湖南省株洲市渌江中学2023-2024年九年级上学期数学入学考试测试题
一、选择题（共10小题）
1．sin30°的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】，
故选：C
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
2．（2024九下·株洲开学考）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时可配方得（ ）
A．（x+3）2＝6 B．（x﹣3）2＝6
C．（x+3）2＝3 D．（x﹣3）2＝3
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时可配方得（x﹣3）2＝6 ，
故答案为：B
【分析】根据配方法解一元二次方程结合题意即可求解。
3．（2020九上·罗山期末）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4，
∴它们的相似比为1：2，
∴它们的周长之比为1：2．
故选A．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得其相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．
4．（2024九下·株洲开学考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，cosB＝，则AC等于（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°， AB=5，
∴cosB=，
∴BC=4，
由勾股定理得AC===3，
故答案为：B
【分析】先根据锐角三角函数的定义得到cosB=，进而得到BC，再运用勾股定理即可求解。
5．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1=0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥1且m≠0 D．m≤1且m≠0
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1=0有实数根，
∴m≠0且△=（﹣2）2﹣4m×1≥0，
解得m≤1且m≠0．
故选D．
【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得m≠0且△=（﹣2）2﹣4m×1≥0，解不等式组即可．
6．（2024九上·衡东期末）如图，直线，它们依次交直线m、n于点A、B、C和D、E、F，已知，那么EF等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵直线
∴，即
解得：EF=4
故答案为：C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
7．（2024九下·株洲开学考）某地区居民2018年年人均收入为200美元，预计2020年年人均收入将达到1000美元，设2018年到2020年该地区居民人均收入平均年增长率为x，可列方程为（ ）
A．200（1+2x）＝1000 B．200（1+x）2＝1000
C．200（1+x2）＝1000 D．200+2x＝1000
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设2018年到2020年该地区居民人均收入平均年增长率为x，由题意得200（1+x）2＝1000，
故答案为：B
【分析】设2018年到2020年该地区居民人均收入平均年增长率为x，根据“某地区居民2018年年人均收入为200美元，预计2020年年人均收入将达到1000美元”结合题意即可列出一元二次方程，进而即可求解。
8．（2019九上·青山期中）如图，四边形 和 是以点 为位似中心的位似图形，若 ，四边形 的面积为9 ，则四边形 的面积为（ ）
A．15 B．25 C．18 D．27
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形 和 是以点 为位似中心的位似图形， ．
∴四边形 与四边形 的面积比为：25：9．
∵四边形 的面积为9 ，
∴四边形 的面积为：25 ．
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的面积之比是相似比的平方即可得．
9．（2024九下·株洲开学考）河堤横断面如图所示，堤高BC＝4米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是（ ）
A．4米 B．8米 C．10米 D．8米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：Rt△ABC中，BC=4米，tanA=1：；
∴AC==4米；
故答案为：A
【分析】根据题意解直角三角形（坡度坡角问题），进而即可求解。
10．（2024九下·株洲开学考）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论中，其中正确的结论的个数是（ ）
①a﹣b+c＞0；②3a+b＝0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不等实数根．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
