密★启用前
7.已知伙西数R)与其学面数)定文城均为R代子-2)为盔数，若2必)的餐值点，则
河北省2024届高三年级模拟考试
(x)=0在区问0，)内解的个效少有()个
数学
九，7
B.8
c.9
D.11
&.已知数列{a,]足，4一1，n1-(2m+2)a,++++8m
41的
本试避共4可，满分150分，考试用时120分钟。
注意虹项：
1,答卷前，子生务必将自己的处名、准考证号填写在答老卡上。
4品
品品
c易
号
2回答选择试时，法出年小物答车后，巾2D铅这把密丝卡上对成超目的答案标号涂黑。如需
二，选择愿：本烟共3小还，每小区6分，共18分。在每小圆给出的选项中，有多瓜符合目要求。
改动，用豫皮挨干净后，可选涂共它答案标号：目答非选择图时，将将案百在答逐卡上。可在本甘
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选带的得0分。
卷上无效，
3,考试筘束后，将本试卷和答题卡一并交回。
9,已知渐机变tx-W4,子)，则
A.E(x)=1
A.E2X+1)-9
一，达择愿：本愿共8小题，每小题5分，共0分。在每小题钟出的四个港项中，只有一项是符合题
Cx=是
D,D2X+1)=1
目亚求的。
1.若复数2=3-，则川x=
10.已知力担1+c如w+1-ax=的正报将成等楚数列，则k=
h.5
B.2+月
C.万
D.
A.2+v2
B.2
C.2
D.4
2已知气5是橘两C后+长=1a≥6>0)的两个本点灯为C的顶点，青△c,S的6区
1.函数)=子-+w有三个不可极侦点成离，且e[-l,0).列
心重台则C的心中为
A.6>迈
且桥++3迈
+停
n受
c
n方
心.对+行+3的最大值为3
D.x:,的放大值为1
三，填空短：本题共3小题每小愿5分，共15分。
玉，若(2-x)2+2-x)+(2-x)=+1江+a:x++4+术则+的+m+h=
2.拉钓戏G:y4虹上的动点P到点(3，D)的距离等于它到C的市袋距离，则P到您点距离为
A.4
.3
C.2
D.I
4.现回快路百年沧桑巨变，从尚无一寸高然，到以用十几年高铁设世界领先，见证了中华花族百
13,下利装满水的冈合形溶泽内成进半径分别为【利3的两个铁球，小球与容器底和容器空均湘
年复兴伟业某家庭两名大人三个该子果坐高快出行，领定了一排五个位置的票（过道一边有三
阅，大球与小球、容器座、水戊均相切，比时落器中水的体积为
个牢位且相邻，另一边两个座拉扫邻)划三个孩子座位正好在过道问一测的（卒为
40
c动
n动
5.已知平前m正和直线w“,若mCc,Cc,则限g,na"是"c草B"的
九。充分而不必岁条件
B.必婴而不充分条件
C.充分必要条件
D.不充分也不必要条件
6.平行四边形ACD中，AB=2,D=】,以G为翅心作与置装D相切的国，P为团C上且落在四
I4,巳知点P:{《红)l川≤云w小圳点严到动直线x-y-m=0(m∈)的最大距离的
边形AC心内部延度一点.产-A百+红，若A+之1，理角A的指出为
最小位为
A.《0.若)
.(0,号)
c.()
n.(号受)
高三年级德拟考试·数华第1夏（共4西）
高三年级模教考试·蚊学笄2顶（共4页） 数学答案与解析
１．Ｄ ２．Ｃ ３．Ａ ４．Ａ ５．Ｂ
６．【答案】Ｂ
?Ａ→ ?【解析】由 Ｐ＝λＡ→Ｂ＋μ?Ａ→Ｄ，当 Ｐ在直线 ＢＤ上时，λ＋μ＝１，当
圆Ｃ与ＤＢ的切点在ＤＢ延长线上时，圆Ｃ落在四边形ＡＢＣＤ内
π
部部分与直线 ＤＢ没有公共点，此时 λ＋μ＞１，得∠ＤＢＣ＞２，
０＜∠Ｃ＜π π３，故答案为（０，３）．
７．【答案】Ｄ
【解析】ｆ（ｘ）为偶函数，所以ｆ（ｘ）＝ｆ（－ｘ），ｆ′（ｘ）＝－ｆ′（－ｘ）?ｇ（ｘ）＝－ｇ（－ｘ），
所以ｇ（ｘ）为奇函数．
