初中数学沪科版九年级上册 第22章 相似形 综合素质评价（含答案）

第22章 相似形 综合素质评价
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．有下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似，其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．[母题：教材P69练习T3 ]若2x＝5y(x，y≠0)，则下列式子中错误的是( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
3. 在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，会使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比等于下部与全部的高度比等于(≈0.618，称为黄金分割比例)，按此比例设计一座高度为2 m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是( )
A．(－1)m B．(3－)m C．(－1)m D．(3－)m
4．[母题：教材P71练习T3 ]如图，AB∥CD∥EF，BE与AF相交于点H，且AH＝2HD＝DF，则的值为( )
A．1 B.
C. D.
5．如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
6．如图四个图中，△ABC均与△A′B′C′相似，且对应点连线交于一点，则△ABC与△A′B′C′成位似图形的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝5：3，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
8．如图，AG：GD＝3：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC＝( )
A．8：7 B．8：5 C．3：2 D．6：5
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，折痕为EF，点E，F分别在边BC，AB上，若△CDE与△ABC相似，则CE的长为( )
A. B. C.或 D.或
10．如图，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在线段OD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①EF＝EC；②CF2＝CG·CA；③BE·DH＝16；④若BF＝1，则DE＝中，正确的是( )
A．①②④ B．①③④
C．①②③ D．①②③④
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11.钓鱼岛列岛是我国最早发现、命名，并行使主权的群岛，在一幅比例尺是1：100 000的地图上，测得钓鱼岛的东西走向长为 3.6厘米，那么它的东西走向实际长大约为________千米．
12．如图，已知三个边长均为1的正方形拼成一个矩形ABCD，则 ∠AFE＋∠ACE＝________．
13．[母题：教材P72习题T1 ]已知＝＝(xyz≠0)，则的值为________．
14．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝9，AC＝12，点D是线段BC上的动点，从点B运动到点C.请探究下列问题：
(1)当BD＝2时，CE＝________；
(2)设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足＝＝， a＋b＋c＝30，试判断△ABC的形状，并说明理由．
16．如图，AB∥CD，AD⊥BC于点O，OA＝6，OD＝9，BC＝10，求CD的长．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17.西安大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是佛塔这种古印度佛寺的建筑形式随佛教传入中原地区，并融入华夏文化的典型物证，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．小明同学想利用所学数学知识来测量大雁塔的高度，如图，小明在点B处放置一个平面镜，站在A处恰好能从平面镜中看到塔的顶端D，此时测得小明到镜面的距离AB为2米，已知平面镜到塔底部中心的距离BC为86米，小明眼睛到地面的距离AE为1.5米，已知AE⊥AC，CD⊥AC，点A，B，C在一条水平线上．请你帮小明计算出大雁塔的高度CD.(平面镜的大小忽略不计)
18．如图，已知AE为∠BAC的平分线，ED∥CA，若BE＝2，EC＝3，AC＝4，求AD的长．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，1)，C(1，5)．
(1)以点O为位似中心，在第一象限将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；
(2)若点P(x，y)是△ABC内任意一点，点P在△A1B1C1内的对应点为P1，则点P1的坐标为________；
(3)请用无刻度直尺将线段AB三等分．
20.阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图①，在△ABC中，AD平分 ∠BAC，则＝.下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E.…
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)填空：如图③，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是________．
六、(本题满分12分)
21．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M，连接CM交DB于N.
(1)求证：BD2＝AD·CD.
(2)若CD＝6，AD＝8，求DN的长．
七、(本题满分12分)
22.某课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，如图①，它的边BC＝12 m，高线AD＝8 m．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少米？小颖解得此题的答案为4.8 m.
(1)你知道小颖是怎么做的吗？请你写出解答过程．
(2)善于反思，她又提出了如下的问题，如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图②，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
(3)如图③，如果将这块余料的形状改为Rt△ABC，已知∠A＝90°，AB＝8 m，AC＝6 m，要把它加工成一个形状为平行四边形PQMN的工件，使QM在BC上，P，N两点分别在AB，AC上，且 PN＝8 m，则平行四边形PQMN的面积为________m2.