∴当x=-1时，y＞0，
即a-b+c＞0，
①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a，
②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴=n，
∴b2=4ac-4an=4a（c-n），
③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点，
∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，
④正确．
故答案为：C
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，结合二次函数的图象与性质对①②③④逐一分析，进而即可求解。
二、填空题（共8小题）
11．（2017九上·三明期末）如果x：y=1：2，那么 =
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解： +1= +1，即 = ．
故答案为： ．
【分析】根据合比性质，可得答案．
12．（2024九下·株洲开学考）二次函数y＝x2﹣2x+4的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：
∵，开口向上
∴当时，y有最小值，最小值为3，
故答案为：3
【分析】先根据配方法得到，进而根据二次函数的图象结合题意即可求解。
13．（2024九下·株洲开学考）已知二次函数y＝﹣2（x﹣2）2+3的顶点坐标是 ．
【答案】（2，3）
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：由题意得二次函数y＝﹣2（x﹣2）2+3的顶点坐标是（2，3），
故答案为：（2，3）
【分析】根据二次函数顶点式的函数解析式，进而即可直接写出顶点坐标。
14．（2024九下·株洲开学考）已知方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值是 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得x1+x2的值是，
故答案为：3
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可得到x1+x2的值。
15．（2024九下·株洲开学考）已知二次函数y＝x2+4x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：解：函数的对称轴，则与x轴的另一个交点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据二次函数的对称轴结合二次函数与坐标轴的交点问题即可求解。
16．（2024九下·株洲开学考）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则△ADE与△ABC的面积比等于 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】先根据比例得到，进而根据平行线的性质得到，再根据相似三角形的判定与性质结合题意即可求解。
17．（2022七上·宣州期末）卖鱼的商贩为了估计鱼塘中有多少斤鱼，就用渔网先捞出了20条鱼，总重60斤，并在每条鱼上做了标记，随后仍放入鱼塘，一个小时后，再次捞出了30条鱼，发现其中有3条带有标记．根据此数据，可估计鱼塘中有鱼 斤．
【答案】600
【知识点】用样本估计总体；频数与频率
【解析】【解答】解：∵捞出的30条鱼中带有记号的鱼为3条
∴做记号的鱼被捞出的频率为 =0.1
∵池塘中共有20条做记号的鱼
∴池塘中总共约有20÷0.1=200（条）
∴估计鱼塘中鱼的总质量为200×3=600（斤）
故答案为：600．
【分析】先利用频率与频数之间的关系求出池塘中鱼的总数量，再求出总质量即可。
18．（2024九下·株洲开学考）已知：如图，菱形OABC在直角坐标系中，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y＝（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB AC＝160，有下列四个结论，其中正确的结论是 ．
①双曲线的解析式为y＝（x＞0）；②sin∠COA＝；③E点的坐标是（4，8）；④AC+OB＝12．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点作轴于点，如图所示：
∵点的坐标为，
∴，
∵四边形为菱形，且，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在双曲线上，
∴，解得：，
∴双曲线的解析式为，故不正确；
∵点在双曲线上，且的纵坐标为，
∴，故正确；
∵四边形为菱形，
∴，
∴，，故正确；
在中，，，
∴，
∵，
∴，，故正确，
综上可知：正确，
故答案为：
【分析】过点作轴于点，先根据点A的坐标得到OA，进而根据菱形的性质结合题意得到，，从而运用勾股定理求出AM，进而求出点D，再根据反比例函数图象上的点结合题意即可判断①；进而即可判断③；再根据菱形的性质结合平行线的性质、锐角三角函数的定义得到，，进而即可判断②；从而根据勾股定理求出OB，再结合题意即可判断④.
