等分点上，且，点折叠后的对应点为，折痕为，连接，若，，则的长为 .
三、解答题
24．（2024九上·武侯期末）如图，在矩形中，，，点E是边上一点，连接，将沿折叠得到，边，分别交于点M，N．
（1）求证：；
（2）当时．
①求BE的长；
②若点P是边上的动点，连接，过点A作的垂线交线段于点Q，试探究的值是否发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．
25．（2024八下·阆中期中） 如图，在矩形ABCD中， AB=3，AD=4，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G；
（1）如图1，当∠DAG=30° 时，求BE的长；
（2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；
（3）如图3，在矩形ABCD中，E，G分别是BC、CD上的一点，AEEG，将△EGC沿EG翻折得，连接，若是以AE为腰的等腰三角形，则BE的值为▲ ．（直接写出答案）
26．（2024七下·青山期中） 已知，在长方形中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将长方形沿折叠后，点D的对应点是M，点C的对应点是N．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，将四边形沿继续折叠，点N的对应点为G，探索与的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，P是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点A的对应点是O，点B的对应点是Q．请直接写出和的数量关系．
27．（2024八上·江北期末）等边中，于点，点为边上一动点，连接，点关于直线的对称点为点，连接．
（1）如图1，点恰好落在的延长线上，则求 ；
（2）过点作交于点，连接交于点．
①如图2，试判断线段、和之间的数量关系，并说明理由：
②如图3，直线交于点，连接点运动的过程中．当取最小值时，请直接写出线段的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝10°．
由翻折的性质可知：图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝170°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝160°，
∴图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝150°．
故答案为：B．
【分析】由矩形的性质可知AD∥BC，由此得出∠BFE＝∠DEF＝10°．再根据翻折的性质可知枚翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE的度数。
2．【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意可得：
CF=C'F，
设BF=x，则C'F=9-x
在Rt△BC'F中
，即
解得：x=4
故答案为：A
【分析】根据折叠性质可得CF=C'F，，设BF=x，则C'F=9-x，在Rt△BC'F中，根据勾股定理即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点F作FG⊥BC交于G点，
由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，
设正方形的边长为x，
∵EF＝2，
∴DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，
在Rt△EFC中，EC2＝FE2+FC2，
∴（x﹣2）2＝4+（﹣x）2，
解得x＝22，
∴FC＝x﹣x＝2，
∵∠ACB＝45°，
∴FG＝CG，
∴BG2，
在Rt△BFG中，BF2＝BG2+GF2＝（2）2+2＝8+4.
故答案为：D.
【分析】过点F作FG⊥BC交于G点，由折叠可知：DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，设正方形的边长为x，则DE=2，EC＝x-2，AC=x，根据勾股定理可得x，进而得到FC、FG、BG，然后利用勾股定理进行计算.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：因为DE//BC，，
所以，
由折叠得出：，
所以，
故选：B.
【分析】利用平行线的性质可得，再利用折叠的性质及角的运算求出即可.
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，
∵CE＝1，
∴DE＝3，
由折叠的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，
∴∠BAH+∠ABH＝90°，
∵∠FAH+∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠FAH，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE＝3，BF＝AE，故①正确；
∵DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，
∴AD＝4DF，故②错误；
在Rt△ABF中，
∵BF＝＝＝5，
∴S△ABF＝ AB AF＝×4×3＝6，故③正确；
∵S△ABF＝AB AF＝BF AH，
∴4×3＝5AH，
∴AH＝，
∴AG＝2AH＝，
∵AE＝BF＝5，
∴GE＝AE﹣AG＝5﹣＝0.2，故④正确；
综上所述：正确的是①③④.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，则DE=CD-CE=3，由折叠的性质可知：△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，则BF⊥AE，AH＝GH，根据同角的余角相等可得∠ABH＝∠FAH，证明△ABF≌△DAE，据此判断①；易得DF＝AD-AF＝1，据此判断②；根据勾股定理求出BF，然后根据三角形的面积公式可判断③；根据△ABF的面积公式可得AH，然后求出AG，根据
GE＝AE-AG求出GE，据此判断④.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
解得
即AE=
故答案为：A
【分析】根据折叠的性质求出CE= DE， ∠C=∠CDE，再求出∠ADE = 90°，最后列方程求解即可。
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，设AC=x，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠BCA=90°，
∵，
∴，
根据勾股定理得
，
即，
解得，，
∴，
∴，
∴AE=，
∵BC为折痕，点D与点D'对称，
∴∠CBA=∠CBD'，，
∴，
∴CD=AC，
∵CE⊥AD，
∴DE=AE=2，AD=4，
∴弓形AC=弓形DC，
∴S阴影=S△ACD=．
故答案为：C．
【分析】连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，设AC=x，根据直径时圆周角性质可知∠BCA=90°，运用锐角三角函数的定义结合勾股定理可求得，，然后运用面积桥计算求得CE与AE，从而根据折叠的性质得到∠CBA=∠CBD'， ，可得AC=CD，结合等腰三角形的性质求得AE=DE=2，最后运用弓形AC=弓形DC进行面积转化即可求解。
8．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】如图，连接AP，AD，AQ，过点A作AE⊥BC于点E
∵点分别是点关于的对称点
∴AB垂直平分PD，AC垂直平分QD
∴AP=AD=AQ
∴∠PAB=∠DAB，∠QAC=∠DAC
∵∠BAC=45°即∠DAB+∠DAC=45°
∴∠PAB+∠DAB+∠QA+∠DAC=45°×2=90°
∴∠PAQ=90°
∴
∴当AD最小时 ，PQ最小
AD最小为AE
∵∠B=60°，∠AEB=90°
∴∠BAE=30°
∴
∴
∴
故答案为：A
【分析】根据对称的性质得到垂直平分线，从而得到△PAQ是等腰三角形，通过三线合一进一步得到△PAQ是直角三角形，然后根据垂线段最短得到答案
9．【答案】A
【知识点】垂线的概念；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—面积关系
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A=90°.
∵△CBD沿CD折叠得到△CED，
∴∠CED=∠B，ED=BD，CE=CB.
∵△FAG沿FG折叠得到△FEG，
∴∠A=∠FEG，AG=GE，AF=EF.
∴∠CED+∠FEG=90°，
∴∠CEF=90°，
∴EF⊥CE， ①正确；
若 BC＝3，AC＝4， 则AB=5，
∵CD⊥AB，
∴.
∴，
∴.
设AF=x，在Rt△CFE中，CF2=EF2+CE2，
∴(4－x)2=x2+32.
解得.
即AF=
∴FG=， ②正确.
故答案为：A.
【分析】（1）由∠ACB=90°，得到∠B+∠A=90°，由两个折叠得到∠CED=∠B，∠A=∠FEG，于是可得∠CED+∠FEG=90°，结论得证；
（2）根据BC＝3，AC＝4得到AB和CD的值，从而得到BD和AG的值，.设AF=x，则CF=4-x，可在△EFG中利用勾股定理求出x的值。进而得到GF，结论得证.
10．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OC，如图，
∵ 点O为正方形ABCD的中心，
∴ ∠DCO=∠BCO，
∵ CF，CE与 相切 ，
∴ ∠FCO=∠ECO，
∴ ∠DCO-∠FCO=∠BCO-∠ECO，
即∠DCF=∠BCE，
∵沿着折叠至，
∴ ∠BCE=∠FCE，
∴ ∠DCF=∠BCE=∠FCE=30°，
设CE为2x，则BE为x，
在Rt△BCE中，BC2+BE2=CE2，
即42+x2=4x2，
解得，x=，
则CE=2x=.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可得∠DCO=∠BCO，根据切线长定理可得 ∠FCO=∠ECO，进而可得∠DCF=∠BCE，根据折叠的性质可得 ∠BCE=∠FCE，可推出∠DCF=∠BCE=∠FCE=30°，再根据30°的直角三角形的性质可得2BE=CE，再根据勾股定理列方程即可求得CE的长.
