2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之尺规作图(一)
一、选择题
1．（2024·朝阳模拟）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
①作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
②以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
③连结BD、BC．则下列说法不正确的是（ ）
A．△ABC是正三角形 B．∠CBD＝30°
C．点C在BD的中垂线上 D．cosD＝
2．（2024八上·雨湖期末）如图，已知线段a，h作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h．张红的作法如下：
作线段BC＝a；
作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；
在直线MN上截取线段h；
连结AB，AC，则△ABC为所求的等腰三角形．
上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·绿园期末）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在内部作一个角，下列作法中不等于的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八下·锦州期末）如图，下列四种用无刻度直尺和圆规作角平分线的方法，其中不正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（2022·冠县模拟）用尺规作图作三角形的外接圆时，用到了哪些基本作图（ ）
A．作一条线段等于已知线段 B．作一个角等于已知角
C．作一个角的平分线 D．作一条线段的垂直平分线
6．（2021·天桥模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规分别截取BE，BD，使BE＝BD，分别以D、E为圆心、以大于 的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．无法确定 B． C．1 D．2
二、填空题
7．（2023八上·娄底月考）如图，在中，，，进行如下操作：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交、于点、；②分别以、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，则的度数为 ．
8．（2020·邵阳）如图，线段 ，用尺规作图法按如下步骤作图．
①过点B作 的垂线，并在垂线上取 ；
②连接 ，以点C为圆心， 为半径画弧，交 于点E；
③以点A为圆心， 为半径画弧，交 于点D．即点D为线段 的黄金分割点．
则线段 的长度约为 （结果保留两位小数，参考数据： ）
三、作图题
9．（2021八下·赣州期末）如图，平行四边形ABCD中，AE=CE，请仅用无刻度的直尺完成下列作图：
（1）在图1中，作出∠DAE的角平分线；
（2）在图2中，作出∠AEC的角平分线．
10．（2024八下·湛江期中）如图，已知ABCD．
（1）尺规作图：延长BC并在BC的延长线上截取线段CE，使得 （保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连结AE，交CD于点F，求证：．
11．（2024八上·田阳期末） 工人师傅在裁剪直角三角材料时通常采用“三弧法”：①画线段AB，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，相交于点C；②以C为圆心，仍以AB长为半径画弧，交AC的延长线于D；③连接DB，则△ABD为直角三角形．请完成下列问题：
（1）按工人师傅的画法作图（保留作图痕迹）；
（2）证明：△ABD为直角三角形．
12．（2024八上·玉林期末）如图，按下列要求图：（要求有明显的作图痕迹，不写作法）
（1）作出的角平分线CD；
（2）作出的中线BE；
（3）作出的高BG.
13．如图所示，已知在△ABC中，∠A=90°．
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)．
（2）若∠ABC=60，AB=3，求⊙P的面积．
14．（2024八上·交城期中） 尺规作图
如图，某地有两个小区A，B和两条相交的供水管道OC，OD.现计划在S区域内修建一个蓄水池，要求到两个小区的距离相等，到两条公路的距离也相等，请确定蓄水池的位置.（保留作图痕迹，不写作法）
15．（2021九上·南昌期末）如图，□ABCD 的顶点A、B、D都在⊙O上，请你仅用无刻度的直尺按下列要求画图：
（1）在图1中，画出一条弦与AD相等；
（2）在图2中，画出一条直线与AB垂直平分．
16．（2021九上·宜春期末）已知，是的两条切线，切点分别是、B，BC垂直于C，请只用无刻度直尺，按要求画图，保留作图痕迹．
（1）如图1，连接，并作出线段的中点；
（2）如图2，连接，过点A作线段AE平行交PB于点E．
17．（2021八上·二道期末）图①、图②、图③均为3×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结AC、BC，使AC＝AB，∠BAC＝90°；
（2）在图②中，连结AC、BC，使AC＝BC，∠ACB＝90°；
（3）在图③中，连结AC、BC，使AC＝BC，∠ACB≠90°
18．（2021七上·德惠期末）如图，点A、B、C在8×5网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形．请按要求画图，并回答问题：
（1）①延长线段AB到点D，使BD＝AB；
②过点C画CE⊥AB，垂足为E；
（2）点C到直线AB的距离是 个单位长度；
（3）通过测量 ＝ ，并由此结论可猜想直线BC与AF的位置关系是 ．
