2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之尺规作图(二)
一、作图题
1．（2019九上·寻乌月考）按要求画图：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹．
（1）如图1，画出⊙O的一个内接矩形；
（2）如图2，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD∥AB，画出⊙O的一个内接正方形．
2．（2023九上·东阳月考）如图，点在，用无刻度的直尺画图．
（1）在图①中，画一个与互补的圆周角；
（2）在图②中，画一个与互余的圆周角．并说明理由．
3．（2024九上·遂川期末）如图是正方形网格，已知格点A，B，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
（1）在图1中，以为对角线，作一个正方形；
（2）在图2中，取格点，作，使．
4．（2024九下·镇赉县月考）如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）.
（1）在图①中，作关于点对称的；
（2）在图②中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的.
5．（2024七上·萧山期末）如图，已知平面上有三点A，B，C．用无刻度直尺和圆规作图（请保留作图痕迹）；
（1）画线段，直线，射线；
（2）在线段上找一点E，使得．
6．（2023九上·瑞安月考）如图，的顶点是方格纸中的三个格点，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．
（1）在图1中画出边上的点，使得；
（2）在图2中画出的重心．
7．（2023八上·大余月考）如图，线段的端点在正方形网格的格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留简图痕迹）．
（1）在图1中作等腰直角三角形，其中线段为底边．
（2）在图2中作等腰直角三角形，其中线段为腰．
8．（2023九上·永康月考）如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图．
（1）在图1中的线段AC上找一个点E，使AE＝AC；
（2）在图2中作一个格点△DFC，使△DFC∽△ABC．(只画出一个即可)
9．（2023九下·衢江月考）在如图的网格中使用无刻度直尺按要求画图.（画图时保留画图痕迹）
（1）在图（1）中，N是边的中点，连接，在边上画一点G，使得.
（2）在图（2）中，在上找一点M，使；
10．（2023八下·丰城期末）如图，已知，，均在上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图①中，若，作一个的角；
（2）在图②中，若，分别是边的中点，作的内心．
11．（2023八下·余干期末）如图，在菱形中，点为边上一点，请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图．（保留画图痕迹）
（1）在图1中，在边画出一点，使；
（2）在图2中，以为顶点画一个矩形，使得矩形的四个顶点都在菱形的边上．
12．（2023九上·吉林开学考）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均为格点只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出作法．
（1）在图中作的高．
（2）在图中的边上找一点，连结，使．
（3）在图中内不包含边界找一点，连结，，使．
13．（2023·朝阳模拟）图①、图②、图③均是由小正方形组成的的网格，的三个顶点A、B、C均在格点（网格线的交点）上，请按要求在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹，不写画法．
（1）在图①中的上确定一点D，连结，使．
（2）在图②中的上确定一点E，连结，使．
（3）在图③中的上确定一点F，连结，使．
14．（2022·南昌模拟）如图，在矩形和等腰中，边和边交于点，且.请仅用无刻度直尺按下列要求作图.（保留作图痕迹）
（1）如图1，在边上找一点，使得；
（2）如图2，作边的中点．
15．（2022·赣州模拟）如图，矩形OABC与⊙O交于点D，点A为⊙O上一点，AB＝3BC，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）．
图1 图2
（1）若E、F分别OC、AB是的一个三等分点，请在图1中作出过点D的切线；
（2）在图2中作一个圆周角，使这个角的正切值为 ．
16．（2019九下·宁都期中）请你仅用无刻度的直尺在下面的图中作出△ABC 的边 AB 上的高 CD．
（1）如图①，以等边三角形 ABC 的边 AB 为直径的圆，与另两边 BC、AC 分别交于点 E、F．
（2）如图②，以钝角三角形 ABC 的一短边 AB 为直径的圆，与最长的边 AC 相交于点 E．
17．（2019·南昌模拟）如图，在正方形 中，点 是 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.
（1）在如图（1）的 边上求作一点 ，连接 ，使 ；
（2）在如图（2）的 边上求作一点 ，连接 ，使 .
18．（2023·青山湖模拟）如图，已知是的外接圆，，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1的上作点D，使为等腰直角三角形；
（2）在图2的上作点M，N，使四边形为正方形．
19．（2023·二道模拟） 如图是的正方形网格，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题，保留作图痕迹．
（1）在图中，找一格点，连结，使画出一种即可，这样的格点与点不重合有 个
（2）在图中，找一格点，连结、，使画出一种即可．
（3）在图中的线段上画一点，连结，，使．
20．（2023九上·二道期中）以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
（1）在图①中，点为的边的中点，在边上找一点，连接，使的面积为面积的．
（2）在图②中，的面积为 ．
（3）在图②中，在的边上找一点，连接，使的面积为．
二、综合题
21．（2023·乌鲁木齐模拟）请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列作图，保留作图痕迹，不写作法.
（1）图是由边长为的小等边三角形构成的网格，为格点三角形.在图中，画出中边上的中线；
（2）如图，四边形中，，，画出边的垂直平分线.
22．（2022·赣州模拟）如图，点C是以AB为直径的半圆O内任意一点，连接AC，BC，点D在AC上，且AD＝CD，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图（1）中，画出的中线AE；
（2）在图（2）中，画出的角平分线AF．
23．（2023·长春模拟）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中的边上确定一点D，连接，使；
（2）在图②中的边上确定一点E，连接，使；
（3）在图③中的边上确定一点F，连接，使．
24．（2022·遂川模拟）如图，在⊙中，为弦，为⊙的切线，为切点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
（1）在图1中，以为边作一个矩形；
（2）在图2中，分别在上取一点，在⊙取两点，，作．
25．（2022·长春模拟）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹．
（1）在图①中的BC边上确定一点D，使得AD平分△ABC的面积．
（2）在图②中的BC边上确定一点E，使得AE平分∠BAC．
（3）在图③中的AC边上确定一点F，使得BF平分△ABC的周长．
26．（2022·吉林模拟）图①、图②、图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上。在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）如图①，=
（2）如图②，在BC上找一点F，使BF=2．
（3）如图③，在AC上找一点M，连接BM、DM，使△ABM∽△CDM．
27．（2021·九江模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，D均在圆上．请仅用无刻度的直尺分别下列要求画图．
（1）在图①中，若AB是直径，CD与圆相切，画出圆心 ；
（2）在图②中，若CB，CD均与圆相切，画出圆心 ．
28．（2021·江岸模拟）在由边长为1的小正方形构成的6×6网格中建立如图所示的平面直角坐标系， ABC三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(5，3)，C(1，5).仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并回答下列问题：
（1）直接写出 ABC的形状；
（2）作 ABC的角平分线CE；
（3）在边AB上找一个格点F，连接CF，使∠ACF＝∠AEC，直接写出F点坐标为 ；
（4）根据上述作图，直接写出tan∠AEC的值为 .
29．（2023·武汉模拟）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.