11．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴ ，
∵ ， ，
，
作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∴PE+QE 的最小值为10.
故答案为：C.
【分析】作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，进而判断△APQ'是等边三角形，即可解决问题.
12．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠性质可得：DG=OG=AG，AE=OE=BE，OC=BC，
∠DGF=∠FGO，∠AGE=∠OGE，∠AEG=∠OEG，∠OEC=∠BEC，
∴∠FGE=∠FGO+∠OGE=90°，∠GEC=∠OEG+∠OEC=90°，
∴∠FGE+∠GEC=180°，
∴GF∥CE，①正确；
设AD=2a，AB=2b，
则DG=OG=AG=a，AE=OE=BE=b，
∴CG=OG+OC=3a，
在Rt△AGE中，GE2=AG2+AE2=a2+b2，
在Rt△CGE中，CE2=BE2+CB2=b2+（2a）2，
在Rt△CGE中，CG2=GE2+CE2，
即（3a）2=a2+b2+b2+（2a）2，
解得：；
∴；②错误；
设OF=DF=x，则，
在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，
∴，
解得：；
∴，，
在Rt△AGE中，，
∴，；③④正确；
根据题意，无法得出∠FCO=∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG；⑤错误；
综上，正确的是①③④，
故答案为：B.
【分析】根据折叠前后图形的对应边和对应角相等可推得∠FGE+∠GEC=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可得出GF∥CE，判断①正确，设AD=2a，AB=2b，求得CG=3a，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得，即可求得AB与AD的数量关系，判断②错误，设OF=DF=x，求得CF的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方得出x与a的关系式，GE的值，即可判断③④正确，结合题意无法得出△COF∽△CEG；判断⑤错误，即可得出答案.
13．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵矩形ABCD的边AD=5，OA：OD=1∶4 ，
∴OA=1，OD=4，BC=5，
∵AB∥y轴，
∴∠AOB=∠C1OB，
∵∠OAB=∠D1=90°，
∴∠ABO∽△D1OC1，
∴，
将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置 ，则OD1=OD=4，D1C1=DC=AB，
∴，解得AB=2，
∴CD=2，
连接OC，设BC与OC1交于点F，
∴OC==，
∵∠FOA=∠OAB=∠ABF=90°，
∴四边形OABF是矩形，
∴AB=OF=2，∠BFO=∠EFC1，OA=BF=1，
∴CF=4，
由折叠知：OC1=OC=，EC1=EC=CF-EF=4-EF，
∴FC1=OC1=-2，
∵EF2+C1F2=EC12，
∴EF2+（-2）2=（4-EF）2，
解得：EF=-1，
∴E（1-，2）.
故答案为：D.
【分析】先证∠ABO∽△D1OC1，可得AB=CD=2，连接OC，设BC与OC1交于点F，利用折叠与勾股定理求出OC1=OC=，易得FC1=OC1=-2，再利用勾股定理求出EF的长即可得解.
14．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：①四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，
由折叠可知：∠GEP=∠BCD=90°，∠F=∠D=90°，
∴∠BEP+∠AEG=90°，
∴∠A=90°，
∴∠AEG+∠AGE=90°，
∴∠BEP=∠AGE，
∵∠FGQ=∠AGE，
∴∠BEP=∠FGQ，
∵∠B=∠F=90°，
∴△QFG∽△PBE.
故①正确；
②过点C作CN⊥EG于N，
由折叠可得：∠GEC=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠GEC，
在△NEC和△BEC中，
∴△NEC≌△BEC(AAS).
∴CN=CB=CD，，
在Rt△CNG和Rt△CDG中，
∴Rt△CNG≌Rt△CDG(HL)，
∴
＞，
∴②不正确；
③由折叠可得：∠GEC=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠GEC，
即EC平分∠BEG.
∴③正确；
④连接DH，NH，HE，如图，
∵△BEC≌△NEC，△CNG≌△CDG，
∴∠BCE=∠NCE，∠NCG=∠DCG，
∴∠ECG=∠ECN+∠GCN=∠BCD=45°，
∵EC⊥HP，
∴∠CHP=45°，
∴∠GHQ=∠CHP=45°，
由折叠可得：∠EHP=∠CHP=45°，
∴EH⊥CG，
∴EG2-EH2=GH2.
由折叠可知：EH=CH.
∴EG2-CH2=GH2，
∵CN⊥EG，EH⊥CG，
∴∠ENC=∠EHC=90°，
∴E，N，H，C四点共圆，
∴∠HNC=∠HEC=45°.
在△CNH和△CDH中，
∴△CNH≌△CDH(SAS)，
∴∠CDH=∠CNH=45°，
∵∠CDA=90°，
∴∠GDH=45°，
∵∠GHQ=∠CHP=45°，
∴∠GHQ=∠GDH=45°，
∵∠HGQ=∠DGH，
∴△GHQ∽△GDH，
∴，
∴GH2=GQ GD，
∴GE2-CH2=GQ GD，
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④.
故答案为：B.
【分析】①根据有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；
②过点C作CN⊥EG于N，通过证明△BEC≌△NEC，进而说明△CNG≌△CDG，可得＞，可得②不正确；
③由折叠可得：∠GEC=∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC=∠DCE，结论③成立；
④连接DH，NH，HE，由△BEC≌△NEC，△CNG≌△CDG可知：∠BCE=∠NCE，∠NCG=∠DCG，所以∠ECG=∠ECN+∠GCN=∠BCD=45°，由于EC⊥HP，则∠CHP=45°，由折叠可得：∠EHP=∠CHP=45°，则EH⊥CG，利用勾股定理可得EG2-EH2=GH2.由CN⊥EG，EH⊥CG，得到∠ENC=∠EHC=90°，所以E，N，H，C四点共圆，所以∠HNC=∠HEC=45°，通过△CNH≌△CDH，可得∠CDH=∠CNH=45°，这样，∠GDH=45°，因为∠GHQ=∠CHP=45°，易证△GHQ∽△GDH，则得GH2= GQ GD，从而说明④成立.
15．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C′处，
∴∠BAE=∠EAD=∠BAD，∠CAF=∠DAF=∠CAD，
∴∠EAF=∠EAD+∠DAF=（∠BAD+∠CAD）=∠BAC=×90°=45°，故①正确；
∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠B=60°=∠BDA=∠CDF，∠C'=30°，
∴△ABD是等边三角形，∠C'FD=90°，DF=m，则C'D=2m，C'F=CF=，
∴CD=DF+CF=，
∵∠BDA=60°，∠C=30°，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴DC=AD==BD
∴BE=DE=BD=，而C'F=，
∴C'F≠BE，故②错误；
∵CD=，BE=DE=，
∴CE=CD+CD=，故③正确；
∵∠BEC=90°，∠C=30°，
∴，
∴，
∴FC= (－1)AE ，故④正确，
综上，正确的有①③④.
故答案为：C.
【分析】由翻折得∠BAE=∠EAD=∠BAD，∠CAF=∠DAF=∠CAD，进而根据∠EAF=∠EAD+∠DAF可判断①；由三角形的内角和定理及翻折得∠B=60°=∠BDA=∠CDF，∠C'=30°，则△ABD是等边三角形，∠C'FD=90°，DF=m，则C'D=2m，C'F=CF=，进而根据三角形外角性质得∠DAC=∠C=30°，由等边对等角及线段的和差得DC=AD==BD，则E=DE=BD=，可判断②；由CE=CD+CD算出CE的长，可判断③；由含30°角直角三角形的性质得，从而代入 (－1)AE 算出结果可判断④.