八、(本题满分14分)
23. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：
(1)如图①，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形， AB＝1，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝90°，求CD的长．
(2)如图②，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，∠ADC＝145°，对角线BD平分∠ABC.请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；
(3)运用：如图③，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°.连接EG，若△EFG的面积为8 ，求FH的长．
INCLUDEPICTURE"卷23.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\0\\初中\\24秋 典中点 9 数学 HK安徽\\卷23.EPS" \* MERGEFORMATINET 答案
一、1．B　2．A　3．A　4．B　5．C　6．C　7．A　
8．D　【点拨】过点D作DF∥BE交AC于点F，
则＝＝，＝＝3，
∴AE：EC＝6：5.
9．D　【点拨】∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，
∴AB＝5，BE＝DE，BE＝4－CE.
当△CDE∽△CBA时，＝，
∴＝，解得CE＝；
当△CDE∽△CAB时，＝，
∴＝，解得CE＝.
综上可得，CE的长为或.
10．D　【点拨】连接AE.
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AD＝CD＝AB＝BC＝4，∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°，
∠ADB＝∠CDB＝∠BAC＝∠DBC＝∠ACD＝45°.
又∵DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴AE＝EC，∠DAE＝∠DCE，∴∠EAF＝∠BCE.
∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°.
∵∠ABC＋∠FEC＋∠EFB＋∠BCE＝360°，∠ABC＝90°，
∴∠BCE＋∠EFB＝180°.
又∵∠AFE＋∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝∠BCE＝∠EAF，∴AE＝EF.
∵EC＝AE，∴EF＝EC，故①正确；
∵EF＝EC，∠FEC＝90°，
∴∠EFC＝∠ECF＝45°，∴∠FAC＝∠EFC.
又∵∠ACF＝∠FCG，
∴△FCG∽△ACF，∴＝，
∴CF2＝CG·CA，故②正确；
∵∠ECH＝45°＝∠CDB，∠EHC＝∠DHC，
∴△ECH∽△CDH，∴＝，∴＝.
∵∠ECH＝45°＝∠DBC，∠BEC＝∠CEH，
∴△ECH∽△EBC，
∴＝，∴＝，∴＝，
∴BC·CD＝BE·DH＝16，故③正确；
∵BF＝1，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AF＝3，AC＝4．
∵∠ECF＝∠ACD＝45°，∴∠ACF＝∠DCE.
又∵∠FAC＝∠CDE＝45°，
∴△AFC∽△DEC，∴＝，∴＝eq \r(2)，
∴DE＝eq \f(3,2)，故④正确．
二、11．3.6　
12．45°　【点拨】由题意得AE＝eq \r(2)，EF＝1，EC＝2，∠AEB＝45°，
∴＝eq \r(2)，＝eq \r(2)，∴＝.
∵∠AEF＝∠AEC，∴△AEF∽△CEA，
∴∠AFE＝∠CAE，
∴∠AFE＋∠ACE＝∠ACE＋∠CAE＝∠AEB＝45°.
13．3或0　【点拨】∵＝＝(xyz≠0)，
∴设＝＝＝k，
∴y＋z＝xk，z＋x＝yk，x＋y＝zk，
∴2x＋2y＋2z＝xk＋yk＋zk，
∴2(x＋y＋z)＝k(x＋y＋z)．
分两种情况：
当x＋y＋z≠0时，k＝2，∴x＋z＝2y，
∴＝＝3；
当x＋y＋z＝0时，＝0.
综上所述，的值为3或0.
14．(1)　(2)6　【点拨】(1)∵△ABC∽△ADE，
∴＝，∴＝.∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，∴＝＝.
∵BD＝2，∴CE＝.
(2)∵△BAD∽△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE.
∵∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠ACB＝90°，
∴∠ACB＋∠ACE＝90°，即∠DCE＝90°.
∵P为DE的中点，∴CP＝DE.
∵△ABC∽△ADE，
∴AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小．
∵AB＝9，AC＝12，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝15.
根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，此时AD＝＝.
易知＝，∴DE＝12，
∴CP的最小值为×12＝6.
三、15．【解】△ABC 是直角三角形，理由：
设＝＝＝k，
则 a＝3k－1，b＝4k＋4，c＝8k－3.
∵ a＋b＋c＝30，
∴3k－1＋4k＋4＋8k－3＝30，∴ k＝2，
∴a＝5，b＝12，c＝13，
∴b2＋a2＝c2，∴△ABC是直角三角形．
16．【解】∵AB∥CD，∴△ABO∽△DCO.