19．（2021九上·永吉期末）如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上．请按要求在图①，图②，图③中画图：
（1）在图①中，画等腰△ABC，使AB为腰，点C在格点上．
（2）在图②中，画面积为8的四边形ABCD，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形，C，D两点均在格点上．
（3）在图③中，画△ABC，使∠ACB=90°，面积为5，点C在格点上．
20．（2021八下·双阳期末）如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A、B都在格点上．
（1）在图①中以AB为边，画出一个是轴对称，但不是中心对称的四边形ABCD，C、D为格点．
（2）在图②中以AB为边，画出一个是中心对称，但不是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点．
（3）在图③中以AB为边，画出一个既是中心对称，又是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点．
21．（2021八下·南陵期末）如图，在正方形网格中每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
（1）在图（1）网格中画出长为 的线段AB．
（2）在图（2）网格中画出一个腰长为 ，面积为3的等腰
22．（2021·长春）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结MA、MB，使 ．
（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使 ．
（3）在图③中，连结MA、MC，使 ．
23．（2021八下·和平期末）在每个小正方形的边长为 的网格中，点 ， 在格点上．请用无刻度的直尺，按下列要求画图．
（1）在图①画出一个以 为一边的正方形 ；
（2）在图②画出一个以 为一边的菱形 （ 不是正方形）；
（3）如图③，点 ， 在格点上， 与 交于点 ，在图③中画出一个以 为一边的矩形 ．
24．（2021八下·云浮期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中，画一个正方形，使它的面积是10．
25．（2021八下·白云期末）如图，正方形网络中的每个小正方形边长都是 ，任意连接这些小正方形的顶点，可得到一些线段．请在图中画出线段 ， ， ，并选择其中一条线段说明你画法的理由．
26．（2021八下·会昌期末）如图所示是8×8的正方形网格，A、B两点均在格点（即小正方形的顶点）上．现请你在图（1）、图（2），图（3）中，分别画出一个以，B，CD为顶点的姿形（可能包含正方形），
要求：⑴顶点C、D也在格点上；
⑵只能使用无刻度的直尺作工具；
⑶所画的三个菱形互不全等．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定；求特殊角的三角函数值；尺规作图的概念；三角形的综合
【解析】【解答】A、根据作图可知：AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形，∴A正确，不符合题意；
B、∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，由作图可知：BD=DC，∴∠CBD=∠D=30°，∴B正确，不符合题意；
C、∵△CDB是等腰三角形，∴点C在BD的中垂线上，∴C正确，不符合题意；
D、∵∠A=60°，∠D=30°，∴cosD=，∴D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】先根据题干中的作图方法及等边三角形的判定方法和性质、中垂线的性质及解直角三角形的方法逐项分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图的概念；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】∵在直线MN上截取线段h，带有随意性，
∴与作图语言的准确性不相符，
故答案为：C.
【分析】在直线MN上截取线段h不具备准确性，应该为：在直线MN上截取线段AD=h.
3．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰直角三角形；直角三角形的性质；尺规作图的概念
【解析】【解答】解：A.∵CD为直角∠ACB的角平分线，
∴∠α=∠ACB=45°，A不符合题意；
B.∵AC=CD，又∠ACB＝90°，
∴∠CAD=∠α=∠ACB=45°，B不符合题意；
C.∵∠CAB＜90°，又AD是∠CAB的角平分线，
∴∠α=∠CAB＜45°，C符合题意；
D.∵AD和BE分别是∠CAB和∠ABC的角平分线，又∠ACB＝90°，
∴∠α＝∠DAB＋∠EBA＝∠CAB＋∠CBA＝（∠CAB＋∠CBA）＝45°，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据角平分线尺规作图，结合直角三角形，等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质分别对各个选项进行分析判断即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】尺规作图的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解： 第1个图，作出的是一个平行四边形，平行四边形的对角线一般平分对角，错误；
第2个图，将两弧的交点分别与角的边相交的弧的交点连结，得出一对三角形，可证明三角形全等，从而可得角平分线，正确；
第3个图可两次证明三角形全等得到角平分线，正确；
第4个图依据等腰三角形三线合一可得角平分线，正确．
故答案为：A.