16．【答案】；
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】过M作MF⊥BC于点F，如图，
可得MF=AB=9，
在中，
由折叠性质可得，MN⊥，
连接并延长，交CD的延长线于H，过点C作CG⊥AH于G，如图，
根据折叠的性质可得
四边形ABEH是平行四边形，
CH=CE+EH=4+9=13，
又
线段的最小值为
故答案为： ； .
【分析】过M作MF⊥BC于点F，证明利用相似三角形的性质即可求得MN的长；连接并延长，交CD的延长线于H，过点C作CG⊥AH于G，利用相似三角形的性质即可求得CG的长，再根据即可求解线段的最小值.
17．【答案】，
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接、、，交于点，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分，点为的中点，
由折叠可得，
∴动点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆弧．
①当点落在边上时，
由折叠可得，，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
②当点落在边上时，
∵直径，
∴，
∴，
∴．
③当点与点重合时，过点作于点，
∵，
∴．．
∴，
∴，即，
故答案为：，．
【分析】连接、、，交于点，连接，根据平行四边形的性质和折叠的性质可判断出：动点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆弧．，根据题意可知需分三种情况讨论，①当点落在边上时，②当点落在边上时，③当点与点重合时，过点作于点，分别根据解直角三角形和勾股定理求出BG的长度即可求解.
18．【答案】2
【知识点】三角形的面积；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵折叠△BDE得到△FDE，
∴△BDE≌△FDE，
∴S△BDE=S△FDE，∠F=∠B=60°=∠A=∠C，
∵∠AGD=∠FGH，∠CHE=∠FHG，
∴△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，
∴，.
故，.
∵DE平分等边三角形ABC的面积，
∴图形ACED的面积=S△BDE=S△FDE，
∴S△FHG=S△ADE+S△CHE.
∴，
∴HG2=4，
∴HG=±2(舍负).
故答案为：2.
【分析】利用折叠的性质得S△BDE=S△FDE，∠F=∠B，利用等边三角形的性质可得∠F=∠A=∠C=60°.
结合对顶角的性质可证得△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，根据相似的性质得和.根据平分等边的面积可证得S△FHG=S△ADE+S△CHE.
于是可得，即可求得HG长.
19．【答案】
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：如图，延长BE交CD于点G，连接FG、CF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴△CEG∽△AEB，
∴，
∴，
即点G为CD的中点，
∴CG=DG，
根据折叠的性质可得，BC=BF，∠FBE=∠CBE，
∴∠BCF=∠BFC，BG垂直平分CF，
∴CG=FG，
∴CG=DG=FG，
∴∠GFD=∠GDF，∠GFC=∠GCF，
故∠FCG+∠FDC=90°，
即∠CFD=90°，
∵∠FCG+∠BCF=90°，∠FCG+∠GDF=90°，
∴∠BCF=∠BFC=∠GDF=∠GFD，
∴△BCF∽△GDF，
∴，
∴CF=2DF，
在Rt△CDF中，DF2+CF2=CD2，
即DF2+（2DF）2=42，
解得：；
故答案为：．
【分析】延长BE交CD于点G，连接FG、CF，根据正方形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB=CD，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可推得CG=DG，根据折叠前后两个图形的对应边相等，对应角相等可得BC=BF，∠FBE=∠CBE，根据等边对等角可得∠BCF=∠BFC，根据等腰三角形底边上的高，底边上的中线重合可得BG垂直平分CF，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CG=FG，根据等边对等角可得∠GFD=∠GDF，∠GFC=∠GCF，结合三角形内角和是180°可推得∠CFD=90°，结合等角的余角相等可得∠BCF=∠BFC=∠GDF=∠GFD，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可推得CF=2DF，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
20．【答案】；
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）取AB的中点H，连结DH，
∵D为斜边AC的中点，
∴DH是△ABC的中位线，
∴DH=BC，DH∥BC，
∵AB⊥BC，
∴DH⊥AB，
由折叠性质可得BC=FC，BE=EF=1，∠DFC=∠B=90°，
∵D为斜边AC的中点，
∴S△ADE=S△CDE，
∴AE·DH=DE·CF
∴AE=2DE，
∴=；
（2）设DF=x，BC=CF=y，则DE=DE+EF=x+1，
∴AE=2DE=2x+2，AB=AE+BE=2x+3，
过点A作AT⊥ED交ED的延长线于T，
∴∠T=∠CFD=90°，
又∵AD=CD，∠ADT=∠CDF
∴△ADT≌△CDF(AAS)
∴DT=DF=x，AT=CF=y，∠DAT=DCF，
∵CF平分∠BCA，
∴∠BCA+2∠DCF=90°，
∵∠CAB+∠ACB=90°，∠BCA+2∠DCF= 90°，
∵∠CAB+∠TAD+∠AET= 90°，
∴∠CAB+∠DCF+∠AET= 90°，
∴∠AET=∠TAD，又∠T=∠T，
∴△ADT∽△TEA，
=，即=，
∴y2=2x2+x，
在Rt△ATE中，AT2+ET2=AE2，
∴y2+(2x+1)2=(2x+2)2，
∴2x2-3x-3=0，
解得：
x1=，x2=（舍）.
AB=2x+3=，
故答案为：，.
【分析】（1）取AB的中点H，连结DH，根据中位线、折叠性质，通过等底同高三角形面积相等得S△ADE=S△CDE，由等面积法即可求解；
（2）设DF=x，表示出DE=x+1，AE=2x+2，AB=2x+3，根据AAS判断出△ADT≌△CDF，得到DT=DF=x，AT=CF=y，证△ADT∽△TEA，由相似三角形对应边可得y2=2x2+x，在Rt△ATE中，AT2+ET2=AE2，勾股定理即可求解。
21．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点作于点，
∵，，
∴，
由勾股定理得：
∵，
∴，，
由折叠的性质得：，，，
∴
∴
∴
由勾股定理得：
设点到的距离为，则
，即
解得：.
故答案为．
【分析】过点作于点，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出，，由折叠的性质得：，，得出，证出，得出又由勾股定理得利用三角形等面积得，代数求解即可．
22．【答案】或2
【知识点】三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；三角形的综合
【解析】【解答】解：当CE⊥AB 时，如图，
设垂足为M，在Rt△AMC中，∠A＝45°，
由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝22.5°，
∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝67.5°，
∴∠BCM＝22.5°，
∴∠BCM＝∠DCM，
在△BCM和△DCM中，
，
∴△BCM≌△DCM（ASA），
∴BM＝DM，
由折叠得：∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，
∴△MDE是等腰直角三角形，
∴DM＝EM，
设DM＝x，则BM＝x，DEx，
∴ADx．
∵AB＝22，
∴2xx＝22，解得：x，
∴BD＝2x＝2；
当CE⊥AC时，如图，
∴∠ACE＝90°，
由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°，
∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，
∴∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，
∴∠ADC＝∠EDC＝90°，即点D、E都在直线AB上，且△ADC、△DEC、△ACE都是等腰直角三角形，
∵AB＝AC＝＝22，
∴ADAC＝2，
BD＝AB﹣AD＝（22）﹣（2），
综上，BD的长为或2．
故答案为：或2．
【分析】本题分两种情况讨论，当CE⊥AB 时，当CE⊥AC时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质与判定，以及全等三角形的判定与性质，等量代换，找到与BD有关的边，列式求解.