（1）在图（1）中，先作线段的中点D，再在线段上作点E，使；
（2）在图（2）中，先将线段绕点A逆时针旋转得线段，画出线段，再在边上作点G，使.
30．（2021·硚口模拟）由边长为1的小正方形构成网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D都是格点，仅用无刻度的直尺在给定12×8的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：
（1）平移线段AC得到线段DE，在图1中画出线段DE；
（2）点F在线段BC上，使△ABF的面积等于△ACF面积的2倍，在图1中画出线段AF；
（3）点M在线段AD上，使tan∠ABM＝ ，在图2中画出线段BM.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：如图所示，过O作⊙O的直径AC与BD，连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD即为所求；
（2）解：如图所示，延长AC，BD交于点E，连接AD，BC交于点F，连接EF并延长交⊙O于G，H，连接AH，HB，BG，GA，则四边形AHBG即为所求．
【知识点】矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】(1)根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，画出圆的两条直径，即可得到⊙O的一个内接矩形；(2)根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与AB互相垂直，即可得到⊙O的内接正方形．
2．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质画图即可；
（2）根据90°的圆周角所对的弦为直径，据此即可求解.
3．【答案】（1）解：如图1，正方形即为所求；
（2）解：如图2，格点即为所求；
【知识点】正方形的判定与性质；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形的判定定理，先找AB的垂直平分线，再确定等长的格点，最后顺次连接；
（2）记住特殊角的三角函数值，可知，根据正方形对角线的性质，过AB中点O作AB的垂线，垂线上任意一点连接A和O都可以构成直角三角形，再确定与OA等长的OC找到格点C。
4．【答案】（1）解：如图①中，即为所求.
（2）解：如图②中，即为所求.
【知识点】中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用中心对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用旋转的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可.
5．【答案】（1）解：如图，线段，直线，射线即为所求；
（2）解：如图，点即为所求．
【知识点】作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据直线没有端点，可以向两个方向无限延伸；射线有一个端点，可以向一个方向无限延伸；线段有两个端点，不能向任何一个方向延伸，据此画出图形即可；
（2）以点B为圆心，AB得长为半径画弧，交BC于点E，点E即为所求．
6．【答案】（1）解：如图点D即为所求.
（2）解：如图，点G即为所求.
由图可得：BH、AE是△ABC边AC、BC的中线，
∴G是△ABC的重心．
【知识点】平行线分线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例得到线段AC的三等分点D，即可求解；
（2）根据平行线分线段成比例得到线段AC的中点H和BC的中点E，连接AE，BH交于G，根据三角形的重心是三角形三边中线的交点即可求解.
7．【答案】（1）解：取格点，
，
和是以线段为底边的等腰三角形，
取格点，
，，
，
是以线段为底边的等腰三角形，
取格点，
，，
，
是以线段为底边的等腰三角形，
取格点，
，，
，
是以线段为底边的等腰三角形，
如图所示，、、、、即为所求：
（2）取格点，
，，
是以线段为腰的等腰三角形，
取格点，
，，
是以线段为腰的等腰三角形，
如图所示，、即为所求：
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；作图-三角形
【解析】【分析】（1）以AB为对角线，取格点C和C"得正方形ACBC"，从而得、即为所求.
（2）如图，以AB为腰的等腰直角三角形、即为所求.
8．【答案】（1）解：如图，点E就是所求的点
（2）解：如图， DFC就是所求作的三角形
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）过点A引一条射线，此题根据网格数可以沿小正方形对角线方向画射线；在过点C连接一条线段，在A、C之间再分别等距地画两条平行线（此处要利用格点寻找等距的平行线组），不难将AC三等分；
（2）计算出AB、BC、AC的长分别为5，5，25，将它们都除以5得5，1，2在图中很容易画出以这三个长度为边长的格点三角形.
9．【答案】（1）解：将向左平移1个单位至处，借助网格和，找到的中点，找到点，连接，将向左平移1个单位至，连接、，与的交点即为，则有，
，
；
（2）解：如图，
，
，
，
.
【知识点】三角形的面积；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 将BC向左平移1个单位至DE处，借助矩形的对角线互相平分找到DE的中点H，找到点I，连接AI，将I向左平移1个单位至J，连接JH、IN，JH与AN的交点即为G，则有JH∥IN，根据平行线分线段成比例定理得AG=2GN；
（2）设方格纸的右上角处的点为D，连接AD、CD，在CD上取点E，使CD=3CE，过点E作水平线的平行线，交AC于点M，连接BM，点M就是所求的点；由平行线分线段成比例定理得AC=CM，进而根据同高三角形的面积之比等于底之比即可得出结论.
10．【答案】（1）解：在上找一点D，连接，如图，
则是直径，
∴，
∵，
∴，
∴即为所求；
（2）解：延长分别交于、，根据垂径定理得到，连接相交于点， 根据圆周角定理得到，，则点为的内角平分线的交点，所以点为的内心；
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接CO并延长交 于点D，连接BD，则，进而可得
（2）延长OM，ON分别交圆O于D、E，则根据垂径定理得到，连接AD、BE相交于P点，根据圆周角定理得到，则点P为△ABC的内角平分线的交点，所以点P为△ ABC的内心。
11．【答案】（1）解：画法：如下图，连接、交于点，连接延长交于点，点即为所要求画的点．
理由：四边形是菱形，连接、交于点，
，，
，
在和中，
，
，
（2）解：画法：如下图，连接、，交于点；连接交于点，连接并延长，交于点；连接并延长，交于点；连接并延长，交于点；顺次连接点、、、，得到四边形，四边形即为所要求画的矩形．
理由：由（1）过程得，
，
四边形是菱形，连接、交于点，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是菱形，连接、交于点，连接并延长，交于点，
，，（对顶角相等），
，
在和中，
，
，
，
又，，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
，
四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）题目有一定的难度，考查了菱形是中心对称图形，明确过中心对称图形的对称中心的任一条直线可以将中心对称图形分成两个全等的图形。所以先连接两条对角线确定对称中心点O，再连接EO并延长角AD于点F，这时或者等，所以DF=BE，点F即为所求。
（2）在（1）小题的基础上，利用菱形对称性作点E关于BD的对称点H，然后分别作点E和点H关于点O的对称点，即OH=OG，OE=OF，又OH=OE，所以四边形EHFG是矩形，充分利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
12．【答案】（1）解：如图所示．
（2）解：如图所示．
（3）解：如图所示．
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）通过推理作与Rt△ANB≌Rt△△CBM(2×4网格直角三角形)，从而得出∠CDB=90°，即为AB边上高CD.
（2）（3）将面积问题利用等积思想转化为中点问题，利用格点(矩形对角线)找出中点.
