初中数学沪科版九年级上册 第23章 解直角三角形 综合素质评价（含答案）

第23章 解直角三角形 综合素质评价
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．[2024·合肥市蜀山区模拟]已知实数a＝tan 30°，b＝sin 45°，c＝cos 60°，则下列说法正确的是( )
A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b
2．[母题：教材P114例1]如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3， ∠C＝90°，则sin A的值为( )
A. B. C. D.
3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，则cos A的值为( )
A. B. C. D．2
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为(0，3)，tan∠ABO＝，则菱形ABCD的周长为( )
A．6 B．6 C．12 D．8
5．[易错题]若α，β是一个三角形的两个锐角，且满足|sin α－|＋(－tan β)2＝0，则此三角形的形状是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
6. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式．如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面ABCD是梯形，其中AD∥BC， AB＝DC，燕尾角∠B＝α，外口宽AD＝a，榫槽深度是b，则它的里口宽BC为( )
A.＋a B.＋a C．btan α＋a D．2btan α＋a
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是( )
A. B.
C. D.
8. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan 15°时，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan 15°＝＝＝＝2－.类比这种方法，则tan 22.5°的值为( )
A.＋1 B. C.－1 D.
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则x与y满足的关系式为( )
A．x－y2＝3 B．2x－y2＝6 C．3x－y2＝9 D．4x－y2＝12
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为AC上任意一点，F为AB的中点，连接BD，E在BD上且∠BEC＝90°，连接EF，则EF的最小值为( )
A. B．2 －3 C．3 －3 D．3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11.位于北京市石景山区首钢老工业园区北区的“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB.已知坡AB的长为50 m，坡AB的坡比为3：4，则铅直高度AH为________m.
12．[母题：教材P119练习T2]已知α，β为锐角，且α＋β＝90°， cos β＝0.76，则sin α＝________．
13．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度为i＝1：3，且O，A，B在同一条直线上，则此人所在位置点P的铅直高度为________米．
14．利用科普书上的有关公式，发现锐角三角函数存在这样的公式：若α，β为锐角且α＋β≠90°，则tan(α＋β)＝.
如：tan 75°＝tan(30°＋45°)＝＝eq \f(eq \f(,3)＋1, 1－eq \f(,3))＝2＋eq \r(3)．利用此公式求解下列问题：
(1)若∠A，∠B为锐角且∠A＋∠B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)＝________；
(2)(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 43°)(1＋tan 44°)＝________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．计算：sin 45°－2cos 30°＋ ．
16．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，sin C＝eq \f(,2)，tan B＝，AD＝2.
(1)求cos∠BAD的值；
(2)求△ABC的面积．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17.通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)，如图①，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作can B，这时can B＝＝，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解答下列问题：
(1)can 30°＝________；
(2)如图②，已知在△ABC中，AB＝AC，can B＝，S△ABC＝24，求△ABC的周长．
18.自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图①所示的坡路进行改造．如图②所示，改造前的斜坡AB＝200 m，坡度为1：.将斜坡AB的高度AE降低AC＝20 m后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4，求斜坡CD的长．(结果保留根号)
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)若AD∥BC(D为格点)，连接CD，则线段CD的长为________；
(2)请你在△ABC的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是________，则它所对应的正弦函数值是________；
(3)若E为BC的中点，则tan∠CAE的值是________．
20．如图，△ABC中，BA＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点E.
(1)求sin A的值；
(2)求点E到直线BD的距离．
六、(本题满分12分)
21.我国首艘国产航母山东舰是保障国土安全，维护祖国统一的又一利器．如图，一架歼－15舰载机在航母正后方A点准备降落，此时在A测得航母舰首B的俯角为11.3°，舰尾C的俯角为14°，如果航母长为315米，且B比C高出10米，求舰载机相对航母舰尾C的高度．(参考数据：sin 11.3°≈0.20，sin 14°≈0.24，tan 11.3°≈0.20，tan 14°≈0.25)
七、(本题满分12分)
22．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东15°方向．
(1)求∠C的度数；
(2)求B，C两地间的距离．(如果运算结果有根号，请保留根号)
八、(本题满分14分)
23.阅读下列材料，解决后面的问题：
我们知道，三角形的面积等于二分之一底乘高．在学习了三角函数后，还可以这样求三角形的面积：对于△ABC，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则其面积S＝absin C＝bcsin A＝casin B.