【分析】借助平行四边形、全等三角形，等腰三角形的性质逐一验证是否能得到角平分线.
5．【答案】D
【知识点】尺规作图的概念
【解析】【解答】解：∵由三角形的外心的定义可知，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，
∴三角形的外心在三边的垂直平分线上，
所以用到了基本作图：作一条线段的垂直平分线．
故答案为：D．
【分析】根据外接圆的作图方法可得答案。
6．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离；角平分线的性质；尺规作图-垂线；尺规作图的概念
【解析】【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH=GC=1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故答案为：C．
【分析】如图，过G作GH⊥AB于H，根据角平分线得性质定理证明GH=GC=1.利用垂线段最短即可解决问题
7．【答案】105°
【知识点】角平分线的性质；尺规作图的概念
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=80°，
∴∠ABC=∠C=，
由作图方法得BD是∠ABC的角平分线，
∴∠DBC=∠ABC=25°，
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=105°.
故答案为：105°.
【分析】先根据三角形的内角和求出∠ABC，再根据角平分线的性质及外角定理求解.
8．【答案】6.18
【知识点】勾股定理；尺规作图的概念
【解析】【解答】解：由作图得△ABC为直角三角形， ，AE=AD，
∴ cm，
∴ cm，
∴ cm．
故答案为：6.18
【分析】根据作图得△ABC为直角三角形， ，AE=AD，
根据勾股定理求出AC，再求出AE，即可求出AD．
9．【答案】（1）解；连接AC，AC即为∠DAE的平分线；
如图1所示：
（2）解；①连接AC、BD交于点O，
②连接EO，EO为∠AEC的角平分线；
如图2所示．
【知识点】尺规作图的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）连接AC，由AE=CE，得出，由AD//BC，得出，则，即AC平分∠DAE；
（2）连接AC、BD交于点O，连接EO，由平行四边形的性质即等腰三角形的性质可知EO为∠AEC的角平分线。
10．【答案】（1）解：如图，CE为所求
（2）证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
又，
在△AFD与△EFC中
，
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，结合（1）由等量代换得AD=CE，由二直线平行，内错角相等，得∠DAF=∠CEF，泳儿可用AAS证明△AFD≌△EFC.
11．【答案】（1）解：如图所示．
（2）证明：连接BC，
由（1）得AB＝AC＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵CD＝BC＝AB，
∴∠D＝∠CBD．
∵∠ACB＝∠D+∠CBD，
∴∠D+∠CBD＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝60°+30°＝90°，
∴△ABD为直角三角形．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）根据题干叙述的作图步骤利用尺规作图法作图即可；
（2）连接BC，由（1）得AB＝AC＝BC，由三边相等的三角形是等边三角形得△ABC为等边三角形，由等边三角形的每一个内角都 等于60°得∠ACB＝∠ABC＝60°，进而根据等边对等角及三角形外角性质可推出∠CBD=30°，从而由∠ABD＝∠ABC+∠CBD计算∠ABD=90°，即可得出结论.
12．【答案】（1）解：如图：
是所求的的角平分线；
（2）解：如图：
是所求的的中线；
（3）解：如图
为所求的的高．
【知识点】尺规作图-垂线；尺规作图的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）尺规作图作出平分线 CD 交于点；
（2）作出垂直平分线，垂足是，连接即可；
（3）过作的垂线，垂线与的延长线交于点，即为所求.
13．【答案】（1）解：如图所示，OP为所求作的圆．
（2）解：∵∠ABC=60°，BP平分∠ABC，
∴∠ABP=30°．
∵AB=3，tan∠ABP=
∴AP=，
∴S⊙P=3π．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆的面积；尺规作图的概念；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）作 ∠ABC 的平分线交AC于点P，然后以P为圆心，PA为半径作圆即可；
（2）根据角平分线的性质可得∠ABP=30°， AB=3 ，解直角三角形可得AP=，代入圆的面积公式，计算求解即可.
14．【答案】解：如图所示，点P即为所求；
【知识点】尺规作图的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】根据水池两个小区的距离相等，到两条公路的距离也相等 ，得到水池是线段AB的垂直平分线和∠COD的角平分线的交点，分别作出两线，找交点即可.