ｇ０ ３ ３ ３ ３ ３（）＝０．因为ｆ（４－２ｘ）为奇函数，所以ｆ（４－２ｘ）＝－ｆ（４＋２ｘ），得ｆ（４－ｘ）＝－ｆ（４＋ｘ），
ｆｘ ３０ ｆ′３ ３即 （）关于点（４，）对称，所以 （４＋ｘ）＝ｆ′（４－ｘ），
即ｇ ３（４＋ｘ）＝ｇ
３ ３
（４－ｘ）?ｇ（ｘ）＝ｇ（２－ｘ）， ①
所以ｇ（ｘ）＝－ｇ（－ｘ）＝ｇ ３（２－ｘ）?ｇ（ｘ）＝－ｇ
３
（ｘ＋２）， ②
得ｇ（ｘ）＝ｇ（ｘ＋３），ｇ（ｘ）的周期为３．
故ｇ（ｘ）为周期为３的奇函数．ｇ（０）＝ｇ（３）＝０．
又２是ｆ（ｘ）的极值点，得ｇ（２）＝０，ｇ（５）＝０，ｇ（－２）＝０，ｇ（１）＝０，ｇ（４）＝０．
ｇ（ｘ）＝ｇ（ｘ＋３），又ｇ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｘ）＝－ｇ（－ｘ）＝ｇ（ｘ＋３），得－ｇ（－ｘ）＝ｇ（ｘ＋３），
３ ３ ３ ９
所以ｇ（ｘ）关于点（２，０）对称，故ｇ（２）＝０，且ｇ（２＋３）＝ｇ（２）＝０，
由①ｇ（ｘ）＝ｇ ３（２－ｘ?ｇ
３ １ １ １ ７
） （１）＝ｇ（２－１）＝ｇ（２）＝０，又ｇ（２）＝ｇ（２＋３）＝ｇ（２）＝０
由②ｇ（ｘ）＝－ｇ（ｘ＋３２）?ｇ（１）＝－ｇ（１＋
３
２）＝－ｇ
５ ５ ５ １１
（２）＝０，又ｇ（２）＝ｇ（２＋３）＝ｇ（２）＝０
故ｇ（ｘ）＝０在（０，６ １ ３ ５ ７ ９ １１）内解最少有２，１，２，２，２，３，２，４，２，５，２，最少有１１个．
{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}
书
８．【答案】Ｃ
ａ
ｎａ ＝ ２ｎ＋２ａ ｎ＋１ ｎ＋１【解析】由 ｎ＋１ （ ）ｎ，得 ａ ＝２ ｎ ，ｎ
ａｎ ｎ ａｎ－１ ｎ－１ａｎ－２ ｎ－２ ａ２ ２
所以 ＝２ ， ＝２ ， ＝２ ，…， ＝２ （ｎ≥２，ｎ∈Ｎ?ａｎ－１ ｎ－１ａｎ－２ ｎ－２ａｎ－３ ｎ－３ ａ １
）
１
ａｎ＝２ｎ－１ｎａ １，得ａ
ｎ－１
ｎ＝ｎ２ ．
１
设Ｓ＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａ１００＝１·２
０＋２·２１＋３·２２＋４·２３＋…＋１００·２９９ ①
则２Ｓ＝１·２１＋２·２２＋３·２３＋４·２４＋…＋１００·２１００ ②
①－②得－Ｓ＝１＋２＋２２＋２３＋…＋２９９－１００·２１００
１－２１００－Ｓ＝１－２ －２
１００·１００＝－９９·２１００－１
Ｓ＝９９·２１００＋１
ａ ９９１００ １００·２ ５０
ａ＋ａ＋ａ＋…＋ａ ＝９９·２１００
＝
２ ３ ４ １００ ９９
．
９．ＢＤ
１０．【答案】ＡＣＤ
ｘ ｘ
【解析】【法一】由槡１＋ｃｏｓｘ＋槡１－ｃｏｓｘ＝ ２ｃｏｓ
２ ＋ ２ｓｉｎ２ ＝ｋ得
槡 ２ 槡 ２ 槡
槡２( ｃｏｓｘ２ ＋ ｓｉｎｘ２ ) ＝槡ｋ
２
２( ｃｏｓｘ２ ＋ ｓｉｎｘ２ ) ＝ｋ?２＋２ｓｉｎｘ＝ｋ? ｓｉｎｘ＝ｋ－２２ ．
ｙ＝ ｓｉｎｘ ｋ－２由 的图象可知， 的值为０，１，槡２２ ２时，
槡１＋ｃｏｓｘ＋槡１－ｃｏｓｘ＝槡ｋ的正根构成等差数列，得ｋ＝２，４，２＋槡２，故选ＡＣＤ．
【法二】ｙ＝槡１＋ｃｏｓｘ＋
２ ｘ ２ ｘ ｘ ｘ
槡１－ｃｏｓｘ＝ ２ｃｏｓ２＋ ２ｓｉｎ ２＝槡２( ｃｏｓ２ ＋ ｓｉｎ槡 槡 ２ )
其周期为π，设ｘ∈［０，π］
则ｙ＝槡２( ｃｏｓｘ２ ＋ ｓｉｎｘ２ ) ｘ∈［０，π］，
其图象如右图所示．
ｙ＝槡２( ｃｏｓｘ２ ＋ ｓｉｎｘ２ ) ＝槡ｋ的正根构成等
差数列，得槡ｋ＝２、槡ｋ＝槡２时成立，故ＣＤ正确；
ｘ＝πｘ＝３πｘ＝５πｘ＝７π且 ４， ４， ４， ４，…ｙ值也满足题意，
２(ｓｉｎπ＋ｃｏｓπ) ＝２ ｓｉｎπ＋ｃｏｓπ ２＝２ ｓｉｎ２π（ ） ＋ｃｏｓ２π槡 ８ ８ 槡 ８ ８ 槡 ８ ８＋２ｓｉｎπｃｏｓπ槡 槡 ８ ８