13．【答案】（1）解：由勾股定理可知： ，则 ，即 为等腰三角形，
∵ ，
∴ 平分 ，则 ，
即： 为 的中点，
则，连接以 为对角线的矩形的对角线，交点即为点 ，如图所示，即为所求；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，即为所求；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
由图可知： ， ， ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 与 交点即为所求点 ，如图所示．
【知识点】作图-角
【解析】【分析】（1）利用勾股定理先求出BC=5，再求出 为等腰三角形， 最后结合题意作图即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后作图即可；
（3）先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质求出 ， 最后作图即可。
14．【答案】（1）解：连接AC、BD，设AC与BD相交于点O，EC交AD相交于点G，连接GO并延长使之交BC于点M，则点M为所求.
因为矩形，
所以，
又，
所以，
所以，
在与中，
所以，
所以AF=GD，
又，
所以，
又矩形，
所以BO=DO，
在与中，
所以，
所以BM=GD，
所以BM=AF.
（2）解：在（1）的基础上，连接FM，AM，设AM交BF于点H，连接OH并延长交AB于点N，则点N为所求，
因为，
所以四边形ABMF是矩形，所以，
所以点O在AB的垂直平分线上，
因为，
所以点H在AB的垂直平分线上，
所以OH平分AB，
所以点N是AB的中点.
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）连接AC、BD，设AC与BD相交于点O，EC交AD相交于点G，连接GO并延长使之交BC于点M，则点M为所求，利用全等三角形的判定方法证出，，可得 BM=GD，AF=GD，即可得到BM=AF；
（2）连接FM，AM，设AM交BF于点H，连接OH并延长交AB于点N，则点N为所求，先证出点H在AB的垂直平分线上，可得OH平分AB，再证出点N是AB的中点即可。
15．【答案】（1）解：如图所示，连接AE、DF，二者相较于G点，连接DG，直线DG即为所求；
（2）解：如图所示，延长AO交⊙O于点E，连接EC交⊙O于F点，连接AF，
∠EAF即为所求．
其他解答方法：利用弦切角定理，连接AC交⊙O于E点，点F可以在优弧ADE的任意位置，再连接AF、EF，∠EAF即为所求．如下图所示：
【知识点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接EF，则四边形AOEF为矩形，由于矩形对角线相等且互相平分，作直线GD即可；
（2）连接AC，则的正切值为，下来通过构造相似三角形在圆内作一个圆周角，使它等于即可。
16．【答案】（1）解：如图所示，CD 即为所求；
（2）解：如图，CD 即为所求．
【知识点】圆周角定理；作图-垂线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）连接AE、BF，找到△ABC的高线的交点，据此可得CD；（2）延长CB交圆于点F，延长AF、EB交于点G，连接CG，延长AB交CG于点D，据此可得．
17．【答案】（1）解：如图（1）， 连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N，则CN为所作． 理由：在△AOD与△COD中， ∵ ，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠OAD=∠OCD， ∴∠BAM=∠BCN． 在△ABM与△CBN中， ∵ ，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴CN=AM．
（2）解：如图2连接AC、BD交与O点，连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则 为所求的线段. 在正方形ABCD中，OA=OB=OC=OD，AD∥BC，
∴QO=MO
∴四边形AQCM为平行四边形，
∴QC∥AM
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N．可先证明△AOD≌△COD，再证明△MOB≌NOB，从而可得NB=MB；（2）连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则CQ∥AM．理由如下：由正方形的性质以及平行线等分线段可证QO=MO，从而可知四边形AQCM为平行四边形，从而可得CQ∥AM．
18．【答案】（1）解：画图如下：点D即为所求．
理由：如图，连接，并延长交于点D，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：画图如下：正方形即为所求．
理由：如图，连接，，并分别延长，交于点N，M，连接，，
∵是的直径，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形．
【知识点】正方形的判定；圆周角定理；作图-三角形
【解析】【分析】（1）连接CO并延长交于一点，即为点D；
（2） 连接，，并分别延长，交于点N，M ，则四边形即为正方形 .
19．【答案】（1）；7
（2）解：如图中，点即为所求；
（3）解：如图中，点即为所求．
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理
【解析】【解答】解：⑴、以A为圆心，AB长为半径画圆，与网格的交点即点C的位置，易知共有7个位置。
⑵、如图根据圆周角定理可知
【分析】⑴、利用圆的性质，以点A为圆心AB长为半径画圆，圆与网格的交点即为点C的位置。
⑵、利用圆周角定理找取点E。
⑶、由∠QNP=90°，对应圆周角45°的内接四边形对角为135°，即推得∠QFP=135°，故以N为圆心，NQ为半径交MN于点F，该点F即为所求。
20．【答案】（1）解：如图①中，点即为所求；
（2）4
（3）解：如图②中，点即为所求．
．
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（2）S△ABC=3×3-×1×3-×2×2-×1×3=4，
故答案为：4.
【分析】（1）先作出线段AB的中点E，再连接DE即可；
（2）利用割补法求出三角形的面积即可；
（3）取格点P、Q，连接PQ交AC于点F，再连接BF即可.
21．【答案】（1）解：如图中，线段即为所求.
（2）解：如图2中，直线n即为所求.
证明：
∴点S在BC的垂直平分线上
∴点O在BC的垂直平分线上
所以SO是BC的垂直平分线.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用网格的特点，由菱形的对角线互相平分找到AB的中点，再连接CM即可；
（2）连接AC、BD相交于点O，再延长BA、CD相交于点S，过S、O作直线n，直线n就是BC边的垂直平分线，由等角的补角相等得∠SAD=∠SDA，则SA=SD，由二直线平行，同位角相等及等量代换得∠SBC=∠SCB，得SB=SC，根据到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得点S在BC的垂直平分线上，用SAS判断出△ABD≌△DCA，得∠ABD=∠DCA，结合平行的性质可得∠OBC=∠OCB，由等角对等边得OB=OC，根据到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得点O在BC的垂直平分线上，由两点确定一条直线即可得出结论.