15．【答案】（1）解：BE 就是所求作的弦；
（2）解：FG 就是所求作的垂直平分线．
【知识点】尺规作图的概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据 画出一条弦与AD相等 作图即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质作图即可。
16．【答案】（1）解：点D为所求
（2）解：AE为所求
【知识点】作图-平行线；尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据 连接，过点A作线段AE平行交PB于点E 作图即可。
17．【答案】（1）解：如图①中，以A为圆心，AB长为半径画弧，交格点与点C，
由勾股定理得，
∴，
∴∠BAC＝90°；
点C即为所求；
（2）解：如图②中，作线段AB的垂直平分线，交格点与点C，
由勾股定理得，
∴，
∴∠ACB＝90°；
点C即为所求；
（3）解：如图③中，作线段AB的垂直平分线，交格点与点C，
由勾股定理得，，
∴，
∴∠ACB≠90°；
点C即为所求．
【知识点】勾股定理；尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）利用数形结合的思想以及题目要求做出图形即可；
（2）利用数形结合的思想以及题目要求做出图形即可；
（3）利用数形结合的思想以及题目要求做出图形即可。
18．【答案】（1）
（2）2
（3）∠FAC；∠ACB；平行
【知识点】点到直线的距离；平行线的判定；尺规作图的概念
【解析】【解答】解：（3）由网格可知
即点C到直线AB的距离是2个单位长度
故答案为：2
（4）通过测量，可知
故答案为：，平行
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据 每小方格是边长为1个单位长度的正方形 ，再结合图形求解即可；
（3）先求出CE=2，再求解即可；
（4）先求出，再求出即可。
19．【答案】（1）解：如图①中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；
（2）解：如图②中，平行四边形ABCD即为所求作；
（3）解：如图③中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；
∵AB=AG，BC=CG，
∴AC⊥BG，
∵△ABG的面积为，
∴△ABC的面积为5，且∠ACB=90°．
【知识点】三角形的面积；尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质作图即可；
（2）根据中心对称图形和轴对称图形的定义作图即可；
（3）先求出 AC⊥BG， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
20．【答案】（1）解：如图①，等腰梯形ABCD即为所求；
（2）解：如图②，平行四边形ABCD即为所求；
（3）解：如图③所示，正方形ABCD即为所求；
【知识点】轴对称图形；作图﹣轴对称；中心对称及中心对称图形；尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）以AB为一腰，构造一个等腰梯形即可；
（2）以AB为一边，构造一个一般的平行四边形即可；
（3）以AB为一边，构造一个正方形即可。
21．【答案】（1）解：解如图所示
（2）解：解如图所示
【知识点】尺规作图的概念；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质，结合题意作图即可。
22．【答案】（1）解：如图①所示，点M即为所求．
（2）解：如图②所示，点M即为所求．
（3）解：如图③所示，点M即为所求．
【知识点】尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）根据
作图即可；
（2）根据
作图即可；
（3）根据
作图求解即可。
23．【答案】（1）解：如图①所示：取格点C、D，连接BC、CD、DA，
则正方形 即为所求；
（2）解：如图②所示：取格点 、 ，连接B 、 、 A，
则菱形 即为所求；
（3）解：如图③所示：取格点 、 、 、 ，连接 、 相交于点 ，
连接 、 G、G ，
则矩形 即为所求．
【知识点】菱形的性质；正方形的性质；尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据菱形的性质作图即可；
（3）根据矩形的性质作图即可。
24．【答案】（1）解：如下图：
（2）解：如下图：
【知识点】尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据正方形的面积是10作图即可。
25．【答案】解：如图，线段AB，线段CD，线段EF即为所求．
线段AB可以看成直角边分别1，1的斜边，线段CD可以看成直角边分别为1，3的斜边，线段EF可以看成直角边分别为2，3的斜边．
【知识点】尺规作图的概念
【解析】【分析】利用数形结合的思想想画出图形即可。
26．【答案】解：如图所示：
菱形ABCD即为所求；注意：本题答案不唯一
【知识点】尺规作图的概念
【解析】【分析】利用菱形的定义得出正确的图形即可。
1 / 12024年中考数学考前20天终极冲刺专题之尺规作图(一)
一、选择题
1．（2024·朝阳模拟）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
①作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
②以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
③连结BD、BC．则下列说法不正确的是（ ）
A．△ABC是正三角形 B．∠CBD＝30°
C．点C在BD的中垂线上 D．cosD＝
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定；求特殊角的三角函数值；尺规作图的概念；三角形的综合
【解析】【解答】A、根据作图可知：AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形，∴A正确，不符合题意；
B、∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，由作图可知：BD=DC，∴∠CBD=∠D=30°，∴B正确，不符合题意；
C、∵△CDB是等腰三角形，∴点C在BD的中垂线上，∴C正确，不符合题意；
D、∵∠A=60°，∠D=30°，∴cosD=，∴D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】先根据题干中的作图方法及等边三角形的判定方法和性质、中垂线的性质及解直角三角形的方法逐项分析判断即可.