＝槡２ １＋ｓｉｎ
π
４＝槡２ １＋
槡２
２，槡 槡
得ｋ＝２＋槡２，故Ａ正确．
{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}
１１．【答案】ＢＣＤ
【解析】ｆ（ｘ）＝１４ｘ
４－ｂｘ２＋ｃｘ有三个不同极值点ｘ１，ｘ２，ｘ３，
则ｆ′（ｘ）＝ｘ３－２ｂｘ＋ｃ＝０有三个不等实根为ｘ１，ｘ
３
２，ｘ３，则ｘ－２ｂｘ＝－ｃ定有三个解．
设ｇ（ｘ）＝ｘ３－２ｂｘ?ｇ′（ｘ）＝３ｘ２－２ｂ，
当ｂ≤０，ｇ′（ｘ）＝３ｘ２＋２ｂ≥０，得ｇ（ｘ）单调递增，
ｘ３－２ｂｘ＝－ｃ不会有三个解，所以ｂ＞０ｇ′ｘ ＝３ｘ２－２ｂ＝０?ｘ± ２ｂ， （） 槡３
，
得ｇ（ｘ ２ｂ ２ｂ ２ｂ ２ｂ）在（－∞，－ ３）单调递增，在（－ ３， ３）单调递减，在（ ３，＋∞）单调递增．槡 槡 槡 槡
ｘ３－２ｂｘ＝－ｃ ２ｂ定有三个解?ｇ（－ ３）＞－ｃ恒成立，槡
因为－ｃ∈（０ ２ｂ，１］，所以ｇ（－ ３）＞１恒成立．槡
２ｂ ２ｂ ２ｂ ３３ｇ－ ２即 （ ３）＝（－ ）
３
３ ＋２ｂ ３＞１，得ｂ＞
槡
４，故Ａ错误；槡 槡 槡
设ｘ３－２ｂｘ＋ｃ＝（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）（ｘ－ｘ３）
＝ｘ３－（ｘ１＋ｘ
２
２＋ｘ３）ｘ＋（ｘ１ｘ２＋ｘ１ｘ３＋ｘ２ｘ３）ｘ－ｘ１ｘ２ｘ３，
故ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝０，ｘ１ｘ２＋ｘ１ｘ３＋ｘ２ｘ３＝－２ｂ，ｘ１ｘ２ｘ３＝－ｃ，故ｘ１ｘ２ｘ３∈（０，１］，故Ｄ正确；
又（ｘ１＋ｘ２＋ｘ
２ ２ ２ ２
３）＝ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋２ｘ１ｘ２＋２ｘ１ｘ３＋２ｘ２ｘ３＝０
ｘ２１＋ｘ
２
２＋ｘ
２
３＝－（２ｘ１ｘ２＋２ｘ１ｘ３＋２ｘ２ｘ ＝４ｂ＞３
３
３） 槡２，故Ｂ正确；
又ｘ３１＋２ｂｘ１＋ｃ＝０，ｘ
３
２＋２ｂｘ２＋ｃ＝０，ｘ
３
３＋２ｂｘ３＋ｃ＝０，
则ｘ３１＋ｘ
３
２＋ｘ
３
３＝－２ｂｘ１－ｃ－２ｂｘ２－ｃ－２ｂｘ３－ｃ＝－３ｃ，
又ｃ∈［－１，０），故－３ｃ∈（０，３］，
ｘ３１＋ｘ
３
２＋ｘ
３
３的最大值为３，故Ｃ正确．
１２．３ １３．３９２π９
１４．槡２（ｅ
２＋１）
４ｅ２
ｙ≤ ｙ【解析】由 ｘ≤ ｌｎｘ，得０＜ｘ≤１，
ｙ
又 ｘ≤ ｌｎｘ，
当ｙ≥０时，ｙ≤－ｘｌｎｘ，
当ｙ＜０时，ｙ≥ｘｌｎｘ，
由函数ｙ＝ｘｌｎｘ与ｙ＝－ｘｌｎｘ图象可知点 Ｐ位于
图中阴影部分区域，
则点Ｐ到直线ｘ－ｙ－ｍ＝０（ｍ∈Ｒ）最大距离的
最小值为函数ｙ＝－ｘｌｎｘ上切线斜率为１的点到直线ｘ－ｙ－１＝０的距离的一半．
{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}
ｙ＝－ｘｌｎｘ?ｙ′＝－ｌｎｘ－１，
设－ｌｎｘ０－１＝１，得ｘ０＝ｅ
－２，
ｅ－２－２ｅ－２ｅ－２ ２ｅ－２ ｘ－ｙ－１＝０ －１ ｅ
－２
＝ ＋１ ２（ｅ
２＋１）
点（ ， ）到 的距离为 ＝槡 ．
槡２ 槡２ ２ｅ
２
槡２（ｅ
２＋１）
故答案为 ．
４ｅ２
四、解答题：本题共５小题，共７７分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
１５．解：（１）因为Ｓｎ＝１－２
－ｎ
当ｎ≥２ １时，ａ＝Ｓ－Ｓ ＝１－２－ｎ－（１－２－ｎ＋１ｎ ｎ ｎ－１ ）＝ ｎ ２分!!!!!!!!!!!!!!２
又因为ｎ＝１时，ａ１＝Ｓ１＝１－２
－１＝１２也满足上式 ３分!!!!!!!!!!!!!!!