23．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：作MN⊥AB交AB的延长线于N，作FM⊥AD交AD于M，连接DG交EF于l，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠A=∠ABC=90°，AD∥BC，CD=AB，
∴∠AGE+∠AEG=90°，
由折叠可得EG=DE，∠HGE=∠ADC=90°，EF垂直平分DG，
∴∠HGN+∠AGE=90°，∠FED+∠ADG=90°，HG=CD，
∴∠AGE=∠HGN，
由可设AG=4x，AE=3x，则DE=EG5x，BG=2x， AD=8x，tan∠ADG=，
∵FM⊥AD，
∴∠FED+∠EFM=90°，FM=AB=AG+BG=6x，
∴∠ADG=∠EFM，即tan∠EFM=tan∠ADG=，
∴ME=3k，
∴ME2+FM2=EF2，即（3x）2+（6x）2=（）2，
解得k=1或-1（舍），
∴BG=2，HG=CD=AB=6，
由，可设HN=4a，NG=3a，
∴HN2+NG2=HG2，即（4a）2+（3a）2=62，
解得a=，即HN=，NG=，
∴NB=NG-BF=，
∴BH==.
故答案为：.
【分析】作MN⊥AB交AB的延长线于N，作FM⊥AD交AD于M，连接DG交EF于l，根据矩形的性质、折叠及解直角三角形分别求出FM、ME，HN，NG，NB，最后利用勾股定理求出BH即可.
24．【答案】（1）证明：∵矩形，
∴，，，
∵折叠，
∴，
∴，，，
∴，
又，
∴，
又，
∴；
（2）解：①∵，，，
∴，
∴，，
∴，即，
设，则，，，
在中，，
∴，
解得，
∴；
②的值不变，值为．
理由：连接，交于点O，过F作于H，
∵折叠，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，即，
解得，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【分析】(1)先证明∠DAM=∠CNE，再结合∠D=∠C=90°，根据两角对就相等的三角形相似即可证明结论.
(2)①根据AAS证明△CNE≌△FNM，得到CN=FN，EN=MN，CE=x，则BE=4-x，AM=5-x，DM=x+1，在Rt△ADM中根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求解.
②的值不变.连接FQ，BF交AE于点O，过点F作FH⊥AB，垂足为点H，证明△AOB∽△ABE，求出BF，证明△FBH∽△AEB，求出FH，证明△FHP∽△ABQ，得，从而求解.
25．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，
∵∠DAG=30°，
∴∠BAG=60°，
由折叠的性质可知，
∴AE=2BE，
在Rt△ABE中，，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠C=90°，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
由折叠的性质可知，BE=FE，∠AFE=∠B=90°，AF=AB=3，
∴EF=EC，∠GFE=∠GCE=90°，
又∵EG=EG，
∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），
∴CG=FG，
设GF=FG=x，则DG=3-x，AG=3+x，
在Rt△ADG中，，
∴，
解得，
∴
（3）或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】解：设BE=m，则EC=4-m，
根据翻折性质可得：
当时，AE=4-m，
四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
由勾股定理可得：
解得：
当时，作AH⊥，如图，
EF⊥AE，
∴
根据翻折性质可得：
BE=EH=m，
即4-m=2m，
解得
综上所述：BE的值为或.
【分析】（1）根据矩形的性质求得 ∠BAG=60°， 再求得，利用含30°角的直角三角形性质求得 AE=2BE， 最后利用勾股定理即可求解；
（2） 连接EG， 根据E是BC的中点以及翻折的性质求得 BE=CE=GE，再利用HL证明 Rt△GFE≌Rt△GCE ，得到 CG=FG， 设GF=FG=x，则DG=3-x，AG=3+x， 利用勾股定理建立关于x的方程，解得x的值，即可求解；
（3）设BE=m，则EC=4-m，根据翻折性质可得：进行分两种情况求解即可得出结论.
26．【答案】（1）解：∵，
∴，
根据折叠可知：，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
过点M作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
根据折叠可知：，
∵，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
根据折叠可知：，，，，，，，
设，，
则，
又∵，
即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
在中，，
设，
，
∴，
在四边形中，，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）先求出∠DEM，根据折叠的性质可得∠DEF=∠DEM，再根据平行线的性质可得∠EFB=∠DEF；
（2）过点M作MK∥AE，根据平行公理的推论可得MK∥BE，根据平行线的性质和折叠的性质，即可求得；
（3）根据折叠的性质得，，，，，，，设，，求出∠EFG，再根据得出x=2y-180°，根据平行线的性质可得∠DEF=∠EFB，设∠BHP=∠QHP=z，根据四边形的内角和为360°可推出z=270°-2y，求出∠GHQ=630°-6y，∠EFG=360°-3y，即可求得.
27．【答案】（1）15
（2）解：①；
理由如下：
如图，延长交于点N；
设，
由折叠性质得：，；
∴，；
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，；
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）解：∵是等边三角形，，
∴，，；
由折叠性质得：；
∴，
∴，
∴；
故答案为：15；
（2）解：①；
理由如下：
如图，延长交于点N；
设，
由折叠性质得：，；
∴，；
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，；
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②如图，连接，取中点P，连接，
∵是等边三角形，
∴，；
∵，
∴，
∴，
当C、M、G三点共线且与重合时，最短，此时点D与H点重合，点G与点P重合，
∵P、H分别是的中点，
∴．
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，最短距离，线段垂直平分线的性质．
（1）由折叠的性质、由等边三角形的性质可推出：，，， 再利用等腰三角形的性质可得：，利用角的运算可求出答案；
（2）①延长交于点N；利用角的运算可求出∴；，
进而证明为等边三角形；再结合已知条件，可证明是等边三角形，利用等边三角形的性质可得：，进而证明，利用全等三角形的性质可得，利用线段的运算可得线段、和之间的数量关系；
②连接，取中点P，连接，观察图形可知当C、M、G三点共线且与重合时，最短，此时点D与H点重合，利用线段中点的定义可求出长度．
1 / 12024年中考数学考前20天终极冲刺专题之折叠问题
一、选择题
1．（2021七下·蒙阴期末）如图1是长方形纸带，∠DEF＝10°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是多少（ ）
A．160° B．150° C．120° D．110°
【答案】B
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝10°．
由翻折的性质可知：图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝170°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝160°，
∴图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝150°．
故答案为：B．
【分析】由矩形的性质可知AD∥BC，由此得出∠BFE＝∠DEF＝10°．再根据翻折的性质可知枚翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE的度数。
2．（2024八下·从江期中）如图所示，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C'处.若AB=6，BC=9，则BF的长为( )
A．4 B．3 C．4.5 D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意可得：
CF=C'F，
设BF=x，则C'F=9-x
在Rt△BC'F中
，即
解得：x=4
故答案为：A
【分析】根据折叠性质可得CF=C'F，，设BF=x，则C'F=9-x，在Rt△BC'F中，根据勾股定理即可求出答案.
3．（2022八下·长沙月考）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF.若EF＝2，则BF2＝（ ）
A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点F作FG⊥BC交于G点，
由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，
设正方形的边长为x，
∵EF＝2，
∴DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，
在Rt△EFC中，EC2＝FE2+FC2，
∴（x﹣2）2＝4+（﹣x）2，
解得x＝22，
∴FC＝x﹣x＝2，
∵∠ACB＝45°，
∴FG＝CG，
∴BG2，
在Rt△BFG中，BF2＝BG2+GF2＝（2）2+2＝8+4.
故答案为：D.