三、解答题（共10小题）
19．（2024九下·株洲开学考）（1）计算：；
（2）解方程：3x2﹣2x﹣1＝0．
【答案】（1）解：原式．
（2）解：法一：∵，
∴，
∴，
∴．
法二：，
∴，
∴或，
∴．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据实数的混合运算结合特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
（2）根据公式法或因式分解法解方程即可求解。
20．（2024九下·株洲开学考）已知方程x2+（m﹣1）x+m﹣17＝0的一个根是4，求m的值及方程的另一个根．
【答案】解：∵方程的一个根是4，
∴方程，
即，
解得；
∴方程为，
解得，
∴另一根为
【知识点】一元二次方程的根；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】先根据一元二次方程的根代入数值即可得到m，进而运用直接开平方法解一元二次方程即可求解。
21．（2024九下·株洲开学考）现有可建筑60m围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的仓库，墙长为am．
（1）若a＝50，能否围成总面积为225m2的仓库？若能，求AB的长为多少？
（2）能否围成总面积为400m2的仓库？请说说你的理由．
【答案】（1）解：设，则，
根据题意得：，
解得：或，
∵，
∴和都满足题意，
∴当，能围成总面积为的仓库，的长为或；
（2）解：不能围成面积为的仓库，理由如下：
设，则，
根据题意得：，
整理得：，
∵，
∴此方程无实数根，即不能围成面积为的仓库．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设，则，进而结合图形即可列出一元二次方程，从而即可求解；
（2）设，则，根据图形即可列出一元二次方程，进而根据一元二次方程根的判别式即可求解。
22．（2021九上·楚雄期末）如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC
∴∠ADF=∠DEC，∠ADF=∠DEC
∵
∵∠AFD+∠AFE=180°，
∴∠AFD=∠C
在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，
∴△ADF∽△DEC
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，
∴
在Rt△ADE中，由勾股定理得：，
所以AE的长为6．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用两组角相等的三角形相似的判定方法求解即可；
（2）根据△ADF∽△DEC， 可得，再将数据代入求出，最后利用勾股定理求出AE的长即可。
23．（2024九下·株洲开学考）如图，△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于点E，BC＝48，AD＝16．
（1）若PN＝18，求DE的长；
（2）若矩形PQMN的周长为80，求矩形PQMN的面积．
【答案】（1）解：依题意得：PN∥BC，则△APN∽△ABC，
又AD是高，则，
设DE=，则AE=16-，
由得，，解之得，=10
（2）解：由矩形PQMN，又AD是高，则四边形PQDE为矩形，
∴DE=PQ，
设DE=PQ=，则PN=，
同理得，
解得=4
则矩形PQMN的面积=
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据相似三角形的判定与性质证明△APN∽△ABC得到，设DE=，则AE=16-，进而代入即可求解；
（2）先根据矩形的判定与性质得到DE=PQ，设DE=PQ=，则PN=，进而求出y，再根据矩形的面积公式即可求解。
24．（2023八下·慈溪期末） 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件.
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率.
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客.经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】（1）解：设该款吉样物4月份到6月份销售量的月平均增长率为.
则
解得（舍去）
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为.
（2）设该款吉祥物降价元.
则
解得(舍去)
元
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设五，六这两个月的月平均增长率为x，利用，即可得出关于x的一元二次方程，解出取其正值即可.
(2)设吉祥物降价y元，则每件获利（58-35-y）元，月销售量为（400+20y）件，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解出取正值即可.
25．（2024九下·株洲开学考）已知关于x的方程x2﹣3ax﹣3a﹣6＝0，
（1）求证：方程恒有两不等实根；
（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝1，求a的值．
【答案】（1）证明：∵
∴该方程恒有两个不等实根；
（2）解：由根与系数的关系，，
∵，
∴，
∴，
解得．
【知识点】整式的混合运算；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解；
（2）先根据一元二次方程根与系数的关系得到，，进而根据整式的混合运算化简，代入即可求解。
26．（2024九下·株洲开学考）一艘轮船在某海域上由西向东匀速航行，在A处测得小岛P在北偏东75°方向上，继续向东航行12海里到达B处后，在B处测得小岛P在北偏东60°方向上．
（1）求轮船在B处时与小岛P的距离．
（2）已知在小岛P周围7海里内有暗礁，若轮船继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得，，
∵，
，
海里．
答：轮船在B处时与小岛P的距离为12海里．
（2）解：若该轮船继续向东航行，有触礁的危险．理由如下：
如图，过点P作直线于点D．
海里，
海里．
，
∴若该轮船继续向东航行，有触礁的危险．
【知识点】钟面角、方位角；角的运算；含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）由题意得，，进而结合题意进行角的运算即可求解；