所以当ｎ∈Ｎ?时，ａ＝１ｎ ｎ ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２
ｂ＝ｌｏｇａ＝ｌｏｇ１ｎ １ ｎ １ ｎ＝ｎ ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２ ２２
（２）由ｂ＝ｎ １ １ １ １ｎ ，得ｂ ＝ ＝ －ｎｂｎ＋１ ｎ（ｎ＋１） ｎ ｎ＋１
Ｔ＝ １ ＋ １ ＋ １ ＋ １ １ １ １ １ １ １ １ｎ ｂｂ ｂｂ ｂｂ …＋ ＝ － ＋ － ＋…＋ － ＝１－１ ２ ２ ３ ３ ４ ｂｎ－１ｂｎ １ ２ ２ ３ ｎ ｎ＋１ ｎ＋１
８分
!!
ｎ
Ｓ １ １ １ｎ－Ｔｎ＝（１－ ｎ）－（１－ｎ＋１）＝ｎ＋１－
１＝２－（ｎ＋１）ｎ ｎ １０分!!!!!!!!!!!２ ２ （ｎ＋１）２
当ｎ＝１时，２ｎ＝ｎ＋１
当ｎ≥２时，２ｎ＝Ｃ０ｎ＋Ｃ
１ ２
ｎ＋Ｃｎ＋…＋Ｃ
ｎ
ｎ＝１＋ｎ＋Ｃ
２
ｎ＋…＋Ｃ
ｎ
ｎ＞ｎ＋１，Ｓｎ＞Ｔｎ． １２分!!!!
综上所述：当ｎ＝１时，Ｓｎ＝Ｔｎ，当ｎ≥２时，Ｓｎ＞Ｔｎ． １３分!!!!!!!!!!!!!!
１６．解：（１）等腰直角△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ，得∠ＡＢＣ＝９０°
点Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ，ＡＣ的中点，ＥＦ∥ＢＣ，
所以ＥＦ⊥ＡＢ． ２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!
将△沿ＥＦ翻折到△ＤＥＦ位置后，ＥＦ⊥ＥＤ，ＥＦ⊥ＥＢ，
ＥＤ?面ＢＤＥ，ＥＢ?面ＢＤＥ，ＤＥ∩ＥＢ＝Ｅ，
所以ＥＦ⊥面ＢＤＥ． ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
又ＥＦ∥ＢＣ，得ＢＣ⊥面ＢＤＥ，又ＢＣ?面ＢＣＤ，所以平面ＢＣＤ⊥平面ＢＤＥ ６分!!!!!
（２）【法一】由（１）知ＢＣ⊥面ＢＤＥ，所以面ＡＢＣ⊥面ＢＤＥ．
又因为ＤＢ＝ＥＢ，所以△ＢＤＥ为等边三角形，
设ＥＢ的中点为Ｏ，则ＤＯ⊥面ＡＢＣ，过Ｏ作ＯＭ⊥ＡＢ交 ＡＣ
于Ｍ．以Ｏ为坐标原点，ＯＭ，ＯＢ，ＯＤ所在直线分别为ｘ，ｙ，ｚ
轴建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设ＡＢ＝ＢＣ＝４，
得Ｄ（０，０，槡３），Ｅ（０，－１，０），Ｆ（２，－１，０），Ｃ（４，１，０）
{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}
?→
所以ＥＤ＝ ０ ?→ ?→（，１，槡３），ＥＦ＝（２，０，０），ＥＣ＝（４，２，０） ９分!!!!!!!!!!!!!!!
设平面ＤＥＦ的一个法向量为ｍ＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１），
{ｍ
?→
·ＥＤ＝０ ｙ１＋槡３ｚ１＝０
则
ｍ ?→
?
·ＥＦ＝０ {ｘ１＝０
可取ｍ＝（０，３，－槡３）， １１分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
设平面ＤＥＣ的一个法向量为ｎ＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２），
ｎ ?→{ ·ＥＤ＝０ ｙ２＋槡３ｚ２＝０则 ｎ ? ?·Ｅ→Ｃ＝０ {４ｘ２＋２ｙ２＝０
３
可取ｎ＝（－２，３，－槡３）， １３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
则ｃｏｓ＜ｍ，ｎ＞＝ ｍ·ｎ ＝ １２ ＝４槡１９ｍ ，· ｎ ５７ １９２ 槡槡３· ２
平面ＤＥＦ与平面ＤＥＣ ４ １９夹角的余弦值为 槡１９ ． １５分!!!!!!!!!!!!!!!!
【法二】点Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ，ＡＣ的中点，ＥＦ∥ＢＣ，ＢＣ⊥面ＤＥＢ，
所以ＥＦ⊥面ＤＥＢ，
面ＤＥＦ⊥面ＤＥＢ，且面ＤＥＦ∩面ＤＥＢ＝ＤＥ，
不妨设ＡＢ＝ＢＣ＝４，则点Ｂ到面ＤＥＦ的距离为槡３， ８分!!!
故点Ｃ到面ＤＥＦ的距离为槡３．
设ＥＢ的中点为Ｏ，则ＤＯ⊥面ＡＢＣ，
∠ＯＢＣ＝９０°，ＢＤ＝４，ＯＢ＝１?ＯＣ＝槡１７，ＢＥ＝２?ＥＣ＝２槡５ １０分!!!!!!!!!!