22．【答案】（1）解：如图（1），线段AE即为△ABC的中线；
；
根据三角形三条中线交于一点即可证明；
（2）解：如图（2），线段AF即为△ABC的角平分线；
证明：∵OA=OH，∴∠HAO=∠H，
∵点O是AB的中点，点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠CAH=∠H，
∴∠CAF=∠BAF，
∴AF为△ABC的角平分线．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）先求出 ∠HAO=∠H， 再求出 ∠CAH=∠H， 最后求解即可。
23．【答案】（1）解：如图，取 的中点 ，连接 ，即为所求；
由图可知： ，
∴ ；
（2）解：如图，取格点 ，连接 ，交 于点E，连接 ，即为所求；
由图可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：如图，取格点 ，连接 交 于点F，连接 ，即为所求；
由图可知： ，
∴四边形 为菱形，
∴ 是 的中垂线，
∴ ，
∴ ．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的判定与性质；作图-角
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质，根据题意作图即可；
（3）利用勾股定理，菱形的判定与性质等，结合题意作图即可。
24．【答案】（1）解：如图，四边形即为所作；
（2）解：如图，与即为所作．
证明：
∵为⊙的切线，AD是直径，
∴
∴
∴，
又，
∴．
【知识点】矩形的判定；切线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据 以为边作一个矩形 作图即可；
（2）先求出 ，再求出 ， 最后证明即可。
25．【答案】（1）解：如图所示：
第一步：分别过点C、D作、的平行线，相交于点E，连接交于点O；
第二步：分别过点 C、B作对角线、的平行线，相较于点F；
第三步：连接交于点D连接，线段就是的一条中线，AD平分△ABC的面积．
（2）解：如图所示：
第一步：延长、；
第二步：分别用直尺紧贴的两条边，以直尺的宽度画平行线，相交于点D；
第三步：连接交于点E，平分．
（3）解：如图所示：
第一步：分别过点C、A作、的平行线，相交于点D；
第二步：连接交于点F，垂直平分，平分△ABC的周长．
【知识点】作图-平行线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据要求作出图象即可。
26．【答案】（1）
（2）解：如图所示
（3）解：如图所示
【知识点】相似图形；相似三角形的判定；相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）证明△AEB∽△DEC，根据相似三角形的性质解答；
（2）根据相似三角形的性质画出图形，作出点F；
（3）根据全等三角形的性质、相似三角形的性质解答
27．【答案】（1）解：如图1所示，延长CB交圆于点E，连接DE，与AB交点即为圆心 ； 由已知可得∠A+∠DBA=90°，∠EBA=∠C=∠A，故∠EBA +∠DBA=90°，DE为直径；
（2）解：如图2所示，连接AC、BD交于点G，AC交圆于点E，射线DE交BC于F，射线FG交DA于H，连接BH交AC于O．点 即为所求．
说明：由已知可得，△ADB为等边三角形，由作图可知，AE为直径，DF⊥BC，可得，F是BC中点，进而得出H是AD中点，BH⊥AD，BH过圆心；
【知识点】圆周角定理；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）延长CB交圆于一点，把这点与点D连接，与AB交点即为圆心；
（2）连接AC、BD交于点G，AC交圆于点E，射线DE交BC于F，射线FG交DA于H，连接BH交AC于O即可。
28．【答案】（1）解： 是直角三角形.
理由： ， ， ，
，
是直角三角形.
（2）解：如图，以 为斜边作等腰直角 ，连接 交 于点 ，线段 即为所求.
∵ 是等腰直角三角形，
∴∠TCB=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB=∠ECA=45°，
∴CE平分∠ACB；
（3）(3，3)
（4）3
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（3）如图，取点 ，连接 ，点 即为所求，
故答案为 .
∵CF为正方形的对角线，
∴∠AFC=45°，
∴∠ACF=180°-∠A-∠AFC=135°-∠A，
∵∠AEC=180°-∠A-∠ACE=135°-∠A，
∴∠ACF＝∠AEC，
（4）取格点 ，连接 ， .
，
，
，
故答案为：3.
【分析】(1)利用勾股定理的逆定理证明即可；
(2)如图，取格点T，连接CT交AB于点E，根据等腰直角三角形的性质推出线段CE即为所求；
(3)取点F(3，3) ，连接CF，根据三角形的内角和推出∠ACF＝∠AEC，即可得证；
(4)取格点G， 连接CG ， GT，由于AE//GT，推出∠AEC=∠CTG，根据三角函数定义计算即可.
29．【答案】（1）解：如图所示，点即为所求；
理由如下，如图所示，设交于点 Q，根据网格的特点可知
，
则，又（对顶角相等）
∴，
即，
又∵是斜边上的中线，
∴
（2）解：，点G即为所求，
根据网格的特点将线段绕点A逆时针旋转得线段，
同理补形成正方形，在上找到点T，使得，
∴，
连接交于点G，则，点G即为所求.
【知识点】锐角三角函数的定义；作图﹣旋转；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）设MN、AC交于点 Q，根据网格的特点可知tan∠ACP==tan∠BMN，则∠M=∠ACP，根据对顶角的性质可得∠CQN=∠EQM，则∠MEQ=∠QRC=90°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得DE=DA；
（2）根据网格的特点将线段AB绕点A逆时针旋转90°得线段AF，同理补形成正方形ABHF，在AF上找到点T，使得AT：TF=4：3，则tan∠ABT=，连接BT交AC于点G，则tan∠ABG=，点G即为所求.
30．【答案】（1）解：如图所示
∵D点是A点先向右平移6个单位，再向上平移一个单位得到的，故由平移的性质可知，E是C点这样平移得到的
∴将C点先向右平移6个单位，再向上平移一个单位得到E点，然后连接DE即为所求
（2）解：如图所示
∵D点是A点先向右平移6个单位，再向上平移一个单位得到的，故由平移的性质可知，E是C点这样平移得到的
∴将C点先向右平移6个单位，再向上平移一个单位得到E点，然后连接DE即为所求∵△ABF的面积等于△ACF面积的2倍，而两个三角形等高，因此BF=2CF，即F为BC的三等分点且是靠近C点的
∴如图所示找到Q点和S点，连接CQ，过点S作SP∥CQ交BC于F，连接AF
∵如图所示可知BS=2QS，SP∥CQ
∴△FBS∽△CBQ
∴BF=2CF
∴F点即为所求
（3）解：如图所示，找到P、J、O，然后连接，PJ 、AJ、AP，其中O为AP中点
过点O作ON∥PJ交AJ于N，连接BN并延长交AD于M
∵O为AP中点，ON∥PJ
∴N为AJ的中点
∴△AON∽△APJ
∴
又∵
∵AB=AJ，AP=AT，BT=PJ
∴△ABT≌△AJP
∴∠BAT=∠JAP
∴∠BAJ=90°
∵
∴
故答案为：如上图所示.
【知识点】作图﹣平移；相似三角形的判定与性质；作图﹣相似变换；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）利用已知可知D点是A点先向右平移6个单位，再向上平移一个单位得到的，利用平移的性质确定出点E的位置，连接DE.
（2）根据题意可知将C点先向右平移6个单位，再向上平移一个单位得到E点，然后连接DE即为所求∵△ABF的面积等于△ACF面积的2倍，而两个三角形等高，因此BF=2CF，即F为BC的三等分点且是靠近C点的，易证BS=2QS，SP∥CQ，可得到△FBS∽△CBQ，利用相似三角形的性质可知BF=2CF，即可求解.
（3）找到P、J、O，然后连接，PJ 、AJ、AP，其中O为AP中点，过点O作ON∥PJ交AJ于N，连接BN并延长交AD于M，易证△AON∽△APJ，利用勾股定理求出AN，AB的长，利用SSS证明△ABT≌△AJP，利用全等三角形的性质可证得∠BAT=∠JAP，由此可得到∠BAJ=90°，利用锐角三角函数的定义可求出 tan∠ABM＝ .