（2）过点P作直线于点D，再根据含30°角的直角三角形的性质结合题意即可求解。
27．（2024九下·株洲开学考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC＝4，cos∠ACH＝，点B的坐标为（4，n）．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的值．
【答案】（1）解： ，轴于点，，，
，
解得：，
点是线段的中点，
，
，
，
反比例函数解析式为：，
把点代入，得：，
，
设一次函数解析式为：，
则，
解得：，
一次函数解析式为：；
（2）解：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）先根据锐角三角函数的定义结合已知条件得到，进而得到HC，再根据勾股定理求出AH即可得到点A的坐标，进而根据待定系数法即可求出反比例函数解析式，再根据待定系数法求出一次函数解析式即可求解；
（2）根据三角形的面积结合点的坐标代入即可求解。
28．（2024九下·株洲开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．
（1）求线段AC的长；
（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；
（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．
【答案】（1）解：与x轴交点：
令y=0，解得，
即A（-1，0），B（3，0），
与y轴交点：
令x=0，解得y=-3，
即C（0，-3），
∴AO=1，CO=3，
∴；
（2）解：抛物线的对称轴为：x=1，
设P（1，t），
∴，，
∴
∴t=-1，
∴P（1，-1）；
（3）解：设点M（m，m2-2m-3），
，
，
，
①当时，
，
解得，（舍），，
∴M（1，-4）；
②当时，
，
解得，，（舍），
∴M（-2，5）；
③当时，
，
解得，，
∴M或；
综上所述：满足条件的M为或或或．
【知识点】一元二次方程的其他应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）先根据二次函数与坐标轴的交点问题得到点A、点B和点C的坐标，进而运用勾股定理即可求解；
（2）设P（1，t），根据坐标系中两点间的距离公式结合题意解一元二次方程即可求解；
（3）设点M（m，m2-2m-3），根据坐标系中两点间的距离公式结合题意得到，，
，①当时，②当时，③当时，再解一元二次方程即可求解。
1 / 1湖南省株洲市渌江中学2023-2024年九年级上学期数学入学考试测试题
一、选择题（共10小题）
1．sin30°的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九下·株洲开学考）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时可配方得（ ）
A．（x+3）2＝6 B．（x﹣3）2＝6
C．（x+3）2＝3 D．（x﹣3）2＝3
3．（2020九上·罗山期末）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
4．（2024九下·株洲开学考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，cosB＝，则AC等于（ ）
A． B．3 C．4 D．5
5．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1=0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥1且m≠0 D．m≤1且m≠0
6．（2024九上·衡东期末）如图，直线，它们依次交直线m、n于点A、B、C和D、E、F，已知，那么EF等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2024九下·株洲开学考）某地区居民2018年年人均收入为200美元，预计2020年年人均收入将达到1000美元，设2018年到2020年该地区居民人均收入平均年增长率为x，可列方程为（ ）
A．200（1+2x）＝1000 B．200（1+x）2＝1000
C．200（1+x2）＝1000 D．200+2x＝1000
8．（2019九上·青山期中）如图，四边形 和 是以点 为位似中心的位似图形，若 ，四边形 的面积为9 ，则四边形 的面积为（ ）
A．15 B．25 C．18 D．27
9．（2024九下·株洲开学考）河堤横断面如图所示，堤高BC＝4米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是（ ）
A．4米 B．8米 C．10米 D．8米
10．（2024九下·株洲开学考）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论中，其中正确的结论的个数是（ ）
①a﹣b+c＞0；②3a+b＝0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不等实数根．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共8小题）
11．（2017九上·三明期末）如果x：y=1：2，那么 =
12．（2024九下·株洲开学考）二次函数y＝x2﹣2x+4的最小值为 ．
13．（2024九下·株洲开学考）已知二次函数y＝﹣2（x﹣2）2+3的顶点坐标是 ．
14．（2024九下·株洲开学考）已知方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值是 ．
15．（2024九下·株洲开学考）已知二次函数y＝x2+4x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是 ．
16．（2024九下·株洲开学考）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则△ADE与△ABC的面积比等于 ．
17．（2022七上·宣州期末）卖鱼的商贩为了估计鱼塘中有多少斤鱼，就用渔网先捞出了20条鱼，总重60斤，并在每条鱼上做了标记，随后仍放入鱼塘，一个小时后，再次捞出了30条鱼，发现其中有3条带有标记．根据此数据，可估计鱼塘中有鱼 斤．
18．（2024九下·株洲开学考）已知：如图，菱形OABC在直角坐标系中，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y＝（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB AC＝160，有下列四个结论，其中正确的结论是 ．