2．（2024八上·雨湖期末）如图，已知线段a，h作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h．张红的作法如下：
作线段BC＝a；
作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；
在直线MN上截取线段h；
连结AB，AC，则△ABC为所求的等腰三角形．
上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图的概念；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】∵在直线MN上截取线段h，带有随意性，
∴与作图语言的准确性不相符，
故答案为：C.
【分析】在直线MN上截取线段h不具备准确性，应该为：在直线MN上截取线段AD=h.
3．（2024八上·绿园期末）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在内部作一个角，下列作法中不等于的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰直角三角形；直角三角形的性质；尺规作图的概念
【解析】【解答】解：A.∵CD为直角∠ACB的角平分线，
∴∠α=∠ACB=45°，A不符合题意；
B.∵AC=CD，又∠ACB＝90°，
∴∠CAD=∠α=∠ACB=45°，B不符合题意；
C.∵∠CAB＜90°，又AD是∠CAB的角平分线，
∴∠α=∠CAB＜45°，C符合题意；
D.∵AD和BE分别是∠CAB和∠ABC的角平分线，又∠ACB＝90°，
∴∠α＝∠DAB＋∠EBA＝∠CAB＋∠CBA＝（∠CAB＋∠CBA）＝45°，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据角平分线尺规作图，结合直角三角形，等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质分别对各个选项进行分析判断即可得出答案.
4．（2023八下·锦州期末）如图，下列四种用无刻度直尺和圆规作角平分线的方法，其中不正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】尺规作图的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解： 第1个图，作出的是一个平行四边形，平行四边形的对角线一般平分对角，错误；
第2个图，将两弧的交点分别与角的边相交的弧的交点连结，得出一对三角形，可证明三角形全等，从而可得角平分线，正确；
第3个图可两次证明三角形全等得到角平分线，正确；
第4个图依据等腰三角形三线合一可得角平分线，正确．
故答案为：A.
【分析】借助平行四边形、全等三角形，等腰三角形的性质逐一验证是否能得到角平分线.
5．（2022·冠县模拟）用尺规作图作三角形的外接圆时，用到了哪些基本作图（ ）
A．作一条线段等于已知线段 B．作一个角等于已知角
C．作一个角的平分线 D．作一条线段的垂直平分线
【答案】D
【知识点】尺规作图的概念
【解析】【解答】解：∵由三角形的外心的定义可知，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，
∴三角形的外心在三边的垂直平分线上，
所以用到了基本作图：作一条线段的垂直平分线．
故答案为：D．
【分析】根据外接圆的作图方法可得答案。
6．（2021·天桥模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规分别截取BE，BD，使BE＝BD，分别以D、E为圆心、以大于 的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．无法确定 B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离；角平分线的性质；尺规作图-垂线；尺规作图的概念
【解析】【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH=GC=1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故答案为：C．
【分析】如图，过G作GH⊥AB于H，根据角平分线得性质定理证明GH=GC=1.利用垂线段最短即可解决问题
二、填空题
7．（2023八上·娄底月考）如图，在中，，，进行如下操作：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交、于点、；②分别以、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，则的度数为 ．
【答案】105°
【知识点】角平分线的性质；尺规作图的概念
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=80°，
∴∠ABC=∠C=，
由作图方法得BD是∠ABC的角平分线，
∴∠DBC=∠ABC=25°，
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=105°.