【分析】过点F作FG⊥BC交于G点，由折叠可知：DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，设正方形的边长为x，则DE=2，EC＝x-2，AC=x，根据勾股定理可得x，进而得到FC、FG、BG，然后利用勾股定理进行计算.
4．（2024七下·安州月考）如图，将沿直线折叠，使点A落在边上的点F处，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：因为DE//BC，，
所以，
由折叠得出：，
所以，
故选：B.
【分析】利用平行线的性质可得，再利用折叠的性质及角的运算求出即可.
5．（2022八下·南召开学考）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE=1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE=BF；②AD=3DF；③；④GE=0.2，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①③
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，
∵CE＝1，
∴DE＝3，
由折叠的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，
∴∠BAH+∠ABH＝90°，
∵∠FAH+∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠FAH，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE＝3，BF＝AE，故①正确；
∵DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，
∴AD＝4DF，故②错误；
在Rt△ABF中，
∵BF＝＝＝5，
∴S△ABF＝ AB AF＝×4×3＝6，故③正确；
∵S△ABF＝AB AF＝BF AH，
∴4×3＝5AH，
∴AH＝，
∴AG＝2AH＝，
∵AE＝BF＝5，
∴GE＝AE﹣AG＝5﹣＝0.2，故④正确；
综上所述：正确的是①③④.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，则DE=CD-CE=3，由折叠的性质可知：△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，则BF⊥AE，AH＝GH，根据同角的余角相等可得∠ABH＝∠FAH，证明△ABF≌△DAE，据此判断①；易得DF＝AD-AF＝1，据此判断②；根据勾股定理求出BF，然后根据三角形的面积公式可判断③；根据△ABF的面积公式可得AH，然后求出AG，根据
GE＝AE-AG求出GE，据此判断④.
6．（2022·济宁）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
解得
即AE=
故答案为：A
【分析】根据折叠的性质求出CE= DE， ∠C=∠CDE，再求出∠ADE = 90°，最后列方程求解即可。
7．（2022·威宁模拟）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，设AC=x，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠BCA=90°，
∵，
∴，
根据勾股定理得
，
即，
解得，，
∴，
∴，
∴AE=，
∵BC为折痕，点D与点D'对称，
∴∠CBA=∠CBD'，，
∴，
∴CD=AC，
∵CE⊥AD，
∴DE=AE=2，AD=4，
∴弓形AC=弓形DC，
∴S阴影=S△ACD=．
故答案为：C．
【分析】连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，设AC=x，根据直径时圆周角性质可知∠BCA=90°，运用锐角三角函数的定义结合勾股定理可求得，，然后运用面积桥计算求得CE与AE，从而根据折叠的性质得到∠CBA=∠CBD'， ，可得AC=CD，结合等腰三角形的性质求得AE=DE=2，最后运用弓形AC=弓形DC进行面积转化即可求解。
8．（2024八上·宁波期末）如图，在中，，，，点为上一点，点分别是点关于的对称点，则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】如图，连接AP，AD，AQ，过点A作AE⊥BC于点E
∵点分别是点关于的对称点
∴AB垂直平分PD，AC垂直平分QD
∴AP=AD=AQ
∴∠PAB=∠DAB，∠QAC=∠DAC
∵∠BAC=45°即∠DAB+∠DAC=45°
∴∠PAB+∠DAB+∠QA+∠DAC=45°×2=90°
∴∠PAQ=90°
∴
∴当AD最小时 ，PQ最小
AD最小为AE
∵∠B=60°，∠AEB=90°
∴∠BAE=30°
∴
∴
∴
故答案为：A
【分析】根据对称的性质得到垂直平分线，从而得到△PAQ是等腰三角形，通过三线合一进一步得到△PAQ是直角三角形，然后根据垂线段最短得到答案
9．（2024八上·上城期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，首先沿着CD折叠，点B落在点E处，然后沿着FG折叠，使得点A与点E重合，则下列说法中（ ）
①EF⊥CE；②若BC＝3，AC＝4，那么．
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
【答案】A
【知识点】垂线的概念；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—面积关系
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A=90°.
∵△CBD沿CD折叠得到△CED，
∴∠CED=∠B，ED=BD，CE=CB.
∵△FAG沿FG折叠得到△FEG，
∴∠A=∠FEG，AG=GE，AF=EF.
∴∠CED+∠FEG=90°，
∴∠CEF=90°，
∴EF⊥CE， ①正确；
若 BC＝3，AC＝4， 则AB=5，
∵CD⊥AB，
∴.
∴，
∴.
设AF=x，在Rt△CFE中，CF2=EF2+CE2，
∴(4－x)2=x2+32.
解得.
即AF=
∴FG=， ②正确.
故答案为：A.
【分析】（1）由∠ACB=90°，得到∠B+∠A=90°，由两个折叠得到∠CED=∠B，∠A=∠FEG，于是可得∠CED+∠FEG=90°，结论得证；
（2）根据BC＝3，AC＝4得到AB和CD的值，从而得到BD和AG的值，.设AF=x，则CF=4-x，可在△EFG中利用勾股定理求出x的值。进而得到GF，结论得证.
10．（2024九上·义乌期末）如图，正方形的边长为4，点是边上的一点，将沿着折叠至，若、恰好与正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为（ ）
A． B．5 C． D．以上都不对
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OC，如图，
∵ 点O为正方形ABCD的中心，
∴ ∠DCO=∠BCO，
∵ CF，CE与 相切 ，
∴ ∠FCO=∠ECO，
∴ ∠DCO-∠FCO=∠BCO-∠ECO，
即∠DCF=∠BCE，
∵沿着折叠至，
∴ ∠BCE=∠FCE，
∴ ∠DCF=∠BCE=∠FCE=30°，
设CE为2x，则BE为x，
在Rt△BCE中，BC2+BE2=CE2，
即42+x2=4x2，
解得，x=，
则CE=2x=.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可得∠DCO=∠BCO，根据切线长定理可得 ∠FCO=∠ECO，进而可得∠DCF=∠BCE，根据折叠的性质可得 ∠BCE=∠FCE，可推出∠DCF=∠BCE=∠FCE=30°，再根据30°的直角三角形的性质可得2BE=CE，再根据勾股定理列方程即可求得CE的长.
11．（2021八上·长沙期末）如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴ ，
∵ ， ，
，
作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∴PE+QE 的最小值为10.
故答案为：C.
【分析】作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，进而判断△APQ'是等边三角形，即可解决问题.
12．如图，将矩形ABCD沿GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB⑤△COF∽△CEG.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠性质可得：DG=OG=AG，AE=OE=BE，OC=BC，
∠DGF=∠FGO，∠AGE=∠OGE，∠AEG=∠OEG，∠OEC=∠BEC，
∴∠FGE=∠FGO+∠OGE=90°，∠GEC=∠OEG+∠OEC=90°，
∴∠FGE+∠GEC=180°，
∴GF∥CE，①正确；
设AD=2a，AB=2b，
则DG=OG=AG=a，AE=OE=BE=b，
∴CG=OG+OC=3a，
在Rt△AGE中，GE2=AG2+AE2=a2+b2，
在Rt△CGE中，CE2=BE2+CB2=b2+（2a）2，
在Rt△CGE中，CG2=GE2+CE2，
即（3a）2=a2+b2+b2+（2a）2，
解得：；
∴；②错误；
设OF=DF=x，则，
在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，
∴，
解得：；
∴，，
在Rt△AGE中，，
∴，；③④正确；
根据题意，无法得出∠FCO=∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG；⑤错误；
综上，正确的是①③④，
故答案为：B.