(1)如图①，在△ABC中，∠A＝30°，b＝2，c＝3，求△ABC的面积；
(2)如图②，在△ABC中，已知AB＝2，BC＝1，D为AC上一点，求证：BD＝；
(3)正数a，b，c，d，e，f满足a＋b＝c＋d＝e＋f＝1，求证：af＋bc＋de＜1.
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答案
一、1．A 　2．D　3．A　
4．D　【点拨】∵点A的坐标为(0，3)，
∴AO＝3.
∵tan∠ABO＝eq \r(3)，∠AOB＝90°，
∴＝eq \r(3)，∴＝eq \r(3)，∴BO＝eq \r(3)．
∴AB＝＝eq \r(32＋()2)　＝＝2eq \r(3)．
∵菱形的四条边相等，
∴菱形ABCD的周长为2eq \r(3)×4＝8eq \r(3)．
5．C　【点拨】∵｜sin α－eq \f(,2)｜＋(eq \r(3)－tan β)2＝0，
∴sin α－eq \f(,2)＝0，eq \r(3)－tanβ＝0，
∴sin α＝eq \f(,2)，tan β＝eq \r(3)．
又∵α，β都是锐角，∴α＝60°，β＝60°，
∴此三角形的形状是等边三角形．
[点易错] 本题求出α，β后，很容易给出结论是等腰三角形．但第三个角也是60°，所以是等边三角形．类比：△ABC的两个内角∠A＝45°，∠B＝45°，△ABC是等腰直角三角形．
6．B　【点拨】如图，过点A，D分别作BC的垂线段，垂足分别为E，F.
易得∠DCB＝∠B＝α，EF＝AD＝a，AE＝DF＝b.
在Rt△AEB中，BE＝＝，
在Rt△DFC，CF＝＝，
∴BC＝BE＋EF＋FC＝＋a＋＝＋a.
7．A　【点拨】∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∠B＝∠C＝90°.
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE.
在Rt△ABF中，∵BF＝＝4，
∴CF＝BC－BF＝5－4＝1.
设CE＝x，则DE＝EF＝3－x.
在Rt△ECF中，∵CE2＋FC2＝EF2，
∴x2＋12＝(3－x)2，解得x＝，
∴EF＝3－x＝，∴cos∠EFC＝＝.
8．C　【点拨】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°.
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝eq \r(2)，
∴tan 22.5°＝＝＝eq \r(2)－1.
9．C　【点拨】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE.
∵AB＝AC，BC＝8，tan∠ACB＝y，
∴＝＝y，CQ＝4，
∴AQ＝4y.
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD＝x，
∴BD＝DE＝x.
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM.
又∵E为AC的中点，
∴MC＝CQ＝2，∴EM＝2y，DM＝8－2－x＝6－x.
在Rt△EDM中，由勾股定理得
x2＝(2y)2＋(6－x)2，即3x－y2＝9.
10．C　【点拨】取BC的中点Q，连接EQ，FQ.
∵F为AB的中点，∴FQ＝AC.
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，
∴AC＝＝eq \f(6, eq \f(,3))＝6eq \r(3)，∴FQ＝3eq \r(3)．
∵∠BEC＝90°，Q为BC的中点，∴EQ＝BC＝3.
当E，F，Q三点共线时，EF的值最小，
∴EF＝FQ－EQ＝3eq \r(3)－3.
二、11．30　　12．0.76　
13．(25eq \r(3)－25)　【点拨】作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F.
在Rt△AOC中，AO＝100米，∠CAO＝60°，
∴CO＝AO·tan 60°＝100eq \r(3)米．
设PE＝x米，易知FO＝x米．
∵＝，∴AE＝3x米．
在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝(100eq \r(3)－x)米，
PF＝OE＝OA＋AE＝(100＋3x)米．
∴PF＝CF，∴100＋3x＝100eq \r(3)－x，
解得x＝25eq \r(3)－25.∴PE＝(25eq \r(3)－25)米．
14．(1)2　(2)222
【点拨】(1)当∠A＋∠B＝45°时，tan(∠A＋∠B)＝＝1，即tan A＋tan B＝1－tan Atan B，
∴(1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋tan A＋tan B＋tan Atan B＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2.
(2)由(1)可知(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝…＝2，∴原式＝222.