故答案为：105°.
【分析】先根据三角形的内角和求出∠ABC，再根据角平分线的性质及外角定理求解.
8．（2020·邵阳）如图，线段 ，用尺规作图法按如下步骤作图．
①过点B作 的垂线，并在垂线上取 ；
②连接 ，以点C为圆心， 为半径画弧，交 于点E；
③以点A为圆心， 为半径画弧，交 于点D．即点D为线段 的黄金分割点．
则线段 的长度约为 （结果保留两位小数，参考数据： ）
【答案】6.18
【知识点】勾股定理；尺规作图的概念
【解析】【解答】解：由作图得△ABC为直角三角形， ，AE=AD，
∴ cm，
∴ cm，
∴ cm．
故答案为：6.18
【分析】根据作图得△ABC为直角三角形， ，AE=AD，
根据勾股定理求出AC，再求出AE，即可求出AD．
三、作图题
9．（2021八下·赣州期末）如图，平行四边形ABCD中，AE=CE，请仅用无刻度的直尺完成下列作图：
（1）在图1中，作出∠DAE的角平分线；
（2）在图2中，作出∠AEC的角平分线．
【答案】（1）解；连接AC，AC即为∠DAE的平分线；
如图1所示：
（2）解；①连接AC、BD交于点O，
②连接EO，EO为∠AEC的角平分线；
如图2所示．
【知识点】尺规作图的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）连接AC，由AE=CE，得出，由AD//BC，得出，则，即AC平分∠DAE；
（2）连接AC、BD交于点O，连接EO，由平行四边形的性质即等腰三角形的性质可知EO为∠AEC的角平分线。
10．（2024八下·湛江期中）如图，已知ABCD．
（1）尺规作图：延长BC并在BC的延长线上截取线段CE，使得 （保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连结AE，交CD于点F，求证：．
【答案】（1）解：如图，CE为所求
（2）证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
又，
在△AFD与△EFC中
，
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，结合（1）由等量代换得AD=CE，由二直线平行，内错角相等，得∠DAF=∠CEF，泳儿可用AAS证明△AFD≌△EFC.
11．（2024八上·田阳期末） 工人师傅在裁剪直角三角材料时通常采用“三弧法”：①画线段AB，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，相交于点C；②以C为圆心，仍以AB长为半径画弧，交AC的延长线于D；③连接DB，则△ABD为直角三角形．请完成下列问题：
（1）按工人师傅的画法作图（保留作图痕迹）；
（2）证明：△ABD为直角三角形．
【答案】（1）解：如图所示．
（2）证明：连接BC，
由（1）得AB＝AC＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵CD＝BC＝AB，
∴∠D＝∠CBD．
∵∠ACB＝∠D+∠CBD，
∴∠D+∠CBD＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝60°+30°＝90°，
∴△ABD为直角三角形．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）根据题干叙述的作图步骤利用尺规作图法作图即可；
（2）连接BC，由（1）得AB＝AC＝BC，由三边相等的三角形是等边三角形得△ABC为等边三角形，由等边三角形的每一个内角都 等于60°得∠ACB＝∠ABC＝60°，进而根据等边对等角及三角形外角性质可推出∠CBD=30°，从而由∠ABD＝∠ABC+∠CBD计算∠ABD=90°，即可得出结论.
12．（2024八上·玉林期末）如图，按下列要求图：（要求有明显的作图痕迹，不写作法）
（1）作出的角平分线CD；
（2）作出的中线BE；
（3）作出的高BG.
【答案】（1）解：如图：
是所求的的角平分线；
（2）解：如图：
是所求的的中线；
（3）解：如图
为所求的的高．
【知识点】尺规作图-垂线；尺规作图的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）尺规作图作出平分线 CD 交于点；
（2）作出垂直平分线，垂足是，连接即可；
（3）过作的垂线，垂线与的延长线交于点，即为所求.