1 / 12024年中考数学考前20天终极冲刺专题之尺规作图(二)
一、作图题
1．（2019九上·寻乌月考）按要求画图：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹．
（1）如图1，画出⊙O的一个内接矩形；
（2）如图2，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD∥AB，画出⊙O的一个内接正方形．
【答案】（1）解：如图所示，过O作⊙O的直径AC与BD，连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD即为所求；
（2）解：如图所示，延长AC，BD交于点E，连接AD，BC交于点F，连接EF并延长交⊙O于G，H，连接AH，HB，BG，GA，则四边形AHBG即为所求．
【知识点】矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】(1)根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，画出圆的两条直径，即可得到⊙O的一个内接矩形；(2)根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与AB互相垂直，即可得到⊙O的内接正方形．
2．（2023九上·东阳月考）如图，点在，用无刻度的直尺画图．
（1）在图①中，画一个与互补的圆周角；
（2）在图②中，画一个与互余的圆周角．并说明理由．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质画图即可；
（2）根据90°的圆周角所对的弦为直径，据此即可求解.
3．（2024九上·遂川期末）如图是正方形网格，已知格点A，B，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
（1）在图1中，以为对角线，作一个正方形；
（2）在图2中，取格点，作，使．
【答案】（1）解：如图1，正方形即为所求；
（2）解：如图2，格点即为所求；
【知识点】正方形的判定与性质；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形的判定定理，先找AB的垂直平分线，再确定等长的格点，最后顺次连接；
（2）记住特殊角的三角函数值，可知，根据正方形对角线的性质，过AB中点O作AB的垂线，垂线上任意一点连接A和O都可以构成直角三角形，再确定与OA等长的OC找到格点C。
4．（2024九下·镇赉县月考）如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）.
（1）在图①中，作关于点对称的；
（2）在图②中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的.
【答案】（1）解：如图①中，即为所求.
（2）解：如图②中，即为所求.
【知识点】中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用中心对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用旋转的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可.
5．（2024七上·萧山期末）如图，已知平面上有三点A，B，C．用无刻度直尺和圆规作图（请保留作图痕迹）；
（1）画线段，直线，射线；
（2）在线段上找一点E，使得．
【答案】（1）解：如图，线段，直线，射线即为所求；
（2）解：如图，点即为所求．
【知识点】作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据直线没有端点，可以向两个方向无限延伸；射线有一个端点，可以向一个方向无限延伸；线段有两个端点，不能向任何一个方向延伸，据此画出图形即可；
（2）以点B为圆心，AB得长为半径画弧，交BC于点E，点E即为所求．
6．（2023九上·瑞安月考）如图，的顶点是方格纸中的三个格点，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．
（1）在图1中画出边上的点，使得；
（2）在图2中画出的重心．
【答案】（1）解：如图点D即为所求.
（2）解：如图，点G即为所求.
由图可得：BH、AE是△ABC边AC、BC的中线，
∴G是△ABC的重心．
【知识点】平行线分线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例得到线段AC的三等分点D，即可求解；
（2）根据平行线分线段成比例得到线段AC的中点H和BC的中点E，连接AE，BH交于G，根据三角形的重心是三角形三边中线的交点即可求解.
7．（2023八上·大余月考）如图，线段的端点在正方形网格的格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留简图痕迹）．
（1）在图1中作等腰直角三角形，其中线段为底边．
（2）在图2中作等腰直角三角形，其中线段为腰．
【答案】（1）解：取格点，
，
和是以线段为底边的等腰三角形，
取格点，
，，
，
是以线段为底边的等腰三角形，
取格点，
，，
，
是以线段为底边的等腰三角形，
取格点，
，，
，
是以线段为底边的等腰三角形，
如图所示，、、、、即为所求：
（2）取格点，
，，
是以线段为腰的等腰三角形，
取格点，
，，
是以线段为腰的等腰三角形，
如图所示，、即为所求：
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；作图-三角形
【解析】【分析】（1）以AB为对角线，取格点C和C"得正方形ACBC"，从而得、即为所求.
（2）如图，以AB为腰的等腰直角三角形、即为所求.
8．（2023九上·永康月考）如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图．
（1）在图1中的线段AC上找一个点E，使AE＝AC；
（2）在图2中作一个格点△DFC，使△DFC∽△ABC．(只画出一个即可)
【答案】（1）解：如图，点E就是所求的点
（2）解：如图， DFC就是所求作的三角形
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）过点A引一条射线，此题根据网格数可以沿小正方形对角线方向画射线；在过点C连接一条线段，在A、C之间再分别等距地画两条平行线（此处要利用格点寻找等距的平行线组），不难将AC三等分；
（2）计算出AB、BC、AC的长分别为5，5，25，将它们都除以5得5，1，2在图中很容易画出以这三个长度为边长的格点三角形.
9．（2023九下·衢江月考）在如图的网格中使用无刻度直尺按要求画图.（画图时保留画图痕迹）
（1）在图（1）中，N是边的中点，连接，在边上画一点G，使得.
（2）在图（2）中，在上找一点M，使；
【答案】（1）解：将向左平移1个单位至处，借助网格和，找到的中点，找到点，连接，将向左平移1个单位至，连接、，与的交点即为，则有，
，
；
（2）解：如图，
，
，
，
.
【知识点】三角形的面积；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 将BC向左平移1个单位至DE处，借助矩形的对角线互相平分找到DE的中点H，找到点I，连接AI，将I向左平移1个单位至J，连接JH、IN，JH与AN的交点即为G，则有JH∥IN，根据平行线分线段成比例定理得AG=2GN；
（2）设方格纸的右上角处的点为D，连接AD、CD，在CD上取点E，使CD=3CE，过点E作水平线的平行线，交AC于点M，连接BM，点M就是所求的点；由平行线分线段成比例定理得AC=CM，进而根据同高三角形的面积之比等于底之比即可得出结论.