①双曲线的解析式为y＝（x＞0）；②sin∠COA＝；③E点的坐标是（4，8）；④AC+OB＝12．
三、解答题（共10小题）
19．（2024九下·株洲开学考）（1）计算：；
（2）解方程：3x2﹣2x﹣1＝0．
20．（2024九下·株洲开学考）已知方程x2+（m﹣1）x+m﹣17＝0的一个根是4，求m的值及方程的另一个根．
21．（2024九下·株洲开学考）现有可建筑60m围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的仓库，墙长为am．
（1）若a＝50，能否围成总面积为225m2的仓库？若能，求AB的长为多少？
（2）能否围成总面积为400m2的仓库？请说说你的理由．
22．（2021九上·楚雄期末）如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
23．（2024九下·株洲开学考）如图，△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于点E，BC＝48，AD＝16．
（1）若PN＝18，求DE的长；
（2）若矩形PQMN的周长为80，求矩形PQMN的面积．
24．（2023八下·慈溪期末） 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件.
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率.
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客.经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
25．（2024九下·株洲开学考）已知关于x的方程x2﹣3ax﹣3a﹣6＝0，
（1）求证：方程恒有两不等实根；
（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝1，求a的值．
26．（2024九下·株洲开学考）一艘轮船在某海域上由西向东匀速航行，在A处测得小岛P在北偏东75°方向上，继续向东航行12海里到达B处后，在B处测得小岛P在北偏东60°方向上．
（1）求轮船在B处时与小岛P的距离．
（2）已知在小岛P周围7海里内有暗礁，若轮船继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由．
27．（2024九下·株洲开学考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC＝4，cos∠ACH＝，点B的坐标为（4，n）．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的值．
28．（2024九下·株洲开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．
（1）求线段AC的长；
（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；
（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】，
故选：C
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
2．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时可配方得（x﹣3）2＝6 ，
故答案为：B
【分析】根据配方法解一元二次方程结合题意即可求解。
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4，
∴它们的相似比为1：2，
∴它们的周长之比为1：2．
故选A．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得其相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°， AB=5，
∴cosB=，
∴BC=4，
由勾股定理得AC===3，
故答案为：B
【分析】先根据锐角三角函数的定义得到cosB=，进而得到BC，再运用勾股定理即可求解。
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1=0有实数根，
∴m≠0且△=（﹣2）2﹣4m×1≥0，
解得m≤1且m≠0．
故选D．
【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得m≠0且△=（﹣2）2﹣4m×1≥0，解不等式组即可．
6．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵直线
∴，即
解得：EF=4
故答案为：C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设2018年到2020年该地区居民人均收入平均年增长率为x，由题意得200（1+x）2＝1000，
故答案为：B
【分析】设2018年到2020年该地区居民人均收入平均年增长率为x，根据“某地区居民2018年年人均收入为200美元，预计2020年年人均收入将达到1000美元”结合题意即可列出一元二次方程，进而即可求解。
8．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形 和 是以点 为位似中心的位似图形， ．
∴四边形 与四边形 的面积比为：25：9．
∵四边形 的面积为9 ，
∴四边形 的面积为：25 ．
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的面积之比是相似比的平方即可得．
9．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：Rt△ABC中，BC=4米，tanA=1：；
∴AC==4米；
故答案为：A
【分析】根据题意解直角三角形（坡度坡角问题），进而即可求解。
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
∴当x=-1时，y＞0，
即a-b+c＞0，
①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a，
②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴=n，