【分析】根据折叠前后图形的对应边和对应角相等可推得∠FGE+∠GEC=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可得出GF∥CE，判断①正确，设AD=2a，AB=2b，求得CG=3a，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得，即可求得AB与AD的数量关系，判断②错误，设OF=DF=x，求得CF的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方得出x与a的关系式，GE的值，即可判断③④正确，结合题意无法得出△COF∽△CEG；判断⑤错误，即可得出答案.
13．如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD=5.OA：OD=1∶4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（-1，2） C．（-1，2） D．（1-，2）
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵矩形ABCD的边AD=5，OA：OD=1∶4 ，
∴OA=1，OD=4，BC=5，
∵AB∥y轴，
∴∠AOB=∠C1OB，
∵∠OAB=∠D1=90°，
∴∠ABO∽△D1OC1，
∴，
将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置 ，则OD1=OD=4，D1C1=DC=AB，
∴，解得AB=2，
∴CD=2，
连接OC，设BC与OC1交于点F，
∴OC==，
∵∠FOA=∠OAB=∠ABF=90°，
∴四边形OABF是矩形，
∴AB=OF=2，∠BFO=∠EFC1，OA=BF=1，
∴CF=4，
由折叠知：OC1=OC=，EC1=EC=CF-EF=4-EF，
∴FC1=OC1=-2，
∵EF2+C1F2=EC12，
∴EF2+（-2）2=（4-EF）2，
解得：EF=-1，
∴E（1-，2）.
故答案为：D.
【分析】先证∠ABO∽△D1OC1，可得AB=CD=2，连接OC，设BC与OC1交于点F，利用折叠与勾股定理求出OC1=OC=，易得FC1=OC1=-2，再利用勾股定理求出EF的长即可得解.
14．（2023九上·长清期中）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF为交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE∽△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ GD，正确的是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：①四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，
由折叠可知：∠GEP=∠BCD=90°，∠F=∠D=90°，
∴∠BEP+∠AEG=90°，
∴∠A=90°，
∴∠AEG+∠AGE=90°，
∴∠BEP=∠AGE，
∵∠FGQ=∠AGE，
∴∠BEP=∠FGQ，
∵∠B=∠F=90°，
∴△QFG∽△PBE.
故①正确；
②过点C作CN⊥EG于N，
由折叠可得：∠GEC=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠GEC，
在△NEC和△BEC中，
∴△NEC≌△BEC(AAS).
∴CN=CB=CD，，
在Rt△CNG和Rt△CDG中，
∴Rt△CNG≌Rt△CDG(HL)，
∴
＞，
∴②不正确；
③由折叠可得：∠GEC=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠GEC，
即EC平分∠BEG.
∴③正确；
④连接DH，NH，HE，如图，
∵△BEC≌△NEC，△CNG≌△CDG，
∴∠BCE=∠NCE，∠NCG=∠DCG，
∴∠ECG=∠ECN+∠GCN=∠BCD=45°，
∵EC⊥HP，
∴∠CHP=45°，
∴∠GHQ=∠CHP=45°，
由折叠可得：∠EHP=∠CHP=45°，
∴EH⊥CG，
∴EG2-EH2=GH2.
由折叠可知：EH=CH.
∴EG2-CH2=GH2，
∵CN⊥EG，EH⊥CG，
∴∠ENC=∠EHC=90°，
∴E，N，H，C四点共圆，
∴∠HNC=∠HEC=45°.
在△CNH和△CDH中，
∴△CNH≌△CDH(SAS)，
∴∠CDH=∠CNH=45°，
∵∠CDA=90°，
∴∠GDH=45°，
∵∠GHQ=∠CHP=45°，
∴∠GHQ=∠GDH=45°，
∵∠HGQ=∠DGH，
∴△GHQ∽△GDH，
∴，
∴GH2=GQ GD，
∴GE2-CH2=GQ GD，
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④.
故答案为：B.
【分析】①根据有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；
②过点C作CN⊥EG于N，通过证明△BEC≌△NEC，进而说明△CNG≌△CDG，可得＞，可得②不正确；
③由折叠可得：∠GEC=∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC=∠DCE，结论③成立；
④连接DH，NH，HE，由△BEC≌△NEC，△CNG≌△CDG可知：∠BCE=∠NCE，∠NCG=∠DCG，所以∠ECG=∠ECN+∠GCN=∠BCD=45°，由于EC⊥HP，则∠CHP=45°，由折叠可得：∠EHP=∠CHP=45°，则EH⊥CG，利用勾股定理可得EG2-EH2=GH2.由CN⊥EG，EH⊥CG，得到∠ENC=∠EHC=90°，所以E，N，H，C四点共圆，所以∠HNC=∠HEC=45°，通过△CNH≌△CDH，可得∠CDH=∠CNH=45°，这样，∠GDH=45°，因为∠GHQ=∠CHP=45°，易证△GHQ∽△GDH，则得GH2= GQ GD，从而说明④成立.
15．（2023八上·瑞安期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C′处，两条折痕与斜边BC分别交于E，F．以下四个结论正确的是（ ）
①∠EAF＝45°；②FC′＝BE；③EC＝3BE；④FC＝(－1)AE．
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C′处，
∴∠BAE=∠EAD=∠BAD，∠CAF=∠DAF=∠CAD，
∴∠EAF=∠EAD+∠DAF=（∠BAD+∠CAD）=∠BAC=×90°=45°，故①正确；
∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠B=60°=∠BDA=∠CDF，∠C'=30°，
∴△ABD是等边三角形，∠C'FD=90°，DF=m，则C'D=2m，C'F=CF=，
∴CD=DF+CF=，
∵∠BDA=60°，∠C=30°，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴DC=AD==BD
∴BE=DE=BD=，而C'F=，
∴C'F≠BE，故②错误；
∵CD=，BE=DE=，
∴CE=CD+CD=，故③正确；
∵∠BEC=90°，∠C=30°，
∴，
∴，
∴FC= (－1)AE ，故④正确，
综上，正确的有①③④.
故答案为：C.
【分析】由翻折得∠BAE=∠EAD=∠BAD，∠CAF=∠DAF=∠CAD，进而根据∠EAF=∠EAD+∠DAF可判断①；由三角形的内角和定理及翻折得∠B=60°=∠BDA=∠CDF，∠C'=30°，则△ABD是等边三角形，∠C'FD=90°，DF=m，则C'D=2m，C'F=CF=，进而根据三角形外角性质得∠DAC=∠C=30°，由等边对等角及线段的和差得DC=AD==BD，则E=DE=BD=，可判断②；由CE=CD+CD算出CE的长，可判断③；由含30°角直角三角形的性质得，从而代入 (－1)AE 算出结果可判断④.
二、填空题
16．（2024·武侯模拟） 如图，在矩形中，，，点E是边上一点，，分别在边上取点M，N，将矩形沿直线翻折，使得点B的对应点恰好落在射线上，点A的对应点是，那么折痕的长为 ；连接，线段的最小值为 ．
【答案】；
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】过M作MF⊥BC于点F，如图，
可得MF=AB=9，
在中，
由折叠性质可得，MN⊥，
连接并延长，交CD的延长线于H，过点C作CG⊥AH于G，如图，
根据折叠的性质可得
四边形ABEH是平行四边形，
CH=CE+EH=4+9=13，
又
线段的最小值为
故答案为： ； .
【分析】过M作MF⊥BC于点F，证明利用相似三角形的性质即可求得MN的长；连接并延长，交CD的延长线于H，过点C作CG⊥AH于G，利用相似三角形的性质即可求得CG的长，再根据即可求解线段的最小值.
