中小学教育资源及组卷应用平台
11.4解一元一次不等式
分层练习
考查题型一 一元一次不等式的概念辨析
1．下列是一元一次不等式的是
A． B． C． D．
【详解】解：、中不是整式，不是一元一次不等式；
、中不含有不等号，不是一元一次不等式；
、含有一个未知数，未知数的最高次数是1，是一元一次不等式；
、中含有一个未知数，但未知数的最高次数等于2，不是一元一次不等式．
故本题选：．
2．下列不等式中，是一元一次不等式的是
A． B． C． D．
【详解】解：、含有两个未知数，不是一元一次不等式；
、含有一个未知数，未知数的最高次数是1，是一元一次不等式；
、不含有未知数，不是一元一次不等式；
、未知数的最高次数等于2，不是一元一次不等式．
故本题选：．
考查题型二 利用一元一次不等式的概念求参
1．已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ．
【详解】解：是关于的一元一次不等式，
，，解得：．
故本题答案为：4．
2．若是关于的一元一次不等式，则 ．
【详解】解：是关于的一元一次不等式，
且，解得：．
故本题答案为：．
考查题型三 解一元一次不等式
1．下面是小明解不等式的过程：
解：去分母，得①
移项，得②
合并同类项，得③
两边同时除以，得④
小明的计算过程中，没掌握好基本知识或粗心出错的步骤是
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【详解】解：小明计算步骤①中，常数没有乘以2，此步骤错误；
步骤④两边同时除以，不等号的方向没有改变，此步骤错误．
故本题选：．
2．不等式的解集在数轴上表示为
A．
B．
C．
D．
【详解】解：去括号得：，
移项得：，
系数化为1得：．
故本题选：．
3．当时，关于的不等式的解集为 ．
【详解】解：，
移项得：，
，
．
故本题答案为：．
4．若，，则关于的不等式的解集是 ．
【详解】解：，
，
，
，
，
又，
，
．
故本题答案为：．
5．解不等式：．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为1得：．
6．解下列不等式：．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
7．解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
该不等式的解集在数轴上表示如下：
．
8．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
【详解】解：（1），
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
该不等式的解集在数轴上表示如图下：
；
（2），
去括号得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
该不等式的解集在数轴上表示如下：
．
9．下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解： 第一步，
第二步，
第三步，
第四步，
第五步．
任务一：填空：
①以上解题过程中，第二步是依据 （运算律）进行变形的；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
【详解】解：任务一：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的，
故本题答案为：乘法分配律；
②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项没有变号，
故本题答案为：三，移项没有变号；
任务二： 第一步，
第二步，
第三步，
第四步，
第五步，
该不等式的正确解集是．
10．下面是小亮同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并解答问题．
解不等式：． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项、合并同类项得：③ 两边都除以得：④
（1）填空：第①步中“去分母”的依据是 ；第 步有错误，这一步错误的原因是 ；
（2）请直接写出正确的结果；
（3）在解一元一次不等式时，除了要注意小亮同学在上题解法中的错误外，还需注意其他事项，请你根据平时的学习经验，给同学们提一条建议．
【详解】解：（1）第①步中“去分母”的依据是分式的基本性质；
第④步有错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变；
故本题答案为：分式的基本性质；④，不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变；
（2），
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
两边都除以得：，
不等式的解集为；
（3）建议一：去分母时，要每一项都乘分母的最小公倍数；
建议二：去括号时，要注意变号问题，如果括号前是负号，去括号时括号内每一项都要变，如果括号前是正号，去括号时，括号内的每一项都不变号．（本题答案不唯一）
考查题型四 已知一元一次不等式的解集求参
1．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】解：关于的不等式的解集为，
，解得：．
故本题选：．
2．已知关于的不等式的解集是，则的取值范围在数轴上可表示为
A． B．
C． D．
【详解】解：不等式不等式变形为：，
关于的不等式的解集是，
，解得：，
在数轴上表示如下：
．
故本题选：．
3．不等式的解集是，则应满足
A． B． C． D．
【详解】解：，
，
，
，
不等式的解集是，
，
，解得：．
故本题选：．
考查题型五 构造一元一次不等式求参