∴b2=4ac-4an=4a（c-n），
③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点，
∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，
④正确．
故答案为：C
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，结合二次函数的图象与性质对①②③④逐一分析，进而即可求解。
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解： +1= +1，即 = ．
故答案为： ．
【分析】根据合比性质，可得答案．
12．【答案】3
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：
∵，开口向上
∴当时，y有最小值，最小值为3，
故答案为：3
【分析】先根据配方法得到，进而根据二次函数的图象结合题意即可求解。
13．【答案】（2，3）
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：由题意得二次函数y＝﹣2（x﹣2）2+3的顶点坐标是（2，3），
故答案为：（2，3）
【分析】根据二次函数顶点式的函数解析式，进而即可直接写出顶点坐标。
14．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得x1+x2的值是，
故答案为：3
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可得到x1+x2的值。
15．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：解：函数的对称轴，则与x轴的另一个交点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据二次函数的对称轴结合二次函数与坐标轴的交点问题即可求解。
16．【答案】
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】先根据比例得到，进而根据平行线的性质得到，再根据相似三角形的判定与性质结合题意即可求解。
17．【答案】600
【知识点】用样本估计总体；频数与频率
【解析】【解答】解：∵捞出的30条鱼中带有记号的鱼为3条
∴做记号的鱼被捞出的频率为 =0.1
∵池塘中共有20条做记号的鱼
∴池塘中总共约有20÷0.1=200（条）
∴估计鱼塘中鱼的总质量为200×3=600（斤）
故答案为：600．
【分析】先利用频率与频数之间的关系求出池塘中鱼的总数量，再求出总质量即可。
18．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点作轴于点，如图所示：
∵点的坐标为，
∴，
∵四边形为菱形，且，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在双曲线上，
∴，解得：，
∴双曲线的解析式为，故不正确；
∵点在双曲线上，且的纵坐标为，
∴，故正确；
∵四边形为菱形，
∴，
∴，，故正确；
在中，，，
∴，
∵，
∴，，故正确，
综上可知：正确，
故答案为：
【分析】过点作轴于点，先根据点A的坐标得到OA，进而根据菱形的性质结合题意得到，，从而运用勾股定理求出AM，进而求出点D，再根据反比例函数图象上的点结合题意即可判断①；进而即可判断③；再根据菱形的性质结合平行线的性质、锐角三角函数的定义得到，，进而即可判断②；从而根据勾股定理求出OB，再结合题意即可判断④.
19．【答案】（1）解：原式．
（2）解：法一：∵，
∴，
∴，
∴．
法二：，
∴，
∴或，
∴．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据实数的混合运算结合特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
（2）根据公式法或因式分解法解方程即可求解。
20．【答案】解：∵方程的一个根是4，
∴方程，
即，
解得；
∴方程为，
解得，
∴另一根为
【知识点】一元二次方程的根；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】先根据一元二次方程的根代入数值即可得到m，进而运用直接开平方法解一元二次方程即可求解。
21．【答案】（1）解：设，则，
根据题意得：，
解得：或，
∵，
∴和都满足题意，
∴当，能围成总面积为的仓库，的长为或；
（2）解：不能围成面积为的仓库，理由如下：
设，则，
根据题意得：，
整理得：，
∵，
∴此方程无实数根，即不能围成面积为的仓库．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设，则，进而结合图形即可列出一元二次方程，从而即可求解；
（2）设，则，根据图形即可列出一元二次方程，进而根据一元二次方程根的判别式即可求解。
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC
∴∠ADF=∠DEC，∠ADF=∠DEC
∵
∵∠AFD+∠AFE=180°，
∴∠AFD=∠C
在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，
∴△ADF∽△DEC
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，
∴
在Rt△ADE中，由勾股定理得：，
所以AE的长为6．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用两组角相等的三角形相似的判定方法求解即可；
（2）根据△ADF∽△DEC， 可得，再将数据代入求出，最后利用勾股定理求出AE的长即可。
23．【答案】（1）解：依题意得：PN∥BC，则△APN∽△ABC，
又AD是高，则，
设DE=，则AE=16-，
由得，，解之得，=10
（2）解：由矩形PQMN，又AD是高，则四边形PQDE为矩形，
∴DE=PQ，
设DE=PQ=，则PN=，
同理得，
解得=4
则矩形PQMN的面积=
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据相似三角形的判定与性质证明△APN∽△ABC得到，设DE=，则AE=16-，进而代入即可求解；
（2）先根据矩形的判定与性质得到DE=PQ，设DE=PQ=，则PN=，进而求出y，再根据矩形的面积公式即可求解。
24．【答案】（1）解：设该款吉样物4月份到6月份销售量的月平均增长率为.