△ＤＯＣ中∠ＤＯＣ＝９０°，ＯＣ＝槡１７，ＯＤ＝槡３?ＤＣ＝２槡５ １１分!!!!!!!!!!!!
所以△ＤＥＣ为等腰三角形，ＤＣ＝ＥＣ＝２槡５且ＤＥ＝２，得点Ｃ到ＤＥ的距离为槡１９，
又Ｃ到面ＤＥＦ的距离为槡３，
所以平面ＤＥＦ与平面ＤＥＣ ３夹角的正弦值为 槡 ， １３分
!!!!!!!!!!!!!!
槡１９
４ １９
得平面ＤＥＦ与平面ＤＥＣ夹角的余弦值为 槡１９ ． １５分!!!!!!!!!!!!!!!
１７．解：（１）该校随机抽取三人，每个人满分的概率为４０％．
设抽取的三人中满分人数为Ｘ，则Ｘ＝０，１，２，３．
ＰＸ＝０ ＝ １－２ ３＝２７则 （ ） （ ５） １２５，
ＰＸ＝１ ＝Ｃ１ ２ ３ ２＝５４（ ） ３ ５（５） １２５，
Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｃ２ ２ ２ ３＝３６３（５） ５ １２５，
{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}
Ｐ（Ｘ＝３）＝Ｃ３ ２（ ３３ ５）＝
８
１２５， ２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
则Ｘ的分布列为
Ｘ ０ １ ２ ３
Ｐ ２７ ５４ ３６ ８１２５ １２５ １２５ １２５
∵Ｘ～Ｂ（３２，５），
∴ ２ ６数学期望Ｅ（Ｘ）＝３×５＝５． ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
（２）【法一】设该校总人数为Ｎ人，则体育项目测试满分的有Ｎ×４０％ ＝０?４Ｎ人，每天运动
时间超过两个小时的人数有Ｎ×２０％＝０?２Ｎ人， ５分
!!!!!!!!!!!!!!!
超过两个小时的人体育项目测试满分率约为５０％，则其中测试满分的有个０?２Ｎ×５０％ ＝
０．１Ｎ个人， ６分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
因此每天运动时间不超过两个小时的学生有Ｎ×（１－２０％）＝０?８Ｎ个人中，测试满分的有
０．４Ｎ－０．１Ｎ＝０．３Ｎ ０．３Ｎ ３个人，任取１名学生，他体育测试满分的概率为Ｐ＝０．８Ｎ＝８． !!
９分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
【法二】用Ａ表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”，
则Ｐ（Ａ）＝２０％，Ｐ（珔Ａ）＝１－２０％＝８０％．
用Ｂ表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”，
则Ｐ（Ｂ）＝４０％，且Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝５０％．
又Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝２０％·５０％＝１０％ ６分
!!!!!!!!!!!!!!!!
Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（ＡＢ）＋Ｐ（珔ＡＢ）＝１０％＋Ｐ（珔ＡＢ）＝４０％
故Ｐ（珔ＡＢ）＝３０％． ８分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ｐ（珔ＡＢ）
ＰＢ｜Ａ珔 ＝ ＝３０％＝３（ ） ８０％ ８． ９分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Ｐ（珔Ａ）
（３）【法一】记Ａｎ表示事件“经过ｎ次传球后，球在乙的手中”，
设ｎ次传球后球在乙手中的概率为ｐｎ，ｎ＝１，２，３，…，ｎ，
１ —
则有ｐ１＝２，Ａｎ＋１＝Ａｎ·Ａｎ＋１＋Ａｎ·Ａｎ＋１， １０分!!!!!!!!!!!!!!!!!!
所以ｐｎ＋１＝Ｐ
—
（Ａｎ·Ａｎ＋１＋Ａｎ·Ａｎ＋１）
＝Ｐ—（Ａｎ·Ａｎ＋１）＋Ｐ（Ａｎ·Ａｎ＋１）
＝Ｐ—（Ａｎ）·Ｐ（Ａ
—
ｎ＋１｜Ａｎ）＋Ｐ（Ａｎ）·Ｐ（Ａｎ＋１｜Ａｎ）
＝（１－ｐ １ｎ）·２＋ｐｎ·０
＝１２（１－ｐｎ），
{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}
ｐ ＝－１即 ｎ＋１ ２ｐ＋
１
ｎ ２，ｎ＝１，２，３，…， １２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
１
所以ｐｎ＋１－３＝－
１
２（ｐｎ－
１ １ １
３），且ｐ１－３＝６，
１
所以数列{ｐｎ－３} １ １表示以６为首项，－２为公比的等比数列， １４分!!!!!!!!!!
１
所以ｐｎ－３＝
１
６×
１
（－２）
ｎ－１，
所以ｐ＝１× －１ ｎ－１＋１ １ １ｎ ６ （ ２） ３＝３［１－（－ ）
ｎ
２ ］．
即ｎ １ １次传球后球在乙手中的概率是３［１－（－ ）
ｎ
２ ］． １６分!!!!!!!!!!!!!