10．（2023八下·丰城期末）如图，已知，，均在上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图①中，若，作一个的角；
（2）在图②中，若，分别是边的中点，作的内心．
【答案】（1）解：在上找一点D，连接，如图，
则是直径，
∴，
∵，
∴，
∴即为所求；
（2）解：延长分别交于、，根据垂径定理得到，连接相交于点， 根据圆周角定理得到，，则点为的内角平分线的交点，所以点为的内心；
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接CO并延长交 于点D，连接BD，则，进而可得
（2）延长OM，ON分别交圆O于D、E，则根据垂径定理得到，连接AD、BE相交于P点，根据圆周角定理得到，则点P为△ABC的内角平分线的交点，所以点P为△ ABC的内心。
11．（2023八下·余干期末）如图，在菱形中，点为边上一点，请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图．（保留画图痕迹）
（1）在图1中，在边画出一点，使；
（2）在图2中，以为顶点画一个矩形，使得矩形的四个顶点都在菱形的边上．
【答案】（1）解：画法：如下图，连接、交于点，连接延长交于点，点即为所要求画的点．
理由：四边形是菱形，连接、交于点，
，，
，
在和中，
，
，
（2）解：画法：如下图，连接、，交于点；连接交于点，连接并延长，交于点；连接并延长，交于点；连接并延长，交于点；顺次连接点、、、，得到四边形，四边形即为所要求画的矩形．
理由：由（1）过程得，
，
四边形是菱形，连接、交于点，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是菱形，连接、交于点，连接并延长，交于点，
，，（对顶角相等），
，
在和中，
，
，
，
又，，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
，
四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）题目有一定的难度，考查了菱形是中心对称图形，明确过中心对称图形的对称中心的任一条直线可以将中心对称图形分成两个全等的图形。所以先连接两条对角线确定对称中心点O，再连接EO并延长角AD于点F，这时或者等，所以DF=BE，点F即为所求。
（2）在（1）小题的基础上，利用菱形对称性作点E关于BD的对称点H，然后分别作点E和点H关于点O的对称点，即OH=OG，OE=OF，又OH=OE，所以四边形EHFG是矩形，充分利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
12．（2023九上·吉林开学考）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均为格点只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出作法．
（1）在图中作的高．
（2）在图中的边上找一点，连结，使．
（3）在图中内不包含边界找一点，连结，，使．
【答案】（1）解：如图所示．
（2）解：如图所示．
（3）解：如图所示．
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）通过推理作与Rt△ANB≌Rt△△CBM(2×4网格直角三角形)，从而得出∠CDB=90°，即为AB边上高CD.
（2）（3）将面积问题利用等积思想转化为中点问题，利用格点(矩形对角线)找出中点.
13．（2023·朝阳模拟）图①、图②、图③均是由小正方形组成的的网格，的三个顶点A、B、C均在格点（网格线的交点）上，请按要求在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹，不写画法．
（1）在图①中的上确定一点D，连结，使．
（2）在图②中的上确定一点E，连结，使．
（3）在图③中的上确定一点F，连结，使．
【答案】（1）解：由勾股定理可知： ，则 ，即 为等腰三角形，
∵ ，
∴ 平分 ，则 ，
即： 为 的中点，
则，连接以 为对角线的矩形的对角线，交点即为点 ，如图所示，即为所求；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，即为所求；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
由图可知： ， ， ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 与 交点即为所求点 ，如图所示．
【知识点】作图-角
【解析】【分析】（1）利用勾股定理先求出BC=5，再求出 为等腰三角形， 最后结合题意作图即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后作图即可；
（3）先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质求出 ， 最后作图即可。
14．（2022·南昌模拟）如图，在矩形和等腰中，边和边交于点，且.请仅用无刻度直尺按下列要求作图.（保留作图痕迹）
（1）如图1，在边上找一点，使得；
（2）如图2，作边的中点．
【答案】（1）解：连接AC、BD，设AC与BD相交于点O，EC交AD相交于点G，连接GO并延长使之交BC于点M，则点M为所求.
因为矩形，
所以，
又，
所以，
所以，
在与中，
所以，
所以AF=GD，
又，
所以，
又矩形，
所以BO=DO，
在与中，
所以，
所以BM=GD，
所以BM=AF.
（2）解：在（1）的基础上，连接FM，AM，设AM交BF于点H，连接OH并延长交AB于点N，则点N为所求，
因为，
所以四边形ABMF是矩形，所以，
所以点O在AB的垂直平分线上，
因为，
所以点H在AB的垂直平分线上，
所以OH平分AB，
所以点N是AB的中点.
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）连接AC、BD，设AC与BD相交于点O，EC交AD相交于点G，连接GO并延长使之交BC于点M，则点M为所求，利用全等三角形的判定方法证出，，可得 BM=GD，AF=GD，即可得到BM=AF；
（2）连接FM，AM，设AM交BF于点H，连接OH并延长交AB于点N，则点N为所求，先证出点H在AB的垂直平分线上，可得OH平分AB，再证出点N是AB的中点即可。
15．（2022·赣州模拟）如图，矩形OABC与⊙O交于点D，点A为⊙O上一点，AB＝3BC，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）．
图1 图2
（1）若E、F分别OC、AB是的一个三等分点，请在图1中作出过点D的切线；
（2）在图2中作一个圆周角，使这个角的正切值为 ．
【答案】（1）解：如图所示，连接AE、DF，二者相较于G点，连接DG，直线DG即为所求；
（2）解：如图所示，延长AO交⊙O于点E，连接EC交⊙O于F点，连接AF，
∠EAF即为所求．
其他解答方法：利用弦切角定理，连接AC交⊙O于E点，点F可以在优弧ADE的任意位置，再连接AF、EF，∠EAF即为所求．如下图所示：
【知识点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接EF，则四边形AOEF为矩形，由于矩形对角线相等且互相平分，作直线GD即可；
（2）连接AC，则的正切值为，下来通过构造相似三角形在圆内作一个圆周角，使它等于即可。
16．（2019九下·宁都期中）请你仅用无刻度的直尺在下面的图中作出△ABC 的边 AB 上的高 CD．
（1）如图①，以等边三角形 ABC 的边 AB 为直径的圆，与另两边 BC、AC 分别交于点 E、F．
（2）如图②，以钝角三角形 ABC 的一短边 AB 为直径的圆，与最长的边 AC 相交于点 E．
【答案】（1）解：如图所示，CD 即为所求；
（2）解：如图，CD 即为所求．
【知识点】圆周角定理；作图-垂线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）连接AE、BF，找到△ABC的高线的交点，据此可得CD；（2）延长CB交圆于点F，延长AF、EB交于点G，连接CG，延长AB交CG于点D，据此可得．
17．（2019·南昌模拟）如图，在正方形 中，点 是 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.
（1）在如图（1）的 边上求作一点 ，连接 ，使 ；
（2）在如图（2）的 边上求作一点 ，连接 ，使 .
【答案】（1）解：如图（1）， 连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N，则CN为所作． 理由：在△AOD与△COD中， ∵ ，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠OAD=∠OCD， ∴∠BAM=∠BCN． 在△ABM与△CBN中， ∵ ，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴CN=AM．
（2）解：如图2连接AC、BD交与O点，连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则 为所求的线段. 在正方形ABCD中，OA=OB=OC=OD，AD∥BC，
∴QO=MO
∴四边形AQCM为平行四边形，
∴QC∥AM
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N．可先证明△AOD≌△COD，再证明△MOB≌NOB，从而可得NB=MB；（2）连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则CQ∥AM．理由如下：由正方形的性质以及平行线等分线段可证QO=MO，从而可知四边形AQCM为平行四边形，从而可得CQ∥AM．
18．（2023·青山湖模拟）如图，已知是的外接圆，，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1的上作点D，使为等腰直角三角形；
（2）在图2的上作点M，N，使四边形为正方形．
【答案】（1）解：画图如下：点D即为所求．
理由：如图，连接，并延长交于点D，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：画图如下：正方形即为所求．
理由：如图，连接，，并分别延长，交于点N，M，连接，，
∵是的直径，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形．
【知识点】正方形的判定；圆周角定理；作图-三角形
【解析】【分析】（1）连接CO并延长交于一点，即为点D；
（2） 连接，，并分别延长，交于点N，M ，则四边形即为正方形 .