13．如图所示，已知在△ABC中，∠A=90°．
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)．
（2）若∠ABC=60，AB=3，求⊙P的面积．
【答案】（1）解：如图所示，OP为所求作的圆．
（2）解：∵∠ABC=60°，BP平分∠ABC，
∴∠ABP=30°．
∵AB=3，tan∠ABP=
∴AP=，
∴S⊙P=3π．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆的面积；尺规作图的概念；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）作 ∠ABC 的平分线交AC于点P，然后以P为圆心，PA为半径作圆即可；
（2）根据角平分线的性质可得∠ABP=30°， AB=3 ，解直角三角形可得AP=，代入圆的面积公式，计算求解即可.
14．（2024八上·交城期中） 尺规作图
如图，某地有两个小区A，B和两条相交的供水管道OC，OD.现计划在S区域内修建一个蓄水池，要求到两个小区的距离相等，到两条公路的距离也相等，请确定蓄水池的位置.（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图所示，点P即为所求；
【知识点】尺规作图的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】根据水池两个小区的距离相等，到两条公路的距离也相等 ，得到水池是线段AB的垂直平分线和∠COD的角平分线的交点，分别作出两线，找交点即可.
15．（2021九上·南昌期末）如图，□ABCD 的顶点A、B、D都在⊙O上，请你仅用无刻度的直尺按下列要求画图：
（1）在图1中，画出一条弦与AD相等；
（2）在图2中，画出一条直线与AB垂直平分．
【答案】（1）解：BE 就是所求作的弦；
（2）解：FG 就是所求作的垂直平分线．
【知识点】尺规作图的概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据 画出一条弦与AD相等 作图即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质作图即可。
16．（2021九上·宜春期末）已知，是的两条切线，切点分别是、B，BC垂直于C，请只用无刻度直尺，按要求画图，保留作图痕迹．
（1）如图1，连接，并作出线段的中点；
（2）如图2，连接，过点A作线段AE平行交PB于点E．
【答案】（1）解：点D为所求
（2）解：AE为所求
【知识点】作图-平行线；尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据 连接，过点A作线段AE平行交PB于点E 作图即可。
17．（2021八上·二道期末）图①、图②、图③均为3×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结AC、BC，使AC＝AB，∠BAC＝90°；
（2）在图②中，连结AC、BC，使AC＝BC，∠ACB＝90°；
（3）在图③中，连结AC、BC，使AC＝BC，∠ACB≠90°
【答案】（1）解：如图①中，以A为圆心，AB长为半径画弧，交格点与点C，
由勾股定理得，
∴，
∴∠BAC＝90°；
点C即为所求；
（2）解：如图②中，作线段AB的垂直平分线，交格点与点C，
由勾股定理得，
∴，
∴∠ACB＝90°；
点C即为所求；
（3）解：如图③中，作线段AB的垂直平分线，交格点与点C，
由勾股定理得，，
∴，
∴∠ACB≠90°；
点C即为所求．
【知识点】勾股定理；尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）利用数形结合的思想以及题目要求做出图形即可；
（2）利用数形结合的思想以及题目要求做出图形即可；
（3）利用数形结合的思想以及题目要求做出图形即可。
18．（2021七上·德惠期末）如图，点A、B、C在8×5网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形．请按要求画图，并回答问题：
（1）①延长线段AB到点D，使BD＝AB；
②过点C画CE⊥AB，垂足为E；
（2）点C到直线AB的距离是 个单位长度；
（3）通过测量 ＝ ，并由此结论可猜想直线BC与AF的位置关系是 ．
【答案】（1）
（2）2
（3）∠FAC；∠ACB；平行
【知识点】点到直线的距离；平行线的判定；尺规作图的概念
【解析】【解答】解：（3）由网格可知
即点C到直线AB的距离是2个单位长度
故答案为：2
（4）通过测量，可知
故答案为：，平行
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据 每小方格是边长为1个单位长度的正方形 ，再结合图形求解即可；
（3）先求出CE=2，再求解即可；
（4）先求出，再求出即可。
19．（2021九上·永吉期末）如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上．请按要求在图①，图②，图③中画图：
（1）在图①中，画等腰△ABC，使AB为腰，点C在格点上．
（2）在图②中，画面积为8的四边形ABCD，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形，C，D两点均在格点上．
（3）在图③中，画△ABC，使∠ACB=90°，面积为5，点C在格点上．
【答案】（1）解：如图①中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；