1．不等式的解集为，则不等式的解集是
A． B． C． D．
【详解】解：不等式的解集为，
，
，
解不等式得：，
．
故本题选：．
2．已知关于的方程的解为非负数，则的范围为 ．
【详解】解：解得：，
由题意可得：，解得：．
故本题答案为：．
3．对有理数，定义运算：，其中，是常数．如果，，那么的取值范围是 ．
【详解】解：，且，
，
，
由可得：，
，解得：．
故本题答案为：．
4．若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是 ．
【详解】解：解不等式得：，
解关于的不等式得：，
不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，
，解得：．
故本题答案为．
5．已知关于的方程的解适合不等式，求的取值范围．
【详解】解：解得：，
方程的解适合不等式，
，解得：．
6．若关于、的方程组的解满足不等式，求的取值范围．
【详解】解：，
，
又，
，解得：．
考查题型六 求一元一次不等式的整数解
1．若实数3是不等式的一个解，则可取的最大整数是
A． B．2 C． D．3
【详解】解：实数3是不等式的一个解，
，解得：，
可取的最大整数为．
故本题选：．
2．不等式的正整数解是 ．
【详解】解：去分母、去括号得：，
移项得：，
系数化为1得：，
不等式的正整数解为1．
故本题答案为：1．
3．定义新运算： ，则不等式 的非负整数解的个数为 ．
【详解】解：由题意可得： ，即，解得：，
的非负整数为0、1、2，共3个，
不等式 的非负整数解的个数为3．
故本题答案为：3．
4．解不等式，把它的解集在数轴上表示出来，并求出这个不等式的负整数解．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
不等式的解集在数轴上表示如下：
，
由数轴可知：该不等式的负整数解为、．
5．已知，求关于的不等式的最小非负整数解．
【详解】解：由题意可得：，，解得：，，
代入不等式得：，解得：，
最小非负整数解为．
6．已知关于，的二元一次方程组的解满足．
（1）求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式的解为，请写出符合条件的的整数值．
【详解】解：（1）由题意可得：，
①②得：，
，
，解得：；
（2）移项得：，
①当时，，不合题意，舍去；
②当时，，解得：，
由（1）得：，
符合条件的的整数值有，．
考查题型七 已知一元一次不等式的整数解（或整数解个数）求参
1．若是关于的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则的取值范围为
A． B． C． D．
【详解】解：，
，
，
是关于的不等式的一个整数解，而不是其整数解，
，解得：．
故本题选：．
2．若的解集中的最大整数解为2，则的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】解：的解集中的最大整数解为2，
．
故本题选：．
3．已知关于的不等式的最小整数解为2，则实数的取值范围是 ．
【详解】解：解不等式得：，
不等式有最小整数解2，
，解得：．
故本题答案为．
4．关于的不等式恰有两个负整数解，则的取值范围是 ．
【详解】解：解不等式得，
不等式恰有两个负整数解，
不等式的两个负整数解为、，
，
故本题答案为：．
5．若不等式的正整数解恰是1、2、3、4，则的取值范围是 ．
【详解】解：解不等式得，
不等式的正整数解恰是1、2、3、4，
，解得：．
故本题答案为：．
6．若关于的不等式恰有3个正整数解，则的取值范围是 ．
【详解】解：，
，
关于的不等式恰有3个正整数解，
不等式的3个正整数解为1、2、3，
，解得：．
故本题答案为：．
1．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，．
（1）填空： ， ；
（2）若，则的取值范围为 ；
（3）已知，求的取值范围．
【详解】解：（1）由题意可得：，
，
故本题答案为：，；
（2），
，
，
，
，
故本题答案为：；
（3）分两种情况：
①当时，即时，
，
，
，
，
，
（舍去）；
②当时，即时，
，
，
，
，
，
，
；
综上，的取值范围为．
2．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”，
（1）不等式 的“友好不等式”（填“是”或“不是” ）；
（2）若，关于的不等式与不等式互为“友好不等式”，求的取值范围；
（3）若关于的不等式不是的“友好不等式”，则的取值范围是 ．
【详解】解：（1）不等式和不等式有公共整数解2，
不等式是的“友好不等式”，
故本题答案为：是；
（2）解不等式得：，
由移项、合并同类项得：，
①当时，即时，解不等式得：，
由题意可得：，解得：，
故；
②当时，即时，解不等式得：，
始终符合题意，故；
综上，的取值范围为或；
（3）解不等式得：，
解不等式得：，
关于的不等式不是的“友好不等式”，
．
3．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程的解为，而一元一次不等式的解集为，不难发现在范围内，则一元一次方程是一元一次不等式的“伴随方程”．
（1）在①，②，③，三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有 （填序号）；
（2）若关于的一元一次方程是关于一元一次不等式的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于的一元一次不等式的“伴随方程”．
①求的取值范围；
②直接写出代数式的最大值．
【详解】解：（1）①，，，，
②，，，，
③，，，，
，，，，，
在①，②，③，三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有②③，