19．（2023·二道模拟） 如图是的正方形网格，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题，保留作图痕迹．
（1）在图中，找一格点，连结，使画出一种即可，这样的格点与点不重合有 个
（2）在图中，找一格点，连结、，使画出一种即可．
（3）在图中的线段上画一点，连结，，使．
【答案】（1）；7
（2）解：如图中，点即为所求；
（3）解：如图中，点即为所求．
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理
【解析】【解答】解：⑴、以A为圆心，AB长为半径画圆，与网格的交点即点C的位置，易知共有7个位置。
⑵、如图根据圆周角定理可知
【分析】⑴、利用圆的性质，以点A为圆心AB长为半径画圆，圆与网格的交点即为点C的位置。
⑵、利用圆周角定理找取点E。
⑶、由∠QNP=90°，对应圆周角45°的内接四边形对角为135°，即推得∠QFP=135°，故以N为圆心，NQ为半径交MN于点F，该点F即为所求。
20．（2023九上·二道期中）以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
（1）在图①中，点为的边的中点，在边上找一点，连接，使的面积为面积的．
（2）在图②中，的面积为 ．
（3）在图②中，在的边上找一点，连接，使的面积为．
【答案】（1）解：如图①中，点即为所求；
（2）4
（3）解：如图②中，点即为所求．
．
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（2）S△ABC=3×3-×1×3-×2×2-×1×3=4，
故答案为：4.
【分析】（1）先作出线段AB的中点E，再连接DE即可；
（2）利用割补法求出三角形的面积即可；
（3）取格点P、Q，连接PQ交AC于点F，再连接BF即可.
二、综合题
21．（2023·乌鲁木齐模拟）请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列作图，保留作图痕迹，不写作法.
（1）图是由边长为的小等边三角形构成的网格，为格点三角形.在图中，画出中边上的中线；
（2）如图，四边形中，，，画出边的垂直平分线.
【答案】（1）解：如图中，线段即为所求.
（2）解：如图2中，直线n即为所求.
证明：
∴点S在BC的垂直平分线上
∴点O在BC的垂直平分线上
所以SO是BC的垂直平分线.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用网格的特点，由菱形的对角线互相平分找到AB的中点，再连接CM即可；
（2）连接AC、BD相交于点O，再延长BA、CD相交于点S，过S、O作直线n，直线n就是BC边的垂直平分线，由等角的补角相等得∠SAD=∠SDA，则SA=SD，由二直线平行，同位角相等及等量代换得∠SBC=∠SCB，得SB=SC，根据到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得点S在BC的垂直平分线上，用SAS判断出△ABD≌△DCA，得∠ABD=∠DCA，结合平行的性质可得∠OBC=∠OCB，由等角对等边得OB=OC，根据到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得点O在BC的垂直平分线上，由两点确定一条直线即可得出结论.
22．（2022·赣州模拟）如图，点C是以AB为直径的半圆O内任意一点，连接AC，BC，点D在AC上，且AD＝CD，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图（1）中，画出的中线AE；
（2）在图（2）中，画出的角平分线AF．
【答案】（1）解：如图（1），线段AE即为△ABC的中线；
；
根据三角形三条中线交于一点即可证明；
（2）解：如图（2），线段AF即为△ABC的角平分线；
证明：∵OA=OH，∴∠HAO=∠H，
∵点O是AB的中点，点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠CAH=∠H，
∴∠CAF=∠BAF，
∴AF为△ABC的角平分线．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）先求出 ∠HAO=∠H， 再求出 ∠CAH=∠H， 最后求解即可。
23．（2023·长春模拟）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中的边上确定一点D，连接，使；
（2）在图②中的边上确定一点E，连接，使；
（3）在图③中的边上确定一点F，连接，使．
【答案】（1）解：如图，取 的中点 ，连接 ，即为所求；
由图可知： ，
∴ ；
（2）解：如图，取格点 ，连接 ，交 于点E，连接 ，即为所求；
由图可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：如图，取格点 ，连接 交 于点F，连接 ，即为所求；
由图可知： ，
∴四边形 为菱形，
∴ 是 的中垂线，
∴ ，
∴ ．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的判定与性质；作图-角
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质，根据题意作图即可；
（3）利用勾股定理，菱形的判定与性质等，结合题意作图即可。
24．（2022·遂川模拟）如图，在⊙中，为弦，为⊙的切线，为切点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
（1）在图1中，以为边作一个矩形；
（2）在图2中，分别在上取一点，在⊙取两点，，作．
【答案】（1）解：如图，四边形即为所作；
（2）解：如图，与即为所作．
证明：
∵为⊙的切线，AD是直径，
∴
∴
∴，
又，
∴．
【知识点】矩形的判定；切线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据 以为边作一个矩形 作图即可；
（2）先求出 ，再求出 ， 最后证明即可。
25．（2022·长春模拟）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹．
（1）在图①中的BC边上确定一点D，使得AD平分△ABC的面积．
（2）在图②中的BC边上确定一点E，使得AE平分∠BAC．
（3）在图③中的AC边上确定一点F，使得BF平分△ABC的周长．
【答案】（1）解：如图所示：
第一步：分别过点C、D作、的平行线，相交于点E，连接交于点O；
第二步：分别过点 C、B作对角线、的平行线，相较于点F；
第三步：连接交于点D连接，线段就是的一条中线，AD平分△ABC的面积．
（2）解：如图所示：
第一步：延长、；
第二步：分别用直尺紧贴的两条边，以直尺的宽度画平行线，相交于点D；
第三步：连接交于点E，平分．
（3）解：如图所示：
第一步：分别过点C、A作、的平行线，相交于点D；
第二步：连接交于点F，垂直平分，平分△ABC的周长．
【知识点】作图-平行线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据要求作出图象即可。
26．（2022·吉林模拟）图①、图②、图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上。在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）如图①，=
（2）如图②，在BC上找一点F，使BF=2．
（3）如图③，在AC上找一点M，连接BM、DM，使△ABM∽△CDM．
【答案】（1）
（2）解：如图所示
（3）解：如图所示
【知识点】相似图形；相似三角形的判定；相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）证明△AEB∽△DEC，根据相似三角形的性质解答；
（2）根据相似三角形的性质画出图形，作出点F；
（3）根据全等三角形的性质、相似三角形的性质解答
27．（2021·九江模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，D均在圆上．请仅用无刻度的直尺分别下列要求画图．
（1）在图①中，若AB是直径，CD与圆相切，画出圆心 ；
（2）在图②中，若CB，CD均与圆相切，画出圆心 ．
【答案】（1）解：如图1所示，延长CB交圆于点E，连接DE，与AB交点即为圆心 ； 由已知可得∠A+∠DBA=90°，∠EBA=∠C=∠A，故∠EBA +∠DBA=90°，DE为直径；
（2）解：如图2所示，连接AC、BD交于点G，AC交圆于点E，射线DE交BC于F，射线FG交DA于H，连接BH交AC于O．点 即为所求．
说明：由已知可得，△ADB为等边三角形，由作图可知，AE为直径，DF⊥BC，可得，F是BC中点，进而得出H是AD中点，BH⊥AD，BH过圆心；
【知识点】圆周角定理；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）延长CB交圆于一点，把这点与点D连接，与AB交点即为圆心；
（2）连接AC、BD交于点G，AC交圆于点E，射线DE交BC于F，射线FG交DA于H，连接BH交AC于O即可。
28．（2021·江岸模拟）在由边长为1的小正方形构成的6×6网格中建立如图所示的平面直角坐标系， ABC三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(5，3)，C(1，5).仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并回答下列问题：
（1）直接写出 ABC的形状；
（2）作 ABC的角平分线CE；
（3）在边AB上找一个格点F，连接CF，使∠ACF＝∠AEC，直接写出F点坐标为 ；
（4）根据上述作图，直接写出tan∠AEC的值为 .