（2）解：如图②中，平行四边形ABCD即为所求作；
（3）解：如图③中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；
∵AB=AG，BC=CG，
∴AC⊥BG，
∵△ABG的面积为，
∴△ABC的面积为5，且∠ACB=90°．
【知识点】三角形的面积；尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质作图即可；
（2）根据中心对称图形和轴对称图形的定义作图即可；
（3）先求出 AC⊥BG， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
20．（2021八下·双阳期末）如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A、B都在格点上．
（1）在图①中以AB为边，画出一个是轴对称，但不是中心对称的四边形ABCD，C、D为格点．
（2）在图②中以AB为边，画出一个是中心对称，但不是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点．
（3）在图③中以AB为边，画出一个既是中心对称，又是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点．
【答案】（1）解：如图①，等腰梯形ABCD即为所求；
（2）解：如图②，平行四边形ABCD即为所求；
（3）解：如图③所示，正方形ABCD即为所求；
【知识点】轴对称图形；作图﹣轴对称；中心对称及中心对称图形；尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）以AB为一腰，构造一个等腰梯形即可；
（2）以AB为一边，构造一个一般的平行四边形即可；
（3）以AB为一边，构造一个正方形即可。
21．（2021八下·南陵期末）如图，在正方形网格中每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
（1）在图（1）网格中画出长为 的线段AB．
（2）在图（2）网格中画出一个腰长为 ，面积为3的等腰
【答案】（1）解：解如图所示
（2）解：解如图所示
【知识点】尺规作图的概念；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质，结合题意作图即可。
22．（2021·长春）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结MA、MB，使 ．
（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使 ．
（3）在图③中，连结MA、MC，使 ．
【答案】（1）解：如图①所示，点M即为所求．
（2）解：如图②所示，点M即为所求．
（3）解：如图③所示，点M即为所求．
【知识点】尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）根据
作图即可；
（2）根据
作图即可；
（3）根据
作图求解即可。
23．（2021八下·和平期末）在每个小正方形的边长为 的网格中，点 ， 在格点上．请用无刻度的直尺，按下列要求画图．
（1）在图①画出一个以 为一边的正方形 ；
（2）在图②画出一个以 为一边的菱形 （ 不是正方形）；
（3）如图③，点 ， 在格点上， 与 交于点 ，在图③中画出一个以 为一边的矩形 ．
【答案】（1）解：如图①所示：取格点C、D，连接BC、CD、DA，
则正方形 即为所求；
（2）解：如图②所示：取格点 、 ，连接B 、 、 A，
则菱形 即为所求；
（3）解：如图③所示：取格点 、 、 、 ，连接 、 相交于点 ，
连接 、 G、G ，
则矩形 即为所求．
【知识点】菱形的性质；正方形的性质；尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据菱形的性质作图即可；
（3）根据矩形的性质作图即可。
24．（2021八下·云浮期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中，画一个正方形，使它的面积是10．
【答案】（1）解：如下图：
（2）解：如下图：
【知识点】尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据正方形的面积是10作图即可。
25．（2021八下·白云期末）如图，正方形网络中的每个小正方形边长都是 ，任意连接这些小正方形的顶点，可得到一些线段．请在图中画出线段 ， ， ，并选择其中一条线段说明你画法的理由．
【答案】解：如图，线段AB，线段CD，线段EF即为所求．
线段AB可以看成直角边分别1，1的斜边，线段CD可以看成直角边分别为1，3的斜边，线段EF可以看成直角边分别为2，3的斜边．
【知识点】尺规作图的概念
【解析】【分析】利用数形结合的思想想画出图形即可。
26．（2021八下·会昌期末）如图所示是8×8的正方形网格，A、B两点均在格点（即小正方形的顶点）上．现请你在图（1）、图（2），图（3）中，分别画出一个以，B，CD为顶点的姿形（可能包含正方形），
要求：⑴顶点C、D也在格点上；
⑵只能使用无刻度的直尺作工具；
⑶所画的三个菱形互不全等．
【答案】解：如图所示：
菱形ABCD即为所求；注意：本题答案不唯一
【知识点】尺规作图的概念
【解析】【分析】利用菱形的定义得出正确的图形即可。
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