17．（2024·海曙模拟） 如图，在平行四边形中，，点，分别为边上异于端点的动点，且，连接，将四边形沿着折叠得到四边形．当点落在平行四边形的边上时，的长为 ．
【答案】，
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接、、，交于点，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分，点为的中点，
由折叠可得，
∴动点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆弧．
①当点落在边上时，
由折叠可得，，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
②当点落在边上时，
∵直径，
∴，
∴，
∴．
③当点与点重合时，过点作于点，
∵，
∴．．
∴，
∴，即，
故答案为：，．
【分析】连接、、，交于点，连接，根据平行四边形的性质和折叠的性质可判断出：动点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆弧．，根据题意可知需分三种情况讨论，①当点落在边上时，②当点落在边上时，③当点与点重合时，过点作于点，分别根据解直角三角形和勾股定理求出BG的长度即可求解.
18．（2024九下·广州月考）如图，平分等边的面积，折叠得到，分别与，相交于，两点．若，，则的长是 ．
【答案】2
【知识点】三角形的面积；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵折叠△BDE得到△FDE，
∴△BDE≌△FDE，
∴S△BDE=S△FDE，∠F=∠B=60°=∠A=∠C，
∵∠AGD=∠FGH，∠CHE=∠FHG，
∴△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，
∴，.
故，.
∵DE平分等边三角形ABC的面积，
∴图形ACED的面积=S△BDE=S△FDE，
∴S△FHG=S△ADE+S△CHE.
∴，
∴HG2=4，
∴HG=±2(舍负).
故答案为：2.
【分析】利用折叠的性质得S△BDE=S△FDE，∠F=∠B，利用等边三角形的性质可得∠F=∠A=∠C=60°.
结合对顶角的性质可证得△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，根据相似的性质得和.根据平分等边的面积可证得S△FHG=S△ADE+S△CHE.
于是可得，即可求得HG长.
19．（2024·深圳模拟）如图，在正方形的对角线上取一点，使得，连接，将沿翻折得到，连接．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：如图，延长BE交CD于点G，连接FG、CF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴△CEG∽△AEB，
∴，
∴，
即点G为CD的中点，
∴CG=DG，
根据折叠的性质可得，BC=BF，∠FBE=∠CBE，
∴∠BCF=∠BFC，BG垂直平分CF，
∴CG=FG，
∴CG=DG=FG，
∴∠GFD=∠GDF，∠GFC=∠GCF，
故∠FCG+∠FDC=90°，
即∠CFD=90°，
∵∠FCG+∠BCF=90°，∠FCG+∠GDF=90°，
∴∠BCF=∠BFC=∠GDF=∠GFD，
∴△BCF∽△GDF，
∴，
∴CF=2DF，
在Rt△CDF中，DF2+CF2=CD2，
即DF2+（2DF）2=42，
解得：；
故答案为：．
【分析】延长BE交CD于点G，连接FG、CF，根据正方形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB=CD，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可推得CG=DG，根据折叠前后两个图形的对应边相等，对应角相等可得BC=BF，∠FBE=∠CBE，根据等边对等角可得∠BCF=∠BFC，根据等腰三角形底边上的高，底边上的中线重合可得BG垂直平分CF，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CG=FG，根据等边对等角可得∠GFD=∠GDF，∠GFC=∠GCF，结合三角形内角和是180°可推得∠CFD=90°，结合等角的余角相等可得∠BCF=∠BFC=∠GDF=∠GFD，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可推得CF=2DF，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
20．（2024九下·萧山月考）如图，在中，D为斜边的中点，点E在边上，将沿叠至． 若的延长线经过点D，平分，，则的值为 ，的长为 ．
【答案】；
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）取AB的中点H，连结DH，
∵D为斜边AC的中点，
∴DH是△ABC的中位线，
∴DH=BC，DH∥BC，
∵AB⊥BC，
∴DH⊥AB，
由折叠性质可得BC=FC，BE=EF=1，∠DFC=∠B=90°，
∵D为斜边AC的中点，
∴S△ADE=S△CDE，
∴AE·DH=DE·CF
∴AE=2DE，
∴=；
（2）设DF=x，BC=CF=y，则DE=DE+EF=x+1，
∴AE=2DE=2x+2，AB=AE+BE=2x+3，
过点A作AT⊥ED交ED的延长线于T，
∴∠T=∠CFD=90°，
又∵AD=CD，∠ADT=∠CDF
∴△ADT≌△CDF(AAS)
∴DT=DF=x，AT=CF=y，∠DAT=DCF，
∵CF平分∠BCA，
∴∠BCA+2∠DCF=90°，
∵∠CAB+∠ACB=90°，∠BCA+2∠DCF= 90°，
∵∠CAB+∠TAD+∠AET= 90°，
∴∠CAB+∠DCF+∠AET= 90°，
∴∠AET=∠TAD，又∠T=∠T，
∴△ADT∽△TEA，
=，即=，
∴y2=2x2+x，
在Rt△ATE中，AT2+ET2=AE2，
∴y2+(2x+1)2=(2x+2)2，
∴2x2-3x-3=0，
解得：
x1=，x2=（舍）.
AB=2x+3=，
故答案为：，.
【分析】（1）取AB的中点H，连结DH，根据中位线、折叠性质，通过等底同高三角形面积相等得S△ADE=S△CDE，由等面积法即可求解；
（2）设DF=x，表示出DE=x+1，AE=2x+2，AB=2x+3，根据AAS判断出△ADT≌△CDF，得到DT=DF=x，AT=CF=y，证△ADT∽△TEA，由相似三角形对应边可得y2=2x2+x，在Rt△ATE中，AT2+ET2=AE2，勾股定理即可求解。
21．（2024八上·南山期末）如图，在中，，，点是边上一点（点不与点，重合），将沿翻折，点的对应点为点，交于点，若，则点到线段的距离为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点作于点，
∵，，
∴，
由勾股定理得：
∵，
∴，，
由折叠的性质得：，，，
∴
∴
∴
由勾股定理得：
设点到的距离为，则
，即
解得：.
故答案为．
【分析】过点作于点，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出，，由折叠的性质得：，，得出，证出，得出又由勾股定理得利用三角形等面积得，代数求解即可．
22．（2023九上·丰城月考）如图，腰长为22的等腰ABC中，顶角∠A＝45°，D为腰AB上的一个动点，将ACD沿CD折叠，点A落在点E处，当CE与ABC的某一条腰垂直时，BD的长为 ．
【答案】或2
【知识点】三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；三角形的综合
【解析】【解答】解：当CE⊥AB 时，如图，
设垂足为M，在Rt△AMC中，∠A＝45°，
由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝22.5°，
∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝67.5°，
∴∠BCM＝22.5°，
∴∠BCM＝∠DCM，
在△BCM和△DCM中，
，
∴△BCM≌△DCM（ASA），
∴BM＝DM，
由折叠得：∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，
∴△MDE是等腰直角三角形，
∴DM＝EM，
设DM＝x，则BM＝x，DEx，
∴ADx．
∵AB＝22，
∴2xx＝22，解得：x，
∴BD＝2x＝2；
当CE⊥AC时，如图，
∴∠ACE＝90°，
由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°，
∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，
∴∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，
∴∠ADC＝∠EDC＝90°，即点D、E都在直线AB上，且△ADC、△DEC、△ACE都是等腰直角三角形，
∵AB＝AC＝＝22，
∴ADAC＝2，
BD＝AB﹣AD＝（22）﹣（2），
综上，BD的长为或2．
故答案为：或2．
【分析】本题分两种情况讨论，当CE⊥AB 时，当CE⊥AC时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质与判定，以及全等三角形的判定与性质，等量代换，找到与BD有关的边，列式求解.