【法二】记Ａｎ表示事件“经过ｎ次传球后，球在甲的手中”，
设ｎ次传球后球在甲手中的概率为ｐｎ，ｎ＝１，２，３，…，ｎ，
则有ｐ１＝０，Ａｎ＋１＝
—Ａｎ·Ａｎ＋１＋Ａｎ·Ａｎ＋１， １０分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
所以ｐｎ＋１＝Ｐ
—
（Ａｎ·Ａｎ＋１＋Ａｎ·Ａｎ＋１）
＝Ｐ—（Ａｎ·Ａｎ＋１）＋Ｐ（Ａｎ·Ａｎ＋１）
＝Ｐ—（Ａｎ）·Ｐ（Ａ
—
ｎ＋１｜Ａｎ）＋Ｐ（Ａｎ）·Ｐ（Ａｎ＋１｜Ａｎ）
＝ １－ｐ １（ ｎ）·２＋ｐｎ·０
＝１２（１－ｐｎ），
ｐ ＝－１ｐ＋１即 ｎ＋１ ２ ｎ ２，ｎ＝１，２，３，…， １２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
所以ｐ １ １ １ １ １ｎ＋１－３＝－２（ｐｎ－３），且ｐ１－３＝－３，
所以数列{ｐ－１ １ｎ ３}表示以－３为首项，－１２为公比的等比数列，
１ １ １
所以ｐｎ－３＝（－３）×（－
ｎ－１
２） ，
１ １ １ １ １
所以ｐ＝（－ ）×（－ ）ｎ－１＋ ＝ ［１－（－ ）ｎ－１ｎ ３ ２ ３ ３ ２ ］ １４分!!!!!!!!!!!!
即ｎ １ １次传球后球在甲手中的概率是３［１－（－
ｎ－１
２） ］，因为由甲先传球，则 ｎ次传球后球
１－１３［１－（－
１
２）
ｎ－１］ １ １
在乙和丙手中的概率相等为 ＝ ｎ２ ３［１－（－２）］ １６分!!!!!!
１８．解：ｆ（ｘ）＝（ｘ２＋ａｘ）ｅｘ?ｆ′（ｘ）＝［ｘ２＋（ａ＋２）ｘ＋ａ］ｅｘ ２分!!!!!!!!!!!!!
因为ｅｘ＞０，设ｇ（ｘ）＝ｘ２＋（ａ＋２）ｘ＋ａ，Δ＝（ａ＋２）２－４ａ＝ａ２＋４＞０，
２
则ｇ（ｘ）＝ｘ２＋（ａ＋２）ｘ＋ａ＝０?ｘ ＝－（ａ＋２）±槡ａ＋４１，２ ２ ４分!!!!!!!!!!!
{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}
ｘ∈ －∞ －（ａ＋２）－
２
当 （ ， 槡
ａ＋４
２ ）时，ｇ（ｘ）＞０?ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增．
２
ｘ∈ －（ａ＋２）－槡ａ＋４ －（ａ＋２）＋槡ａ
２＋４
当 （ ２ ， ２ ）时，ｇ（ｘ）＜０?ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减．
ｘ∈ －（ａ＋２）＋槡ａ
２＋４
当 （ ２ ，＋∞）时，ｇ（ｘ）＞０?ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增．
ｆｘ －∞ －（ａ＋２）－
２
槡ａ＋４ －（ａ＋２）＋
２
综上所述：（）的单调递增区间为（ ， ），（ 槡
ａ＋４
２ ２ ，
＋∞ －（ａ＋２）－ ａ
２＋４ －（ａ＋２）＋ ａ２＋４
），单调递减区间为（ 槡 槡２ ， ２ ）． ６分!!!!!!!
（２）若ｆ（ｘ）＝ｘ即（ｘ２＋ａｘ）ｅｘ＝ｘ只有一个解，
因为ｘ＝０使方程成立，所以只有０是ｆ（ｘ）＝ｘ的解．
ｘ≠０时，（ｘ＋ａ）ｅｘ＝１无非零解． ７分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
设ｈ（ｘ）＝（ｘ＋ａ）ｅｘ－１，则ｈ′（ｘ）＝（ｘ＋ａ＋１）ｅｘ，
当ｘ＜－ａ－１，ｈ′（ｘ）＜０，ｈ（ｘ）单调递减，
当ｘ＞－ａ－１，ｈ′（ｘ）＞０，ｈ（ｘ）单调递增，
所以ｈ（ｘ）最小值为ｈ（－ａ－１）＝－ｅ－ａ－１－１＜０，
当ｘ→－∞时，ｈ（ｘ）→－１，当ｘ→＋∞时，ｈ（ｘ）→＋∞，故ｈ（ｘ）＝（ｘ＋ａ）ｅｘ－１定有零点，又
因为（ｘ＋ａ）ｅｘ＝１无非零解，有零点应还是０．
所以ｈ（０）＝（０＋ａ）ｅ０－１＝０?ａ＝１，则ｆ（ｘ）＝（ｘ２＋ｘ）ｅｘ， １０分!!!!!!!!!!!