∴＝，∴＝，解得OC＝6.
∵AD⊥BC，∴△COD为直角三角形，
∴OC2＋OD2＝CD2，
∴CD＝＝3.
四、17．【解】由题意得∠EBA＝∠DBC.
∵EA⊥AC，DC⊥AC，
∴∠EAB＝∠DCB＝90°，∴△DCB∽△EAB，
∴＝，∴＝，∴CD＝64.5米，
∴大雁塔的高度CD为64.5米．
18．【解】∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE＝∠EAC.
∵ED∥CA，∴∠DEA＝∠EAC，
∴∠DAE＝∠DEA，∴ED＝AD.
∵ED∥CA，∴△BED∽△BCA，
∴＝.
∵BE＝2，EC＝3，AC＝4，
∴＝，∴ED＝，∴AD＝.
五、19．【解】(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)(2x，2y)
(3)如图，点G，H 将线段AB三等分．
20．(1)【证明】如题图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E.
∵CE∥AD，
∴＝，∠DAC＝∠ACE，∠BAD＝∠E.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，∴＝.
(2)eq \f(9＋3, 5)　【点拨】∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC＝5.
∵AD平分∠BAC，
∴＝，即＝，∴BD＝，
∴AD＝＝＝eq \f(3,2)，
∴△ABD的周长＝＋3＋eq \f(3,2)＝eq \f(9＋3, 5)．
六、 21．(1)【证明】∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB.
∵∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△ABD∽△BCD，
∴＝，∴BD2＝AD·CD.
(2)【解】∵BM∥CD，∴∠MBD＝∠CDB.
又∵∠MDB＝∠CDB，∴∠MBD＝∠MDB，
∴MB＝MD.
∵∠ABD＝90°，
∴∠A＋∠ADB＝90°，∠ABM＋∠MBD＝90°，
∴∠A＝∠ABM，∴MA＝MB，∴MB＝AD＝4.
∵BD2＝AD·CD，CD＝6，AD＝8，
∴BD2＝8×6＝48，∴BD＝4eq \r(3)．
∵BM∥CD，∴＝＝，
∴＝，∴eq \f(4－DN, DN)＝，∴DN＝eq \f(12,3)．
七、 22．【解】(1)∵四边形PQMN是正方形，
∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC.
∵AD是△ABC的高线，∴AE是△APN的高线，
∴＝.
设正方形零件的边长为tm.
∵BC＝12m，AD＝8m，∴AE＝(8－t)m，
∴＝，解得t＝4.8，
∴加工成的正方形零件的边长为4.8m.
(2)设PN＝xm，矩形PQMN的面积为Sm2.
由已知可得△APN∽△ABC，∴＝.
易知DE＝PQ，∴＝，
解得PQ＝8－x，
则S＝PN·PQ＝x(8－x)＝－x2＋8x＝－(x－6)2＋24.
∵－<0，∴当x＝6时，S有最大值24，∴8－x＝4.
答：当矩形面积达到最大值时，零件的两条边长分别为6m，4m.
(3)7.68　
八、23．【解】(1)∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，∠ABC＝∠ACD＝90°，
∴△ABC∽△ACD或△ABC∽△DCA.
在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝2，由勾股定理得AC＝eq \r(5)．
当△ABC∽△ACD时，＝，
∴eq \f(1, )＝，∴CD＝2．
当△ABC∽△DCA时，＝，
∴＝eq \f(2, )，∴CD＝eq \f(,2)．
综上，CD＝2eq \r(5)或eq \f(,2)．
(2)BD是四边形ABCD的“相似对角线”．理由如下：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝35°，
∴∠BAD＋∠ADB＝145°.
∵∠ADC＝145°，∴∠BDC＝∠BAD.
又∵∠ABD＝∠DBC，
∴△BDC∽△BAD，
∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”．
(3)作EQ⊥FG于Q.
∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG，
∴△FEH∽△FHG，
∴＝，∴FH2＝EF·FG.
∵∠EFH＝∠HFG＝30°，∴∠EFQ＝60°，
∴∠FEQ＝30°，∴FQ＝EF，
由勾股定理可得EQ＝eq \f(,2)EF.
∵△EFG的面积为8，
∴·FG·EQ＝×FG×eq \f(,2)EF＝8eq \r(3)，
∴FH2＝32.
又∵FH＞0，∴FH＝4．