【答案】（1）解： 是直角三角形.
理由： ， ， ，
，
是直角三角形.
（2）解：如图，以 为斜边作等腰直角 ，连接 交 于点 ，线段 即为所求.
∵ 是等腰直角三角形，
∴∠TCB=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB=∠ECA=45°，
∴CE平分∠ACB；
（3）(3，3)
（4）3
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（3）如图，取点 ，连接 ，点 即为所求，
故答案为 .
∵CF为正方形的对角线，
∴∠AFC=45°，
∴∠ACF=180°-∠A-∠AFC=135°-∠A，
∵∠AEC=180°-∠A-∠ACE=135°-∠A，
∴∠ACF＝∠AEC，
（4）取格点 ，连接 ， .
，
，
，
故答案为：3.
【分析】(1)利用勾股定理的逆定理证明即可；
(2)如图，取格点T，连接CT交AB于点E，根据等腰直角三角形的性质推出线段CE即为所求；
(3)取点F(3，3) ，连接CF，根据三角形的内角和推出∠ACF＝∠AEC，即可得证；
(4)取格点G， 连接CG ， GT，由于AE//GT，推出∠AEC=∠CTG，根据三角函数定义计算即可.
29．（2023·武汉模拟）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.
（1）在图（1）中，先作线段的中点D，再在线段上作点E，使；
（2）在图（2）中，先将线段绕点A逆时针旋转得线段，画出线段，再在边上作点G，使.
【答案】（1）解：如图所示，点即为所求；
理由如下，如图所示，设交于点 Q，根据网格的特点可知
，
则，又（对顶角相等）
∴，
即，
又∵是斜边上的中线，
∴
（2）解：，点G即为所求，
根据网格的特点将线段绕点A逆时针旋转得线段，
同理补形成正方形，在上找到点T，使得，
∴，
连接交于点G，则，点G即为所求.
【知识点】锐角三角函数的定义；作图﹣旋转；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）设MN、AC交于点 Q，根据网格的特点可知tan∠ACP==tan∠BMN，则∠M=∠ACP，根据对顶角的性质可得∠CQN=∠EQM，则∠MEQ=∠QRC=90°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得DE=DA；
（2）根据网格的特点将线段AB绕点A逆时针旋转90°得线段AF，同理补形成正方形ABHF，在AF上找到点T，使得AT：TF=4：3，则tan∠ABT=，连接BT交AC于点G，则tan∠ABG=，点G即为所求.
30．（2021·硚口模拟）由边长为1的小正方形构成网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D都是格点，仅用无刻度的直尺在给定12×8的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：
（1）平移线段AC得到线段DE，在图1中画出线段DE；
（2）点F在线段BC上，使△ABF的面积等于△ACF面积的2倍，在图1中画出线段AF；
（3）点M在线段AD上，使tan∠ABM＝ ，在图2中画出线段BM.
【答案】（1）解：如图所示
∵D点是A点先向右平移6个单位，再向上平移一个单位得到的，故由平移的性质可知，E是C点这样平移得到的
∴将C点先向右平移6个单位，再向上平移一个单位得到E点，然后连接DE即为所求
（2）解：如图所示
∵D点是A点先向右平移6个单位，再向上平移一个单位得到的，故由平移的性质可知，E是C点这样平移得到的
∴将C点先向右平移6个单位，再向上平移一个单位得到E点，然后连接DE即为所求∵△ABF的面积等于△ACF面积的2倍，而两个三角形等高，因此BF=2CF，即F为BC的三等分点且是靠近C点的
∴如图所示找到Q点和S点，连接CQ，过点S作SP∥CQ交BC于F，连接AF
∵如图所示可知BS=2QS，SP∥CQ
∴△FBS∽△CBQ
∴BF=2CF
∴F点即为所求
（3）解：如图所示，找到P、J、O，然后连接，PJ 、AJ、AP，其中O为AP中点
过点O作ON∥PJ交AJ于N，连接BN并延长交AD于M
∵O为AP中点，ON∥PJ
∴N为AJ的中点
∴△AON∽△APJ
∴
又∵
∵AB=AJ，AP=AT，BT=PJ
∴△ABT≌△AJP
∴∠BAT=∠JAP
∴∠BAJ=90°
∵
∴
故答案为：如上图所示.
【知识点】作图﹣平移；相似三角形的判定与性质；作图﹣相似变换；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）利用已知可知D点是A点先向右平移6个单位，再向上平移一个单位得到的，利用平移的性质确定出点E的位置，连接DE.
（2）根据题意可知将C点先向右平移6个单位，再向上平移一个单位得到E点，然后连接DE即为所求∵△ABF的面积等于△ACF面积的2倍，而两个三角形等高，因此BF=2CF，即F为BC的三等分点且是靠近C点的，易证BS=2QS，SP∥CQ，可得到△FBS∽△CBQ，利用相似三角形的性质可知BF=2CF，即可求解.
（3）找到P、J、O，然后连接，PJ 、AJ、AP，其中O为AP中点，过点O作ON∥PJ交AJ于N，连接BN并延长交AD于M，易证△AON∽△APJ，利用勾股定理求出AN，AB的长，利用SSS证明△ABT≌△AJP，利用全等三角形的性质可证得∠BAT=∠JAP，由此可得到∠BAJ=90°，利用锐角三角函数的定义可求出 tan∠ABM＝ .
1 / 1