ｆ（ｘ）＞（ｋｘ－ｘ２）（ｅｘ－１）得ｘ２＋ｘ＞（ｋｘ－ｘ２ｘ ）（ｅ
ｘ－１）
ｅ
ｘ＞０ｅｘ＞１ｘ＋１＞ｋ－ｘ ｋ＜ｘ＋１， ， 得
ｅｘ－１ ｅｘ
＋ｘ
－１
Ｆｘ ＝ｘ＋１设 （） ＋ｘ
ｅｘ－１
ｘ
Ｆ′ｘ ＝－１－ｘｅ＋１＝ｅ
ｘ（ｅｘ－ｘ－２）
（） ｘ ２ ｘ ２ １２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（ｅ－１） （ｅ－１）
令Ｇ（ｘ）＝ｅｘ－ｘ－２得Ｇ′（ｘ）＝ｅｘ－１
因为ｘ＞０?ｅｘ＞１?Ｇ′（ｘ）＞０，Ｇ（ｘ）＝ｅｘ－ｘ－２在（０，＋∞）上单调递增，
又Ｇ（１）＝ｅ－３＜０，Ｇ（２）＝ｅ２－４＞０，
ｅｘ０（ｅｘ０－ｘ－２）
所以?ｘ ｘ０ ００∈（１，２）使得Ｇ（ｘ０）＝０?ｅ ＝ｘ０＋２，且Ｆ′（ｘ０）＝ ＝０． １４分!!
（ｅｘ０－１）２
ｘ∈（０，ｘ０）?Ｆ′（ｘ）＜０Ｆｘ ＝
ｘ＋１
，（） ｘ ＋ｘ单调递减，ｅ－１
ｘ∈（ｘ０，＋∞）?Ｆ′（ｘ）＞０，Ｆ（ｘ ＝
ｘ＋１
） ｘ ＋ｘ单调递增，ｅ－１
ｘ０＋１
所以Ｆ（ｘ）最小值Ｆ（ｘ０）＝ ｘ ＋ｘｅ０－１ ０
ｘ＋１
且ｅｘ０＝ｘ＋２ ００ ，得Ｆ（ｘ０）＝ｘ＋１＋ｘ０＝ｘ０＋１ １６分!!!!!!!!!!!!!!!!!０
{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}
又因为ｘ０∈（１，２）?ｘ０＋１∈（２３
ｘ＋１
，），所以ｋ＜ ｘ ＋ｘ?ｋ＜ｘ＋１，ｅ－１ ０
故整数ｋ的最大值为２． １７分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
１９． １解：（１）函数ｙ＝ｘ＋ｘ的图象是圆锥曲线中的双曲线，
且ｙ轴和直线ｙ＝ｘ是它的渐近线可知，对称轴为直线
ｙ＝ｔａｎ３π ７π８·ｘ和ｙ＝ｔａｎ８·ｘ． ２分!!!!!!!!!
２ｔａｎπ
ｔａｎπ π ８ ２π π４＝ｔａｎ（２·８）＝ ，得ｔａｎ ＋２ｔａｎ －１＝０１－ｔａｎ２π ８ ８８
解得ｔａｎπ８＝槡２－１
３π π π
，８＋８＝２，
所以ｔａｎπ８·ｔａｎ
３π
８＝１
３π
得ｔａｎ８＝槡２＋１，
ｔａｎ７π８＝ｔａｎ
π π
（π－８）＝－ｔａｎ８＝１－槡２，
所以对称轴ｌ的方程为ｙ＝（槡２＋１）ｘ和ｙ＝（１－槡２）ｘ． ５分!!!!!!!!!!!!!
（２）（ⅰ）【法一】在转轴下，设坐标轴的旋转角为 α，平面
上任一点Ｐ在旧坐标系 ｘＯｙ与新坐标系 ｘ′Ｏｙ′内的坐标
分别为（ｘ，ｙ）与（ｘ′，ｙ′），作 ＰＭ⊥Ｏｘ，ＰＮ⊥Ｏｘ′再设
∠ＰＯｘ′＝θ，则
ｘ′＝ＯＮ＝｜ＯＰ｜ｃｏｓθ，ｙ′＝ＮＰ＝｜ＯＰ｜ｓｉｎθ，
ｘ＝ＯＭ＝｜ＯＰ｜ｃｏｓ（α＋θ）＝｜ＯＰ｜（ｃｏｓαｃｏｓθ－ｓｉｎαｓｉｎθ）
＝ｘ′ｃｏｓα－ｙ′ｓｉｎα， ８分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ｙ＝ＭＰ＝｜ＯＰ｜ｓｉｎ（α＋θ）＝｜ＯＰ｜（ｓｉｎαｃｏｓθ＋ｃｏｓαｓｉｎθ）＝ｘ′ｓｉｎα＋ｙ′ｃｏｓα
由（１ ３π）可知将坐标轴逆时针旋转 ８，函数ｙ＝ｘ＋
１
ｘ将变为双曲线标准方程，由公式可得
１ 槡２＋１ １
{ｘ＝ｘ′ｃｏｓ
３π－ｙ′ｓｉｎ３π ｘ＝ｘ′ －ｙ′ ｘ＝ ［ｘ′－（槡２＋１）ｙ′］８ ８ 槡４＋２? 槡
２ 槡４＋２槡２ 槡４＋２２? 槡
ｙ＝ｘ′ｓｉｎ３π８＋ｙ′ｃｏｓ
３π １
８ ｙ＝ｘ′
槡２＋１ ＋ｙ′ １ ｙ＝ ［（槡２＋１）ｘ′＋ｙ′］
槡４＋２槡２ 槡４＋２２ 槡４＋２２槡 槡
ｙ＝ｘ＋１ ｘ
２
－ ｙ
２
代入 ｘ整理得 ＝１． １１分!!!!!!!!!!!!!!!!!２槡２＋２ ２槡２－２