则
解得（舍去）
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为.
（2）设该款吉祥物降价元.
则
解得(舍去)
元
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设五，六这两个月的月平均增长率为x，利用，即可得出关于x的一元二次方程，解出取其正值即可.
(2)设吉祥物降价y元，则每件获利（58-35-y）元，月销售量为（400+20y）件，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解出取正值即可.
25．【答案】（1）证明：∵
∴该方程恒有两个不等实根；
（2）解：由根与系数的关系，，
∵，
∴，
∴，
解得．
【知识点】整式的混合运算；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解；
（2）先根据一元二次方程根与系数的关系得到，，进而根据整式的混合运算化简，代入即可求解。
26．【答案】（1）解：由题意得，，
∵，
，
海里．
答：轮船在B处时与小岛P的距离为12海里．
（2）解：若该轮船继续向东航行，有触礁的危险．理由如下：
如图，过点P作直线于点D．
海里，
海里．
，
∴若该轮船继续向东航行，有触礁的危险．
【知识点】钟面角、方位角；角的运算；含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）由题意得，，进而结合题意进行角的运算即可求解；
（2）过点P作直线于点D，再根据含30°角的直角三角形的性质结合题意即可求解。
27．【答案】（1）解： ，轴于点，，，
，
解得：，
点是线段的中点，
，
，
，
反比例函数解析式为：，
把点代入，得：，
，
设一次函数解析式为：，
则，
解得：，
一次函数解析式为：；
（2）解：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）先根据锐角三角函数的定义结合已知条件得到，进而得到HC，再根据勾股定理求出AH即可得到点A的坐标，进而根据待定系数法即可求出反比例函数解析式，再根据待定系数法求出一次函数解析式即可求解；
（2）根据三角形的面积结合点的坐标代入即可求解。
28．【答案】（1）解：与x轴交点：
令y=0，解得，
即A（-1，0），B（3，0），
与y轴交点：
令x=0，解得y=-3，
即C（0，-3），
∴AO=1，CO=3，
∴；
（2）解：抛物线的对称轴为：x=1，
设P（1，t），
∴，，
∴
∴t=-1，
∴P（1，-1）；
（3）解：设点M（m，m2-2m-3），
，
，
，
①当时，
，
解得，（舍），，
∴M（1，-4）；
②当时，
，
解得，，（舍），
∴M（-2，5）；
③当时，
，
解得，，
∴M或；
综上所述：满足条件的M为或或或．
【知识点】一元二次方程的其他应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）先根据二次函数与坐标轴的交点问题得到点A、点B和点C的坐标，进而运用勾股定理即可求解；
（2）设P（1，t），根据坐标系中两点间的距离公式结合题意解一元二次方程即可求解；
（3）设点M（m，m2-2m-3），根据坐标系中两点间的距离公式结合题意得到，，
，①当时，②当时，③当时，再解一元二次方程即可求解。
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