三、15．【解】原式＝×－2×＋
＝1－eq \r(3)＋(tan 60°－1)
＝1－eq \r(3)＋eq \r(3)－1＝0.
16．【解】(1)在Rt△ABD中，tan B＝＝，AD＝2，
∴BD＝4，∴AB＝＝2，
∴cos∠BAD＝＝.
(2)∵sin C＝，∴∠C＝45°，
∴tan C＝＝1，
∴CD＝2，∴BC＝BD＋CD＝6，
∴S△ABC＝×AD·BC＝6.
四、17．【解】(1)
(2)过点A作AE⊥BC于点E.
∵can B＝，∴可设BC＝8x，则AC＝5x＝AB.
易知BE＝4x，
∴AE＝＝3x.
∵S△ABC＝24，
∴BC·AE＝12x2＝24，解得x＝(负值已舍去)，
故AB＝AC＝5eq \r(2)，BC＝8eq \r(2)．
∴△ABC的周长＝5eq \r(2)＋5eq \r(2)＋8eq \r(2)＝18eq \r(2)．
18．【解】∵∠AEB＝90°，AB＝200m，斜坡AB的坡度为 1：，
∴tan∠ABE＝＝＝，∴∠ABE＝30°，
∴AE＝AB＝100m.
∵AC＝20m，∴CE＝80m.
∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1?4，
∴＝，即＝，
∴ED＝320m.
∴CD＝＝80(m)．
∴斜坡CD的长是80m.
五、19．【解】(1)　(2)∠ACB；(答案不唯一)
【点拨】利用网格构造直角三角形易得AB＝，AC＝2 ，BC＝5，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
∴sin∠ACB＝＝.
(3)
20．【解】(1)∵AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，
∴∠ABF＝∠FBC，BF⊥AC，AF＝5.
在Rt△ABF中，BF＝＝12.
∴sin A＝＝.
(2)过点E作EG⊥BD，垂足为G.
∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EG⊥BD，
∴EF＝EG.
在Rt△ABF中，sin∠ABF＝＝.
在Rt△EBG中，sin∠EBG＝sin∠ABF＝＝＝，
BF＝12，∴EG＝.
∴点E到直线BD的距离是.
六、21．【解】设过A，B，C的水平线分别为AP，BM，CN，过A作AD⊥BM于D，交CN于E，则DE＝10米，∠BAP＝11.3°，∠PAC＝14°，AP∥BM∥CN，
∴∠ABD＝∠BAP＝11.3°，∠ACE＝∠PAC＝14°.
设AE＝x米，则AD＝AE－DE＝(x－10)米．
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝tan 11.3°≈0.20，
∴BD≈5AD＝5(x－10)米．
在Rt△ACE中，tan∠ACE＝＝tan 14°≈0.25，
∴CE≈4AE＝4x米．
易知BD－CE＝315米，
∴5(x－10)－4x≈315，
解得x≈365，即AE≈365米，
∴舰载机相对航母舰尾C的高度约为365米．
七、22．【解】(1)如图．由题意得∠BAD＝45°，∠DAC＝15°，∠FBC＝60°，EF∥DA，
∴∠ABE＝∠BAD＝45°，
∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠FBC＝75°.
∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝60°，
∴∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°.
(2)如图，过点B作BG⊥AC，垂足为G.
在Rt△ABG中，AB＝10千米，∠BAG＝60°，
∴BG＝AB·sin 60°＝10×eq \f(,2)＝5eq \r(3) (千米)．
在Rt△BGC中，∠C＝45°，
∴BC＝＝eq \f(5eq \r(3),eq \f(,2))＝5 (千米)，
∴B，C两地间的距离为5eq \r(6)千米．
八、23．(1)【解】由面积公式可知S△ABC＝bcsin A ＝bcsin 30°＝
×2×3×＝.
(2)【证明】∵S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，
∴AB·BD·sin∠1＋BC·BD·sin∠2＝AB·BC·sin(∠1＋∠2)，
∴2BD·sin∠1＋BD·sin∠2＝2sin(∠1＋∠2)，
∴BD＝.
(3)【证明】如图，作边长为1的等边三角形ABC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且AD＝a，BD＝b，BE＝c，EC＝d，
CF＝e，AF＝f，则∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵S△ADF＋S△BDE＋S△CEF＜S△ABC，
∴af·sin 60°＋bc·sin 60°＋de·sin 60°∴af＋bc＋de＜1.