{ｘ＝ｘ′ｃｏｓ
３π－ｙ′ｓｉｎ３π８ ８
ｙ＝ｘ＋１【或将 代入 ｘ，
ｙ＝ｘ′ｓｉｎ３π８＋ｙ′ｃｏｓ
３π
８
得ｘ′ｓｉｎ３π８＋ｙ′ｃｏｓ
３π＝ｘ′ｃｏｓ３π８ ８－ｙ′ｓｉｎ
３π １
８＋ｘ′ｃｏｓ３π８－ｙ′ｓｉｎ
３π
８
（ｘ′ｓｉｎ３π８＋ｙ′ｃｏｓ
３π ３π ３π ３π
８－ｘ′ｃｏｓ８＋ｙ′ｓｉｎ８）（ｘ′ｃｏｓ８－ｙ′ｓｉｎ
３π
８）＝１
{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}
ｘ′ｓｉｎ３π－ｃｏｓ３π［ （ ８ ８）＋ｙ′（ｃｏｓ
３π
８＋ｓｉｎ
３π
８）］（ｘ′ｃｏｓ
３π
８－ｙ′ｓｉｎ
３π
８）＝１
［槡２ｘ′ｓｉｎ
３π－π（８ ４）＋槡２ｙ′ｓｉｎ
３π＋π（８ ４）］（ｘ′ｃｏｓ
３π
８－ｙ′ｓｉｎ
３π
８）＝１
２ｘ′ｓｉｎπ＋２ｙ′ｓｉｎ５π［槡 ８ 槡 ８］［ｘ′ｓｉｎ
π
８－ｙ′ｓｉｎ
５π
８］＝１
２［ｘ′２ｓｉｎ２π槡 ８－ｙ′
２ｓｉｎ２５π８］＝１
１－ｃｏｓπ １＋ｃｏｓπ
槡２［ｘ′
２ ４
２ －ｙ′
２ ４
２ ］＝１
ｘ２ － ｙ
２
得 ＝１】 １１分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
２槡２＋２ ２槡２－２
１ ３π
【法二】考虑将函数ｙ＝ｘ＋ｘ顺时针转 ８，可得双曲线标准方程Ｃ．
任取Ｃ上一点（ｘ，ｙ），ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ，
则点（ｒｃｏｓ ３π（θ＋８），ｒｓｉｎθ＋
３π
（ ８））在ｙ＝ｘ＋
１
ｘ上．
３π ３π １
即ｒｓｉｎ（θ＋８）＝ｒｃｏｓ（θ＋８）＋ ３ ８分π !!!!!!!!!!!!!!!!ｒｃｏｓ（θ＋８）
（ｒｓｉｎ（θ＋３π８）－ｒｃｏｓθ＋
３π ３π
（ ８））ｒｃｏｓ（θ＋８）＝１
ｒ２ｓｉｎ（θ＋３π８）ｃｏｓ
３π ３π ３π
（θ＋８）－ｒ
２ｃｏｓ（θ＋８）ｃｏｓ（θ＋８）＝１
?ｒ
２
ｓｉｎ２θ＋３π２ （ ４）－ｒ
２ｃｏｓ２（θ＋３π８）＝１
?ｒ
２
２［ｓｉｎ（２θ＋
３π
４）－ｃｏｓ（２θ＋
３π
４）－１］＝１
ｒ２ ２
２［槡２ｓｉｎ（２θ＋
π
２）－１］＝１?
ｒ １ ２ ２
２［槡２ｃｏｓ２θ－１］＝１?２［ｒ槡２ｃｏｓ２θ－ｒ］＝１
?１［２ｒ２ｃｏｓ２θ－２ｒ２２ 槡 槡 ｓｉｎ
２θ－ｒ２］＝１?１２［２ｘ
２
槡 －槡２ｙ
２－ｘ２－ｙ２］＝１
ｘ２ ｙ２
得 － ＝１ １１分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
２槡２＋２ ２槡２－２
ｘ２ ｙ２
（ⅱ）由题意知Ａ、Ｂ为双曲线 － ＝１的两个焦点
２槡２＋２ ２槡２－２
ＡＢ２
所以 ２ ＝２槡２＋２＋２槡２－２＝４槡２ １３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
又因为△ＰＡＢ为直角三角形，所以 ＰＡ２＋ ＰＢ２＝ ＡＢ２＝１６槡２
由双曲线性质可知 ＰＡ － ＰＢ ＝２槡２槡２＋２ １４分!!!!!!!!!!!!!!!
得 ＰＡ２＋ ＰＢ２－２ＰＡ ＰＢ ＝８槡２＋８
所以２ＰＡ ＰＢ ＝８槡２－８ １６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
得△ＰＡＢ ＰＡ ＰＢ的面积为 ２ ＝２槡２－２ １７分!!!!!!!!!!!!!!!!!!
（其他方法可酌情给分）
{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}