23．（2023九上·安庆月考）如图，将矩形折叠，使得点落在边的三等分点上，且，点折叠后的对应点为，折痕为，连接，若，，则的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：作MN⊥AB交AB的延长线于N，作FM⊥AD交AD于M，连接DG交EF于l，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠A=∠ABC=90°，AD∥BC，CD=AB，
∴∠AGE+∠AEG=90°，
由折叠可得EG=DE，∠HGE=∠ADC=90°，EF垂直平分DG，
∴∠HGN+∠AGE=90°，∠FED+∠ADG=90°，HG=CD，
∴∠AGE=∠HGN，
由可设AG=4x，AE=3x，则DE=EG5x，BG=2x， AD=8x，tan∠ADG=，
∵FM⊥AD，
∴∠FED+∠EFM=90°，FM=AB=AG+BG=6x，
∴∠ADG=∠EFM，即tan∠EFM=tan∠ADG=，
∴ME=3k，
∴ME2+FM2=EF2，即（3x）2+（6x）2=（）2，
解得k=1或-1（舍），
∴BG=2，HG=CD=AB=6，
由，可设HN=4a，NG=3a，
∴HN2+NG2=HG2，即（4a）2+（3a）2=62，
解得a=，即HN=，NG=，
∴NB=NG-BF=，
∴BH==.
故答案为：.
【分析】作MN⊥AB交AB的延长线于N，作FM⊥AD交AD于M，连接DG交EF于l，根据矩形的性质、折叠及解直角三角形分别求出FM、ME，HN，NG，NB，最后利用勾股定理求出BH即可.
三、解答题
24．（2024九上·武侯期末）如图，在矩形中，，，点E是边上一点，连接，将沿折叠得到，边，分别交于点M，N．
（1）求证：；
（2）当时．
①求BE的长；
②若点P是边上的动点，连接，过点A作的垂线交线段于点Q，试探究的值是否发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．
【答案】（1）证明：∵矩形，
∴，，，
∵折叠，
∴，
∴，，，
∴，
又，
∴，
又，
∴；
（2）解：①∵，，，
∴，
∴，，
∴，即，
设，则，，，
在中，，
∴，
解得，
∴；
②的值不变，值为．
理由：连接，交于点O，过F作于H，
∵折叠，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，即，
解得，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【分析】(1)先证明∠DAM=∠CNE，再结合∠D=∠C=90°，根据两角对就相等的三角形相似即可证明结论.
(2)①根据AAS证明△CNE≌△FNM，得到CN=FN，EN=MN，CE=x，则BE=4-x，AM=5-x，DM=x+1，在Rt△ADM中根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求解.
②的值不变.连接FQ，BF交AE于点O，过点F作FH⊥AB，垂足为点H，证明△AOB∽△ABE，求出BF，证明△FBH∽△AEB，求出FH，证明△FHP∽△ABQ，得，从而求解.
25．（2024八下·阆中期中） 如图，在矩形ABCD中， AB=3，AD=4，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G；
（1）如图1，当∠DAG=30° 时，求BE的长；
（2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；
（3）如图3，在矩形ABCD中，E，G分别是BC、CD上的一点，AEEG，将△EGC沿EG翻折得，连接，若是以AE为腰的等腰三角形，则BE的值为▲ ．（直接写出答案）
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，
∵∠DAG=30°，
∴∠BAG=60°，
由折叠的性质可知，
∴AE=2BE，
在Rt△ABE中，，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠C=90°，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
由折叠的性质可知，BE=FE，∠AFE=∠B=90°，AF=AB=3，
∴EF=EC，∠GFE=∠GCE=90°，
又∵EG=EG，
∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），
∴CG=FG，
设GF=FG=x，则DG=3-x，AG=3+x，
在Rt△ADG中，，
∴，
解得，
∴
（3）或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】解：设BE=m，则EC=4-m，
根据翻折性质可得：
当时，AE=4-m，
四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
由勾股定理可得：
解得：
当时，作AH⊥，如图，
EF⊥AE，
∴
根据翻折性质可得：
BE=EH=m，
即4-m=2m，
解得
综上所述：BE的值为或.
【分析】（1）根据矩形的性质求得 ∠BAG=60°， 再求得，利用含30°角的直角三角形性质求得 AE=2BE， 最后利用勾股定理即可求解；
（2） 连接EG， 根据E是BC的中点以及翻折的性质求得 BE=CE=GE，再利用HL证明 Rt△GFE≌Rt△GCE ，得到 CG=FG， 设GF=FG=x，则DG=3-x，AG=3+x， 利用勾股定理建立关于x的方程，解得x的值，即可求解；
（3）设BE=m，则EC=4-m，根据翻折性质可得：进行分两种情况求解即可得出结论.
26．（2024七下·青山期中） 已知，在长方形中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将长方形沿折叠后，点D的对应点是M，点C的对应点是N．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，将四边形沿继续折叠，点N的对应点为G，探索与的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，P是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点A的对应点是O，点B的对应点是Q．请直接写出和的数量关系．
【答案】（1）解：∵，
∴，
根据折叠可知：，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
过点M作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
根据折叠可知：，
∵，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
根据折叠可知：，，，，，，，
设，，
则，
又∵，
即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
在中，，
设，
，
∴，
在四边形中，，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）先求出∠DEM，根据折叠的性质可得∠DEF=∠DEM，再根据平行线的性质可得∠EFB=∠DEF；
（2）过点M作MK∥AE，根据平行公理的推论可得MK∥BE，根据平行线的性质和折叠的性质，即可求得；
（3）根据折叠的性质得，，，，，，，设，，求出∠EFG，再根据得出x=2y-180°，根据平行线的性质可得∠DEF=∠EFB，设∠BHP=∠QHP=z，根据四边形的内角和为360°可推出z=270°-2y，求出∠GHQ=630°-6y，∠EFG=360°-3y，即可求得.
27．（2024八上·江北期末）等边中，于点，点为边上一动点，连接，点关于直线的对称点为点，连接．
（1）如图1，点恰好落在的延长线上，则求 ；
（2）过点作交于点，连接交于点．
①如图2，试判断线段、和之间的数量关系，并说明理由：
②如图3，直线交于点，连接点运动的过程中．当取最小值时，请直接写出线段的长度．
【答案】（1）15
（2）解：①；
理由如下：
如图，延长交于点N；
设，
由折叠性质得：，；
∴，；
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，；
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）解：∵是等边三角形，，
∴，，；
由折叠性质得：；
∴，
∴，
∴；
故答案为：15；
（2）解：①；
理由如下：
如图，延长交于点N；
设，
由折叠性质得：，；
∴，；
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，；
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②如图，连接，取中点P，连接，
∵是等边三角形，
∴，；
∵，
∴，
∴，
当C、M、G三点共线且与重合时，最短，此时点D与H点重合，点G与点P重合，
∵P、H分别是的中点，
∴．
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，最短距离，线段垂直平分线的性质．
（1）由折叠的性质、由等边三角形的性质可推出：，，， 再利用等腰三角形的性质可得：，利用角的运算可求出答案；
（2）①延长交于点N；利用角的运算可求出∴；，
进而证明为等边三角形；再结合已知条件，可证明是等边三角形，利用等边三角形的性质可得：，进而证明，利用全等三角形的性质可得，利用线段的运算可得线段、和之间的数量关系；
②连接，取中点P，连接，观察图形可知当C、M、G三点共线且与重合时，最短，此时点D与H点重合，利用线段中点的定义可求出长度．
1 / 1