故本题答案为：②③；
（2）①，，，
，，，，，
方程是关于一元一次不等式的“伴随方程”，
，，，；
，，，，，
，，，，，，
方程不是关于的一元一次不等式的“伴随方程”，
，，；
综上，；
②，
当时，的值最大，最大值，
代数式的最大值是7．中小学教育资源及组卷应用平台
11.4解一元一次不等式
分层练习
考查题型一 一元一次不等式的概念辨析
1．下列是一元一次不等式的是
A． B． C． D．
2．下列不等式中，是一元一次不等式的是
A． B． C． D．
考查题型二 利用一元一次不等式的概念求参
1．已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ．
2．若是关于的一元一次不等式，则 ．
考查题型三 解一元一次不等式
1．下面是小明解不等式的过程：
解：去分母，得①
移项，得②
合并同类项，得③
两边同时除以，得④
小明的计算过程中，没掌握好基本知识或粗心出错的步骤是
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
2．不等式的解集在数轴上表示为
A．
B．
C．
D．
3．当时，关于的不等式的解集为 ．
4．若，，则关于的不等式的解集是 ．
5．解不等式：．
6．解下列不等式：．
7．解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
8．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
9．下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解： 第一步，
第二步，
第三步，
第四步，
第五步．
任务一：填空：
①以上解题过程中，第二步是依据 （运算律）进行变形的；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
10．下面是小亮同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并解答问题．
解不等式：． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项、合并同类项得：③ 两边都除以得：④
（1）填空：第①步中“去分母”的依据是 ；第 步有错误，这一步错误的原因是 ；
（2）请直接写出正确的结果；
（3）在解一元一次不等式时，除了要注意小亮同学在上题解法中的错误外，还需注意其他事项，请你根据平时的学习经验，给同学们提一条建议．
考查题型四 已知一元一次不等式的解集求参
1．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是
A． B． C． D．
2．已知关于的不等式的解集是，则的取值范围在数轴上可表示为
A． B．
C． D．
3．不等式的解集是，则应满足
A． B． C． D．
考查题型五 构造一元一次不等式求参
1．不等式的解集为，则不等式的解集是
A． B． C． D．
2．已知关于的方程的解为非负数，则的范围为 ．
3．对有理数，定义运算：，其中，是常数．如果，，那么的取值范围是 ．
4．若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是 ．
5．已知关于的方程的解适合不等式，求的取值范围．
6．若关于、的方程组的解满足不等式，求的取值范围．
考查题型六 求一元一次不等式的整数解
1．若实数3是不等式的一个解，则可取的最大整数是
A． B．2 C． D．3
2．不等式的正整数解是 ．
3．定义新运算： ，则不等式 的非负整数解的个数为 ．
4．解不等式，把它的解集在数轴上表示出来，并求出这个不等式的负整数解．
5．已知，求关于的不等式的最小非负整数解．
6．已知关于，的二元一次方程组的解满足．
（1）求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式的解为，请写出符合条件的的整数值．
考查题型七 已知一元一次不等式的整数解（或整数解个数）求参
1．若是关于的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则的取值范围为
A． B． C． D．
2．若的解集中的最大整数解为2，则的取值范围是
A． B． C． D．
3．已知关于的不等式的最小整数解为2，则实数的取值范围是 ．
4．关于的不等式恰有两个负整数解，则的取值范围是 ．
5．若不等式的正整数解恰是1、2、3、4，则的取值范围是 ．
6．若关于的不等式恰有3个正整数解，则的取值范围是 ．
1．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，．
（1）填空： ， ；
（2）若，则的取值范围为 ；
（3）已知，求的取值范围．
2．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”，
（1）不等式 的“友好不等式”（填“是”或“不是” ）；
（2）若，关于的不等式与不等式互为“友好不等式”，求的取值范围；
（3）若关于的不等式不是的“友好不等式”，则的取值范围是 ．
3．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程的解为，而一元一次不等式的解集为，不难发现在范围内，则一元一次方程是一元一次不等式的“伴随方程”．
（1）在①，②，③，三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有 （填序号）；
（2）若关于的一元一次方程是关于一元一次不等式的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于的一元一次不等式的“伴随方程”．
①求的取值范围；
②直接写出代数式的最大值．
